Solucionario prueba mt 171 2011 ok

SOLUCIONARIO
PRUEBA MT-171
SOLCANMTGEA04171V1

1. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática Ángulos y Triángulos. Polígonos.
Habilidad Aplicación
Aplicando el teorema de Euclides en el triángulo ABC rectángulo en C, tenemos que:
CD2
= AD • DB
62
= 4 • x
36 = 4x
9 = x
2. La alternativa correcta es B.
Aplicando el teorema de Euclides en el triángulo ADC rectángulo en D:
CD2
= CE • CA
CD2
= 6 • 11
CD = 66 cm
Otra opción para determinar CD es aplicar el teorema de Euclides al triángulo ADC
rectángulo en D, tenemos:
ED2
= AE • EC
ED 2
= 5 • 6
ED 2
= 30
ED = 30
A B
C
D
E
5
6
xA B
C
D4
6

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo EDC rectángulo en E, tenemos:
CD2
= ED2
+ EC2
CD2
=  2
30 + 62
CD2
= 30 + 36
CD2
= 66
CD = 66 cm
3. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Trigonometría
Habilidad Análisis
Debemos aplicar razones trigonométricas al problema.
tg (30º) =
20
x
tg (30º) • 20 = x
3
3
• 20 = x
3
320
= x
La altura del árbol es
3
320
m.
Punta del
árbol
20
30º
x

4. La alternativa correcta es E.
Sub-unidad temática Trigonometría
Habilidad Análisis
Como un cateto es el triple del otro, entonces el valor de AC = 3 10
Analicemos las afirmaciones:
I) Verdadera, ya que sen  =
Hipotenusa
opuestoCateto
=
103
9
=
10
3
II) Verdadera, ya que sec  =
adyacenteCateto
Hipotenusa
=
3
103
= 10
III) Verdadera, ya que tg γ =
adyacenteCateto
opuestoCateto
=
9
3
=
3
1
Por lo tanto, ninguna de ellas es falsa.
5. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Cuadriláteros
Habilidad Comprensión
Como el perímetro se calcula sumando todos los lados, entonces podemos darnos cuenta
que el perímetro pedido es igual al perímetro inicial, es decir, 16 metros.
B
C
A 

9
3
3 10

Sub-unidad temática Cuadriláteros
Habilidad Análisis
Reemplazando los valores en la figura y además trazando la altura, tenemos que el
triángulo AED representa la mitad de un triángulo equilátero, por lo tanto la medida de
DE está dada por la altura de este triangulo de lado 8 cm.
DE = 34
2
38

Finalmente, el área del paralelógramo es:
3401034  cm2
.
Sub-unidad temática Circunferencia y Círculo.
Reemplazando los valores en la figura.
Calculemos las áreas por separado
Área Semicírculo grande = 



8
2
16
2
42
Área Triángulo = 32
2
64
2
88


Área Semicírculo pequeño = 



2
2
4
2
22
Luego, el área achurada es:
 3262328   cm2
.
B AD
C
8
4 4
30º
A B
C
D
8
10
E

Como OB y OE son radios, el triángulo OBE es isósceles, de modo que
 OEB   EBO = 34º
Luego, el arco EA es el doble del ángulo inscrito, por lo tanto, el arco AE mide
360º – 68º = 292º
El arco DE es el doble del ángulo inscrito, por lo tanto el arco EC mide
180º – 110º = 70º, ya que CD es el diámetro
A
B
E
O
34º
34º
68º
D
E
C
55º
110º

Habilidad Análisis
Como el radio mide 12 cm, al reemplazar los valores en la figura obtenemos:
Aplicando el teorema de las cuerdas:
x • x = 4 • 20
x2
= 4 • 20
x = 2 20
x = 2 54
x = 2 ∙ 2 5
x = 4 5
Por lo tanto, CD = 4 5 + 4 5 = 8 5 cm
Sub-unidad temática Geometría de Proporción.
Habilidad Análisis
Considerando que en el rombo las diagonales son perpendiculares entre sí y bisectrices
de los ángulos, siendo además los ángulos opuestos iguales, entonces se forman 4
triángulos rectángulos congruentes, luego:
I) Verdadera, ya que los vértices están en el orden es el correcto.
II) Verdadera, ya que los vértices están en el orden es el correcto.
III) Verdadera, ya que las diagonales son perpendiculares.
C
E
O
8
x
x
12
4
D
A C
B
D
E
α
α α
α
β β
β β

Habilidad Análisis
Tracemos el triángulo ACB rectángulo en C para determinar la veracidad de
las afirmaciones.
I) Verdadera, corresponde al teorema de Euclides.
II) Falsa, ya que por teorema de Euclides:
AB
BCAC
CD


III) Verdadera, el orden de los vértices es el correcto.
Si R divide al trazo PQ interiormente tenemos:
9
8

RQ
PR
9
8
27

PR
PR = 24 cm
Luego, el trazo PQ = 24 cm + 27 cm = 51 cm
Otra manera de resolver este ejercicio es utilizando la constante de proporcionalidad:
PR = 8k y RQ = 9k  9k = 27  k = 3  PQ = 17k = 17 · 3 = 51.
Luego, el trazo PQ = 51 cm
P R Q
B
C
A
D
α
α
β
β

Como es un trapecio podemos aplicar el teorema de Thales.
IE
IG
IF
HI

189
3 IG

IG

9
318
6 = IG
Entonces, EG = EI + IG = 18 + 6 = 24.
Aplicando el teorema de Thales, tenemos que:
EC
BC
DC
AC

x
x
a
a 32
2
5 

645  xx
5x – 4x = 6
x = 6
Entonces, BC = CE + EB = 6 + 9 = 15.
E F
GH
I
3
918
B
C
E
A
D
x2a
x + 33a

Sub-unidad temática Transformaciones Isométricas. Volúmenes y superficies.
Habilidad Análisis
Analicemos las afirmaciones, encontrando la arista del cubo:
Área del cubo = 6a2
384 = 6a2
64 = a2
8 = a
Luego, la arista del cubo mide 8 cm.
I) Verdadera, ya que el total de aristas es 12, entonces 12 • 8cm = 96 cm.
II) Falsa, ya que V = (8cm)3
= 512 cm3
III) Verdadera, la diagonal del cubo mide 8 3 cm.
Habilidad Análisis
Aplicando teorema de Pitágoras, tenemos:
r2
+ 42
= 52
r2
+ 16 = 25
r2
= 9
r = 3
Al rotar indefinidamente el triángulo ABC en torno al lado AB , se genera un cono de
radio de 3 cm y altura 4 cm, luego aplicando la fórmula del volumen, tenemos:
Volumen cono =
3
hr2

B
C
A
4 cm
5 cm3 cm

Volumen cono =
3
432

Volumen cono = 

12
3
36
cm3
Sub-unidad temática Geometría Analítica.
Habilidad Análisis
Analicemos las opciones:
I) Falsa, ya que (0, – 2) y (1, 0)
12
12
xx
yy
m



2
1
2
01
20



m
Por lo tanto, L1 tiene por ecuación y = mx + n , es decir, y = 2x – 2.
Reemplazando el punto en la ecuación, cumple la igualdad.
y = 2x – 2
– 10 = 2 • – 4 – 2
– 10 = – 8 – 2
– 10 = – 10
II) Falsa, ya que al multiplicar las pendientes resulta – 4, y no – 1.
III) Verdadera, la pendiente es 2.
1
-2
x
y L1

Habilidad Análisis
Si al punto (– 2 , 8) se le aplica una traslación y se obtiene el punto (5, – 10), entonces
(– 2 , 8) + (a, b) = (5, – 10)
– 2 + a = 5 8 + b = – 10
a = 7 b = – 18
El vector de traslación es (7, – 18).
I) Falsa, ya que el vector de traslación es (7, – 18).
II) Verdadera, ya que (– 1, – 4) + (7, – 18) = (6, – 22).
III) Verdadera, ya que (– 7, – 18) y (7, – 18) están a la misma distancia del eje Y
y el segmento que los une es perpendicular a dicho eje.
Aplicando una rotación de 90º a los puntos (– 3, 0), (0, 0) y (0, – 8), resultan
(0, – 3), (0, 0) y (8, 0), luego aplicando una traslación T (0, 5), los puntos finales son
(0, 2), (0, 5) y (8, 5)
x
y
- 3
-8

Habilidad Análisis
Analicemos las afirmaciones
I) Verdadera, ya que si se aplica una rotación de 270º tenemos (x, y)  (y,– x),
luego (4, – 3) (– 3, – 4).
II) Falsa. Es necesario aplicar una simetría axial ya que es respecto a una recta.
Al aplicar una simetría axial a un punto (x, y) con respecto al eje X, las
coordenadas de ese punto varían a (x, – y). Por lo tanto si un punto tiene
coordenadas (4, – 3) sus coordenadas variarán a (4, 3).
III) Verdadera. Debemos aplicar una traslación con vector (– 5, 2), luego las
coordenadas finales del punto son (– 1, – 1).
Si la superficie de la terraza es 35 metros cuadrados, es necesario calcular la superficie
de cada baldosa cuadrada de 0,25 metros por lado.
Área cada Baldosa = 0,0625 mt2
Luego, se necesitan 35 : 0,0625 = 560 baldosas para teselar la terraza.
Sub-unidad temática Probabilidad y Combinatoria
Aplicando la regla de Laplace, tenemos que existen 13 palomas grises.
A = que se escape una paloma gris.
P(A) =
posiblescasosdenúmero
favorablescasosdenúmero
P(A) =
30
13

Habilidad Análisis
Analicemos las opciones utilizando la tabla:
I) Verdadera, ya que son 59 resultados en total y de ellos 15 mayores que 4.
P(mayor que 4) =
59
15
.
II) Verdadera, ya que las probabilidades en los dos casos son
59
16
.
III) Verdadera, ya que:
P(número par o número mayor que 4) = P(número par) +
P(número mayor que 4) – P(número par y número mayor que 4)
P(número par y número mayor que 4) =
59
36
+
59
15
–
59
11
=
59
40
Aplicando la regla de probabilidad compuesta, tenemos que:
P(cinco y as y cinco) = P(sea cinco) • P(sea as) • P(sea cinco)
P(cinco y as y cinco) =
52
4
•
51
4
•
50
3
Número Frecuencia
1 12
2 9
3 7
4 16
5 4
6 11

Sub-unidad temática Estadística Descriptiva.
Si sabemos que el promedio de las estaturas de 5 personas es 1,61 metros podemos
determinar que la suma de las estaturas es es 5 · 1,61 metros = 8,05 metros.
Si le restamos a esta suma la suma de las estaturas de las últimas 4 personas, tenemos
que la estatura de la primera persona es 8,05 – 6,45 = 1,60 metros.
Habilidad Análisis
Nota 1 2 3 4 5 6 7
Frecuencia 0 15 25 20 10 15 5
Frecuencia acumulada 0 15 40 60 70 85 90
I) Falsa, ya que la moda es 3.
II) Falsa, ya que el dato frecuenciado número 45 y 46 corresponde al dato 4.
III) Verdadera, ya que el total de datos es 90.
Habilidad Análisis
Analicemos las afirmaciones completando la tabla.
I) Verdadera, ya que el dato frecuenciado número 15 está en el intervalo 5 – 6.
II) Falsa, ya que la frecuencia más alta (moda) corresponde al intervalo 5 – 6.
III) Falsa, no se puede determinar la nota exacta de cada alumno.
Intervalos de notas Frecuencia Frecuencia
acumulada
1 – 2 0 0
2 – 3 0 0
3 – 4 2 2
4 – 5 10 12
5 – 6 15 27
6 – 7 3 30

Habilidad Evaluación
(1) PQ = 20. Con esta información, no es posible determinar la medida del trazo RQ,
ya que no conocemos qué tipo de triángulo es.
(2) RSPQ  y RS = 5 3 . Con esta información, es posible determinar la medida
del trazo RQ, ya que aplicamos Pitágoras.
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
Sub-unidad temática Geometría Analítica.
Habilidad Evaluación
(1) R tiene como coordenadas (0, 0, 7). Con esta información, no es posible determinar
área del triángulo PQR, ya que no sabemos qué tipo de triángulo es.
(2) Q tiene como coordenadas (0, 7, 0). Con esta información, no es posible determinar
área del triángulo PQR, ya que no sabemos qué tipo de triángulo es.
Con ambas informaciones, no es posible determinar área del triángulo PQR, ya que no
sabemos qué tipo de triángulo es.
Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.
y
x
z
R
P
Q
P Q
R
S 5

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