1. RUBÉN ALVA CABRERA
rubalva@hotmail.com

3. TEOREMA DE PITÁGORAS
A
HIPOTENUSA
CATETO
B C
CATETO
(CATETO) + (CATETO)
2 2
= (HIPOTENUSA) 2
5 12 5 21 29
4
13
3 20

4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ANGULOS AGUDOS CATETO
HIPOTENUSA
OPUESTO
θ
θ
A
CATETO ADYACENTE A θ
SENO COSENO
CatetoOpuestoaq CatetoAdyacenteaθ
senq = cos θ =
Hipotenusa Hipotenusa
TANGENTE COTANGENTE
CatetoOpuestoaθ CatetoAdyacenteaθ
tan θ = cot θ =
CatetoAdyacenteaθ CatetoOpuestoaθ
SECANTE COSECANTE
Hipotenusa Hipotenusa
sec θ = csc θ =
CatetoAdyacenteaθ CatetoOpuestoaθ

5. EJEMPLO : TEOREMA DE PITÁGORAS
H
12
H2 = 122 + 35 2
θ H = 1369 = 37
35
12 12 37
senθ =
37
tan θ =
35
sec θ = 35
35 35 37
cos θ = cot θ = csc θ =
37 12 12
EJEMPLO :
Sabiendo que θ es un ángulo agudo tal que senθ=2/3.....
3 2
θ

6. PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
1 1 1
senθ = cos θ = tan θ =
csc θ sec θ cot θ
senθ csc θ = 1 cos θ sec θ = 1 tan θ cot θ = 1
EJEMPLOS
1 1
A) = csc 36 o B) = sec17o
sen36 o cos17o
C) tan 49 o cot 49 o = 1 D)sen2θ csc 2θ = 1
E) cos 63 o sec θ = 1 θ = 63o
F) tan 2φ cot θ = 1 2φ = θ

7. PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
PROPIEDAD :
“LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO
SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO”
A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO
TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE
SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
senθ = cos φ cot θ = tan φ
φ
b c cos θ = senφ sec θ = csc φ
θ tan θ = cot φ csc θ = sec φ
a

8. EJEMPLOS
A)sen25 o = cos 65 o ............... 25 o + 65 o = 90O
B) tan 43o = cot 47o ............... 43o + 47o = 90O
C) sec 60 o = csc 30o ............... 60o + 30o = 90O
D)senθ = cos 20o
θ + 20o = 90O θ = 70 o
E) tan 5α = cot α
5α + α = 90 o α = 15 o
π =
F)sen  ÷
5
cos θ
π π π π 3π
θ+ = θ= − θ= rad
5 2 2 5 10

9. TRIÁNGULOS NOTABLES
2
)
)
1 60O 45 o 2
1
30o ( 45 o(
3 1
1
sen30 o
=
)
53 o tan 60o = 3
3 5 2
4
37o ( sec 45 = 2 cot 37 =
o o
3
4 1 3 3
tan 30o = x =
3 3 3
1 2 2
sen45 =o
x =
2 2 2

10. CALCULAR : cot θ
3 3
) 37o 4 3 3 3 45 o (
) 30o θ(
4
8
3 3
cot θ =
4

11. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO θ
H
Hsenθ 5 5sen62o
θ
62o
H cos θ
5 cos 62o
CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDO θ
L sec θ 8 sec β
L tan θ 8 tanβ
θ β
L 8

12. CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDO θ
L csc θ k csc 24 o
L k
24 o
θ
L cot θ k cot 24 o
EJEMPLO
α
)
Calcular L en términos
de m ; α y θ
m
)θ
L

13. SOLUCIÓN
α
m
θ
L m tan α
L + m tan α
= cot θ L + m tan α = m cot θ
m
L = m cot θ − m tan α L = m (cot θ − tan α )
NOTA : DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR
Y
F Fx = F cos α
Fy
α Fy = Fsenα
Fx X

14. ÁREA DEL TRIÁNGULO
C
ab
S= senC
2
a
b
bc
S= senA
2
A c B ac
S= senB
2
EJEMPLO
(5)(8)
S= sen60o
2
5m
(5)(8) 3
S= ( ) = 10 3m2
60O 2 2
8m

15. ÁNGULOS VERTICALES
Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en
un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias
llamadas horizontal y visual
A L
VIS U
ÁNGULO DE
)α ELEVACIÓN
HORIZONTAL
)θ
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
VIS
U AL

16. EJEMPLO :
Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis
volando a una misma altura con ángulos de elevación de
530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué
altura están los ovnis?
SOLUCIÓN
70
12k 12k =H
)53O )37o
9k +
16k
9k +70 = 16k k = 10 H = 120

17. ÁNGULOS HORIZONTALES
Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en
un plano horizontal, se determinan tomando como
referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y
oeste(O).
DIRECCIÓN RUMBO
La dirección de B respecto de A El rumbo de Q respecto de P
es N30 o E o E60 o N 47o al oeste del norte
La dirección de C respecto de A El rumbo de M respecto de P
es S56 o O o O34 o S 27o al este del sur
N N
B Q
30O 47o
)
(
E O E
O A P
56 O
(
)
C 27 o
S M
S

18. ROSA NÁUTICA
Gráfico que contiene 32 direcciones notables, cada dirección
forma entre ellas un ángulo cuya medida es 11 15
o '
En el gráfico adjunto sólo se muestran 16 direcciones notables,
cada una forma entre ellas un ángulo cuya medida es 22o 30'
NNO N NNE
NO NE
ONO ENE
O E
OSO ESE
SO SE
SSO S SSE

19. Las otras 16 direcciones se obtienen trazando las bisectrices de
los 16 ángulos que se muestran en el gráfico anterior.
N 1 4 NO N 1 4 NE
NO 1 4 N NE 1 4 N
N
NNO NNE
NO 1 4 O
NO NE NE 1 4 E
ONO ENE
O 1 4 NO E 1 4 NE
O E
¿Cuánto mide el ángulo entre las direcciones
NE1/ 4N y NO1/ 4O ?
Rpta. 90 o

20. EJEMPLO :
Un insecto parte de un punto F y recorre 40 km en la dirección
N530O luego recorre 402 km en la dirección SO, finalmente
recorre 60 km hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra el
insecto de F ?
SOLUCIÓN N
OBSERVA QUE EL 45 o
TRIÁNGULO DE COLOR
ROJO ES NOTABLE 40
40 2 24
X = 20
53o
)
O
37o F E
32 x
16 16
45 o
40 20 12
60
S

21. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UN
ÁNGULO AGUDO (método gráfico)
θ (
2
c b
) θ2
θ
) 2 )θ
c + a
θ = b c−a
tan  ÷ =
2 c + a b

22. EJEMPLO :
Sabiendo que : tan 8θ=24/7, calcula tan2θ
SOLUCIÓN
24
tan 4θ =
25 + 7
25 24 tan 4 θ = 24
32
4θ 8θ 3
25 7
tan 4θ =
4
3 1
3 5 tan 2θ = tan 2θ =
9 3
4θ 2θ(
4 5

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