SOLUCIONARIO CALCULO

1. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
http://fisicadecarlos.blogspot.com
Solucionario de
Granville
Carlos Alberto Julián Sánchez
Cálculo Integral

2. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
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Introducción
La siguiente obra es una ayuda para cualquier estudiante del nivel medio
superior ó nivel universitario que brinda apoyo de guía en los ejercicios
propuestos por el libro “Calculo diferencial e Integral” del autor Granville.
No hay explicaciones detalladas sobre los problemas, solo se sigue el camino
de la razón y lógica para llegar a la solución es por eso que se pide al
estudiante tener conocimientos básicos de álgebra, trigonometría y cálculo
diferencial.
Las dudas o sugerencias serán aceptadas en la dirección que aparece a pie de
página para poder conseguir un mejor entendimiento si es que le hace falta a
la obra expuesta.
Se considera esfuerzo al estudiante para poder desarrollar la capacidad del
razonamiento matemático en la solución de problemas más complejos sin
embargo las dudas de cualquier procedimiento no entendible serán
bienvenidas al siguiente correo: fisico_17@hotmail.com.
Éxitos y bendiciones.

3. Carlos Alberto Julián Sánchez
Ingeniería Mecatrónica
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4
1. x dx =
=
4 1
4 1
x
c



=
5
5
x
c
2
2.
dx
x = 2
x dx

=
2 1
2 1
x
c
 

 
1
1
1
x
c
c
x

 

 

2/3
2
1
3
5
3
5/3
3.
2
1
3
5
3
3
5
x dx
x
c
x
c
x
c


 

 
 


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1/2
1/2
1/2 1
1/2
1/2
4.
1/ 2 1
1
2
2
1
2
dx dx
x dx
xx
x
c
x
c
x
c
x c

 
 
 
 
 
 
 
  
1/3
1/33
1/3 1
2/3
2/3
5.
1/ 3 1
2
3
3
2
dx dx
x dx
xx
x
c
x
c
x
c

 
 
 
 
 
 
  
2
2
2 1
3
3
6. 3
3
3
2 1
3
3
ay dy
a y dy
y
a c
y
a c
ay c


 
   
 
  
 
 



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2
2
2
2 1
.1
2
7. 2
2
2
2 1
2
1
1
2
2
dt
t dt
t
t dt
t
c
t
c
c
t
c
t


 



 
    
 
   
 
   

 
 

1
2
1/2
1
3/2
3/2
1/2 3/2
1/2
1/2
8.
1
1
2
3
2
2
3
2
3
2
3
ax dx a x dx a x dx a x dx
x
a c
x
a c
x
a c pero x x x
x x
a c pero x x
a x x
c

   
 
 
  
 
 
 
 
  
 
 
 
    
 
 
   
 

 
   
2
3
pero a x ax
x ax
c
 
 

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 
 
1
9. =
2 2 2
4. 2
1 1 2
2 min
22 2
2
2
2
2
2
dx dx dx
x x x
dx
pero por el ejercicio x c
x
x c al racionalizar el deno ador
x c
x c
x c

 
  
 
 
 
  

1/33 3 33 3 3
1/3 1
3
4/3
3
4/3
1 4/33 3
4/3 4/3
4/3
10. 3 3 3 3
3
1
1
3
3
4
3
3
3 3 3 3
4
3
4
(3 )
4
t dt t dt t dt t dt
t
c
t
c
t
c recordemos que
t
c
t
c

   
 
 
  
 
 
 
 
  
 
 
 
    
 

 
 
   

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3/2 2/3
3/2 2/3
3/2 1
2/3
5/2 2/3 1
1/2
5/2 5/3 1/2 1
5/2 5/3 3/2
11. ( 2 5 3)
2 5 3
2 5 3
3
1
2
2 5 3
5 2
1
2 3
2
2 5 3
5 15 1
3 2
2 3
2 5
35 5
2
x x x dx
x dx x dx x dx dx
x
x x dx dx
x x
x x
x x x
x c
x x x



  
   
   

 
 
    
 
 
   
   
       
   
  
 
   
 

   
  

5/2 5/3 3/2
3
2 6 10
3
5 5 3
x c
x x x
x c
 
 
  
 
 
    

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 
2
2
1/2
1 1
1/2
2
1/2
1/2 1
2
1/2
2
2 1/2
2 1/2
2
4 2
12.
4 2
4 2
4 2
1 1
4 2
2
2 2
1
1
2
2 2
1
2
2 2 2
2 4
2 4
x x
dx
x
x x
dx dx
x x
x
x dx dx
x
x dx
x
x
x dx
x
x c
x
x c
x x c
x x c
x x c


 

 
 
 
   
 
  
 
 
 
   
  
 
 
 
   
 
 
  
  
  

 
 



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2
2
2
2
2
2
2 1 2 1
3 1
3
3
2
13.
2
2
2
1
2
2
1
2
2 2 1 2 1
1
2
2 3 1
1
2
6
2
6
x
dx
x
x
dx dx
x
dx
x dx
x
x x
c
x x
c
x
c
x
x
c
x
  

 
 
 
 
 
   
          
   
        
 
     
  

 
 

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 
3/2 1/2
3/2 1 1/2 1
5/2 3/2
5/2 3/2
5/2 3/2
14. 3 2
(3 2 )
3 2
3 2
3 2
3 2
3 1
1 1
2 2
3 2
5 3
2 2
2 2
3 2
5 3
6 4
5 3
x x dx
x x x dx
x x dx x dx
x x dx x dx
x dx x dx
x x
c
x x
c
x x
c
x x
c
 

 
 
 
 
   
   
     
    
   
   
   
     
   
   
   
     
   
  


 
 
 
3
3
2
3
6 5
15.
6 5
6 5
6 5ln
3
x x
dx
x
x x
dx dx dx
x x x
dx
x dx dx
x
x
x x c
 
  
  
   

  
  

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2
2
2
2
2
2 1
3 3
3
18. ( ) var :
dim .
1
( )( )
1
1
1
2 1
1
3 3
( )
3
a bt dt hacemosel siguientecambiode iable
u a bt
du bdt
u dt multiplicamos por b y divi os por b
u b dt
b
u bdt pero du bdt
b
u du
b
u
c
b
u u
c c
b b
pero u a bt
a bt
c


 



 

 
   
 
    
 
 

 






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1/2
1/2 1
3/2
3/2
16. var :
dim
1
( )
1
1 1
1
1
1
2
1
3
2
1 2
3
a bx dx hacemosel siguientecambiode iable
u a bx
du b dx
u dx multiplicamos por b y divi os por b
u bdx
b
u bdx pero du bdx
b
u du u du
b b
u
c
b
u
c
b
u
b


 



 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
 
 
 
  
 




 
3/2
3/2
2
3
2( )
3
c
u
c
b
perou a bx
a bx
c
b
 
 

 

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1/2
1/2
1/2
1/2 1
1/2
17. var .
dim
1
( )( )
1
1
1
1
2
1
1
2
1 2
dy
hacemoselsiguientecambiode iable
a by
u a by
du bdy
dy
u dy multiplicamos por b y divi os por b
u
u b dy pero u bdy
b
u du
b
u
c
b
u
c
b
b



 

 
 
   
    
 
 
 
   
  
 
 
 
   
 
 
 

 


1/2
1/2
1/2
1
2
2( )
u
c
u
c pero u a by
b
a by
b
 
 
 

   

 

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 
22
2
2
2
2
2 1
3
2
2 3
19. 2 var :
2
2
1
(2) 2 dim 2
2
1
2 2
2
1
2
1
2 2 1
2
6
(2 )
6
x x dx hacemosel siguientecambiode iable
u x
du xdx
u xdx
u xdx multiplicamos por y divi os entre
u xdx pero du xdx
u du
u
c
u
c pero u x
x
c


 


 
  
 
 

 
   
   

 






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2
2
1 1
2
20. ( ) var :
2
2 2
1
2
2
1
2 2
2
1
2
1
2 1 1
1
2 2
y a by dy hacemosel siguientecambiode iable
u a by
du by dy
uy dy vamos a multiplicar por b y dividir por b
u by dy
b
u bydy pero du bydy
b
u du
b
u
c
b
u
c
b


 
 
  
 
   
 
    
 
 
    
 
   
 
 





 
2
22
var
4
4
u
c regresandoel valor dela iable u
b
a by
c
b

 
 

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2
2
1/2
1/2 1
3/2
3/2
21. 2 3 var :
2 3
4
dim 4
1
4 4
4
1
4
1
4
1
14 1
2
1
34
2
1 2
4 3
t t dt hacemosel siguientecambiode iable
u t
du t dt
t u dt multiplicamos y divi os por
u t dt pero du tdt
u du
u du
u
c
u
c
u
c


 


 
  
 


 
 
  
 
 
 
 
  
 
 
 
  
 





 
3/2 3/2
3/22
2
12 6
2 3
6
u u
c c regresandoel valor de u
t
c
   

 

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2
2
3 2
3 2
3 2
3 1 2 1
22. (2 1)
(4 4 1)
(4 4 ) int
4 4
4 4
4 4
3 1 2 1
x x dx desarrollamosel binomioal cuadrado
x x x dx aplicamos propiedad distributiva
x x x dx distribuimoscada egral
x dx x dx x dx
x dx x dx x dx
x x x 

  
  
  
  
   
         



  
  
1 1
4 3 2
3 2
4
1 1
4 4
4 3 2
4
3 2
c
x x x
c
x x
x c



   
   

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2 2
3
3
2
2
2
2
1/2 1
1/2
1/2
4
23. 4 var :
8
8
3
4 3
1 3
4 3
3
4
3
4
13 1
2
4
13
2
8
3
x dx x dx
hacemosel siguientecambiode iable
ux
u x
du x dx
x dx
vamos a multiplicar y dividir por
u
x dx
pero u x dx
u
du
u
u
c
u
c
u
c r
 


 


 
  
 

 
 
  
  
 
 
 
  
 
 
 
 



3
var
8 8
3
egresandoel valor dela iable u
x
c

 

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 
22
2
2
2
2
2
2 1
1
6
24. var :
5 3
5 3
6
6
1
1
( 1)6
1
6
2 1
1
1
var
z dz
hacemosel siguientecambiode iable
z
u z
du z dz
z dz
vamos a multiplicar y dividir por
u
z dz
u
u z dz
u du
u
c
u
c
c regresandoel valor dela i
u


 


 
 
 
 
  
 
  
 
 
     
  

 





2
1
5 3
able
c
z
 
