límites de una función

1. GUÍA DE APRENDIZAJE Nº 01
Actividad “Conociendo los límites de una función”
I. Datos informativos
1. Área
2. Ciclo
: Matemática
: IV
3. Duración : 180 minutos
4. Formador : Prof. Juan Carlos Rivero Altuna
II. Indicador específico/ desempeño específico
Indicador específico/desempeño específico
Producto/
evidencia
Técnica/
Instrumento
Resuelve ejercicios de límites de unafunción aplicando diversas
estrategias en una ficha de ejercicios propuestos.
Ficha de ejercicios
resuelto
Lista de cotejo.
III. Desarrollo
3.1. Actividades de estudio
a. Actividad 1:
1. Mi punto de partida
Analiza la siguiente lectura
¿Límites matemáticos en nuestra vida cotidiana?
El vocablo que nos ocupa en primer lugar, límite, podemos decir que se trata e
una palabra que procede, etimológicamente hablando, del latín. En concreto,
emana del sustantivo “limes”, que puede traducirse como “frontera o borde”, la
noción de límite tiene múltiples acepciones. Puede tratarse de una línea que
separa dos territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una
restricción o limitación. Para la matemática, un límite es una magnitud fija a la que
se aproxima cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.
2. Teorizo y Aprendo
Límites y continuidad
El concepto de límite es la base fundamental con la que se
construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando
se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable
independiente tiende a un número determinado o al infinito.
Definición de límite
Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general
vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable
independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.

2. Ejemplo:
En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno
de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x):
x f (x) Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la
derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se
aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está
x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor
absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia,
en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez más
pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior
derecha). Osea, la función se acerca a un valor constante, 3,
cuando la variable independiente se aproxima también a un
valor constante.
1.9
1.99
1.999
1.9999
2.0001
2.001
2.01
2.1
2.61
2.9601
2.996001
2.99960001
3.00040001
3.004001
3.0401
3.41
|x - 2| | f (x) - 3|
|1.9-2| = 0.1
|1.99-2| = 0.01
|1.999-2| = 0.001
|1.9999-2| = 0.0001
|2.0001-2| = 0.0001
|2.001-2| = 0.001
|2.01-2| = 0.01
|2.1-2| = 0.1
|2.61-3| = 0.39
|2.9601-3| = 0.0399
|2.996001-3| = 0.003999
|2.99960001-3| = 0.00039999
|3.00040001-3| = 0.00040001
|3.004001-3| = 0.004001
|3.0401-3| = 0.0401
|3.41-3| = 0.41
De loanteriorse deduce intuitivamente que el límite de la función f (x) cuando x tiende a 2, es 3.

3. Definiciónépsilon-delta
Sea f una funcióndefinidaenalgúnintervaloabiertoque contengaa a.El límite de f (x) cuando x
tiende aa esL, y se
escribe
Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista.
ANALIZAMOSLOS SIGUIENTESEJERCICIOS RESUELTOS
PRIMER EJERCICIO
SEGUNDO EJERCICIO

4. TERCER EJERCICIO
CUARTO EJERCICIO

5. Teoremas de límites
Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la
definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic
en el vínculo correspondiente.
Teorema de límite1:
Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces
Teorema de límite 2:
Para cualquier número dado a,

6. Teorema de límite 3:
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces
Teorema de límite 4:
Teorema de límite 5:
Teorema de límite 6:
Si f es un polinomio y a es un número real, entonces
Teorema de límite 7:
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces
Teorema de límite 8:
Procedimiento para calcular límites
Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula
directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinómicas es indistinto que nos

7. refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando
calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una
función racional y la propiedad 4 (III) también.
Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indetermidada 0/0 es posible
calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la función de tal modo
que se pueda evitar la división por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos
algebraicos eficaces como la factorización, la conjugada, etc.
Ejercicios resueltos
Evalué lossiguienteslímitesindicandolapropiedadopropiedadesque se aplican en cada paso:

8. S o l u c i o n e s
1. Solución
2. Solución:
3. Solución:
4. Solución:
5. Solución:
6. Solución:

9. No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no
obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite
aplicando el TL1:
7. Solución:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no
obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión se obtiene fácilmente el límite
aplicando el TL7 o el TL4(III):
8. Solución:
Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la forma
indeterminada 0/0; por lo que, se debe factorizar y luego simplificar la expresión antes de
poder hacer uso del TL6:
9. Solución:
No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no obstante,
luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la
expresión en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para
hallar el límite:

10. 11. Solución:
El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma indeterminada 0/0; no
obstante, una vez factorizando y simplificando, la expresión queda expedita para hallar el
límite mediante los TL7 y TL6:
12. Solución:
3. Aplico lo aprendido (PRODUCTO Nº 1)
RESOLVER
1. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(2𝑥2 − 3𝑥 + 5)=
2. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→√2
(2𝑥4 + 𝑥2 − 1)=
3.
3
4
4

xlim
x
=

11. 4.
5.
4. Ejercicios de evaluación
1.
1
1
2
3
1 

 x
x
Lim
x
=
2.
65
9
2
2
3 

 tt
t
Lim
t
=
3.
1
33 2
1 

 m
m
Lim
m
=

12. 4. 𝐿𝑖𝑚
𝑚→2
𝑚2−4
𝑚−2
=
5. 𝐿𝑖𝑚
𝑥→∞
6𝑋2+1
3𝑋2−1
=
6. Reflexiono sobre lo aprendido (20 minutos)
 ¿Qué aprendí en esta sesión?
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
 ¿Cómo lo aprendí?
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
 ¿Qué dificultades tuve?
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
 ¿Para qué me sirve lo aprendido?
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
7. Referencias
https://www.slideshare.net/Christiam3000/limites-11661820

13. I T E M S
ESCALA DE ESTIMACIÓN PARA LA AUTOEVALUACIÓN
Estudiante:…………..………………………………………………………………..……................................
. Área:…MATEMÁTICA……Fecha:………………………………………………….
Carrera: ……………………………………………………… Semestre: I
DIMENSIÓN: Personal
CRITERIO DE DESEMPEÑO:
Demuestra ética, compromiso y autodisciplina en las tareas académicas y práctica pedagógica que
asume en cuanto a su especialidad
INSTRUCCIÓN: Debes indicar tu opinión, siendo lo más sincero y objetivo posible.
0
Nada
1
A
veces
2
Regularmente
3
Casi
siempre
4
Siempre
1
Realizo las actividades planteadas
en el autoinstructivo dentro del
tiempo establecido
2
Muestro disposición e interés para
las clases y el trabajo a distancia del
área
3
Solicito apoyo al formador para
aclarar mis dudas a través de los
medios señalados
4
Presento mis tareas en el tiempo
señalado y por los medios
establecidos
5
Demuestro cuidado y esmero en la
entrega de los productos o trabajos
6
Muestro sinceridad y honestidad en
la realización de los trabajos.
7
Profundizo, investigo y repaso en
casa los temas tratados
8
Guardo respeto al profesor y presto
atención cuando brinda las
orientaciones
9
Leo y cumplo los criterios de
evaluación de los productos o
trabajos encomendados
10
Realizo las tareas y trabajos con
tiempo para prevenir contratiempos
de última hora
SUB TOTAL
TOTAL
CALIFICATIVO VIGESIMAL
COMENTARIO:(aquí puede incluir fortalezas identificadas y dificultades encontradas, recomendaciones.)
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………….
Firma:
ESCALA