Adjunto

1. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE
N´UMEROS REALES
Lic.:Cristian Mart´ınez
Universidad Gerardo Barrios
Facultad de Ciencias y Humanidades
Octubre de 2015

2. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS
REALES
1 C´ırculo unitario
2 N´umero de referencia
3 Funciones trigonom´etricas de n´umeros reales
4 Propiedades pares e impares
5 Identidades fundamentales
6 Gr´aficas trigonom´etricas
7 Gr´aficas de transformaciones de seno y coseno

3. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
C´ırculo unitario
C´ırculo unitario
El c´ırculo unitario es el que tiene un radio igual a 1 y su centro est´a en el
origen de un plano xy. Su ecuaci´on es:
x2
+ y2
= 1
Ejemplo: Un punto en el c´ırculo unitario
1 Demuestre que el punto P = (
√
3
3
,
√
6
3
) est´a en el c´ırculo unitario.
2 El punto P = (
√
3
2
, y) est´a en el c´ırculo unitario en el cuadrante IV .
Encuentre su coordenada y.

4. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
C´ırculo unitario
Puntos sobre la circunferencia del c´ırculo unitario:
Suponga que t es un n´umero real. Recorramos una distancia t a lo largo
del c´ırculo unitario, empezando en el punto (1, 0) y desplaz´andonos en
sentido contrario al de las manecillas del reloj si t es positiva, o bien,
en el sentido de las manecillas del reloj si t es negativa (figura 2).
As´ı llegamos al punto P = (x, y) sobre el c´ırculo unitario. El punto P =
(x, y) obtenido de esta manera se llama punto sobre la circunferencia
determinado por el n´umero real t.

5. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
C´ırculo unitario
La circunferencia del c´ırculo unitario es C = 2π(1) = 2π.
1 Entonces, si un punto empieza en (1, 0) y se desplaza en el sentido
contrario al de las manecillas del reloj a lo largo de toda la
circunferencia y regresa a (1, 0), se desplaza una distancia de 2π.
2 Para desplazarse medio camino alrededor del c´ırculo, recorre una
distancia de 1
2 (2π) = π.
3 Para moverse un cuarto de la distancia alrededor del c´ırculo, recorre
una distancia de 1
4 (2π) = π
2

6. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
C´ırculo unitario
¿En d´onde se encuentra este punto cuando recorre estas distancias
a lo largo del c´ırculo?
Seg´un la figura 3, vemos por ejemplo que cuando recorre una distancia de
π iniciando en (1, 0), el punto final es (−1, 0)

7. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
C´ırculo unitario
Determinaci´on de los puntos sobre la circunferencia
Calcule el punto sobre la circunferencia del c´ırculo unitario determinado
por cada n´umero real t.
1 t = 3π
2 t = −π
3 t = −
π
2
Encuentre las coordenadas del punto terminal P = (x, y) determinado por:
1 t = π
4
2 t = π
6
3 t = π
3

8. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
C´ırculo unitario
Determinaci´on de puntos sobre la circunferencia
Calcule el punto sobre la circunferencia determinado por cada n´umero
real dado t.
1 t = −π
4
2 t = 3π
4
3 t = −5π
6

9. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
N´umero de referencia
N´umero de referencia
Sea t un n´umero real. El n´umero de referencia asociado a t es la distancia
m´as corta a lo largo del c´ırculo unitario entre el punto sobre la
circunferencia determinado por t y el eje x.
Si el punto qued´o en los cuadrantes I o IV , donde x es positivo, encon-
tramos t−
desplaz´andonos a lo largo del c´ırculo hasta el eje positivo x. Si
queda en los cuadrantes II o III, donde x es negativa, encontramos t−
recorriendo el c´ırculo hasta el eje x negativo.

10. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
N´umero de referencia
Determinaci´on de los n´umeros de referencia
Encuentre el n´umero de referencia para cada valor de t.
1 t =
5π
6
2 t =
7π
4
3 t =
−2π
3
4 t = 5,80
N´umeros de referencia para hallar los puntos sobre la circunferencia
Calcule el punto sobre la circunferencia determinado por cada uno de los
n´umeros reales t.
1 t =
5π
6
2 t =
7π
4
3 t =
−2π
3

11. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
Funciones trigonom´etricas de n´umeros reales
Recuerde que encontrar el punto P(x, y) sobre la circunferencia para un
n´umero real dado t, recorremos una distancia t a lo largo del c´ırculo uni-
tario, empezando en el punto (1, 0).
1 Nos movemos en sentido contrario al de las manecillas del reloj si t
es positiva y en el sentido de las manecillas si t es negativa (v´ease
figura 1).
2 Ahora usamos las coordenadas x y y del punto P(x, y) para definir
varias funciones.

12. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
Funciones trigonom´etricas de n´umeros reales
Definici´on de las funciones trigonom´etricas
Sea t un n´umero real y sea P(x, y) el punto del c´ırculo unitario
determinado por t. Definimos
sent = y
cost = x
tant =
y
x
, x = 0
csct =
1
y
, y = 0
sect =
1
x
, x = 0
cott =
x
y
, y = 0
Como las funciones trigonom´etricas se pueden definir en t´erminos del
c´ırculo unitario, algunas veces se les llama funciones circulares.

13. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
Funciones trigonom´etricas de n´umeros reales

14. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
Funciones trigonom´etricas de n´umeros reales
Determinaci´on del signo de la funci´on trigonom´etrica
1 cosπ
3
2 tan4
3 sen5π
6
4 cos2π
3
5 tan−π
3
6 sen19π
4
Evaluaci´on de las funciones trigonom´etricas
1 cosπ
3
2 sen5π
6
3 cos2π
3
4 tan−π
3
5 sen19π
4

15. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
Funciones trigonom´etricas de n´umeros reales
Sugerencias para el uso de la calculadora para evaluar funciones
trigonom´etricas
1 La calculadora debe estar puesta en el modo de radianes para poder
evaluar estas funciones.
2 Para determinar los valores de cosecante, secante y cotangente
usando una calculadora es necesario aplicar las relaciones rec´ıprocas
siguientes:
Uso de la calculadora para evaluar funciones trigonom´etricas
1 sen2,2
2 cos1,1
3 csc0,98
4 cot28

16. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
Propiedades pares e impares
Propiedades pares e impares
El seno, la cosecante, la tangente y la cotangente son funciones impares;
el coseno y la secante son funciones pares
1 sen(−t) = −sent
2 cos(−t) = cost
3 tan(−t) = −tant
4 csc(−t) = −csct
5 sec(−t) = sect
6 cot(−t) = −cott

17. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
Propiedades pares e impares
Funciones trigonom´etricas pares e impares
Utilice las propiedades pares e impares de las funciones trigonom´etricas
para determinar cada uno de los valores.
1 sen(−π
6 )
2 cos(−π
4 )
3 sec(−π)
4 sec(π)

18. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
Identidades fundamentales
Las funciones trigonom´etricas se relacionan entre s´ı mediante ecuaciones
llamadas identidades trigonom´etricas. Presentamos las m´as importantes en
el recuadro siguiente.

19. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
Identidades fundamentales
C´alculo de todas las funciones trigonom´etricas a partir del valor de una
Si cost = 3
5 y t est´a en el cuadrante IV , calcule los valores de todas las
funciones trigonom´etricas en t.
Expresar una funci´on trigonom´etrica en funci´on de otra
Escriba tant en funci´on de cost, donde t est´a en el cuadrante III.

20. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
Gr´aficas trigonom´etricas
Gr´aficas de las funciones seno y coseno
Para ayudarnos a graficar las funciones seno y coseno primero observemos
que dichas funciones repiten sus valores seg´un un patr´on. Para ver exac-
tamente c´omo sucede esto, recuerde que la circunferencia de un c´ırculo
unitario es π.
Se infiere entonces que el punto P(x, y) determinado por el n´umero real t
es el mismo que el determinado por t + 2π. Puesto que las funciones seno
y coseno se definen en t´erminos de las coordenadas de P(x, y) se infiere
que sus valores no cambian al a˜nadir cualquier m´ultiplo entero de 2π. En
otras palabras:
sen(t + 2nπ) = sent para cualquier entero n
cos(t + 2nπ) = cost para cualquier entero n

21. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
Gr´aficas trigonom´etricas
Funciones peri´odicas
Un funci´on f es peri´odica si hay un n´umero positivo p tal que
f(t + p) = f(t) para toda t.
1 Tal n´umero positivo m´ınimo, si es que existe, es el periodo de f.
2 Si f tiene periodo p, entonces se dice que la gr´afica de f en
cualquier intervalo de longitud p es un periodo completo de f.
Propiedades peri´odicas del seno y el coseno
Las funciones seno y coseno tienen periodo 2π:
sen(t + 2π) = sent
cos(t + 2π) = cost

22. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
Gr´aficas trigonom´etricas
Gr´aficas de las funci´on seno y coseno

23. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
Gr´aficas trigonom´etricas

24. FUNCIONES TRIGONOM´ETRICAS DE N´UMEROS REALES
Gr´aficas de transformaciones de seno y coseno
Gr´aficas de transformaciones de seno y coseno
Lo com´un es usar la x para denotar la variable en el dominio de una funci´on.
Entonces, de aqu´ı en adelante usamos la letra x y escribimos y = senx,
y = cosx, y = tanx y as´ı sucesivamente para denotar estas funciones.
Curvas del coseno
1 f(x) = 2 + cosx
2 f(x) = −cosx
3 f(x) = 2senx
4 f(x) = 1
2 senx
5 f(x) = sen(−x)
6 f(x) = sen(1
2 x)
7 f(x) = cos(1
3 x)