Este documento presenta varios ejercicios resueltos sobre integración básica. En el primer ejercicio, se resuelven integrales indefinidas utilizando la propiedad de linealidad y la tabla de integrales inmediatas. En el segundo ejercicio, se resuelven integrales indefinidas mediante el uso de cambios de variable apropiados. En el tercer ejercicio, se aplica el método de integración por partes para resolver integrales indefinidas.

1. Ejercicios resueltos 1
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
GG33ww
Bloque 4. Cálculo
Tema 6 Integración básica
Ejercicios resueltos
4.6-1 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando la propiedad de
linealidad y la tabla de integrales inmediatas:
 
 

 










)
)
)
)
)
)
)
2
4
2
3 2
2
2
2
1
5
3
3
5 5
4
9 9
x
a x dx
b dx
x
x x
c dx
x
d e senx dx
e x dx
f dx
x
g dx
x
Solución
          
       
    )
2 2 2
3 2 3
2
2 4 4 4 4
4 4 2 4
3 2 3
a x dx x x dx x dx xdx dx
x x x
x C x x C


     
 )
3
4
4 3
1 1 1
3 3
x
b dx x dx C C
x x
   
       
 
   
    )
ln
2
2
5 5 1
1 5
5
2
x x
c dx x dx xdx dx dx
x x x
x
x x C
        ) cos3 3 3x x x
d e senx dx e dx senxdx e x C
         )
5 3
3 3 32 2 3 5 3 5 23 3 3
5 3 5 5 5
x
e x dx x dx C x C x C x x C
  
  ) 2 2
3 3 1 3
5 5 5 1 5
f dx dx arctagx C
x x
   
  
  ) 2 2 2
4 4 1 4 1 2
9 9 9 1 9 31
g dx dx dx arcsenx C
x x x

2. Ejercicios resueltos 2
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
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4.6-2 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando algún cambio de
variable apropiado:
 











)
)
cos
)
)
)
ln
)
)
cos
2
3
4
4
2
1
2
3
2
1
x x
tagx
a x x dx
senx
b dx
x
x
c dx
x
d e e dx
x
e dx
x
x
f dx
x
e
g dx
x
Solución
 
   
  
       
 
        
       
   
   
)
5 2 3 2
1 2 1 2 3 2 1 2
5 2 3 25 2 3 2
1
1 1
5 2 3 2
2 2 2 2
1 1
5 3 5 3
t x
a x x dx t tdt t tdt tdt
dt dx
t t
t t dt t dt t dt t dt C
t t C x x C
  
       
  
           
   
cos
)
cos
cos
1 2
1 2
1 2
1 2
1
2 2 2
1 2
t xsenx dt
b dx dt t dt
dt senxdx tx t
t
C t C t C x C
  
       
  
 ) ln ln
32
3
3 2
2 1 1 1
2
2 3 3 33
t xx dt
c dx t C x C
x tdt x dx
 
   
       
 
 )
5
5
4
4
33
3
5 5
xx
x x
x
et e t
d e e dx t dt C C
dt e dx
 
 
      
  
 )
2
2
4 2
2 1
1 12
t xx
e dx dt arctagt C arctag x C
x tdt xdx
  
      
  
 
 
ln
lnln
)
2
2
1
2 2
t x
xx t
f dx tdt C C
x dt dx
x
 
      
  
 
 )
cos
cos
2
2
1
tagx
t t tagx
t tagx
e
g dx e dt e C e C
x dt dx
x

3. Ejercicios resueltos 3
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
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4.6-3 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando el método de
integración por partes:







) ln
) ln
)
)
)
)
)
2
2
x
x
x
a xdx
b x xdx
c xe dx
d x e dx
e arcsenxdx
f e senxdx
g x senxdx
Solución
 
        
     
  
  
ln
) ln ln ln
ln
dx
u x du dx
a xdx x x x x x dxx
x
dv dx v x
x x x C
 
   
    
 
   
 
       
 

ln
) ln ln
ln ln ln
2
2
2
2 2 2 2 2
1
2 2
2
1 1
2 2 2 2 2 2 4
dx
u x du
x dxx
b x xdx x x
xx
dv xdx v
x x x x x
x xdx x C x C
   
      
   
 ) x x x x x
x x
u x du dx
c xe dx xe e dx xe e C
dv e dx v e
   
    
   
               
      
 


)
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2 2 2 2
x x x
x x
x x x
x x
x x x x x x
u x du xdx
d x e dx x e xe dx
dv e dx v e
u x du dx
x e xe e dx
dv e dx v e
x e xe e dx x e xe e C

4. Ejercicios resueltos 4
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
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 
 


 
       
    
  
     
  
     
       
 


) 2
2
2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
2 2
1
1
1
1
2
1 1
2 2 1 2
1 1
dx
u arcsenx du x
e arcsenxdx xarcsenx dxx
x
dv dx v x
t x
xarcsenx x x dx
dt xdx
t
xarcsenx t dt xarcsenx C
xarcsenx x C xarcsenx x C
 
   
     
    
   
  
   
   
   

  
 



) cos cos
cos
cos
cos
cos
cos
2
2
x x
x x x
x x
x x x
x x x
x
x
u e du e dx
f e senxdx e x e xdx
dv senxdx v x
u e du e dx
dv xdx v senx
e x e senx e senxdx
e senxdx e x e senx
e senx x
e senxdx C
   
     
    
   
  
   
    
    
 

) cos cos
cos
cos
cos
cos cos
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
u x du xdx
g x senxdx x x x xdx
dv senxdx v x
u x du dx
dv xdx v senx
x x xsenx senxdx
x x xsenx x C

5. Ejercicios resueltos 5
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
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4.6-4 Resuelve las siguientes integrales indefinidas de funciones racionales:
)
)
)
)
)
)
)
x
a dx
x x x
x
b dx
x x x
c dx
x x x
x x
d dx
x
x x
e dx
x x
x x
f dx
x x
x x x
g dx
x

 

  
  
 

 

 
 
  








2
3 2
2
3 2
3 2
2
2
2
3 2
2
2
4 3 2
1
2
1
6 12 8
4
5 7 3
3 2
9
8
4
2 1
8 16
3 2 1
5
Solución
    

        
 )
2
3 2 2
3 2
1
2 2 1 2
2
x
a dx x x x x x x x x x
x x x

  
   
2
3 2
1
2 1 2
x A B C
x x x x x x
             2
1 1 2 2 1x A x x Bx x Cx x
    

   
   
:
:
:
0 1 2 1 2
1 2 3 2 3
2 5 6 5 6
x A A
x B B
x C C

    
   
      
   
ln ln ln
2
3 2
1 1 2 5
2 2 3 1 6 2
1 2 5
1 2
2 3 6
x dx dx dx
dx
x x x x x x
x x x C
 

     
  )
2
33 2
3 2
1
6 12 8 2
6 12 8
x
b dx x x x x
x x x
     

  
  
2
3 2 3
1
22 2 2
x A B C
xx x x
              
22 2
1 2 2 4 4 2x A x B x C Ax Ax A Bx B C

6. Ejercicios resueltos 6
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
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 

    
   
:
:
:
2
1
0
1 1
0 4 4
1 4 2 5
x A A
x A B B
x A B C C
   
 

   
     
    
 
   
ln
2
2 33 2
2
1
4 5
6 12 8 2 2 2
4 5
2
2 2 2
x dx dx dx
dx
x x x x x x
x C
x x
   )c dx x x x x x
x x x
      
  
23 2
3 2
4
5 7 3 1 3
5 7 3
     
A B C
x xx x x
  
   
2 2
4
1 31 3 1
      A x x B x C x      
2
4 1 3 3 1
:
:
:
x B A
x C B
x A B C C
    

    
    
1 4 2 1
3 4 4 2
0 4 3 3 1
 
ln ln
dx dx dx
dx
x x x x xx
x x C
x
    
    
      

   23 2
4
2
5 7 3 1 31
2
1 3
1
   )
x x
d dx x x x x
x
 
        

2
2 2
2
3 2
3 2 1 9 3 11
9
  
x x x
dx dx dx x x x
x x
   
      
   
2
2
2 2
3 2 3 11
9 3 3
9 9
x A B
x x x
 
 
  2
3 11
9 3 3
   x A x B x      3 11 3 3
:
:
x A A
x B B
  

     
3 2 6 1 3
3 20 6 10 3
ln ln
x x x dx dx
dx dx dx x
x x x x
x x x C
   
     
   
     
    
2
2 2
3 2 3 11 1 10
9 9 3 3 3 3
1 10
3 3
3 3

7. Ejercicios resueltos 7
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
GG33ww
 )
x x
e dx x x x x
x x
 
   

2
3 2 2
3 2
8
4 4
4
x x A B C
x x x x x
 
  
 
2
3 2 2
8
4 4
   x x Ax x B x Cx Ax Ax Bx B Cx           2 2 2 2
8 4 4 4 4
:
:
:
x A C A
x A B B
x B C
  

    
   
2
1
0
1 1 4
1 4 2
8 4 3 4
 
ln ln
x x
dx dx dx dx
x x x x x
x x C
x
 
   
 
    
   
2
3 2 2
8 1 1 1 3 1
2
4 4 4 4
1 2 3
4
4 4
   )
x x
f dx x x x x x
x x
 
         
 
2
2 2
2
2 1
2 1 2 8 16 17 31
8 16
 
x x x
dx dx dx x x x
x x x x
   
      
     
2
22
2 2
2 1 17 31
2 8 16 4
8 16 8 16
   
x A B
xx x
 
 
 
2 2
17 31
44 4
 x A x B     17 31 4
:
:
Ax A
Bx A B
  

   
1
0
1717
3731 4
 
ln
x x
dx dx dx dx
x x x x
x x C
x
 
   
   
    

   
2
22
2 1 1 1
2 17 37
8 16 4 4
37
2 17 4
4
)
x x x
g dx
x
  

4 3 2
3 2 1
5
   x x x x x x x         4 3 2 3 2
3 2 1 2 8 40 5 201
 
ln
x x x
dx x x x dx dx
x x
x x x
x x C
  
     
 
      
  
4 3 2
3 2
4 3 2
3 2 1 201
2 8 40
5 5
2 8 40 201 5
4 3 2