álgebra

1. PRUEBA DE ENSAYO<br />En los siguientes problemas encuentre las soluciones (sin las hay) de los sistemas dados. En cada caso calcule el valor de a11a22-a12a21.<br /> x-3y=4<br />-4x+2y=6<br />Multiplicando la primera ecuación por 4 y sumándola a la segunda ecuación:<br /> <br />4 4x-12y=16<br /> -4x+ 2y = 6<br />8343903175 0 -10y =22<br /> y=-115<br />Entonces reemplazando en la primera ecuación:<br />x=4-3-115<br />x=-135<br />Respuesta. Solución única:-135,-115<br />Si a11=1; a22=2; a12=-3; a21=-4, entonces, calculando el valor a11a22-a12a21 obtenemos:<br />a11a22-a12a21=12-(-3)(-4)<br /> =-10. <br />3. 2x-y=-3<br /> 5x+7y=4<br />Multiplicando la primera ecuación por 7 y sumándola a la segunda ecuación:<br /> <br />7 14x-7y=-21<br /> 5x+7y = 4<br />8915403175 19x =-17<br /> x=-1719<br />Entonces reemplazando en la primera ecuación:<br />y=-2-1719-3<br />y=2319<br />Respuesta. Solución única:-1719,2319<br />Si a11=2; a22=7; a12= -1; a21=5, entonces, calculando el valor a11a22-a12a21 obtenemos:<br />a11a22-a12a21=27-(-1)(5)<br /> =19. <br />5. 10x-40y=30<br /> -3x+12y=-90<br />Multiplicando a la primera ecuación por 310 y sumándola a la segunda ecuación:<br /> <br />310 3x-12y= 9<br /> -3x+12y=-90<br />10058403175=-91<br />Respuesta. El sistema no tiene solución. <br />Si a11=10; a22=12; a12= -40; a21=-3, entonces, calculando el valor a11a22-a12a21 obtenemos:<br />a11a22-a12a21=1012-(-40)(-3)<br /> =0. <br />9. 3x+y=0<br /> 2x-3y=0<br />Multiplicando a la primera ecuación por 7 y sumándola a la segunda ecuación:<br /> <br />3 9x+3y=0<br /> 2x-3y=0<br />8343903175 11x =0<br /> x=0<br />Entonces reemplazando en la primera ecuación:<br />y=-3(0)<br />y=0<br />Respuesta. Solución única:0,0<br />Si a11=3; a22=-3; a12= 1; a21=2, entonces, calculando el valor a11a22-a12a21 obtenemos:<br />a11a22-a12a21=3-3-(1)(2)<br /> =-11. <br />En los siguientes problemas utilice el método de eliminación de Gauss-Jordan para encontrar, si existen, todas las soluciones para los sistemas siguientes.<br />5. 3x1 + 6x2 - 6x3 =9<br /> 2x1 - 5x2 + 4x3 = 6<br /> 5x1 +28x2-26x3=-8<br />Solución:<br />3 6-62-5 4528-26 9 6-8R1-> 13R1 1 2-22-5 4528-26 3 6-8R2->R2-2R11 2-20-9 8528-26 3 0-8<br />R3->R3-5R11 2-20-9 8018-16 3 0-23R1->R1- 19R3R3->R3+2R21 0-290-9 800 0 509 0-23<br />Respuesta. El sistema no tiene solución. La última ecuación es 0x1 + 0x2+0x3 =-23, lo cual es imposible, ya que 0≠-23. <br />7. x1 + x2 - x3 =7<br /> 4x1 - x2 +5x3= 4<br /> 2x1 +2x2-3x3=-0<br />Solución:<br />1 1-14-1 52 2-3 7 4 0R2-> R2-4R1R3-> R3-2R1 1 1-10-5 90 0-1 7 -24 -14R2-> - 15R21 1-10 1-950 0-1 7245-14<br /> R1->R1- R21 0 4501-9500-1 115 245 -14R3-> - 1R31 0 450 1-95 0 0 1 115 24514 <br /> R1-> R1- 45R3R2-> R2+95R3 1 0 00 1 00 0 1 -9 30 14<br />Respuesta. La solución es x1=-9; x2=30; x3 =14.<br />9. x1 +x2 - x3 = 7 <br /> 4x1- x2 +5x3 = 4<br /> 6x1 + x2+ 3x3=20<br />Solución:<br />1 1-14-1 56 1 3 7 420R2-> R2-4R1R3-> R3-6R1 1 1-10-5 90-5 9 7 -24 -22R2-> - 15R21 1-10 1-95 0-59 7-245-22<br />R1->R1- R2R3->R3+5R21 0 450 1-95 0 0 0 115-245 -46<br />Respuesta. El sistema no tiene solución. La última ecuación es<br />0x1 + 0x2+0x3 =-46, lo cual es imposible, ya que, 0≠-46. <br />En los siguientes problemas determine si la matriz dada es invertible. De ser así, calcule la inversa. <br />13. A= 1 6 2-2 3 5 712-4<br />Solución:<br />Si A-1 existe, entonces:<br /> AA-1= 1 6 2-2 3 5 712-4 p qrstuvwx= p+6s+2v q+6t+2w r+6u+2x-2p+3s+5v -2q+3t+5w-2r+3u+5x 7p+12s-4v 7q+12t-4w 7r+12u-4x=100010001=I<br />Esto conduce al sistema:<br /> p +6s +2v =1<br /> q +6t +2w =0<br /> r +6u +2x =0<br /> -2p +3s +5v =0<br /> -2q +3t +5w =1<br /> -2r +3u +5x =0<br /> 7p +12s -4v =0<br /> 7q +12t -4w =0<br /> 7r +12u -4x =1<br />Se escribe en la forma de matriz aumentada AIy se resuelve:<br /> 1 6 2-2 3 5 712-4 100010001R2->R2+2R1R3->R3-7R11 6 20 15 9 0 -30-18 100 210-701R2->115R21 6 20 1350-30-18 1002151150-701R1->R1-6R2R3->R3+30R210 -8/501 3/500 0 1/5-2/502/15 1/150-321<br />Respuesta. El sistema es inconsistente y A no es invertible. La ultima ecuación se lee 0=-3 o 0=2 o 0=1, dependiendo de cuál de los tres sistema (en p, s y v; o en q, t y w; o en r, u y x) se éste resolviendo. <br />17. B=123112012<br />Si B-1 existe, entonces:<br /> BB-1=123112012 p qrstuvwx= p+2s+3v q+2t+3w r+2u+3xp+s+2v q+t+2w r+u+2x s+2v t-2w u+2x=100010001=I<br />Esto conduce al sistema:<br /> p +2s +3v =1<br /> q +2t +3w =0<br /> r +2u +3x =0<br /> p +s +2v =0<br /> q +t +2w =1<br /> r +u +2x =0<br /> s +2v =0<br /> t +2w =0<br /> u +2x =1<br />Se escribe en la forma de matriz aumentada AIy se resuelve:<br />123112012 100010001R2->R2-R11 2 30 -1 -1 0 1 2 100-110 001R2-> -1R2123011012 1 001-100 01R1->R1-2R2R3->R3-R2101011001 -1 20 1-1 0-1 11R1->R1-R3R2->R2-R3100010001 0 1-10 2-2 -1-1 1 1<br />Respuesta. B es invertible y B-1= 0 1-10 2-2 -1-1 1 1.<br />19. A= 1 0-1 1 2 30 4 2 1-1 0 -1 3 57<br />Solución:<br />Si A-1 existe, entonces:<br /> AA-1= 1 0-1 1 2 30 4 2 1-1 0 -1 3 57j kn p lmqrstwx uv yz= j+2s+3w k+2t+3x-j+n+4w -k+p+4x l+2u+3ym+2v+3z-l+q+4y-m+r+4z2j+n-s+3w 2k+p-t+3x-j+5s+7w-k+5t+7x 2l+q-u+3y2m+r-v+3z -l+5u+7y-m+5v+7z=100010001=I<br />Esto conduce al sistema:<br /> j +2s +3w =1<br /> k +2t +3x =0<br /> l +2u +3y =0<br /> m +2v +3z =0<br /> -j +n +4w =0<br /> -k + p +4x =1<br /> -l +q +4y =0<br /> -m +r +4z =0<br /> 2j +n -s +3w =0<br /> 2k + p -t +3x =0<br /> 2l +q -u +3y =1<br /> 2m +r -v +3z =0<br /> - j +5s +7w =0<br /> -k +5t +7x =0<br /> -l +5u +7y =0<br /> -m +5v +7z =1<br />Se escribe en la forma de matriz aumentada AIy se resuelve:<br /> 1 0-1 1 2 30 4 2 1-1 0 -1 3 571001000000001001R2->R2+R1R3->R3-2R1R4->R4+R11 00 1 2 32 70 10 0 -5-3 710 10110000-20 101001R3->R3-R21 00 1 2 32 70 00 0 -7-10 710 101-10000-30001001R3-> - 17R31 00 12 32 70 00 0 110/77101 01 1 0 00 03/7 1/7 10-1/7001R4->R4-7R31 00 12 32 70 00 0 110/7001011 0 00 03/71/7-2-1-1/7011<br />Respuesta. El sistema es inconsistente y A no es invertible. La ultima ecuación se lee 0=-2 o 0=-1 o 0=1 o 0=1, dependiendo de cuál de los cuatro sistema (en j, s y w; o en k, t y x; o en l, u y y; o en m, v y z) se éste resolviendo. <br />