Este documento presenta un resumen de los principales métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo variables separables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones exactas, factores de integración, ecuaciones lineales y no lineales de primer orden, series, transformada de Laplace y sistemas lineales de primer orden. El documento contiene aplicaciones de estas ecuaciones a problemas geométricos, de crecimiento, dilución, física y estabilidad.
1. as
atic
atem
ECUACIONES
DIFERENCIALES eM
o. d
con aplicaciones en Maple
ept
a, D
1
Jaime Escobar A.
qui
tio
An
de
dad
ersi
iv
Un
1 Profesor Titular de la Universidad de Antioquia, Magister en
Matem´ticas de la Universidad Nacional. Texto en la
a p´gina Web:
a
http://matematicas.udea.edu.co/ jescobar/
2. ii
Un
iversi
dad
de
An
tioqui
a, D
ept
o. d
eM
atem
atic
as
3. ´
INDICE GENERAL
as
atic
atem
eM
o. d
1. INTRODUCCION 1
ept
1.1. CAMPO DE DIRECCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . 5
´
1.2. ECUACION DE CONTINUIDAD . . . . . . . . . . . . . 6
a, D
´
2. METODOS DE SOLUCION ´ 7
qui
2.1. VARIABLES SEPARABLES . . . . . . . . . . . . . . . . 7
´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS . . . . . . . . . . . . . . 10
tio
2.3. E.D. CON COEFICIENTES LINEALES . . . . . . . . . 14
An
2.4. ECUACIONES EXACTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION . . . . . . . . . . . . . 20
de
2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN . . . . . . . . . . . 26
dad
2.7. ECUACION DIFERENCIAL DE BERNOULLI . . . . 31
2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER ORDEN . . . . . . 33
ersi
2.9. OTRAS SUSTITUCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.10. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 45
iv
Un
3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN 49
´
3.1. APLICACIONES GEOMETRICAS . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1. Trayectorias Isogonales y Ortogonales . . . . . . . 49
3.1.2. Problemas de Persecuci´n: . . . . . . . .
o . . . . . . 51
3.1.3. Aplicaciones a la geometr´ anal´
ıa ıtica . . . . . . . 54
3.2. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION . . ´ . . . . . . 55
3.2.1. Desintegraci´n radioactiva . . . . . . . .
o . . . . . . 56
iii
4. iv ´
INDICE GENERAL
3.2.2. Ley de enfriamiento de Newton . . . . . . . . . . 57
3.2.3. Ley de absorci´n de Lambert . .
o . . . . . . . . . . 57
3.2.4. Crecimientos poblacionales . . . . . . . . . . . . . 58
´
3.3. PROBLEMAS DE DILUCION . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4. VACIADO DE TANQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5. APLICACIONES A LA FISICA . . . . . . . . . . . . . . 73
4. TEORIA DE LAS E.D.O. LINEALES 81
as
4.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
atic
´
4.2. DIMENSION DEL ESP. VECT. SOL. DE UNA E.D.O. 90
´ ´
4.3. METODO DE REDUCCION DE ORDEN . . . . . . . 97
atem
4.4. E.D. LINEALES CON COEFICIENTES CONST. . . . 101
4.4.1. E.D. LINEALES DE ORDEN DOS . . . . . . . . 101
eM
4.4.2. E.D. LINEALES DE ORDEN MAYOR QUE
DOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
o. d
4.5. OPERADOR ANULADOR . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.6. COEFICIENTES INDETERMINADOS . . . . . . . . . 109
ept
´ ´
4.7. VARIACION DE PARAMETROS . . . . . . . . . . . . . 112
´ ´
a, D
4.7.1. GENERALIZACION DEL METODO DE
´ ´
VARIACION DE PARAMETROS . . . . . . . . . 120
qui
4.8. OPERADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.9. OPERADORES INVERSOS . . . . . . . . . . . . . . . . 125
tio
4.10. E.D.O. DE EULER - CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . 137
An
4.11. APLICAC. DE LA E.D. DE SEGUNDO ORDEN . . . 141
´
4.11.1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE . . . . . 141
de
4.11.2. MOVIMIENTO AMORTIGUADO . . . . . . . . 143
4.11.3. MOVIMIENTO FORZADO. . . . . . . . . . . . . 146
dad
4.12. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 160
ersi
5. SOLUCIONES POR SERIES 165
iv
5.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Un
5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS . . . . . . . . 167
5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 178
5.3.1. CASO II: r1 − r2 = entero positivo . . . . . . . . . 184
´
5.3.2. FUNCION GAMMA: Γ(x) . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.3. CASO III: r1 = r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
´
5.3.4. ECUACION DE BESSEL DE ORDEN p : . . . . 194
5.3.5. PUNTO EN EL INFINITO . . . . . . . . . . . . . 202
5.4. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 208
5. ´
INDICE GENERAL v
6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 211
6.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE . . . . . 215
6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANS. DE LAPLACE . . 218
6.4. APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA A LAS E.D. 234
6.5. IMPULSO UNITARIO O DELTA DE DIRAC . . . . . 239
6.6. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 242
as
7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN 247
atic
7.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
´
7.2. CONJUNTOS FUND. Y SIST. HOMOGENEOS . . . 250
atem
´
7.3. METODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS . 251
´ ´
7.4. VARIACION DE PARAMETROS . . . . . . . . . . . . . 271
eM
7.5. TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA SISTEMAS276
7.6. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 279 o. d
8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL. 281
ept
´
8.1. SISTEMAS AUTONOMOS, EL PLANO DE FASE . . 281
8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. . . 286
a, D
8.2.1. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS. . . . . . . . . . 287
8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTAB. . . 296
qui
8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV . 309
tio
8.5. LINEALIZACION DE SISTEMAS NO LINEALES . . 318
´
8.6. CICLOS LIMITES: TEOREMA DE POINCARE-BENDIXSON 339
An
8.7. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 349
de
A. F´rmulas
o 355
dad
A.1. F´rmulas Aritm´ticas .
o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
A.2. F´rmulas Geom´tricas
o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
ersi
A.3. Trigonometr´ . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
A.4. Tabla de Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
iv
Un
B. TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD 363
B.1. PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
B.2. TEOREMA LOCAL DE EXIST. Y UNICID., CASO UNIDIMENSIONAL 365
B.3. TEOREMAS LOCAL Y GLOBAL PARA SISTEMAS DE E. D. LINEALES 372
C. EXPONENCIAL DE OPERADORES 377
´
D. TEOREMA DE LIENARD 381
6. vi ´
INDICE GENERAL
E. FRACCIONES PARCIALES 387
E.1. Factores lineales no repetidos. . . . . . . . . . . . . . . . . 387
E.2. Factores Lineales Repetidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
E.3. Factores Cuadr´ticos. . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . 390
E.4. Factores Cuadr´ticos Repetidos.
a . . . . . . . . . . . . . . 391
as
atic
atem
eM
o. d
ept
a, D
qui
tio
An
de
dad
ersi
iv
Un
7. CAP´
ITULO 1
as
atic
INTRODUCCION
atem
eM
o. d
Definici´n 1.1. Si una ecuaci´n contiene las derivadas o las diferenciales
o o
ept
de una o m´s variables dependientes con respecto a una o m´s variables
a a
independientes, se dice que es una ecuaci´n diferencial (E.D.).
o
a, D
Si la ecuaci´n contiene derivadas ordinarias de una o m´s variables depen-
o a
qui
dientes con respecto a una sola variable independiente entonces la ecuaci´n o
se dice que es una ecuaci´n diferencial ordinaria (E.D.O.).
o
tio
An
dy
Ejemplo 1. 3 dx + 4y = 5
de
Ejemplo 2. (x2 − y)dx + 5 sen y dy = 0
dad
Ejemplo 3. u du + v dx = x
dx
dv
ersi
Si la ecuaci´n contiene derivadas parciales de una o m´s variables depen-
o a
iv
dientes con respecto a una o m´s variables independientes, se dice que es una
a
Un
ecuaci´n en derivadas parciales.
o
∂u ∂v
Ejemplo 4. ∂y
= − ∂x
∂2u
Ejemplo 5. ∂x∂y
=y−x
Definici´n 1.2. (Orden). La derivada o la diferencial de m´s alto orden
o a
determina el orden de la E.D.
1
8. 2 CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION
d3 y 2
Ejemplo 6. dx3
+ x2 dxy + x dx = ln x, es de orden 3.
d
2
dy
dy y
Ejemplo 7. xdy − ydx = 0 =⇒ dx
= x , la cual es de orden 1.
Definici´n 1.3 (E.D.O. lineal). Una E.D. es lineal si tiene la forma:
o
as
d yn d y n−1 dy
atic
an (x) dxn + an−1 (x) dxn−1 + . . . + a1 (x) dx + a0 (x)y = g(x)
atem
Es decir, la variable dependiente y y todas sus derivadas tienen exponente
uno y cada coeficiente a0 (x), a1 (x), . . . , an (x), g(x), depende solo de x. Si no
se cumple lo anterior se dice que la E.D. no es lineal.
eM
3 2
o. d
Ejemplo 8. x2 dxy + cos x dxy + sen x dx + x2 y = ex es lineal de orden 3.
d
3
d
2
dy
ept
3
Ejemplo 9. sen x dxy + xy 2 = 0 no es lineal.
d
3
a, D
2
Ejemplo 10. y 2 dxy + y dx + xy = x no es lineal.
d
2
dy
qui
Definici´n 1.4. . Se dice que una funci´n f con dominio en un intervalo I
o o
tio
es soluci´n a una E.D. en el intervalo I, si la funci´n satisface la E.D. en el
o o
An
intervalo I.
de
Ejemplo 11. x = y ln(cy) es soluci´n de y (x + y) = y
o
dad
dy 1 dy
En efecto, derivando impl´
ıcitamente: 1 = ln(cy) + y cy c dx
ersi
dx
dy dy 1
iv
1= dx
(ln(cy) + 1), luego dx
= ln(cy)+1
Un
Sustituyendo en la ecuaci´n diferencial:
o
y ln(cy) + y y(ln (cy) + 1)
= = y,
ln (cy) + 1 ln (cy) + 1
luego y = y
por tanto x = y ln (cy) es soluci´n.
o
9. 3
Una E.D. acompa˜ada de unas condiciones iniciales se le llama un pro-
n
blema de valor inicial (P.V.I.). Con frecuencia es importante saber si un pro-
blema de valor inicial tiene soluci´n y tambi´n deseamos saber si esta soluci´n
o e o
es unica, aunque no podamos conseguir expl´
´ ıcitamente la soluci´n. El si-
o
guiente teorema nos responde las inquietudes que acabamos de plantear.Este
teorema lo enunciamos y demostramos con m´s profundidad en el Ap´ndice
a e
al final del texto.
as
Teorema 1.1. (Picard)
atic
Sea R una regi´n rectangular en el plano XY definida por
o
a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d que contiene al punto (x0 , y0 ) en su interior.
atem
Si f (x, y) y ∂f son continuas en R, entonces existe un intervalo I con cen-
∂y
tro en x0 y una unica funci´n y(x) definida en I que satisface el problema
´ o
eM
de valor inicial y = f (x, y), y(x0 ) = y0 .
o. d
Ejemplo 12. Para la E.D. y = x2 + y 2 , se tiene que f (x, y) = x2 + y 2
y ∂f = 2y son continuas en todo el plano XY , por lo tanto por cualquier
ept
∂y
punto (x0 , y0 ) del plano XY pasa una y solo una soluci´n de la E.D. anteri-
o
a, D
or. Es importante anotar que para esta E.D. es imposible hallar una soluci´n
o
expl´ıcita; s´lo con m´todos num´ricos se puede hallar la soluci´n.
o e e o
qui
Ejercicio 1. Demostrar que y = c1 cos 5x es soluci´n de y + 25y = 0.
o
tio
2 x t2 2
An
Ejercicio 2. Demostrar que y = e−x 0
e dt + c1 e−x es soluci´n de
o
y + 2xy = 1.
de
x sen t
Ejercicio 3. Demostrar que y = x dt es soluci´n de
o
dad
0 t
xy = y + x sen x.
ersi
x
Ejercicio 4. Demostrar que y = e− 2 es soluci´n de 2y + y = 0, tambi´n
o e
iv
y = 0 es soluci´n.
o
Un
Nota: si todas las soluciones de la E.D. F (x, y, y , . . . , y (n) ) = 0 en un in-
tervalo I pueden obtenerse de G(x, y, C1 , . . . , Cn ) mediante valores apropia-
dos de Ci , entonces a G se le llama la soluci´n general; una soluci´n que no
o o
contenga los par´metros Ci se le llama la soluci´n particular; una soluci´n
a o o
que no pueda obtenerse a partir de la soluci´n general se le llama soluci´n
o o
singular.
Veremos m´s adelante que la soluci´n general a una E.D. lineal de orden n
a o
10. 4 CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION
tiene n par´metros. En las E.D. no lineales a veces no es posible obtener
a
expl´
ıcitamente una soluci´n general.
o
Ejemplo 13. y = Cx4 es soluci´n general de xy − 4y = 0.
o
Con C = 1 entonces la soluci´n particular es y = x4 .
o
Tambi´n
e
x4 x≥0
as
f (x) =
−x4 x<0
atic
atem
es una soluci´n singular, porque no se puede obtener a partir de la soluci´n
o o
general.
eM
1
Ejercicio 5. Si y − xy 2 = 0, demostrar o. d
2
a). y = ( x + C)2 es soluci´n general.
o
ept
4
x4
a, D
b). Si C = 0 mostrar que y = 16
es soluci´n particular.
o
c). Explicar porqu´ y = 0 es soluci´n singular.
e o
qui
Ejercicio 6. Si y = y 2 − 1, demostrar
tio
An
1+Ce2x
a). y = 1−Ce2x
es soluci´n general.
o
de
b). Explicar porqu´ y = −1 es soluci´n singular.
e o
dad
Ejercicio 7. Si xy + 1 = ey , comprobar que e−y − Cx = 1 es soluci´n
o
general.
ersi
Ejercicio 8. Si 2xy dx + (x2 + 2y) dy = 0, comprobar que x2 y + y 2 = C1
iv
Un
es soluci´n general.
o
Ejercicio 9. Si (x2 + y 2 ) dx + (x2 − xy) dy = 0, comprobar que
y
C1 (x + y)2 = xe x , es soluci´n general.
o
Ejercicio 10. Si xy + 1 = ey , comprobar que e−y − Cx = 1 es soluci´n
o
general.
11. 1.1. CAMPO DE DIRECCIONES 5
1.1. CAMPO DE DIRECCIONES
Dada la E.D. y = f (x, y) y sabiendo que la primera derivada representa
una direcci´n en el plano XY , podemos por lo tanto asociar a cada punto
o
(x, y) una direcci´n. A este conjunto de direcciones lo llamamos el campo de
o
direcciones o campo pendiente de la E.D. y = f (x, y). Este campo de di-
recciones nos permite inferir propiedades cualitativas de las soluciones, como
por ejemplo si son asint´ticas a una recta, si son cerradas o abiertas, etc..
o
as
Con el paquete Maple haremos un ejemplo.
atic
Ejemplo 14. Hallar el campo de direcciones de la E.D. y = −2x2 + y 2 y
atem
cuatro curvas soluci´n de la E.D. que pasan por los puntos (0, 2), (0, 0), (0, 1),
o
(0, −1) respectivamente.
eM
> with(DEtools):
DEplot (diff(y(x),x)=-2*x^2+y(x)^2,y(x),x=-2..2,color=black,
o. d
{[0,2],[0,0],[0,1],[0,-1]},y=-2..2,linecolor=black);
ept
a, D
2
qui
tio
An
1
de
dad
y(x)0
-2 -1 0 1 2
ersi
x
iv
-1
Un
-2
Figura 1.1
12. 6 CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION
1.2. ´
ECUACION DE CONTINUIDAD
Para finalizar este Cap´ ıtulo, es importante hacer un corto comentario so-
bre la ecuaci´n de continuidad; con ella se construyen modelos de fen´menos
o o
en diferentes areas del conocimiento que dependen del tiempo, dando como
´
resultado una o varias Ecuaciones Diferenciales. La ecuaci´n de continuidad
o
nos dice que la tasa de acumulaci´n de una variable x en un recipiente (el
o
as
cual puede ser un tanque, un organo humano, una persona, una ciudad, un
´
atic
banco, una universidad, un sistema ecol´gico, etc.) es igual a su tasa de en-
o
trada menos su tasa de salida; tanto la tasa de entrada como la tasa de salida
atem
pueden ser constantes o variables.
Si la variable es x y la tasa de entrada es E(t) y la tasa de salida es S(t)
eM
entonces la tasa de acumulaci´n es
o
o. d
dx
= E(t) − S(t).
dt
ept
Ejemplo 15. La concentraci´n de glucosa en la sangre aumenta por ingesta
o
a, D
de comidas ricas en azucares, si se suministra glucosa a una raz´n constante
o
R (en mg/minuto). Al mismo tiempo, la glucosa se transforma y se elimina
qui
a una tasa proporcional a la concentraci´n presente de glucosa. Si C(t) re-
o
presenta la concentraci´n de glucosa en un instante t, entonces E(t) = R y
o
tio
S(t) = kC(t), entonces por la ecuaci´n de continuidad, la Ecuaci´n Diferen-
o o
An
cial que rige este fen´meno es
o
de
dC(t)
= E(t) − S(t) = R − kC(t).
dt
dad
ersi
iv
Un
13. CAP´
ITULO 2
as
atic
´ ´
atem
METODOS DE SOLUCION
eM
o. d
2.1. VARIABLES SEPARABLES
ept
a, D
dy g(x)
Definici´n 2.1. Se dice que una E.D. de la forma:
o = es separable
dx h(y)
qui
o de variables separables.
tio
La anterior ecuaci´n se puede escribir como h(y) dy = g(x) dx e integran-
o
An
do:
h(y) dy = g(x) dx + C,
de
dad
obteni´ndose as´ una familia uniparam´trica de soluciones.
e ı e
ersi
Nota: la constante o par´metro C, a veces es conveniente escribirla de
a
iv
otra manera, por ejemplo, m´ltiplos de constantes o logaritmos de constantes
u
Un
o exponenciales de constantes o si aparece la suma de varias constantes re-
unirlas en una sola constante.
dy
Ejemplo 1. dx
= e3x+2y
Soluci´n:
o
dy
= e3x+2y = e3x e2y
dx
7
14. 8 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
separando variables
dy
2y
= e3x dx
e
e integrando
1 e3x
− e−2y + C =
as
2 3
atic
la soluci´n general es
o
atem
e3x e−2y
+ =C
3 2
eM
dy 1
Ejemplo 2. dx
= xy 3 (1 + x2 )− 2 , con y(0) = 1 o. d
Soluci´n: separando variables
o
ept
2x
a, D
y −3 dy = √ dx
2 1 + x2
qui
1 d(1 + x2 ) u = 1 + x2
tio
= √ haciendo
2 1 + x2 du = 2xdx
An
obtenemos
de
1 du
= √
dad
2 u
1
y −2 1 (1 + x2 ) 2
ersi
e integrando = 1 +C
−2 2 2
iv
Un
soluci´n general
o
1 √
− = 1 + x2 + C.
2y 2
Cuando x = 0, y = 1
1 √
− = 1 + 02 + C
2×1
15. 2.1. VARIABLES SEPARABLES 9
luego C = −32
La soluci´n particular es
o
−1 √ 3
2
= 1 + x2 −
2y 2
Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de separaci´n de variables:
e o
Ejercicio 1. (4y + yx2 ) dy − (2x + xy 2 ) dx = 0
as
(Rta. 2 + y 2 = C(4 + x2 ))
atic
Ejercicio 2. y + y 2 sen x = 0
atem
(Rta. y = − cos 1 )
x+c
eM
Ejercicio 3. 3ex tan y dx + (2 − ex ) sec2 y dy = 0
(Rta. (2 − ex )3 = C tan y) o. d
π
Ejercicio 4. y sen x = y ln y, si y =e
ept
2
(Rta. ln y = csc x − cot x)
a, D
dy xy + 3x − y − 3
Ejercicio 5. =
dx xy − 2x + 4y − 8
qui
y+3
(Rta. ( x+4 )5 = Cey−x )
tio
Ejercicio 6. x2 y = y − xy, si y(−1) = −1
An
1
(Rta. ln |y| = − x − ln |x| − 1)
de
dy
Ejercicio 7. Hallar la soluci´n general de la E.D. dx − y 2 = −9 y luego
o
dad
hallar en cada caso una soluci´n particular que pase por:
o
1
a) (0, 0), b) (0, 3), c) 3 , 1
ersi
(Rta. a) y−3 = −e6x , b) y = 3, c) y−3 = − 1 e−2 e6x )
y+3 y+3 2
iv
Ejercicio 8. Se suministran bacterias como alimento a una poblaci´n o
Un
de protozoarios a una raz´n constante µ. Se ha observado que las bacterias
o
son devoradas a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Si c(t) es
la cantidad de bacterias en el instante t, hallar la E.D.; determinar c(t) en
funci´n de c(0); ¿cu´l es la concentraci´n de equilibrio de las bacterias, es
o a o
decir, cuando c (t) = 0√ ?
√ √ √ √
µ+ kc(t) µ+ kc(0) 2 kµt
(Rta.: √µ−√kc(t) = √µ−√kc(0) e ; concentraci´n de equilibrio c = µ )
o k
16. 10 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
dy dy
Ejercicio 9. Resolver por variables separables: a x dx + 2y = xy dx en
y = a y x = 2a.
3 y
(Rta.: yx2 = 4a e a )
e
2.2. ´
ECUACIONES HOMOGENEAS
Definici´n 2.2. f (x, y) es homog´nea de grado n si existe un real n tal que
o e
as
n
para todo t: f (tx, ty) = t f (x, y).
atic
atem
Ejemplo 3. f (x, y) = x2 + xy + y 2 es homog´nea de grado dos.
e
eM
Definici´n 2.3. Si una ecuaci´n en la forma diferencial :
o o
o. d
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
ept
tiene la propiedad que M (tx, ty) = tn M (x, y) y N (tx, ty) = tn N (x, y), en-
tonces decimos que es de coeficientes homog´neos o que es una E.D. ho-
e
a, D
mog´nea.
e
qui
Siempre que se tenga una E.D. homog´nea podr´ ser reducida por medio
e a
tio
de una sustituci´n adecuada a una ecuaci´n en variables separables.
o o
An
M´todo de soluci´n: dada la ecuaci´n
e o o
de
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
dad
donde M (x, y) y N (x, y) son funciones homog´neas del mismo grado; me-
e
ersi
diante la sustituci´n y = ux o x = yv (donde u o v son nuevas variables
o ´ ´
iv
dependientes), puede transformarse en una ecuaci´n en variables separables.
o
Un
Nota: si la estructura algebraica de N es m´s sencilla que la de M , en-
a
tonces es conveniente usar las sustituci´n y = ux.
o
Si la estructura algebraica de M es m´s sencilla que la de N , es conveniente
a
usar la sustituci´n x = vy.
o
Ejemplo 4. Resolver por el m´todo de las homog´neas, la siguiente E.D.:
e e
y y
(x + ye x ) dx − xe x dy = 0, con y(1) = 0.
17. ´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS 11
Soluci´n:
o
y y
(x + ye x ) dx − xe x dy = 0 donde
homog´nea de grado 1
e homog´nea de grado 1
e
y y
M (x, y) = x + ye x y N (x, y) = −xe x
Como N es m´s sencilla que M , hacemos la sustituci´n: y = ux, por tanto
a o
dy = u dx + x du
as
Sustituyendo en la E.D.
atic
ux ux
(x + uxe x ) dx − xe x (u dx + x du) = 0
atem
o sea que
eM
x dx − x2 eu du = 0
o. d
luego x dx = x2 eu du, separando variables y considerando x = 0, obte-
nemos,
ept
dx
= eu du ⇒ ln x = eu + C
x
a, D
Por lo tanto la soluci´n general es
o
qui
y
ln x = e x + C
tio
Para hallar la soluci´n particular que pasa por el punto y(1) = 0, susti-
o
An
tuimos en la soluci´n general y obtenemos:
o
0
de
ln 1 = e 1 + C ⇒ 0 = 1 + C de donde C = −1
dad
Por lo tanto, y
ln x = e x − 1
ersi
es la soluci´n particular
o
iv
Un
Ejemplo 5. (x2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0 (ayuda: hacer y = z α y calcular
α para convertirla en homog´nea)
e
Soluci´n:
o
No es homog´nea; hagamos y = z α y hallemos α de tal manera que la E.D.O.
e
se vuelva homog´nea:
e
dy = αz α−1 dz
18. 12 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
(x2 z 2α − 1)αz α−1 dz + 2xz 3α dx = 0
α(x2 z 3α−1 − z α−1 )dz + 2xz 3α dx = 0 (2.1)
suma de exponentes en los t´rminos: 2+3α−1, α−1 y 1+3α respectivamente.
e
An´lisis de exponentes para que se cumpla la homogeneidad:
a
as
1 + 3α = 2 + 3α − 1 = α − 1, se concluye α = −1
atic
Sustituyo en la E.D. (2.1): (−1)(x2 z −2 − 1)z −2 dz + 2xz −3 dx = 0
atem
(−x2 z −4 + z −2 ) dz + 2xz −3 dx = 0
eM
Es homog´nea de orden −2.
e o. d
La sustituci´n m´s sencilla es x = uz ⇒ dx = u dz + z du.
o a
ept
a, D
(−u2 z 2 z −4 + z −2 ) dz + 2uzz −3 (u dz + z du) = 0
qui
(−u2 z −2 + z −2 + 2u2 z −2 ) dz + (2uz −1 ) du = 0
tio
An
(u2 z −2 + z −2 ) dz + 2uz −1 du = 0
de
dad
z −2 (u2 + 1) dz + 2uz −1 du = 0
ersi
z −2 dz 2u
+ 2 du = 0
iv
z −1 u +1
Un
dz 2u
+ 2 du = 0
z u +1
Integrando: ln |z| + ln(u2 + 1) = ln C
ln |z(u2 + 1)| = ln C ⇒ z(u2 + 1) = C
x
reemplazo u = z
y tenemos, tomando z = 0
19. ´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS 13
x2
+z =C
z
x2
Como y = z −1 o sea que z = y −1 , entonces y −1
+ y −1 = C
luego
x2 y 2 + 1 = Cy,
es la soluci´n general.
o
as
atic
Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de las homog´neas, o con-
e e ´
vertirla en homog´nea y resolverla seg´n el caso:
e u
atem
y
Ejercicio 1. y + x cot x dx − x dy = 0.
eM
y
(Rta.: C = x cos x )
dy
o. d
Ejercicio 2. (x + y 2 − xy) dx = y , con y(1) = 1.
(Rta.: ln2 |y| = 4( y−x ))
ept
y
y y
Ejercicio 3. x − y cos x dx + x cos x dy = 0.
a, D
y
(Rta.: ln |x| + sen x = C)
qui
Ejercicio 4. (x2 − 2y 2 ) dx + xy dy = 0.
tio
(Rta.: x4 = C(x2 − y 2 ))
An
−y
Ejercicio 5. xy = y + 2xe x .
y
de
(Rta.: ln x = 1 e x +c )
2
dad
Ejercicio 6. (x + y 3 ) dx + (3y 5 − 3y 2 x) dy = 0, (Ayuda: hacer x = z α ).
3
(Rta.: ln |C(x2 + y 6 )| = 2 arctan yx )
iv ersi
Ejercicio 7. 2(x2 y + 1 + x4 y 2 ) dx + x3 dy = 0, (Ayuda: hacer y = z α ).
Un
(Rta.: x4 (1 + 2Cy) = C 2 )
Ejercicio 8. y cos x dx + (2y − sen x) dy = 0, (Ayuda: hacer u = sen x).
sen x
(Rta.: y 2 = Ce− y )
y y
Ejercicio 9. y(ln x + 1) dx − x ln x dy = 0.
(Rta.: ln |x| − 1 ln2 x = C)
2
y
20. 14 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
dy y y
Ejercicio 10. dx = cos( x ) + x .
y y
(Rta.: sec( x ) + tan( x ) = Cx)
Ejercicio 11. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
yx2 dx − (x3 + y 3 )dy = 0,
donde y(0) = 1
as
(Rta.: ln |y| = 1 ( x )3 )
3 y
atic
Ejercicio 12. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
atem
xy 2 dy − (x3 + y 3 )dx = 0,
eM
donde y(1) = 0
y
(Rta.: ln |x| = 1 ( x )3 )
3 o. d
√
Ejercicio 13. (y + xy)dx − 2xdy = 0
ept
y y
(Rta.: x( x − 1)4 = C, si x > 0, y > 0 y x( x
+ 1)4 = C , si x < 0, y < 0)
a, D
Ejercicio 14. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
qui
y(ln y − ln x − 1)dx + xdy = 0,
tio
donde y(e) = 1
An
y
(Rta.: x ln | x | = −e)
de
dad
2.3. E.D. DE COEFICIENTES LINEALES:
ersi
(ax + by + c) dx + (αx + βy + γ) dy = 0
iv
Se presentan dos casos:
Un
1. Si (h, k) es el punto de intersecci´n entre las rectas:
o
ax + by + c = 0 y αx + βy + γ = 0
entonces se hace la sustituci´n: x = u + h y y = v + k y se consigue la
o
ecuaci´n homog´nea:
o e
(au + bv)du + (αu + βv)dv = 0
21. 2.4. ECUACIONES EXACTAS 15
2. Si las dos rectas no se intersectan (o sea son paralelas), entonces
αx + βy = n(ax + by)
y por tanto se hace la sustituci´n z = ax + by, lo cual quiere decir
o
que αx + βy = nz, esta sustituci´n convierte la E.D. en una E.D. de
o
variables separables.
as
Ejercicios: resolver por el m´todo anterior:
e
atic
1. (x − y + 1) dx + (x + 2y − 5) dy = 0
√
atem
2 arctan √ x−1
(Rta.: (x − 1)2 + 2(y − 2)2 = Ce 2(y−2) )
eM
2. = 2y−x+5
dy
dx 2x−y−4
(Rta.: (x + y + 1)3 = C(y − x + 3))
o. d
3. (x − 2y + 4) dx + (2x − y + 2) dy = 0
ept
(Rta.: (x + y − 2)3 = C 2 (x − y + 2))
a, D
4. (x + y + 1)2 dx + (x + y − 1)2 dy = 0
(Rta.: 4x = − 1 (x + y)2 + 2(x + y) − ln |x + y| + C)
qui
2
tio
5. (x + y + 1) dx + (2x + 2y − 1) dy = 0
(Rta.: 4 − x − 2y = 3 ln |2 − x − y| + C)
An
6. (x + y − 2) dx + (x − y + 4) dy = 0
de
(Rta.: C = 2(x + 1)(y − 3) + (x + 1)2 − (y − 3)2 )
dad
7. (x − y − 5) dx − (x + y − 1) dy = 0
(Rta.: (x + y − 1)2 − 2(x − 3)2 = C)
ersi
8. (2x + y) dx − (4x + 2y − 1) dy = 0
iv
(Rta.: x = 2 (2x + y) − 25 − ln |5(2x + y) − 2| + C)
4
Un
5
2.4. ECUACIONES EXACTAS
Si z = f (x, y), entonces
∂f ∂f
dz = dx + dy
∂x ∂y
22. 16 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
es la diferencial total de f ; pero si z = c = f (x, y) (familia de curvas uni-
param´tricas en el plano XY ), entonces
e
∂f ∂f
dz = 0 = dx + dy.
∂x ∂y
Definici´n 2.4. La forma diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy es una dife-
o
rencial exacta en una regi´n R del plano XY si corresponde a la diferencial
o
as
total de alguna funci´n f (x, y).
o
atic
La ecuaci´n M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, es exacta si es la diferencial
o
atem
total de alguna funci´n f (x, y) = c.
o
eM
Teorema 2.1 (Criterio para E.D. exactas).
Si M (x, y) y N (x, y) son continuas y tienen derivadas parciales de primer
o. d
orden continuas en una regi´n R del plano XY , entonces la condici´n nece-
o o
saria y suficiente para que la forma diferencial
ept
M (x, y) dx + N (x, y) dy
a, D
sea una diferencial exacta es que
qui
∂M ∂N
tio
= .
∂y ∂x
An
de
Demostraci´n: como M (x, y) dx + N (x, y) dy es una diferencial exacta, en-
o
tonces existe una funci´n f (x, y) tal que:
o
dad
∂f ∂f
ersi
M (x, y) dx + N (x, y) dy = dx + dy = d f (x, y)
∂x ∂y
iv
luego
Un
∂f
M (x, y) =
∂x
y
∂f
N (x, y) =
∂y
por tanto,
∂M ∂2f ∂2f ∂N
= = = .
∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂x
23. 2.4. ECUACIONES EXACTAS 17
La igualdad entre las derivadas cruzadas se produce porque M y N son
continuas con derivadas de primer orden continuas.
M´todo. Dada la ecuaci´n M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0, hallar una funci´n
e o o
f (x, y) = C tal que
∂f ∂f
=M y =N
∂x ∂y
∂M ∂N
i) Comprobar que es exacta, es decir, verificar que = .
as
∂y ∂x
atic
∂f
ii) Suponer que = M (x, y) y luego integrar con respecto a x dejando a
atem
∂x
y constante:
eM
f (x, y) = M (x, y) dx + g(y) (2.2)
o. d
iii) Derivar con respecto a y la ecuaci´n (2.2)
o
ept
∂f ∂
a, D
= M (x, y) dx + g (y) = N (x, y)
∂y ∂y
qui
despejar
tio
∂
g (y) = N (x, y) − M (x, y) dx (2.3)
An
∂y
de
Esta expresi´n es independiente de x, en efecto:
o
dad
∂ ∂ ∂N ∂ ∂
N (x, y) − M (x, y) dx = − M (x, y) dx
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
ersi
∂N ∂ ∂ ∂N ∂
= − M (x, y) dx = − M (x, y) = 0
iv
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
Un
iv) Integrar la expresi´n (2.3) con respecto a y y sustituir en (2.2) e igualar
o
a C.
∂f
Nota: en ii) se pudo haber comenzado por ∂y
= N (x, y).
Ejemplo 6. Resolver la siguiente E.D.:
(2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex − 1) dy = 0
24. 18 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
Soluci´n:
o
paso i)
∂M x
= 4xy + e
∂y ∂M ∂N
de donde =
∂N ∂y ∂x
= 4xy + ex
∂x
paso ii)
as
atic
f (x, y) = N (x, y) dy + h(x) = (2x2 y + ex − 1) dy + h(x)
atem
= x2 y 2 + yex − y + h(x)
paso iii)
eM
∂f
= M = 2xy 2 + yex o. d
∂x
∂f
= 2xy 2 + yex + h (x) ⇒ h (x) = 0
ept
∂x
a, D
paso iv) h(x) = C
paso v) sustituyo h(x) en el paso ii):
qui
x2 y 2 + yex − y + C1 = C
tio
x2 y 2 + yex − y = C2 Soluci´n general
o
An
Ejemplo 7. Hallar el valor de b para que sea exacta la E.D.:
de
(xy 2 + bx2 y) dx + (x + y)x2 dy = 0.
dad
Soluci´n:
o
ersi
Como ∂M = 2xy + bx2 y
∂y
∂N
∂x
= 3x2 + 2xy entonces b = 3 , por lo tanto
iv
∂f
= xy 2 + 3x2 y (2.4)
Un
∂x
∂f
= x3 + x2 y (2.5)
∂y
integramos (2.4) :
x2
f (x, y) = (xy 2 + 3x2 y) dx + g(y) = y 2 + x3 y + g(y) (2.6)
2
25. 2.4. ECUACIONES EXACTAS 19
derivamos (2.6) con respecto a y
∂f
= yx2 + x3 + g (y) (2.7)
∂y
igualamos (2.5) y (2.7)
x3 + x2 y = yx2 + x3 + g (y) ⇒ g (y) = 0
as
(2.8)
atic
luego g(y) = K y reemplazando en (2.6)
atem
x2
f (x, y) = y 2 + x3 y + K = C 1
2
eM
y por tanto la soluci´n general es
o
o. d
y 2 x2
+ x3 y = C
2
ept
Ejercicio 1. Resolver la siguiente E.D. por el m´todo de las exactas :
e
a, D
(tan x − sen x sen y) dx + cos x cos y dy = 0.
qui
(Rta.: f (x, y) = cos x sen y − ln |cos x| = C)
tio
Ejercicio 2. Resolver la siguiente E.D. por el m´todo de las exactas:
e
An
(y 2 cos x − 3x2 y − 2x) dx + (2y sen x − x3 + ln y) dy = 0, con y(0) = e.
de
(Rta.: f (x, y) = y 2 sen x − x3 y − x2 + y(ln y − 1) = 0)
dad
ersi
Ejercicio 3. Determinar la funci´n M (x, y) de tal manera que la siguiente
o
E.D.O sea exacta:
iv
1
Un
M (x, y) dx + xex y + 2xy + dy = 0
x
y
(Rta.: M (x, y) = 1 y 2 ex (x + 1) + y 2 −
2 x2
+ g(x))
Ejercicio 4. Determinar la funci´n N (x, y) para que la siguiente E.D.
o
sea exacta:
1 1 x
y 2 x− 2 + 2 dx + N (x, y) dy = 0
x +y
26. 20 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
1 1 1
(Rta.: N (x, y) = x 2 y − 2 + 2 (x2 + y)−1 + g(y))
Ejercicio 5. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
(2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex − 1) dy = 0
(Rta.: f (x, y) = y(x2 y + ex − 1) = C)
Ejercicio 6. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
as
atic
(2x − y sen xy − 5y 4 ) dx − (20xy 3 + x sen xy) dy = 0
(Rta.: f (x, y) = x2 + cos(xy) − 5y 4 x = C)
atem
Ejercicio 7. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
eM
( sen xy + xy cos xy) dx + (x2 cos xy) dy = 0
o. d
(Rta.: f (x, y) = x sen (xy) = C)
ept
Ejercicio 8. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
a, D
(yexy + 4y 3 ) dx + (xexy + 12xy 2 − 2y) dy = 0, con y(0) = 2
(Rta.: f (x, y) = exy + 4xy 3 − y 2 = −3)
qui
tio
Ejercicio 9. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
An
(1 − sen x tan y) dx + cos x sec2 y dy = 0
(Rta.: f (x, y) = cos x tan y + x = C)
de
dad
´
ersi
2.5. FACTORES DE INTEGRACION
iv
Definici´n 2.5 (Factor Integrante F.I.). Sea la E.D.
o
Un
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0.
Si µ(x, y) es tal que
µ(x, y) M (x, y) dx + µ(x, y) N (x, y) dy = 0
es una E.D. exacta, entonces decimos que µ(x, y) es un factor integrante
(F.I.).
27. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION 21
Ejemplos de algunas formas diferenciales que son exactas.
Ejemplo: x dx + y dy es la diferencial de 1 (x2 + y 2 ) ya que d 1 (x2 + y 2 ) =
2 2
x dx + y dy.
An´logamente: para x dy + y dx = d(xy).
a
Pero py dx + qx dy no es exacta, la expresi´n µ(x, y) = xp−1 y q−1 es un
o
factor integrante.
as
atic
Para y dx − x dy, las expresiones:
atem
1 1 1 1 1
µ= ; µ= 2; µ= ; µ= 2 ; µ= 2
eM
y 2 x xy x +y 2 ax + bxy + cy 2
son factores integrantes. o. d
Teorema 2.2 (Teorema del Factor Integrante).
ept
Sea M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0 una E.D. y µ(x, y) un factor integrante, con
M , N y µ continuas y con primeras derivadas parciales continuas , entonces
a, D
∂M ∂N dµ dµ
qui
µ − =N = −M
∂y ∂x dx dy
tio
An
Demostraci´n: si µ es tal que µM dx + µN dy = 0 es exacta y µ, M, N
o
tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces:
de
∂ ∂
dad
(µM ) = (µN )
∂y ∂x
o sea que
ersi
∂M ∂µ ∂N ∂µ
µ +M =µ +N
∂y ∂y ∂x ∂x
iv
Un
luego
∂M ∂N ∂µ ∂µ ∂µ M ∂µ
µ − =N −M =N −
∂y ∂x ∂x ∂y ∂x N ∂y
dy
como dx
= − M , entonces:
N
∂M ∂N ∂µ dy ∂µ dµ dµ
µ − =N + =N = −M
∂y ∂x ∂x dx ∂y dx dy
28. 22 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
ya que si µ = µ(x, y) y y = y(x) entonces:
∂µ ∂µ
dµ = dx + dy
∂x ∂y
y por tanto
dµ ∂µ ∂µ dy
= +
dx ∂x ∂y dx
as
Nota.
atic
∂M
− ∂N
1. Si ∂y N ∂x = f (x),
atem
entonces µf (x) = dµ y por tanto f (x)dx = dµ ,
dx µ
R R
f (x)dx
luego µ = ke ; tomando k = 1 se tiene µ = e f (x)dx .
eM
∂M
− ∂N
∂y ∂x
o. dR
g(y)dy
2. Similarmente, si −M
= g(y), entonces µ = e .
ept
Ejemplo 8. (2xy 2 − 2y) dx + (3x2 y − 4x) dy = 0.
a, D
Soluci´n:
o
qui
∂M
M (x, y) = 2xy 2 − 2y ⇒ = 4xy − 2
∂y
tio
∂N
An
N (x, y) = 3x2 y − 4x ⇒ = 6xy − 4
∂x
de
luego
∂M ∂N
dad
− = −2xy + 2
∂y ∂x
ersi
por tanto
∂M ∂N
∂y
− ∂x −2xy + 2 2(−xy + 1)
= =
iv
−M −2xy 2 + 2y 2y(−xy + 1)
Un
luego
1 R 1
dy
g(y) = ⇒ F.I. = µ(y) = e y = eln |y| = y
y
multiplico la E.D. original por y: (2xy 3 − 2y 2 ) dx + (3x2 y 2 − 4xy) dy = 0
el nuevo M (x, y) = 2xy 3 − 2y 2 y el nuevo N (x, y) = 3x2 y 2 − 4xy
29. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION 23
Paso 1.
∂M
= 6xy 2 − 4y
∂y
y
∂N
= 6xy 2 − 4y
∂x
luego es exacta.
as
Paso 2.
atic
atem
f (x, y) = (2xy 3 − 2y 2 )dx + g(y) = x2 y 3 − 2xy 2 + g(y)
eM
Paso 3. Derivando con respecto a y:
∂f o. d
N = 3x2 y 2 − 4xy = = 3x2 y 2 − 4xy + g (y)
∂y
ept
luego g (y) = 0
a, D
Paso 4. g(y) = k
qui
Paso 5. Reemplazo en el paso 2.
tio
f (x, y) = x2 y 3 − 2xy 2 + k = c
An
luego x2 y 3 − 2xy 2 = k1 que es la soluci´n general.
de
o
dad
Ejemplo 9. x dy − y dx = (6x2 − 5xy + y 2 ) dx
Soluci´n:
o
ersi
y x dy − y dx
iv
como d( ) =
x x2
Un
entonces dividimos a ambos lados de la E.D. por x2 , luego
x dy − y dx 6x2 − 5xy + y 2
= dx
x2 x2
luego
y y y
d( ) = 6 − 5( ) + ( )2 dx,
x x x
30. 24 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
y
hagamos u = x
⇒ du = (6 − 5u + u2 )dx
du du
luego = dx ⇒ = dx
6 − 5u + u2 (u − 3)(u − 2)
1 A B
pero por fracciones parciales = +
(u − 3)(u − 2) u−3 u−2
o sea que A = 1 y B = −1, por tanto
as
atic
du du du
= dx ⇒ − = ln |u−3|−ln |u−2|+ln c = x
(u − 3)(u − 2) u−3 u−2
atem
luego
(u − 3) (y − 3x)
eM
c = ex , si x = 0 ⇒ c = ex
(u − 2) (y − 2x)
o. d
Obs´rvese que x = 0 es tambi´n soluci´n y es singular porque no se desprende
e e o
de la soluci´n general.
o
ept
En los siguientes ejercicios, hallar el factor integrante y resolver por el
a, D
m´todo de las exactas:
e
qui
Ejercicio 1. (cos(2y) − sen x) dx − 2 tan x sen (2y) dy = 0.
tio
1
(Rta.: sen x cos(2y) + 2 cos2 x = C)
An
Ejercicio 2. (3xy 3 + 4y) dx + (3x2 y 2 + 2x) dy = 0.
(Rta.: f (x, y) = x3 y 3 + 2x2 y = C)
de
dad
Ejercicio 3. 2xy ln y dx + (x2 + y 2 y 2 + 1) dy = 0.
1 3
(Rta.: f (x, y) = x2 ln y + 3 (y 2 + 1) 2 = C)
ersi
Ejercicio 4. (2wz 2 − 2z) dw + (3w 2 z − 4w) dz = 0.
iv
Un
(Rta.: w 2 z 3 − 2z 2 w = C)
Ejercicio 5. ex dx + (ex cot y + 2y csc y)dy = 0
(Rta.: f (x, y) = ex sen y + y 2 = C)
Ejercicio 6. x dy + y dx = (x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 )(dx + dy).
1
(Rta.: xy = 4 (x + y)4 + C)
31. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION 25
Ejercicio 7. x dy − y dx = (2x2 + 3y 2 )3 (2xdx + 3ydy).
2 3 y 1
(Rta.: 3
tan−1 ( 2 x
) = 3 (2x2 + 3y 2 )3 + C)
Ejercicio 8. y dx + (2x − yey ) dy = 0.
(Rta.: y 2 x − y 2 ey + 2yey − 2ey = C)
Ejercicio 9. (xy − 1)dx + (x2 − xy)dy = 0.
as
2
(Rta.: f (x, y) = xy − ln |x| − y2 = C)
atic
Ejercicio 10. ydx + (x2 y − x)dy = 0.
atem
2
(Rta.: f (x, y) = − x + y2 = C)
y
eM
Ejercicio 11. (2xy − e−2x )dx + xdy = 0.
(Rta.: f (x, y) = ye2x − ln |x| = C) o. d
Ejercicio 12. ydx + (2xy − e−2y )dy = 0.
ept
(Rta.: f (x, y) = xe2y − ln |y| = C)
a, D
Ejercicio 13. (x + y)dx + x ln xdy = 0.
(Rta.: f (x, y) = x + y ln x = C)
qui
tio
Ejercicio 14. Hallar la soluci´n particular que pasa por el punto
o
y(1) = −2, de la E.D.
An
dy 3x2 y + y 2
=− 3
de
dx 2x + 3xy
(Rta.: x3 y 2 + y 3 x = −4)
dad
ersi
Ejercicio 15. x dx + y dy = 3 x2 + y 2 y 2 dy.
(Rta.: x2 + y 2 = y 3 + C)
iv
Un
Ejercicio 16. 4y dx + x dy = xy 2 dx.
1 1
(Rta.: yx4 − 3x3 = C)
Ejercicio 17. Si
My − N x
= R(xy),
yN − xM
Rt
R(s) ds
entonces µ = F.I. = e , donde t = xy
32. 26 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
Ejercicio 18. Bajo que condiciones M dx + N dy = 0 tendr´ un F.I.=
a
µ(x + y)
Ejercicio 19. Si M dx + N dy = 0 es homog´nea, entonces µ(x, y) =
e
1
xM +yN
as
2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN
atic
atem
Definici´n 2.6. Una E.D. de la forma:
o
dy
a1 (x) + a0 (x)y = h(x),
eM
dx
o. d
donde a1 (x) = 0, en I y a1 (x), a0 (x), h(x) son continuas en I, se le llama
E.D. lineal en y de primer orden.
ept
a, D
Dividiendo por a1 (x), se obtiene la llamada ecuaci´n en forma can´nica
o o
´
o forma estandar:
qui
dy
+ p(x)y = Q(x),
dx
tio
a0 (x) h(x)
An
donde p(x) = y Q(x) = .
a1 (x) a1 (x)
de
Teorema 2.3 (Teorema de la E.D. lineal de primer orden).
dad
La soluci´n general de la E.D. lineal en y, de primer orden:
o
ersi
y + p(x)y = Q(x)
iv
es :
Un
R R
p(x) dx p(x) dx
ye = e Q(x) dx + C.
Demostraci´n:
o
dy
+ p(x)y = Q(x) (2.9)
dx
⇒ p(x)y dx + dy = Q(x) dx
33. 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN 27
∂M ∂N
o sea que (p(x)y − Q(x)) dx + dy = 0, como ∂y
= p(x) y ∂x
= 0, entonces
∂M ∂N
∂y
− ∂x
= p(x)
N
R
p(x) dx
y por tanto µ = e = F.I.; multiplicando (2.9) por el F.I.:
p(x) dx dy
R R R
p(x) dx p(x) dx
as
e + p(x)ye = Q(x)e
dx
atic
R R
d
o sea dx
(ye p(x) dx ) = Q(x)e p(x) dx
e integrando con respecto a x se tiene:
atem
R R
p(x) dx p(x) dx
ye = Q(x)e dx + C
eM
Obs´rvese que la expresi´n anterior es lo mismo que:
e o o. d
y F.I. = Q(x) F.I. dx + C
ept
a, D
dν
Ejemplo 10. Hallar la soluci´n general de la E.D.:(6 − 2µν) dµ + ν 2 = 0
o
qui
Soluci´n:
o
dν ν2
tio
=−
dµ 6 − 2µν
An
dµ 6 2µ
=− 2 +
de
dν ν ν
dad
dµ 2µ 6
− =− 2
dν ν ν
ersi
que es lineal en µ con
iv
2 6
Un
p(ν) = − , Q(ν) = − 2
ν ν
R R 2
− ν dν −2 1
F.I. = e p(ν)dν
=e = e−2 ln |ν| = eln |ν| = ν −2 =
ν2
La soluci´n general es
o
1 1 6
µ= (− 2 )dν + C
ν2 ν 2 ν
34. 28 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
1 ν −3
µ = −6 ν −4 dν + C = −6 +C
ν2 −3
µ 2 2
2
= 3 + C ⇒ µ = + Cν 2
ν ν ν
que es la soluci´n general.
o
as
dy
Ejemplo 11. Hallar una soluci´n continua de la E.D.:
o dx
+ 2xy = f (x)
atic
x, 0≤x<1
donde f (x) =
atem
0, x≥1
y y(0) = 2
eM
Soluci´n:
o o. d
2 2 2
R
2xdx
F.I. : e = ex ⇒ ex y = ex f (x)dx + C
ept
a, D
2 2
a). si 0 ≤ x < 1 : ex y = ex x dx + C
2 2 1 2
ex y = 1 ex 2x dx+C = 2 ex +C, que es la soluci´n general. Hallemos
2
o
qui
C con la condici´n incial
o
2 2
y(0) = 2 ⇒ e0 2 = 1 e0 + C ⇒ C = 3
tio
2 2
2
luego y = 1 + 3 e−x , soluci´n particular.
2 2
o
An
b). si x ≥ 1 : F.I.y = F.I. 0 dx + C
de
2 2
ex y = 0 + C ⇒ y = Ce−x
dad
1 2
2
+ 3 e−x
2
0≤x<1
Soluci´n general: f (x) =
o
ersi
2
Ce−x x≥1
iv
Busquemos C, de tal manera que la funci´n f (x) sea continua en x = 1.
o
Un
Por tanto
1 3 2
l´ ( + e−x ) = f (1) = y(1)
ım
x→1 2 2
1 3
1 3 −1 + 2 e−1 1 3
+ e = Ce−1 , ⇒ C = 2 −1 = e+
2 2 e 2 2
Ejemplo 12. Con un cambio de variable adecuado transformar la E.D.:
2
y + x sen 2y = xe−x cos2 y
35. 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN 29
en una E.D. lineal de primer orden y luego resolverla.
Soluci´n. Lo trabajamos mediante cambios de variable.
o
Dividiendo por cos2 y:
1 dy x(2 sen y cos y) 2
2 y dx
+ 2y
= xe−x
cos cos
dy 2
sec2 y
+ 2x tan y = xe−x
as
dx
atic
hagamos el siguiente cambio de variable: t = tan y, por lo tanto
atem
dt dy
= sec2 y .
dx dx
eM
Sustituyendo
dt 2
+ 2xt = xe−x ,
o. d
es lineal en t con
dx
ept
2
p(x) = 2x, Q(x) = xe−x
a, D
2
R
2x dx
F.I. = e = ex
qui
Resolvi´ndola
e
tio
t F.I. = F.I.Q(x) dx + C
An
2 2 2
tex = ex (xe−x ) dx + C
de
dad
x2 2
⇒ tan y ex =
+C
2
ersi
Ejercicio 1. Hallar una soluci´n continua de la E.D.:
o
iv
dy
(1 + x2 ) dx + 2xy = f (x)
Un
x, 0≤x<1
donde f (x) =
−x , x≥1
con y(0) = 0.
x2
2(1+x2 )
, si 0 ≤ x < 1
(Rta.: y(x) = x2 1
)
− 2(1+x2 ) + 1+x2
, si x ≥ 1