2. 1. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática Geometría Analítica
Habilidad Comprensión
Ubicando los puntos dados en un plano cartesiano, formamos un triángulo como se ve
en la figura.
Luego:
La altura del triángulo es 13.
La base del triángulo es 8.
Entonces, el área es
2
813
2
alturabase
52
2. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Geometría Analítica
Habilidad Análisis
Analicemos las afirmaciones:
I) Verdadera, ya que se forma un cuadrado de lado 5 2 , luego el perímetro es 20 2 .
II) Falsa, ya que el valor de cada diagonal es 10.
III) Verdadera, ya que sus diagonales son iguales y perpendiculares.
(8, 0)(0, 0)
x
y
(4, 13)
3. 3. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática Geometría Analítica
Habilidad Aplicación
Utilizando la fórmula del punto medio M entre A(a, – b) y C(2b, 2a – b) tenemos:
2
,
2
)( 2121 yyxx
ACM
(30, – 6) =
2
2
,
2
2 babba
Igualemos las segundas componentes de cada par ordenado:
– 6 =
2
22 ba
– 12 = 2a – 2b
– 12 = 2(a – b) / dividiendo por 2.
– 6 = a – b
4. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática Geometría Analítica
Habilidad Aplicación
Despejando la variable y, tenemos:
4x + 2y = 10
2y = 10 – 4x
y =
2
4
2
10 x
y = 5 – 2x
Luego, la pendiente es – 2.
4. 5. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática Geometría Analítica
Habilidad Aplicación
(x1, y1) (x2, y2)
Aplicando la ecuación recta que pasa por los puntos (– 1, 0) y (3, – 12), tenemos:
y =
12
12
xx
yy
(x – x1) + y1
y =
13
012
(x – (– 1)) + 0
y =
4
12
(x + 1) + 0
y = – 3(x + 1) + 0
y = – 3x – 3 + 0
y = – 3x – 3
6. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Geometría Analítica
Habilidad Aplicación
Como la recta pasa por el origen, entonces el punto (0, 0) pertenece a la recta, luego
x = 0 e y = 0
Reemplazando en la ecuación:
3•0 – 0 + 3k = 8
0 – 0 + 3k = 8
3k = 8
k =
3
8
5. 7. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Geometría Analítica
Habilidad Análisis
Analicemos las afirmaciones:
I) Verdadera, ya que (0, 8) y (– 2, 0)
12
12
xx
yy
m
4
2
8
02
80
m
II) Verdadera, ya que reemplazando (1, 12) en la ecuación, se cumple la igualdad.
y = 4x + 8
12 = 4 • 1 + 8
12 = 4 + 8
12 = 12
III) Falsa, ya que la ecuación de la recta es y = 4x + 8
8. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática Geometría Analítica
Habilidad Análisis
Encontremos la pendiente de la ecuación:
3y = 6x + 9 (Dividiendo por 3)
y = 2x + 3
La pendiente de la recta es 2.
Para analizar si las rectas son paralelas, tienen que tener iguales pendientes y distintos
coeficientes de posición.
I) NO es paralela, ya que la pendiente es 6.
II) NO es paralela, ya que la pendiente es 3.
III) Es paralela, ya que la pendiente es 2 y el coeficiente de posición es 50.
– 2
8
x
y
6. 9. La alternativa correcta es E.
Sub-unidad temática Geometría Analítica
Habilidad Análisis
Encontremos la pendiente de la ecuación:
5y = 20x + 80 (Dividiendo por 5)
y = 4x + 16
La pendiente de la recta es 4.
Para analizar si las rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes tiene que
ser igual a – 1, es decir, la pendiente debe ser
4
1
.
I) Es perpendicular, ya que la pendiente es
4
1
.
II) NO es perpendicular, ya que la pendiente es
20
1
.
III) Es perpendicular, ya que la pendiente es
4
1
.
10. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática Geometría Analítica
Habilidad Comprensión
Al ser un cubo todas las aristas son iguales.
Luego, las coordenadas P son (7, 0, 0).
y
x
z
R
P
Q
7. 11. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies.
Habilidad Aplicación
Primero debemos encontrar el vector traslación, para eso planteamos la ecuación:
(– 4, 9) + T(x, y) = (– 4 + x, 9 + y) = (– 7, 8), luego igualando cada coordenada:
– 4 + x = – 7 x = – 3
9 + y = 8 y = – 1
Luego, el vector traslación es T(– 3, – 1).
Finalmente, aplicamos ese vector al nuevo punto (6, – 2):
(6, – 2) + T(– 3, – 1) = (– 3 + 6, – 2 – 1)
= (3, – 3)
El punto resultante es (3, – 3).
12. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies.
Habilidad Aplicación
Primero debemos aplicar la rotación de 90º al triángulo ABC, y luego una traslación
T(– 2, 3).
A(2,3) A(– 3, 2) + T(– 2, 3) = A`(– 5, 5)
B(5, 1) B(– 1,5) + T(– 2, 3) = B`(– 3, 8)
C(4, 5) C(– 5, 4) + T(– 2, 3) = C`(– 7, 7)
8. 13. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies.
Habilidad Comprensión
Es necesario aplicar una simetría axial ya que es respecto a una recta.
Al aplicar una simetría axial a un punto (x, y) con respecto al eje Y, las coordenadas de
ese punto varían a (– x, y). Por lo tanto, si un punto tiene coordenadas (– 8, – 15) sus
coordenadas variarán a (8, – 15).
14. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies.
Habilidad Aplicación
Para encontrar el punto simétrico de (2, – 3) con respecto a la recta y = – 5 se debe
tener en cuenta que la distancia del punto a la recta debe ser igual a la distancia de la
recta al punto simétrico; como esa distancia son 2 unidades, las coordenadas del punto
simétrico son (2, – 7)
15. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies.
Habilidad Comprensión
Debemos encontrar el simétrico del punto P(– 5, 1) con respecto al origen, esto equivale
a una rotación de 180º con respecto al origen, por lo tanto, ambas coordenadas deben
cambiar de signo, entonces las coordenadas del nuevo punto deben ser (5, – 1).
x
y
-5
2
-3
P
-7 P’•
9. 16. La alternativa correcta es E.
Sub-unidad temática Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies.
Habilidad Análisis
Analicemos las afirmaciones:
I) Verdadera.
II) Verdadera.
Es necesario aplicar una simetría axial, ya que es respecto a una recta. Al
aplicar una simetría axial a un punto (x, y) con respecto al eje X, las
coordenadas de ese punto varían a (x, – y). Por lo tanto, si un punto tiene
coordenadas (0, 10) sus coordenadas variarán a (0, – 10).
III) Verdadera, ya que la distancia desde el 2 hasta el 5 es 3 unidades, es decir, a la
componente x debemos sumarle 6 unidades. Y la distancia desde el – 1 hasta el 3
es 4 unidades, luego a la componente y debemos sumarle 8 unidades. Entonces,
las coordenadas del nuevo punto son (8, 7).
17. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies.
Habilidad Análisis
Analicemos las afirmaciones:
I) Falsa, ya que una rotación negativa de 90º equivale a una rotación de 270º.
Entonces las coordenadas del punto van a ser (6, – 2).
II) Verdadera, ya que una simetría con respecto al origen es igual que aplicar
una rotación de 180º con centro en el origen.
III) Verdadera. Debemos aplicar una traslación con vector T(– 3, 2), luego las
coordenadas finales del punto son (– 7, 8).
10. 18. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies.
Habilidad Análisis
Analicemos las afirmaciones:
I) Falsa, ya que sólo los triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos
regulares teselan el plano.
II) Falsa, tiene sólo 2 ejes de simetría.
III) Verdadera.
19. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Geometría Analítica
Habilidad Evaluación
(1) La recta pasa por el punto (– 8, 1) y es paralela a la recta cuya ecuación es
5y = 10x + 3. Con esta información, es posible determinar la intersección de la
recta con el eje de las ordenadas, ya que se puede encontrar su ecuación.
(2) La recta pasa por el punto (0, 17). Con esta información, es posible determinar la
intersección de la recta con el eje de las ordenadas, ya que están dando el coeficiente
de posición..
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.
20. La alternativa correcta es E.
Sub-unidad temática Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies.
Habilidad Evaluación
(1) El número total de diagonales del polígono es 2. Con esta información, no es posible
determinar el número de ejes de simetría de un polígono, ya que sólo se sabe que se
trata de un cuadrilátero.
(2) El polígono tiene todos sus lados iguales. Con esta información, no es posible
determinar el número de ejes de simetría de un polígono.
Con ambas informaciones, no es posible determinar el número de ejes de simetría de un
polígono, ya que puede ser un cuadrado o un rombo.
Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.
