Apunte de topo ii 2014 2

Apuntes de Topografía II Semestre 2014-2
Ing. Clicerio Rivas Unzueta
I Plan de la materia de topografía II
Introducción. Los procedimientos que aquí se exponen son necesarios para que los
alumnos comprendan los principios para ubicar un punto con tres coordenadas y lo
requerido para interpretar la Altimetría, además de ser un complemento de la
Planimetría o Topografía I y así como para la Geología e Hidrología
NOMBRE: TOPOGRAFIA 11.
UNIDAD REGIONAL CENTRO DIVISIÓN: INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ACADEMIA: Construcción horas de cátedra
CIVIL Y MINAS
CARÁCTER OBLIGATORIA CRÉDITOS 10 TEÓRICA 04 TALLER 02
REQUISITO: TOPOGRAFÍA I SERIACIÓN POSTERIOR: GEOLOGÍA
Objetivo General:
Se capacita al alumno para complementar el curso de Topografía I al Orientar los Levantamientos y
para. Enfrentar problemas de altimetría en forma general.
INTRODUCCIÓN AL CURSO
1 ORIENTACION ASTRONÓMICA
Objetivo del Tema: Se le proporcionan los elementos generales para poder Orientar
una Línea Por métodos Astronómicos. Y la explicación de los
procedimientos a seguir para el uso de equipo para ello Tiempo 18 horas
1.1 Astronomía de Posición
1.2Introducción a la Trigonometría Esférica.
1.3 Métodos para Orientar.
1.3.1 Método de una posición del sol para por alturas absolutas para obtener el
rumbo de una línea
1.3.2 Utilización del G.P.S.

1.3.3 Método de dos posiciones del sol para la obtención de la latitud del lugar.
1.4 Ejercicios.

2 ALTIMETRÍA
Objetivo del Tema Exponer los procedimientos necesarios para obtener perfiles y
datos altimétricos de un terreno. El Alumno conocerá los procedimientos Necesarios
para la Realizar una nivelación y aplicarla en resolver problemas de cálculo de áreas y
cuantificación de volúmenes de movimiento de tierra. La exposición del uso del nivel
para este fin. 16 horas
2.1 Descripción de los instrumentos utilizados.
2.2 Nivelación Trigonométrica.
2.3 Descripción del Nivel, Tipos de nivel. Sus condiciones y Ajuste de Sus partes.
2.4 Nivelación Diferencial y Métodos de Comprobación.
2.5 Redes de Nivelación.
2.6 Nivelación de Perfil y Secciones Transversales.
3 CONFIGURACIÓN DE LOS TERRENOS.
Objetivo del tema:
En este tema el alumno podrá interpretar y manipular los datos en un plano de curvas
de nivel para él calculo de un perfil y unas secciones transversales. 10 horas
3.1Curvas de Nivel y sus propiedades
3.2Método de la Cuadrícula y de la Configuración para interpolar y obtener las Curvas
de Nivel.
3.3 Determinación de Áreas con Instrumentos y artificios y Calculo de volúmenes
utilizando las secciones transversales. Cubicación para el movimiento de Tierra.
4.0 PRESUPUESTOS Y COSTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS
TOPOGRÁFICOS.
Objetivo del tema: Presentar a los alumnos la alternativa de desarrollar los conceptos
necesarios para el cobro de un levantamiento topográfico.
4.1 Conceptos
4.2 Costo de los conceptos

4.3 Salario mínimo de un topógrafo
4.4 Rendimiento en la Topografía
4.5 Integración de los conceptos
4.6 Aranceles.
II. PRACTICAS DE TOPOGRAFÍA II
Objetivo del tema Aplicar lo aprendido durante el curso 22 horas.
Práctica introductoria:
RECORDATORIO EN EL USO DEL TRÁNSITO.
Practica I
ORIENTACIÓN ASTRONOMICA CON EL SOL PARA LA DETERMINACION DEL
RUMBO ASTRONOMICO E UNA LINEA
Práctica II
ORIENTACION ASTRONOMICA DETERMINACIÓN DE LA LATITUD.
Utilización del G. P. S. De bolsillo
Práctica III
Nivelación trigonométrica
Práctica V
Nivel uso, descripción y ajustes.
Práctica V
Nivelación diferencial

Métodos de comprobación: Ida y vuelta, doble posición del aparato, doble punto de
liga y estadal reversible.
Práctica VI
Nivelación de Perfil una línea de 300 metros mínimo con cadenamientos a cada 20
metros y puntos obligados
Práctica VII
Red de Nivelación Compuesta con dos circuitos y al menos un lado común
Práctica VIII
Curvas de Nivel en un polígono de 2000 m2 por el método de la cuadrícula.
Práctica IX
secciones transversales
Práctica X
curvas horizontales.
REQUISITOS DE EVALUACIÓN:
Examen General de Topografía: 3 semanas
La cátedra se desarrollará en dos etapas; el profesor presentará los temas estudiar
desde un punto conceptual, combinando la clase con ejercicios resueltos como

refuerzo didáctico. En la segunda etapa, se organizarán sesiones de práctica de al
menos dos horas por semana. Donde el alumno tendrá la oportunidad de recibir
adiestramiento adicional a través de ejercicios propuestos para resolverse en forma
individual o colectiva según la planeación que el maestro decida.
El estudiante deberá cumplir al menos con un 85 % de asistencia al curso para
derecho a examen; se tendrán tres periodos de evaluación parcial con valor de el 70%
el 10% asistencia y 10% tareas 10% y las exposiciones, aportaciones y otras
participaciones de los estudiantes dentro del programa para el curso serán aporte a
los porcentajes antes necesarios y mencionados

IV. Introducción al curso
La Asignatura de topografía II es en parte continuación de la materia topografía I y por
este motivo es requerido que se parta de un recordatorio de dicha materia.
Los elementos de topografía I necesarios para el curso de Topografía II son los que a
continuación se enumeran:
1 Poligonales Abiertas
2 Poligonales por radiaciones
3 Cálculo de coordenadas
4 Cálculo de distancias por coordenadas
5 Determinación de Rumbos por coordenadas
6 Cálculo y determinación de proyecciones
7 Cálculo de áreas por diferentes métodos
8 Dibujo por coordenadas y a escala
9 La relación de las direcciones: Rumbo, ángulo y azimut.
Los siguientes son ejercicios que a el alumno le brindarán un recordatorio preciso para
continuar el siguiente tema.
Ejercicio 1 diga las características de un ángulo.
a) la separación numérica de dos líneas
b) la abertura entre dos líneas unidas por un vértice
c) dos líneas abiertas una de la otra.
Ejercicio 2 muestre las propiedades de un Rumbo.
a) Es un Angulo, se mide en el sistema sexagesimal parte del norte en el sentido
de las manecillas del reloj, se mide solo de 0º a 90º y tiene dirección escrita.
b) Es una unidad angular que se mide por cuadrantes en el sistema Gradiantes,
no es mayor de 100º tiene dirección según el cuadrante

c) Es una dirección que se mide en ángulos parte de la línea este y de la línea
oeste de 0º a 90º en el sentido horario
Ejercicio 3 describa el azimut
a) Es un ángulo que se mide de un eje cartesiano en dirección oeste de 0º a 360º
b) Es un ángulo que parte de la línea sur norte en el sentido de las manecillas del
reloj de 0º a 365º
c) Es una dirección angular que parte de la línea norte en el sentido horario de 0º
a 360º.
Ejercicio 4 si se tiene una línea AB con un rumbo de N43º 22’ 30”E diga cual es el
azimut de la línea AB, escriba el rumbo inverso y muéstrelo gráficamente.
a) Azimut de AB 136º 37’30”
b) Azimut de AB 43º22’30”
c) Azimut de AB 223º22’
Ejercicio 5 si se tiene un rumbo de 21º 15’ 06” SE, diga cual es su rumbo inverso, el
azimut correspondiente y grafíquelo.
a) Rumbo 41º15’06” NW
Azimut 308º44’54”
b) N21º15’06”W

c) NW201º 15’06”
Ejercicio 6
Diga la diferencia entre rumbo, azimut y ángulo.
Ejercicio 7 se tiene un rumbo de la línea AB = SW 45º23’ 58” es necesario que
ponga su rumbo inverso y calcule el azimut correspondiente.
Ejercicio 8 se tiene el rumbo de una línea DE = NW 89º25’46” diga su rumbo
inverso, determine el azimut directo.
Ejercicio 9 se tienen las líneas con los Azimutes de AB = 36º52’24”, Azimut de AC
= 123º 45’ 36” , Azimut de AD = 249º 52’ 40”, Azimut de AE = 336º45’42”. Diga cual
es su azimut inverso de cada línea y diga cada uno de sus rumbos directos.
Ejercicio 10 se tiene un línea AB con un rumbo de N56º 22’ 55” E y otra línea AC
que parte del vértice A con un rumbo de S 02º35’45”W diga cuales son:
El Azimut directo e inverso de AB, de AC
El Rumbo Inverso de AB y AC
Determine el ángulo que forman las 2 líneas.
Ejercicio 11
Con los siguientes datos:

A partir de una línea AB con un azimut de 338º 23' 15"se mide otra línea partiendo del
vértice A y girando un ángulo a la derecha de la línea AB de 219º 31' 16" para llegar al
vértice C calcule el rumbo de AB y de AC y el azimut de AC
Ejercicio 12
Con los siguientes datos:
la línea AB tiene un Rumbo de 12
o
40' 20" al SW
otra línea AC que parte del Vértice A anterior con un rumbo de 88
o
36 ' 20" al SE
determine :
el Rumbo Indirecto de AB y de AC
el Azimut directo e indirecto de AB y de AC
los ángulos que forman las dos líneas
Ejercicio 13
con los datos siguientes:
la línea AB tiene un Azimut de 212
o
17' 25"
otra línea AC que parte del Vértice A anterior con un Azimut de 18
o
36 '10"
calcular:
los Rumbos directos e inversos de AB y de AC
Los Azimutes directos e inversos de AB y AC
el ángulo que forman las dos líneas.
V. Orientación Astronómica
El Proceso de Orientar consiste en determinar una dirección cuya principal línea base
es la Norte-Sur, para recordar las orientaciones que se conocen en el curso de
topografía I donde se le enseña al alumno a utilizar la brújula para obtener un rumbo,
un azimut o simplemente saber donde se encuentra el norte Magnético. Es la forma de
relacionar la posición del mapa con respecto a los "puntos cardinales", tal y como es
en la realidad el terreno en relación a tales ejes Norte, Sur, Este y Oeste. En éste
curso se enseñará el proceso y métodos para orientar astronómicamente.

Desde los primeros años de estudio, se nos ha enseñado a orientar donde se nos ha
dijo que pongamos el brazo derecho señalando hacia donde sale el sol el otro brazo
extendido señalará a donde se mete el sol y nuestro rostro mirará el norte tal como se
observa en la figura1.
fig.1
A esta orientación se le llama orientación Astronómica, debido al uso de un
astro para orientarnos. Existen otras formas de orientación como el uso de algunas
constelación en especial la constelación Osa mayor y Osa menor donde se localiza la
estrella polar esta muy próxima al norte, en la figura 2 se puede apreciar una manera
de apoyarnos de la osa mayor que es visible en todo el año para ubicar por medio de
Dubhie (A) y Merak (B) o estrellas señaladoras la estrella polar (C) la cual se
encuentra a cinco veces la distancia AB aproximadamente.
Fig. 2
Otra manera de orientar con la trayectoria del sol, se puede hacer mediante una
asta, que se encuentre parada en el piso donde le de el sol durante todo el día, se
pone sobre el suelo en el cual se coloca el asta perpendicular a éste, se podrá indicar
con tiza u otro elemento, el final de la sombra que produzca el asta por el sol y se
marcarán tantos puntos en el piso donde se encuentra colocada el asta como sea

necesario. Para obtener una buena orientación se recomienda cada 15 minutos o
menos y tres o mas antes del mediodía y tres o mas después de mediodía.
Se unen los puntos de la sombra que produce el asta a esto se le denomina
trayectoria del sol y se corta esta trayectoria en dos puntos con una distancia común d,
a partir del asta como se muestra en la figura 3, se unen los dos puntos de la
trayectoria del sol a esta línea se le llama meridiana y una perpendicular a esta línea
que parte del asta es el norte astronómico la precisión se mejora tomando mas puntos
de la trayectoria del sol. Tal como se muestra en la figura 3.
asta
trayectoria del sol
con las sombras del asta
Norte
Fig. 3
Otras formas de determinar la línea Norte- Sur es por procesos hechos con Tránsito y
reloj éstos son los métodos que veremos en este curso.
V.1 Astronomía de Posición
En Topografía la definición de Tiempo; es un suceso Astronómico, para cada
caso se tiene una unidad de tiempo como es el caso del Día, la Semana, el Mes y el
Año; las cuatro son unidades de tiempo que se enmarcan por diferentes sucesos o
Acontecimientos astronómicos.

Rotación Traslación
Fig. 4
Acontecimiento Astronómico
Unidad de Tiempo Duración en tiempo
Civil
Angulo de recorrido
Mov. De Rotación de
La Tierra respecto al sol
Día 24 horas(23 h 56m)
exactamente
360º
Fases de la Luna. Cuarto
creciente, Cuarto menguante
Semana
168 horas,
167.53333
Fases de la luna
Luna nueva, Luna llena
Mes 672 horas,
670.13333
Mov. De traslación de
La tierra alrededor del sol
Año 8760 horas,
8754.145
Tabla 1
Otro tipo de tiempo es el tiempo Civil :
Fue originado por la propuesta de 24 usos horarios que se desprenden de las
siguientes convenciones:
• La tierra es redonda y se divide en 24 gajos u horas los cuales resulta 360/24 =
15º estos gajos están formados por 24 meridianos o círculos máximos con una
abertura de 15º en un plano ortogonal.

• Su origen es el meridiano de Greenwich en Inglaterra se puede decir que la
distancia angular de 15º es el recorrido aparente del sol entre dos usos horarios
tambien una hora.
Existen Ejes, Planos, Meridianos, Paralelos y Usos horarios figura 5
Usos Horarios
Tierra
Meridiano de Greenwich
0h
1h2h
3h
1h
4h
Fig.5
Las coordenadas que se generan en un primer sistema de coordenadas
angulares son la longitud y la latitud y se denominan Coordenadas Geográficas
considerando a la tierra como una esfera como se observa en la figura 6.
M
eridiano
de
Greenwich
Ecuador
W
N
S
S
N
E
Fig. 6

Sistema de Coordenadas Geográficas
La coordenada longitud λ se mide de 0º a 360º al este o al oeste teniendo como
origen en centro de la tierra y sobre el meridiano de Greenwich su cero y la latitud
ϕ se mide de 0º a 90º al norte o al sur.
Las coordenadas angulares que se muestran en la figura 7, una de ellas es la altura A
ésta es el ángulo vertical del horizonte hacia el astro que se observe, se mide de 0 a
90º en este caso el sol o la estrella polar. La coordenada horizontal, también
angular es el Azimut del Sol y se mide como sabemos del norte en el sentido de las
manecillas del reloj de 0º a 360º.
cenit
nadir
horizonteh
Vertical
Az
A
E
h'
Fig.7
Sistema de Coordenadas Locales Horizontales
Las coordenadas ecuatoriales no son posible medirlas con un tránsito u otro
instrumento topográfico; una de ellas se mide por medio de instrumentos de
astronomía montados sobre telescopios, es la declinación δ de el sol u otros astros, se
mide de 0 a 90º y la otra es el Ángulo Horario H y se mide de 0 a 360º esto nos lo
muestra la figura 8

Ecuador
W
PN
PS
Angulo Horario
E
H
Declinación
Ejedelospolos
Fig.8
Sistema de Coordenadas Ecuatoriales
Los tres sistemas se intercalan en un solo gráfico y nos resulta un triángulo esférico
tal como se muestra en la figura 9
90 - latitud
Ecuador
Nadir
90-Altura
Eje
de
lospolos
PN
H
Az-180
Vertical
90 -Declinación
M
Horizonte
Fig. 9

V.2 Introducción a la Trigonometría Esférica
La solución de triángulos esféricos forma parte de la solución de problemas con el
triángulo astronómico , esto nos da la pauta para determinar las ecuaciones básicas
de la trigonometría esférica. Supongamos que el siguiente es un triángulo en una
esfera del cual haremos algunas consideraciones para fines de cálculo esto se puede
observar en la figura 10 :
Fig.10
Las siguientes son consideraciones necesarias para la determinación de las
ecuaciones básicas de la trigonometría esférica:
DAE forma un triángulo rectilíneo
DOE es otro triángulo rectilíneo
DE es lado común entre los dos triángulos anteriores
O es el centro de una esfera
OE, EB y OA son radios de la esfera cuyo valor será de 1 para fines de cálculo
AE es Tan b
AD es Tan c
OE es Sec b
OE es Sec c

El ángulo DOE = a
La ley de Cosenos establece que
AE
2
+AD
2
-DE
2
Cos DAE =
2*AE*AD (1) para el triangulo DAE y
OE
2
+OD
2
-DE
2
Cos DOE = (2) para el triangulo DOE
2*OE*OD
sustituyendo el lado común de los triángulos en las formulas (1) y (2) obtenemos una
ecuación de este tipo:
2*AE*AD*Cos DAE - AE
2
-AD
2
= -DE
2
(3) para la formula (1)
2*OE*OD*Cos DOE - OE
2
-OD
2
= -DE
2
(4) para la formula (2)
Igualando los valores de las formulas (3) y ( 4) obtenemos una sola ecuación:
-2*AE*AD* DAE + AE
2
+AD
2
= -2*OE*OD* Cos DOE + OE
2
+OD
2
(5)
si sustituimos los valores iniciales que consideramos en la ecuación (5) obtenemos:
-2 Tan b Tan c Cos A +Tan
2
b+Tan
2
c = -2 Sec b Sec c Cos a + Sec
2
b + Sec
2
c (6)

Las identidades trigonométricas que a continuación se muestran resultan:
sin(a) = A / C= (Cateto opuesto / Hipotenusa)
cos(a) = B / C = (Cateto adyacente / Hipotenusa)
tan(a) = A / B = (Cateto opuesto / Cateto adyacente) y si se les dan valores de a=3,
b= 4 y c= 5 como se indica en la figura 11
tenemos:
Sec B = 5/3
Tan B = 4/3
por tanto Sec
2
B - Tan
2
B = 2.77-1.77 =1
Fig. 11
Sec
2
b - Tan
2
b = 1 (7) y Sec
2
c -Tan
2
c = 1 (8)
sustituyendo estos valores en la ecuación (6) obtenemos:
-2 Tan b Tan c Cos A = - 2 Sec b Sec c Cos a +( Sec
2
b - Tan
2
b ) + (Sec
2
c -Tan
2
c )
-2 Tan b Tan c Cos A = -2 Sec b Sec c Cos a +2 (9)
dividiendo entre 2 y multiplicándola por -1 la ecuación (9) se obtiene:
Tan b Tan c Cos A = Sec b Sec c Cos a - 1 (10)
Pero como Tan b = Sen b / Cos b y Sec b = 1 / Cos b Sustituyendo estos valores
en (9)
Se logra lo siguiente:
B a=3 C
b=4
A
c=5

(Sen b / Cos b) (Sen c / Cos c ) Cos A = (1 / Cos b )(1/Cos c) Cos a -1 (11)
y si multiplicamos la ecuación (11) por Cos b y Cos c resulta:
Sen b Sen c Cos A = Cos a -Cos b Cos c (12)
Despejando Cos a obtenemos las ecuaciones básicas de la trigonometría esférica:
Cos a = Sen b Sen c Cos A +Cos b Cos c (13)
Cos b = Sen a Sen c Cos B +Cos a Cos c (14)
Cos c = Sen a Sen b Cos C +Cos a Cos b (15)
El triángulo Astronómico de la figura 12 se forma por los siguientes lados:
PN
Az-18090-latitud
90-declinación
Nadir
a
E
c
b
M
H
90-altura
A
C
B
Fig. 12
Sustituyendo los valores de los lados y vértices por los que están en círculos

En la ecuación (13)
Cos a = Sen b Sen c Cos A +Cos b Cos c (13)
obtenemos la siguiente expresión:
Cos (90- declinación) = Sen (90 – Latitud) Sen (90-Altura) Cos (Az-
180) +Cos(90 – Latitud) Cos (90-Altura) (16)
Y nos queda :
Cos (90- δ) = Sen (90 – ϕ) Sen (90-A) Cos (Az-180) +Cos(90 – ϕ) Cos
(90-A) (17)
Pero como Cos 60º = Sen 30º entonces Cos (90-ϕ) = Sen ϕ y supliendo esta
aseveración en la fórmula 17 resulta:
Sen δ = Cos ϕ Cos A Cos Az +Sen ϕ Sen A
(18)
Y despejando el Azimut obtenemos:
Cos Az = (Sen δ− Sen A Sen ϕ) /(Cos A Cos ϕ)
(19)
fórmula para obtención del azimut del sol en un momento dado.
V.3 Métodos para Orientar
V.3.1 El Método de una posición del sol y alturas absolutas, para obtener el
Azimut del sol en el momento de la observación; el procedimiento es usado para
determinar el Rumbo Astronómico de una línea. Procedimiento de campo (ver el
manual de prácticas de Topografía II 2003-2).
Ejemplo 1
Transito utilizado : Topcon aproximación de 01” digital

Fecha __17 julio 2006__Lugar __Hermosillo, Son__Latitud _a 3.1 Km. al norte de 29º04’29”
Estación Punto
visado
Ang. Hor. θ Ang. Vert. φ Hora R.M.O.
P Q 0º 00’ 00”
Sol p.d. 6º 27’42” 62º 15’ 16h 35m 23 s
Sol p.i. 187º36’40” 298º56’20” 16h37m40s
Promedios 07º02’11” 28º20’20” 16h 36m31.5s
p.d. Posición directa del instrumento
p.i. Posición inversa del aparato
R.M.O. Rumbo Magnético observado de la línea
Promedios de los ángulos horizontales:
θm = =
−+
2
180403618742276 )º"'º("'º
07º02’ 11”
Promedios de los ángulos verticales:
φm = =
−+−
2
270205629840156290 )º"'º()"'º(
28º20’20”
Promedios de las horas de observación:
hm = =
+
2
403716233516 smhsmh
16h 36m 31.5
Cálculo de la latitud del lugar La latitud se puede obtener de las siguientes
formas:
• Utilizando parámetros y con una latitud conocida.
• Por métodos gráficos en una carta topográfica.
• Utilizando el método de dos posiciones del sol en un momento dado
• Utilizando un instrumento Llamado G.P.S. o geoposicionador satelital.

En la primera forma se requiere de los datos que se proporcionan en el ejemplo 1
una latitud conocida y la distancia sur-norte ò norte-sur desde el punto donde se hace
la observación al punto de donde se conoce la latitud.
Como la relación entre la circunferencia y la distancia radial es Rπ2
360º
= Dist
ang
y la
tierra tiene un radio medio aproximado de 6378 Km. Podemos obtener la distancia
angular de cualquier distancia lineal considerando la tierra redonda
.
º
Km
dist
63782
360
π = distancia angular
por lo tanto :
Latitud del lugar = ϕ de referencia
+
63782
360
π
dº
Donde d es la distancia sur-norte o norte-sur de la latitud conocida al punto del que se
requiere la latitud, ϕ es latitud, 6378 radio medio de la tierra.
El signo Siempre será positivo si el punto del que se requiere la latitud está al norte de
la latitud de referencia y será negativo si esta a l sur.
Latitud del punto P del ejemplo 1:
ϕp = 29º04'29"+ 63782
13360
π
.º
= 29º23’20.5” esta es nuestra primera
coordenada
Otra manera de obtener la Latitud es por medio de un G.P.S.
Altura corregida por refracción y Paralaje
Refracción: es el fenómeno mediante el cual un rayo luminoso pasa de un medio
homogéneo a otro, sufriendo por lo general un cambio de dirección. Para fines
prácticos; se recomienda utilizar una constante para corregir la altura, si los
levantamientos de efectúan a una hora y media de salido el sol y una hora y media
antes de que se ponga calcule la refracción con la siguiente constante ver la figura 13:
r = 56.249” [Tan (90-φm )]

Fig. 13
Altura A= φm – r + p (20)
Donde:
A es la altura del horizonte a la estrella que se observe en este caso el sol
La refracción se señala como r
Y p es el paralaje
En el caso del paralaje también consideraremos una constante como se observa en la
siguiente expresión:
p = 8.8” [Tan (90-φm )]
Fig 14
A=28º20’20”-56.249”(Tan(90-28º20’20”))+8.8”(Tan(90-28º20’20”))=28º18’52.02”
Declinación del sol a la hora de la observación:
La siguiente coordenada es la declinación δ la que se obtiene mediante el anuario
astronómico que editan observatorios astronómicos en este caso en la tabla del
anuario correspondiente a la declinación a las cero horas del meridiano de greenwich
p
Ionósfera
Mesosósfera
Capa de Ozono
Estratósfera
Tropósfera
Tierra
Sol real
Sol refractado
r

editado por la NASA (anexo 1) se observa las fechas van de dos en dos días y se
toma la declinación del sol el 14 de septiembre y la del 16 de septiembre:
δsol del 14 de sep. de 2003 = 3º39'21.5"
δsol del 16 de sep. de 2003 = 2º53'16.8"
el promedio da la declinación del día 15 de septiembre de 2003
δsol del 15 de sep. de 2003 = 3º16'19.15"
Como el valor de la δ que proporciona el anuario astronómico es a las o h
del meridiano
de Greenwich es necesario corregir estos datos respecto al tiempo, primero se corrige
el tiempo del anuario que es de 7 horas obteniendo la hora corregida por tiempo de
anuario hc en este caso por la diferencia entre el meridiano que existe en Hermosillo y
el meridiano de Greenwich, en segundo término se corrige la diferencia de horas entre
las o
h
y la hora promedio a las que fue hecha la orientación para ello se debe
calcular la variación horaria de la declinación Vh δ lo cual se realiza mediante una
regla de tres simple.
hc= hm +7horas = 16h36m 31.5s +7 h = 23h 36m 31.5s
Vh δ =
h
sep
48
1614 δδ -sep
= -57.6”
Determinación de la declinación del sol a la hora de la observación .
δsol = declinación del sol el día de la observación + Corrección por intervalo de
tiempo
δ sol = δ 15 de sep + CI (22)
CI = hc x Vh d (23)
para el ejemplo 1 obtenemos la declinación del sol en el momento de la
observación como a continuación se muestra:
δsol = 3º16'19.15"+ [(23h 36m 31.5s) (-57.6”)]

δsol = 2º53’ 39.29”
Integrando los valores de las tres coordenadas en la formula del Azimut
ϕ
A
δsol
Utilizando la Ecuación (19) obtenemos el Azimut del Sol :
Cos Az = (Sen δ− Sen A Sen ϕ) /(Cos A Cos ϕ) (19)
Azsol = Cos
-1
[(Sen δ− Sen A Sen ϕ) /(Cos A Cos ϕ) ] (19 a)
Azsol = Cos
-1
[(Sen 2º53’ 39.29”- Sen 28º18’52.02” Sen 29º23’20.25”) /(Cos
28º18’52.02” Cos 29º23’20.25”) ] = 103º44'45.6"
Por las tardes el sol se encuentra en el cuadrante SW por lo que la fórmula genera un
Contra azimut el cálculo del rumbo astronómico se realiza mediante el croquis de los
ejes cartesianos y se suma el ángulo horizontal promedio al contra-azimut como se ve
en la figura 15
07º02'11"
Contra
azim
ut
103º44'4
5.6"
Sol
Q
θm=
W
SRum
bo
Astronom
ico
E
P
N
Fig. 15
El valor del Rumbo astronómico calculado se obtiene sumando el ángulo horizontal
promedio y el azimut del sol y observando en el croquis el cuadrante donde queda:
Rumbo astronomico PQ = 180 - (103º44'45.6"+ 07º02'11")=S 69º13'3.4"
W
Ejemplo 2
Transito utilizado : lietz aproximación de 01’ mecánico

Fecha 24 sep 2003 Lugar Caborca, Son_Latitud _a 2.63 Km. Al sur de 30º 36’50”
Estación Punto
visado
Ang. Hor. Ang. Vert. Hora R.M.O.
G Moj.H 0º 00’ 00”
Sol p.d. 325º32’ 27º 12’ 8h 45m 23 s
Sol p.i. 146º13’ 27º 59’ 8h 47m40s
Promedios 325º52’39” 27º35’30” 8h36m31.5s
p.d. posición directa del instrumento
p.i. posición inversa del aparato
R.M.O. Rumbo Magnético observado de la línea
Promedios de los ángulos horizontales
θm = =
+
2
1314632325 º'º
325º52’ 39”
Promedios de los ángulos verticales
φm = =
+
2
59271227 'º'º
27º35’30”
Promedios de las horas
hm = =
+
2
4037823458 smhsmh
8h 46m 31.5 s
Cálculo de la latitud del lugar:
ϕG = 30º35'32"- 63782
632360
π
.º
= 30º35’24.95”
Calculo de la altura.
A = 27º35’30”-56.249”(Tan (90-27º35’30”)+ 8.8”(Tan (90-27º35’30”) = 27º33’ 59.2”

Determinación de la Declinación de sol el día de la observación :
δsol = declinación del sol el día de la observación + Corrección por intervalo de tiempo
δ sol = δ 24 de sep + CI
CI = hc x Vh δ
La hora corregida por el horario del anuario:
hc= hm +7horas = 8h 46m 31.5s +7 h = 15h 46m 31.5s
Vh δ =
h
sep
48
2524 δδ -sep
= -58.45”
δsol = -0º12'51"+ [(15h 46m 31.5s) (-58.45”)]
δsol = -0º36’ 00.67”
Azsol = Cos
-1
[(Sen δ− Sen A Sen ϕ) /(Cos A Cos ϕ) ]
Azsol = Cos
-1
[(Sen -0º36’ 00.67”- (Sen 27º33’ 59.2”Sen 30º35’24.95”) /
(Cos 27º33’ 59.2”Cos 30º35’24.95”) ] = 108º36'28"
El resultado es un azimut directo por ser en la mañana según se muestra
en la figura 16
W
G
Moj H
Rum
bo
Astronom
ico
S
Sol
325º 52'39"
E
N
azim
ut
θm=
108º36'28.45"

Fig. 16
Rumbo astronomico de G a Moj H = 325º52’39’ – 108º36’28.45”-180= S37º16’ 10.5”E
Nota: el sol se encuentra por las mañanas en el cuadrante SE
V.3.2 Método de dos posiciones del sol para obtener la latitud del lugar
En este Método se hace el mismo procedimiento de campo (ver Manual de prácticas
de Topografía II) que en el método de una posición. La diferencia estriba en que los
datos se deben tomar con mayor precisión, la hora se toma a los segundos y de
preferencia con cronómetro, se requieren de dos series de observaciones que estén
separadas en promedio por 20 a 30 minutos en tiempo. El siguiente registro nos indica
el formato que se debe seguir.(formato de la Latitud por dos posiciones del sol anexo
2). Para ilustrar mejor este procedimiento se irá realizando un ejemplo y al mismo
tiempo se dará la explicación.
Dia 11 de septiembre 2003 declinación 10 sep 03= 05º 10’ 40.3”
Tránsito mecánico 1’ declinación 12 sep 03= 04º 25’ 10.1”(Anexo 1)
estación Punto
observad
o
Angulo
horizontal
Angulo vertical Hora Rumbo
magnetico
A B 0º 00’ 00” 27ºNE
Sol p.d. 29º40’ 37º 15’ 9: 20: 10:
Sol p.i. 210º17’ 36º 52’ 9: 22: 17:
Promedio 29º58’30” 37º03’30”
A B 0º 00’00”
Sol p.d. 32º36’ 41º 02’ 9: 41: 25:
Sol p.i. 213º26’ 40º 47’ 9: 42: 58:
Promedio 33º 01’ 40º 54’ 30”
1ª posición
2ª posición
No mas de
30minutos ni
menos de 20

p.d. posición directa del instrumento
p.i. posición inversa del aparato
R.M.O. Rumbo Magnético observado de la línea.
El primer paso es para determinar los promedios de las observaciones, separándolas
por cada una de ellas.
Promedios de los ángulos horizontales:
θm1 = =
−+
2
180172104029 )º'º('º
29º58’ 30”
θm2 = =
−+
2
180262133632 )º'º('º
33º01’
Promedios de los ángulos verticales:
φm1 = =
+
2
52361537 'º'º
37º03’30”
φm2 = =
+
2
47400241 'º'º
40º54’30”
Promedios de las horas de observación:
hm = =
+++
4
58429254191722910209 smhsmhsmhsmh
9h 31m 42.5s
B= 33º01’ -29º58’ 30”= 3º02’30”
Calculo o corrección de la altura.
A1 = 37º03’30”-56.249”(Tan (90-37º03’30”)+8.8”(Tan (90-37º03’30”) = 37º02’ 03.87”
A2 = 40º54’30”-56.249”(Tan (90-40º54’30”)+ 8.8”(Tan (90-40º54’30”) = 40º53’ 14.93”
Am = =
+
2
9314534087030237 ".'º".'º
38º57’39”
A2-A1=40º53’14.93”-37º02’03.87” esta diferencia es valor absoluto =3º51’11.06”

Determinación de la Declinación de sol el día de la observación :
δsol = declinación del sol el día de la observación + Corrección por intervalo de tiempo
δ sol = δ 24 de sep + CI
CI = hc x Vh δ
La hora corregida por el horario del anuario:
hc= hm +7horas = 9h 31m 42.5s +7 h = 16h 31m 42.5s
Vh δ =
h
sep
48
1210 δδ -sep
=
h48
3""-5º10'40.04º25'10.1
= -56.88”
δ11 sep =
2
40.3"10'"-5º04º25'10.1
=4º 47’55.05”
δsol = 4º 47’55.05” +[(16h 31m 42.5s) (-56.88”)]
δsol = -0º36’ 00.67”
El argumento M o ángulo paraláctico se determina mediante la siguiente formula:
Tan M =
12 AA
B
−
AmCos
= =
"'º
)"'º("'º
1 15 13
3 95 73 83 00 23 Cos
31º32’34.09”
La fórmula siguiente calcula la Latitud del lugar
Sen ϕ= Sen Am Senδsol + Cos Am Cosδsol Sen M = 23º35’19.39”
( ver Formato de Anexo 2)
La anterior fórmula se determina utilizando la siguiente ecuación(14)
VI. Altimetría
VI.1 Definiciones

Parte de la topografía que estudia los desniveles, las elevaciones, las distancias
inclinadas y las pendientes del terreno mediante procesos sencillos que denominamos
métodos.
La altimetría también llamado control vertical, se encarga de la medición de las
diferencias de nivel o de elevación entre los diferentes puntos del terreno, las cuales
representan las distancias verticales medidas a partir de un plano horizontal de
referencia. La determinación de las alturas o distancias verticales también se puede
hacer a partir de las mediciones de las pendientes o grado de inclinación del terreno y
de la distancia inclinada entre cada dos puntos.
Desnivel distancia vertical entre dos o más puntos en la figura 19 se observa el
desnivel en un triángulo rectángulo formado por el horizonte, la unión entre los puntos
inclinados y la distancia horizontal
Fig. 19
Elevación: plano horizontal de referencia en la figura 20 se ven los distintos planos
horizontales que indican las elevaciones.
Fig. 20
Desnivel

Referencia es indicada como el origen de las elevaciones y puede ser arbitraria u
oficial; En el primer caso la referencia arbitraria su origen es cualquier numero que se
establezca.
En el otro caso la referencia oficial es una elevación que tiene un origen
preestablecido ya sea partiendo del nivel medio del mar como se observa en la figura
21 o del nivel cero del geoide o del elipsoide según sea el caso.
Fig 21
Distancia inclinada es el valor de la diagonal formada por el desnivel y la distancia
horizontal de un triangulo que siempre es rectangular
La pendiente del terreno es la inclinación que tiene en forma porcentual esto
significa que la pendiente 0% de un terreno es horizontal y la pendiente de 5 % indica
que el terreno va subiendo 5 m por cada 100 m de distancia horizontal, una pendiente
de -4% indica que se baja 4 m en 100m la pendiente se indica en el sentido en el que
baje o suba. Es el cociente entre el "desnivel" y la "distancia reducida", expresada en
tanto por ciento (%). Se indica con un signo y si la pendiente se grafica en un plano se
le da el sentido mediante una flecha.
Viene dada por la siguiente fórmula:
PAB = ( d
Dn
) * 100 = { d
hj −
}* 100
Nivel medio del mar
Pendiente de -4
%
Pendiente de 5
%
4 m
5 m
100 m

En donde:
PAB = pendiente de A a B en %
Z = desnivel
d = distancia reducida
(j)= cota del punto "B"
(h)= cota del punto "A"
Fig. 22
VI.2 Métodos para Nivelar
VI.2.1 Nivelación trigonométrica
El primer método para determinar el desnivel entre dos puntos se llama: nivelación
trigonométrica que consiste en utilizar procedimientos de la trigonometría para
determinar principalmente el desnivel entre dos o mas puntos pero también se pueden
determinar la distancia inclinada entre dos puntos, la elevación de un punto si se
conoce la del punto donde se parte y la pendiente si se requiere.
En un primer caso tenemos los siguientes datos como se ven en la figura 23:
Donde:
AI altura de instrumento
A el punto donde esta el aparato
B y C son los puntos visados
normalmente de los que requerimos
obtener resultados
DH AB es la distancia horizontal de AB
DH AC es la distancia horizontal de AC.
Ang. V B es el ángulo vertical hacia B
Ang. V C es el ángulo vertical hacia C
Elev. A elevación en A
El cálculo de los desniveles, distancias inclinadas, elevaciones y pendientes se
formula de la siguiente manera
DH AB
AI
φ2
DH AC
A
φ1
C
B
Fig. 23

Ejemplo Figura 23A
Determine la altura del edificio en los puntos Dn AC, Dn AC, Dn BC, DI AB, DI AC
Elevación de B, Elevación de A y Pendiente de AC con los siguientes datos:
DH AB= 23.44
DH AC= 23.44
1º 10'
A I = 1.66 m
A
8º 24'
Elev. C = 207.440
C
h'
Dn AC
B
h
DnAB= 1.66+h = 1.66 +(23.44tan 8º24’)=1.66+3.461 =5.121 m
Pero h’ = 23.44tan 1º10’ = 0.477 por lo que C está mas arriba que A
DnAC= 1.66- h’ = 1.66 -(23.44tan 1º10’)=1.66-0.477=1.182 m
Dn BC= -3.461 –0.477=-3.908
DI AB=((5.121
2
)+( 23.44
2
))
1/2
= 23.993 m, DI AC = ((1.1832)+(23.442))1/2 = 23.469
Elevación de B= 207.44 + 3.904= 211.348, Elev.A= 207.44-1.183=206.257
Pendiente de AC = (1.183*100)/23.44 =5.047 %
Ejemplo datos de figura 23B
Fig. 23A

B
C
A
6º 21'
17º 25'
AI = 1.63
DH AB = 29.795
DH AC = 27.481
Fig. 23B
DnAB= 1.63+h = 1.66 +(29.795tan 17º25’)=1.63+9.347=10.977 m
DnAC= h’-1.63 = (27.481Tan 6º21’)-1.63=3.058-1.63=-1.428 m
Dn BC= -9.347-3.058=-12.405 m
DI AB=((10.977
2
)+( 29.795
2
))
1/2
= 31.753 m, co
DI AC=((1.428
2
)+(27.481
2
))
1/2
= 27.518
Elevación de A= 217.342 – 10.977= 206.365, Elev.C= 217.342-12.405=204.937
Pendiente de AC = (-1.428*100)/27.481 =-5.196 %
Segundo caso: cuando no se conoce la distancia entre los puntos de los que se
requiere el desnivel ejemplo Figura 23C:
Se requieren calcular :
El angulo C
Distancia horizontal AC
Desnivel AC
Elev B= 217.342

Elevación de C
20º 18'
AI = 1.695
A
C
DH
AB
= 116.245
B
42º 33'
101º 17'
ang. C
Elev. A = 216.35
Fig. 23C
Angulo C = 180-(42º33’+101º17’)= 36º10’
DHAC/Sen 101º17’=DHAB/Sen 36º10’
Despejando DHAC= (116.245 * sen 101º17’)/sen 36º10’= 193.173 m
Dn AC = AI +( DHAC*Tan 20º18’) =73.152 m
Elevación de C= 216.35+73.152= 289.502
El tercer caso se deja de tarea:

C
A
B

VI.3 Tipos de nivel
Los instrumentos topográficos para la nivelación, entendiendo la nivelación como el
sostenimiento de un plano horizontal sobre el terreno, la figura 26 nos da la idea del
objeto de todos los tipos de nivel.
Fig. 26
VI.4 Nivelación diferencial
Es un Método topográfico que se utiliza cuando se requiere conocer el desnivel entre
uno o mas puntos del terreno, existen dos casos :
VI.4.1La nivelación de distancias cortas, en este caso los estadales
1
se pueden ver en una sola posición figura 27 del instrumento (nivel montado
2
).
Nivelación Diferencial distancias cortas
A
B
Estadal
Nivel
Terreno
Estadal
Fig. 27
Desnivel de AB = Lectura de estadal en A – Lectura de Estadal en B
Desnivel de AB = Elevación en B – Elevación en A
DNAB = LEA - LE B
DNAB = Elevación de B – Elevación de A
Nivel de mano Nivel de regla Nivel Dumpy Nivel láser

Punto Observado Lecturas
Atrás L+
Elevación del
instrumento (EI)
Lecturas
adelante L-
Elevaciones
A 1.836 101.836 100
B 0.695 101.141
sumas 1.836 0.695
Por lecturas de estadal: DNAB = 1.836 – 0.695 = 1.141
Por diferencia de elevaciones: DNAB = 101.141 – 100 = 1.141
VI.4.2 La nivelación Diferencial en distancias largas esto sucede cuando se
tiene mas de una posición del aparato ver figura 28, es decir se mueve en varias
ocasiones auxiliándose por medio de puntos de liga PL
3
el objetivo es el mismo:
determinar el desnivel entre uno o más puntos.
A
PL1
Ni velación Di f er encial distancias largas
PL2
PL3 B
LEA(+ )
LEB (-)
LEPL1(+ )
LEPL1(-)
LEPL2(+ )
LEPL2(-)
LEPL3(-)
LEPL3(+ )
Fig. 28
Punto
Observado(PO
)
Lecturas atrás
L+
Elevación del
Instrumento( EI)
Lecturas Adelante
L -
Elevaciones
de los puntos
A 1.652 101.652 100
PL1 2.369 103.198 0.823 100.829
PL2 2.975 102.260 3.913 99.285
PL3 0.601 100.5 2.361 99.899
B 1.236 99.264
Sumas 7.597 8.333

DNAB = (∑LE +) - (∑LE - )
DNAB = Elevación de B – Elevación de A
DN AB= 7.597- 8.33 = -0.736 Calculo del desnivel con lecturas de Estadal
DN AB= 99.264-100 = -0.736 Cálculo del Desnivel por diferencia de Elevaciones
1
Estadal es una regla graduada al centímetro existen dos tipos de estadales
Fig. 30
3
Instrumento para nivelar los hay del tipo Dumpy, automáticos, electrónicos y láser se observan algunos
en la fig 26
4
El punto de liga es un punto que sirve para ligar nivelaciones diferenciales cortas con las nivelaciones
de distancias largas.
Banco de Nivel: es un punto de referencia por lo general inamovible que se pueda
encontrar fácilmente, invariables y que tiene elevación conocida: ver figura 31
b) De extensión o Philadelphia son estadales de
diferentes materiales y distintas dimensiones hasta
de 8 metros figura 30
a) de charnela o bisagras que consiste en reglas
graduadas de madera por lo general de 4 metros figura
29
Fig. 29

Fig31
VI.4.3 Errores en la Nivelación Diferencial
Como todo procedimiento tiene posibilidades de error, y por esto también es necesario
un límite de error el cual se denomina tolerancia que consiste en un margen de error
permisible que está dado por la siguiente formula:
Tolerancia = la precisión requerida por la raíz cuadrada de la distancia de recorrido en
kilómetros.
Tol. = p (k)
1/2
Donde
Tol. = tolerancia ver tabla 4

Tipo de
Nivelación
Tolerancia
Nivelación
precisa
Tol.=0.001√k
Tol.= 0.005√k
Nivelación
topográfica
Tol.= 0.01√k
Tol.= 0.025√k
Nivelación de
estudio
Tol.= 0.03√k
Tol.= 0.05√k

VI.4.4 Comprobación de las nivelaciones diferenciales: este es un
procedimiento que se lleva acabo mediante alguno de los siguientes métodos:
1. Nivelación de ida y regreso. Figura 32
2. Mediante doble o triple punto de liga. Figura 33
3. Por doble o triple altura de Instrumento. Figura 34
4. Con estadal reversible o de doble cara. Figura 35
5. Mediante Redes de nivelación en circuitos para control verticales de zonas
urbanas y circuitos de riego. Figura 36
Fig 32

Fig. 33
Fig. 34

Nota del maestro:
Las comprobaciones de nivelaciones por doble o triple altura de instrumento,
doble o triple punto de liga y estadal reversible, son métodos que no comprueban en
si ni propiamente la nivelación solo, las lecturas del o los estadales, esto quiere decir
que lo que se puede hacer simplemente es leer la lectura en el estadal salir del ocular
del aparato, apuntar la lectura y volver a observar el estadal y comprobar que la
lectura que anotamos es la misma o cercana por milésimas de metro a la anterior.
Los únicos métodos que realmente comprueban el que el instrumento esté
desajustado, se hayan cometido errores en las lecturas, se pudieran anotar en forma
equivocada las lecturas, son el método de comprobación de ida y vuelta y las redes de
nivelación pero es bueno ir comprobando nuestras lecturas cuando se haga una
nivelación diferencia. Este último procedimiento compensa o corrige los errores
cometidos en las nivelaciones que estén dentro de tolerancia.
Ejemplo 8
Comprobación de las nivelación diferencial por el método de ida y vuelta supóngase
que se realiza una nivelación de ida y vuelta entre el BN3 y el BN 4 que están a una
distancia de 785 m y se tiene que realizar con una tolerancia = 0.03 (K)
1/2
:
Registro de nivelación de ida
P.O. L + E.I. L- Elevaciones
BN3 1.678 125.305+1.678=126.983 125.305
PL1 1.715 123.615+1.715=125.330 3.368 126.983-3.368=123.615
PL2 1.593 121.438+1.593=123.031 3.892 125.330-3.892 =121.438
BN4 3.425 123.031-3.425 =119.606
Suma
s
4.986 10.685
Dn BN3-Bn4 = 4.986-10.685 =-5.699
Dn BN3-Bn4 =119.606-125.305 =-5.699

Registro de nivelación de regreso
P.O. L + E.I. L- Elevaciones
BN4 3.702 123.308 119.606
PL2 3.675 125.118 1.865 121.443
PL1 3.206 126.811 1.513 123.605
BN3 1.487 125.324
sumas 10.583 4.865
Dn Bn4-BN3 = 10.583-4.865 =-5.718
Dn Bn4-BN3 =125.324-119.606 =-5.718
Error de cierre en la nivelación de ida y vuelta es la diferencia de niveles o la diferencia
entre la elevación de partida y con la elevación que se llegó de regreso.
Ec =5.699-5.718 = -0.019
Ec =125.305-125.324 = -0.019
Tol= 0.03 (0.785
r
)
1/2
= 0.027
Tol.>Ec. Por lo que está dentro de tolerancia.
r
Algunos autores consideran la distancia doble por ida y vuelta.
VI.4.5 Recomendaciones para realizar en forma efectiva las nivelaciones
Diferenciales:
• Ponga el nivel montado en medio de los dos puntos en donde lee el estadal.
• No lea lecturas menores de 60 centímetros en distancias largas y lugares con
temperaturas mayores a 38º C.
• Procure hacer el menor número de posiciones de aparato posibles.
• Cuando las lecturas no se puedan ser vistas o requiera enfocar con el enfoque
de hilos, deje de realizar la nivelación, las nivelaciones son mejores en la
madrugada.
• Verifique el nivel antes de usarlo.
• Lleve registros limpios, entendibles y en libretas adecuadas.
• Deje Referencias para los bancos de nivel y Puntos de liga

Ejercicios para el curso:
Al menos una nivelación de ida y vuelta en práctica se debe realizar y los ejercicios
en el Problemario del semestre 2003-2 para habilitarse en estos temas

VI.5 Ajustes del Nivel.
El nivel como instrumento, requiere que se verifique que sus partes principales
funcionen adecuadamente; para esto, es necesario conocer las condiciones mínimas
requeridas para su buen funcionamiento en tabla 8 se mencionan los ajustes, las
condiciones que deben cumplir y lo que se debe hacer para ajustar en caso de existir
error.
Tabla 8 Ajustes del Nivel Montado.
Parte que
se ajusta
Condición
que debe
cumplir
Verificación que se hace Ajuste que se
debe realizar
Nivel
Tubular
La gota Debe
permanecer en
sus directrices
figura 29
En cualquier
lado que se
mueva
Se nivela el nivel en cero grados y
en 90°, se gira a 180° y debe
permanecer la burbuja en sus
directrices si no
Se ajusta la mitad
con los tornillos
niveladores y la
otra mitad con los
tornillos de
calavera del nivel
tubular
Nivel
circular
La gota Debe
permanecer
dentro del
círculo figura 30
En cualquier
lado que se
mueva
Se nivela el nivel en cero grados,
se gira a 180° y debe permanecer
la burbuja en el círculo si no
Se ajusta la mitad
con los tornillo
niveladores y la
otra mitad con los
tornillo de calavera
del nivel circular
Hilos de
retícula
El hilo vertical
debe coincidir
con el eje de la
plomada
Se visa con el hilo vertical el hilo
de una plomada y debe coincidir si
no
Se corrige
aflojando dos
tornillos contiguos
del ajuste de los
hilos y se giran

hasta que la línea
de la plomada
coincida con el hilo
vertical de retícula
Línea de
colimación
La línea de
colimación debe
coincidir con el
eje azimutal, el
hilo horizontal
debe
permanecer en
un plano
horizontal, a
donde quiera
que se gire el
instrumento
Se sitúa el aparato en medio de
dos puntos A y B a 50 metros
aproximadamente,
Se nivela el instrumento, se visa el
punto A y se lee un estadal, y se
hace lo mismo en B, se transporta
el instrumento cerca del punto A, a
un metro y se vuelve a leer el
estadal en A y En B.
Si los desniveles en las dos
ocasiones son iguales el nivel
está correcto, si no
Se corrige, llevando
el hilo horizontal a
la lectura de
corrección, en el
punto A como se ve
en el ejemplo 7
Ejemplo 7 se pone el instrumento en medio de los punto A y B ya nivelado el aparato
se visa el estadal en el punto A y posteriormente el estadal en el punto B. Se pasa el
Nivel cercano al punto A y se vuelven a leer las lecturas en el estadal y se obtienen las
siguientes lecturas como se ve en la figura 35:
A
B
LE1BLE1A
LE2BLE2A
dd

Fig.35
Lectura 1 de estadal en A; LE1A = 2.368
Lectura 1 de estadal en B; LE1B = 1.206
Lectura 2 de estadal en A; LE2A = 1.865
Lectura 2 de estadal en B; LE2B = 0.725
El Desnivel Real es igual a la diferencia de lecturas en el estadal, debido a que el error
que pudiera tener el instrumento, se compensa por estar el aparato exactamente en
medio de los puntos Ay B.
DNR = LE1A-LE1B
Al pasar el nivel a uno de los extremos si existiera error se exageraría por lo que
obtenemos un desnivel de comparación como sigue
DNC = LE2A – LE2B
Si los desniveles son iguales no existe error de colimación, resolviendo el ejemplo
anterior obtenemos:
DNR = 2.368 -1.206 = 1.162
DNC = 1.865 - 0.725 = 1.140
Son diferentes, entonces; El error de colimación es: Ec = DNR- DNC = 1.162-
1.140 = 0.022
Se corrige obteniendo en la última posición del nivel la lectura de corrección LCA =
LE2A (+/- ) DNR en este caso esta lectura de corrección es:
LCA = 1.865-1.162 = 0.703;
Entonces se lleva el hilo horizontal a esta lectura en el estadal en el punto B mediante
los tornillos para ello.

VI.5 Nivelación de Perfil
Este otro método de nivelación también nos sirve para determinar el desnivel entre
dos o más puntos, a diferencia de los otros métodos la nivelación de perfil permite ver
en forma gráfica la forma del terreno ubicado o dibujado por medio de dos
coordenadas una de ellas el Kilometraje en el sentido de las abscisas y en el sentido
de las ordenadas las elevaciones, por lo general las gráficas se realizan a escalas
definidas y diferentes en el sentido vertical elevaciones y el horizontal kilometraje
q
El dibujo de perfiles se lleva acabo como una gráfica con dos coordenadas
rectangulares en este caso en el eje de la X se dibujan los kilometrajes y se sitúan
por cadenamientos
s
a cada 20 metros, en el caso del eje de la Y, se dibujan las
elevaciones, las dos a escalas distintas es decir, una escala vertical y una horizontal
procurando que la escala Vertical sea igual en su primer dígito y la escala
Horizontal con mas dígitos ceros tal como se muestra en la figura 42. Los puntos
obligados
t
también se dibujan.
Elevaciones
0+000
200
202
204
Esc. V = 1:2
210
208
206
212
Y
0+040
0+020
0+060
0+100
0+080
0+120
X
Puntoobligado
Kilometrajes
Esc. H = 1:20

Fig. 42
t
Puntos Obligados son Puntos donde cambia la pendiente en el terreno y que no coinciden con los
cadenamientos exactos de 20 en 20m
s
cadenamientos. es la forma de medir los perfiles a cada 20 m, a cada 15m , etc.
t
puntos obligados son puntos intermedios de los cadenamientos de cambio de pendiente.
Igual que en las nivelaciones diferenciales el registro es parecido en las nivelaciones
de perfil la diferencia consiste que en una sola posición del instrumento se pueden
observar varias lecturas del estadal en la figura 43 se muestra como se procede a
registrar los datos:
fig 43
Ejemplo 10 con los datos de la tabla 7 calcule:
a) las elevaciones del perfil del terreno
b) dibuje el perfil del terreno natural indicando las escalas:
Tabla 7

P.O. L+ E.I. L- Elevaciones del perfil del
terreno
Bn5 1.693 127.19
3
125.500
0+000 1.732 (127.193-1.732)=125.461
0+020 2.543 (127.193-2.543)=124.650
0+040 3.025 (127.193-3.025)=124.148
0+051.25 3.541 (127.193-3.541)=123.652
0+060 3.742 (127.193-3.742)=123.451
0+080 3.591 (127.193-3.591)=123.602
0+100 2.021 (127.193-2.021)=125.172
0+120 3.401 (127.193-3.401)=123.792
a)El primer inciso se responde con la columna de elevaciones.
c) El dibujo del perfil del terreno se realizó considerando las dos escalas y se
indicaron figura 44, se recomienda realizar dibujos de los perfiles en papel
milimétrico.

0+000
0+020
0+040
0+060
0+080
0+100
0+120
122.00
123.00
124.00
125.00
Fig. 44
La aplicación de los perfiles normalmente se da para modificar el terreno, sirven primero
para saber como se encuentra el terreno en esos puntos, también son necesarios para
cuantificar el Q
volumen de material que se retira en una excavación también llamada corte,
y/o determinar el volumen de material que se requiere para hacer un relleno también
llamado terraplén, lo que se dibujó es una línea denominada terreno natural o simplemente
el perfil del terreno, se requiere otra R
línea de proyecto que llamaremos rasante y el área
que forma el perfil y la rasante es la modificación que se pretende realizar del perfil del
terreno.
Q
volumen es el material en metros cúbicos que se extrae o se instala en una obra determinada
R
línea de proyecto es la línea que se obtiene después de un análisis para modificar el terreno a
conveniencia del proyectista.
q
El kilometraje es una notación universal que se muestra como 3+456 donde el 3 son kilómetros, el 4
centenas de metros, el 5 las decenas de metros y el 6 los metros.
Ejemplo 11 en el perfil del ejemplo anterior tabla 9 dibuje una rasante que inicia en
0+000 con una elevación de 126.50 y va bajando con una pendiente igual a la
pendiente media = Pm ver tabla 10 del perfil del terreno.

P.O. L+ E.I. L- Elevacione
s
Bn5 1.693 127.19
3
125.500
0+000 1.732 125.461
0+020 2.543 124.650
0+040 3.025 124.148
0+051.25 3.541 123.652
0+060 3.742 123.451
0+080 3.591 123.602
0+100 2.021 125.172
0+120 3.401 123.792
Tabla 9
Lado Pendiente
0+000 a 0+020 P1= -4.055
0+020 a 0+040 P2=-2.51
0+040 a 0+051.25 P3=-2.48
0+051.25 a 0+060 P4=-1.787
0+060 a 0+080 P5=1.726
0+080 a 0+100 P6=7.85
0+100 a 0+120 P7 =-6.9
Promedio Pm=-1.165
Tabla 10

Fig. 45
El área se puede calcular por el método que se conozca en base a los conocimientos
adquiridos en Topografía I se pueden mencionar los siguientes métodos:
• por coordenadas
• por conteo de cuadritos
• Por Geometría
• Por triangulación
• Con planímetro
• El método del papelito
• Sistemas de dibujo con computadora o dibujo Cad
• Topográfico
Este último se hace realizando lo siguiente:
Altura = =
c/perfildeselevacionedeNumero
terrenodelperfildelelev.desuma-rasanteladeelevlasdeSuma
0+080
0+000
0+020
0+040
0+060
0+100
0+120
122.00
123.00
125.00
124.00

2
125.30126.50 +
-
8
123.792125.172123.602123.451123.652124.148124.65125.461 +++++++
=
la altura entonces es igual a 125.801-124.241 = 1.56 no tiene signo
el área de relleno será = 1.56*120 = 187.20 m
2
VI.6 Redes de nivelacion
Los errores se pueden también tolerar y la tolerancia se da en la siguiente tabla, según
el tipo de nivelación:

Tolerancia Tipo de nivelación
Cinco Milímetros por Km.
Tol = .005(Km.)
1/2
Precisa
De uno a dos centimetros por Km.
Tol= 0.01 (Km.)
1/2
Topográfica
De cuatro a díez centímetros por Km.
Tol = 0.10(km)
1/2
De estudio
De más de díez centímetros por Km.
Tol = 0.11(km)
1/2
Gruesa
También los errores se pueden corregir para esto, existe un método de corrección que
se llama Redes de Nivelación y se utiliza para llevar un control vertical en ciudades
donde se realicen nivelaciones de distancias largas. Solamente las nivelaciones que
se encuentren dentro de tolerancia se podrán corregir. Este método consiste en llevar
acabo las nivelaciones en circuitos cerrados como si se hicieran nivelaciones de ida y
vuelta, no importando el método utilizado para determinar el desnivel entre puntos
(que por lo general son bancos de nivel), la distancia entre puntos que forman los
circuitos y el sentido en que tiene el desnivel indicándolo por medio de una flecha,
existen dos tipos de redes de nivelación:
• Redes simples
• Redes compuestas
VI.6.1 Las redes simples son circuitos que se cierran donde iniciaron. Con los
datos de la figura 40 se hace una suma respetando el sentido de los desniveles
como se muestra en la tabla:

Registro que se lleva para calcular las correcciones en las Redes de Nivelación
Circuito Lado Distancia
en Km
D
Desnivel
Dn
Corrección
C
Desnivel
Corregido DNc
ABCDA AB D1 = 1 -2.365 C1= -0.0068 -2.371
BC D2 = 2 1.692 C2=-0.0136 1.678
CD D3 = 2 2.026 C3=-0.0136 2.012
DA D4 = 1 -1.312 C4=-0.0068 -1.319
Suma 6 Ec =0.041 -0.0408≈-0.041 0.000
Tol = 0.02 (6)
1/2
= 0.02*2.449 = 0.049 la tol > Ec por lo que está dentro de tolerancia.
La corrección se hace dividiéndola entre todo el circuito por aproximaciones sucesivas
y se multiplica por cada una de las distancias.
C1= (Ec/Suma de Distancias )* D1= 0.0068
Dn= 2.026
D= 1 km
Tol = 0.02(km)
D=1km
D
D= 2 km
A
Dn=1.312
Dn=-1.692
D=2 km
C
1/ 2
Dn= -2.365
B
Fig. 46

La suma de las correcciones debe ser igual al Ec pero con signo contrario.
- 0.0068-0.0136-0.0136-0.0136-0.0068= -0.041
VI.6.2 Redes de nivelación compuestas
Las redes compuestas se utilizan en controles de ciudades y se combinan circuitos
que se entrelazan por lados comunes el procedimiento consiste en determinar con el
levantamiento de datos en este caso los desniveles su signo y su sentido, además de
las distancias entre los bancos de nivel los cuales fueron levantados por cualesquier
método de Nivelación y así tenemos un resultado inmediato
Las Redes de Nivelación Compuesta su comprobación se hace los pasos siguientes:
Circuito ABCGFA Circuito CGFEDC
Tol. =.02(k)
1/2
Ejemplo 20

Fig 47
Tol = 0.02 (k)1/2
= 0.057>0.054 Tol>EC Está dentro de tolerancia
Tol = 0.02 (k)1/2
= 0.056> 0.047 Tol>EC Está dentro de tolerancia
al corregir los desniveles en un ciclo se deben considerar las correcciones de los lados
comunes en todos dos circuitos que formen la red. En el ejemplo los lados comunes
son: FG y CG
Registro de cálculo
PRIMER CICLO SEGUNDO CICLO TERCER CICLO
Lado Dist DN
CG 0.9 2.695
GF 1.2 -1.974
FE 1.6 -1.453
ED 2 2.38
DC 2.2 -1.695
SUMA 7.9EC = -0.047
A B
C
G
F
DE
4.25
2.3 KM
3.276
1.7KM
1.695
2.2KM
-2.695
0.9 KM
-1.974
1.2 KM
2.38
2.0 KM
1.6KM
1.4531.641
2.1KM
Tol = 0.02 (k)
1/ 2

Lado DIST DN CORR DNC DN CORR DNC DN CORR DNC
AB 2.3 4.25 -0.015 4.235 4.235 -0.005 4.230 4.23 -0.001 4.229
BC 1.7 -3.276 -0.011 -3.287 -3.287 -0.003 -3.290 -3.29 -0.00 -3.29
CG 0.9 2.695 -0.006 2.689 2.696 -0.002 2.694 2.695 -0.00 2.695
GF 1.2 -1.974 -0.008 -1.982 -1.973 -0.002 -1.975 -1.974 -0.00 -1.974
FA 2.1 -1.1641 -0.014 -1.655 -1.655 -0.004 -1.659 -1.659 -0.001 -1.660
SUMA 8.2EC= 0.054 -0.054 0 0.016 -0.016 0.000 0.002 -0.002 0.000
CG 0.9 2.689 0.007 2.696 2.694 0.001 2.695 2.695 0.000 2.695
GF 1.2 -1.982 0.009 -1.973 -1.975 0.001 -1.974 -1.974 0.000 -1.974
FE 1.6 -1.453 0.012 -1.441 -1.441 0.001 -1.441 -1.441 0.001 -1.44
ED 2 2.38 0.015 2.395 2.395 0.001 2.395 2.395 0.001 2.396
DC 2.2 -1.695 0.017 -1.678 -1.678 0.001 -1.678 -1.678 0.001 -1.677
SUMA 7.9 -0.061 0.061 0.000 -0.005 0.005 0.000 -0.003 0.003 0.000
VI. 7 Curvas de Nivel son la representación gráfica de las elevaciones del terreno
en planta, es la combinación de los procesos altimétricos y planimétricos para ubicar
puntos con elevación, también son líneas formadas por puntos de igual elevación.
Existen tres tipos:
• Curvas de nivel Agrícola figura 48
• Curvas de nivel de Estudio figura 49
• Curvas de nivel bajo el agua se les denomina curvas batimétricas
Las curvas de nivel se levantan mediante dos procedimientos:
Fig. 49
Fig. 48

• Por el método de la cuadrícula.
• Por el método de radiaciones que algunos autores llaman de configuración.
VI.7.1 Método de la cuadrícula
es el método que tiene más facilidad en el cálculo de la curvas de nivel y es un poco
más tardado en campo, esto es a consecuencia de llevar a cabo una cuadrícula que
envuelva al polígono o predio del que se deseen obtener las curvas de nivel la figura
50 nos muestra un ejemplo de un polígono levantado por cuadrícula y la tabla 10 el
que se lleva acabo.
e
1
a
6
3
2
4
5
c
b
d
l
i
g
f
h
j
k
m
Fig.50

VI.7.2 Interpolación
Para determinar la elevación 236 de la cuadricula que se observa en la figura 51 es
necesario analizar en cada lado de la cuadrícula los elementos siguientes: el desnivel
entre los extremos de la cuadrícula y la distancia horizontal entre los puntos
involucrados, el desnivel se conoce mediante una diferencia de elevaciones y la
distancia que involucra estos desniveles una esta dada en el tamaño de la cuadrícula.
En el caso que se está presentando en este ejercicio la incógnita es la distancia X y X1
y se presenta como una ecuación de primer grado en forma de regla de tres simple:
Desnivel Distancia horizontal
0.894 m ---------20 m
0.635 m ---------X
X = (20*0.635)/0.894 = 14.206
Desnivel Distancia horizontal
1.053 m ---------20 m
0.635 m ---------X1
X1 = (20*0.635)/1.053 =12.061
236.00
B
1
235.962
20m
A
28.28m
20m
x
235.365
236.00
A1
2
236.418 235.365
28.28m
x1
A1
236.00
236.259
235.365
x
20m
Método de la cuadrícula
236.00
Dn A1- A2 = 0.894m
236.418B2
236.259A2
x1
Dn A1- B2 = 1.053m
Dn 236-235.365 = 0.645m
Dn 236-235.365 = 0.645m

Características de las curvas de Nivel.
VI.8 Secciones Transversales son pequeños perfiles ver figura 52 como su
nombre lo indica transversales a un eje de una vía terrestre
w
estos perfiles se
levantan con un nivel de mano figura 53 el cual se maneja en forma rápida a cada 20
metros sobre el eje mencionado y por lo general a una distancia a cada lado del eje de
lo que corresponda a su derecho de vía terrestre
q
por ejemplo de un camino
pavimentado tipo C es de 20 metros a cada lado del eje y para una autopista hasta 50
metros.
p
Derecho de vía es una franja que protege las vías
de comunicación terrestre, varía su dimensión según
sea la vía de comunicación terrestre.
Fig. 52
Fig. 53 Sección
Estadal
CL
Estadal
Transversal
Fig. 51

w
Vías Terrestres son toda aquella vía que comunica o trasporta algún producto de primera necesidad;
ejemplos de este concepto son las carreteras, las autopistas las aeropistas, las vías de ferrocarril y todo
camino y brecha, las normas que rigen su construcción las supervisa la Secretaría de Comunicación y
Transporte.
también se pueden decir que los canales, los acueductos y tuberías que transportan
agua son vías terrestres las normas las supervisa para este tipo de vía la Comisión
Nacional del Agua.
Otra dependencia que norma las vías de comunicación terrestre llamadas líneas de
transmisión y de distribución de energía eléctrica es la Comisión Federal de
Electricidad.
El registro de una sección transversal tiene dos connotaciones:
Se puede realizar de la misma manera que se hace el registro de las nivelaciones de
perfil.

Las secciones se dibujan igual que las de perfil con la diferencia que el centro de línea
es, precisamente la mitad de la sección figura 53
Registro de secciones siguiendo el registro de nivelación diferencial.
Punto
observado
L+ EO L- Elevaciones
0+000 AO 150.332+AO 150.332
Der 3.20 1.25 150.332+AO-1.25
Der 6.10 2.3 150.332+AO-2.30
Der. 7.15 2.6 150.332+AO-2.60
Der 16.3 3.05 150.332+AO-3.05
Der 20.4 3.60 150.332+AO-3.6
Izq. 1.5 1.05 150.332+AO-1.05
Izq. 3.6 0.85 150.332+AO-0.85
Izq. 14.8 0.5 150.332+AO-0.5
Izq. 17.3 0.30 150.332+AO-0.3
Izq. 20.1 0.45 150.332+AO-0.45
126
5.26.8 3.7
127
Elevaciones.
130
129
128
2.12.3 0 4.6 7.35.2
CL
Longitudes
Izquierda Derecha

Fig. 53
VII Topografía aplicada a las vías terrestres
VII.1 Curvas Horizontales: Los elementos de una vía de comunicación terrestre,
específicamente un camino o un vía de ferrocarril son entre ellos otros las curvas
horizontales que son cambios de dirección de una carretera, considerando las
especificaciones de proyecto como la velocidad a la que se transitará sobre esa vía.
Se puede entender este cambio de dirección como un cambio que mantiene los
vehículos dentro de la vía a la velocidad a la que fue diseñada sin que este peligre.
Existen curvas circulares y en espiral. En este curso veremos solo las circulares.
Las curvas circulares simples se conforman de elementos geométricos y de elementos
que sirven para trazarlas en campo. Los elementos geométricos se pueden observar
en la figura 54
KmPC
PC
Ci
∆/2
∆/2
gc
C
CL
KmPI
ST
∆
LC
PI
ST
KmPT
Cf
PT
R
R

Fig. 54
Donde:
PC= principio de la curva C= cuerda de 20 m cuando R>100m
PI = Punto de Inflexión C= 15m cuando
Ci = Cuerda inicial Cf= Cuerda final
PT = Punto término de curva R= Radio de curvatura
ST = Subtangentes gc= grado de curvatura
LC = Longitud de la Curva Km PI= Kilometraje del PI
CL = Cuerda Larga Km PT =Kilometraje del PT
Km PC= Kilometraje del PC ∆ = Deflexión
VII.1.1 Los elementos geométricos de las curvas horizontales se calculan
de la siguiente manera:
Por lo general el valor que se obtiene en el campo es la deflexión, el Kilometraje del PI
Y según el proyecto la SCT establece el Radio o el grado de curvatura en relación de
la deflexión obtenida en campo.
=
Rπ2
360º
C
gcº

gc
R
921145.
=
R
gc
921145.
= por lo tanto despejando el radio para C=20 m
gc
R
96572.
= por lo tanto despejando el radio para C=10 m
ST= R Tan ∆/2
Cl= 2R Sen ∆/2
Km PC = Km PI-ST
Km PT = Km PC +LC
gc
C
LC
*∆
=
Los elementos de trazo de una curva circular simple se determinan en base a los
elementos de proyecto y los elementos requeridos para poder trazarla en campo se
enumeran en la siguiente tabla:
LC
m
2/∆
=∆ la deflexión por metro se calcula para ir trazando la curva circular en
proporción a los metros correspondientes por lo general a cada 20 metros o menos.
Estación Punto
Observado
Deflexioes Distancias Cuerdas
KmPC PI 0º ST ---
Ejemplo: además de los que se verán en el salón de clase
Datos de campo:
KM PI = 12+325.25
Deflexión Der. ∆ = 83º17’20”
Datos por proyecto SCT

R = 215.35 m
Calculo de datos geométricos :
C= 20 m porque R>100m
gc= 1145.92/R= 5.321º
ST= Rtan ∆/2
Km PC =Km PI-ST
Lc=( ∆ *C)/gc
Km PT = Km Pc+Lc
CL= 2R Sen ∆/2= 2* 215.35 Sen ∆/2
∆m= (∆/2)/ Lc=
Ejemplo:
Datos de campo:
KM PI = 1+125.33
Deflexión Izq. ∆ = 78º23’10”
Datos por proyecto SCT
ST = 240.23 m
VII. 2 Curvas verticales.
Las curvas verticales son cambios de dirección de los perfiles e igual que las curvas
horizontales sirven para dar comodidad y transitar sobre carreteras o caminos a la
velocidad para la que fue diseñada existen dos tipos de curvas verticales
Curvas Verticales en cresta
Curvas Verticales en Columpio
Las curvas se calculan mediante el siguiente procedimiento:

En el Perfil se obtiene la pendiente media de las rasantes de entrada y de otra que
parte de un punto de inflexión vertical que se llama rasante de salida, también a la
pendiente de la primera rasante se le denomina pendiente de entrada Pe y a la
pendiente de la otra rasante se le denomina pendiente de salida Ps.
Otros datos obtenidos del perfil son la elevación del punto de inflexión vertical PIV, el
cadenamiento que tiene también el PIV así como las coordenadas del PIV. como se
ve en la figura 55.
Pe
Elev. PI V
Km PI V
PI V
Ps
Fig. 55
La Curva Vertical se determina con elementos que hacen que se forme una curva
parabólica tomando en consideración elementos de topografía para esto:
Explicaremos esto con un ejemplo, los datos obtenidos en un perfil son los siguientes:
Pendiente de entrada Pe= 2.3%
Pendiente de salida Ps = -3.2%
Kilometraje del punto de inflexión vertical Km PIV =12+326.23

Elevación del Punto de inflexión vertical Elev. PIV = 223.632
La longitud de la curva = No. De Estaciones por la cuerda LCV= No. Est.* C
No. De estaciones = valor absoluto de la diferencia de las pendientes entre el factor de
visibilidad también se denomina factor de frenado No. Est. = |Pe-Ps|/Fv.
El factor de visibilidad es un factor que hace más larga la curva para poder visualizar
los vehículos u objetos cuando se transita por una curva y si obstruyen, se pueda
frenar a tiempo para no topar con dicho obstáculo
La elevación del principio de la curva vertical Elev. PCV se obtiene mediante la
pendiente de entrada Pe y la mitad de la longitud de la curva vertical LCV/2.
Para curvas en cresta o Cima
Elev. PCV = Elevación del PIV – (Pe * LCV/2)/100
Elev. PTV = Elevación del PIV - (Ps * LCV/2)/100
Para curvas verticales en Sima o Columpio
Elev. PCV = Elevación del PIV + (Pe * LCV/2)/100
Elev. PTV = Elevación del PIV + (Ps * LCV/2)/100
Y para obtener las elevaciones de una línea que llamaremos subrasante se hace
obteniéndola con la pendiente de entrada y haciendo la regla de tres simple entre los
100 metros de la Pe y el cadenamiento a la que corresponda cada una de las
estaciones se utiliza un auxiliar para fines de cálculo, se establecen todas las
estaciones, se calcula la elevación del PTC, PTV y Auxiliar en el caso que se presenta
en la figura 56 el tipo de curva es en cresta y el auxiliar está arriba del PIV y los PCV y
PTV abajo. Se calculan las Ys con la fórmula del la parábola simulando a la X= a las
Estaciones y a la Constante, es la Y máxima que en este caso sería D
Y= (No. Est./Suma de Est.)
2
* D
Registro para calculo de curvas Verticales por

Pe
Elev. PIV
Km PIV
PIV
Ps
PTV
PCV
AUX
EST 0
EST 1
EST 2
EST 3
EST 4
EST 5
EST 6
D=
Y5
Y4
Y3
Y2
Y1
Y6
Fig. 55
Registro de calculo de Curvas Verticales
Ejemplo
Pe = 2.3%
Ps = -3.2%
Km PIV = 3+125.36
Elev. PIV = 236.351
Fv = 0.9
C= 20 m
Solución:
La curva es en cresta o cima
No. Est. =(2.3+3.2)/.9 = 6.111≈8 estaciones (se pone el valor mayor entero par)

LCV= 8 estaciones * 20 de cuerda = 160 m
Elevación de PCV = 236.351- ((2.3*80m) /100)=236.351 -1.84 = 234.511
Elevación de PTV = 236 .351- ((3.2*80m) /100)=236.351 -2.56 = 233.791
Elevación del Auxiliar = 236.351+ ((2.3*80m) /100)=236.351+1.84 = 238.191
D=238.191-233.791=4.4
Y= (Est/No.Est)
2
+D
Las ordenadas de la curva parabólica se le restan por estar la rasante arriba de la
curva ya que la curva vertical es en cresta.
Estación Estación
2
Elev. De
estaciones
Y Elevaciónes de la
curva
0 0 234.511 (PCV) 0 234.511 (PCV)
1 1 234.971 0.069 234.902
2 4 235.431 0.275 235.156
3 9 235.891 0.619 235.272
4 16 236.351 (PIV) 1.100 235.251
5 25 236.811 1.719 235.092
6 36 237.271 2.475 234.796
7 49 237.731 3.369 234.362
8 64 238.191 (AUX) 4.400 233.791 (PTV)
Ejemplo
Pe = -1.3%
Ps = 3.1%
Km PIV = 3+125.36
Elev. PIV = 226.351
Fv = 0.95
C= 20 m
Solución

No. Est. =(1.3+3.1)/.95 = 4.632≈6 estaciones (se pone el valor mayor entero par)
LCV= 8 estaciones * 20 de cuerda = 120 m
Elevación de PCV = 226.351+ ((1.3*60m) /100)=226.351 +0.780 = 227.131
Elevación de PTV = 223.351+ ((3.1*60m) /100)=226.351 +1.8 = 228.151
Elevación del Auxiliar = 226.351- ((1.3*60m) /100)=226.351-0.78 = 225.571
D=228.151-225.571=2.58
Y= (Est/No.Est)
2
+D
Las ordenadas de la curva parábola se suman a las elevaciones de las estaciones.
Esto es por que se treta de una curva vertical en columpio.
Estación Estación
2
Elev. De
estaciones
Y Elevaciones de la
curva
0 0 227.131 (PCV) 0 227.131 (PCV)
1 1 226.871 0.072 226.943
2 4 226.611 0.287 226.898
3 9 226.351 (PIV 0.645 226.996
4 16 226.091 1.147 227.238
5 25 225.831 1.792 227.623
6 36 225.571 AUX 2.58 228.151(PTV)
Ejemplos en Salón (problemario TopoII 2003-2)
Presupuestos en los levantamientos topográficos
Debido a la falta de aranceles de los servicios que prestan los Ingenieros Topógrafos
en los diferentes sectores esto hace que se reduzca la membresía de Colegios y
Asociaciones y de inscripción dentro de las Instituciones de Educación Superior en
estas Áreas.

Se consideran los aranceles de acuerdo a las áreas y los diferentes grados de
dificultad de los servicios de la capacidad para realizarlo También se presenta un
análisis del salario mínimo del ingeniero Topógrafo diferentes áreas donde presta
servicios el Ing. Topógrafo.
VIII Presupuestos y costos de los levantamientos topográficos
VIII.1 El salario mínimo del ingeniero.
Se consideran los siguientes gastos para determinar los ingresos Profesionales
 Dependientes del Ingreso (Familiares, otros ).
 Estudios Realizados.
 Gastos Necesarios (diario vivir)
 Edad.
 Gastos para Cursos y capacitación actual.
 Gastos para Asociaciones Profesionales ( colegios, Egresados y Otros)
 Impuestos
 El salario real especificado para la Zona a la que Corresponda.
 El tiempo efectivo al Año.
 Emergencias, servicios médicos y otros.
Egresos Importe Anual
Egreso Familiar (un solo dependiente) 24,600.00

Renta 14,400.00
Servicios 8,000.00
Consumos 11,600.00
Impuestos 9,861.00
Transportación 7,140.00
Ingreso anual 75,451.00
Servicios Importe Anual
Energía Eléctrica 4,200.00
Agua 950.00
Gas 850.00
Teléfono 2,000.0
Total 8,000.00
GASTOS PROFSIONALES Importe Anual
Cuota Colegio 1,500.00
Cámara de la Industria de la Construcción 2,000.00
Revistas Técnicas 600.00
Congresos 6,000.00
Libros 900.00
Otros 600.00

Total 11,600.00
DIARIO ANUAL
SALARIO MÍNMO OFICIAL ZONA “A” 26.47 6,352.80
SALARIO REAL DE MERCADO 67.49 24,633.00
INGRESO PROMEDIO MENSUAL
DEL INGENIERO TOPOGRAFO 6,288.00
Si cotejamos la relación que existe entre el salario mínimo oficial y el salario real de
mercado
obtenemos :
67.49/ 26.47= 2.55
En la relación entre el ingreso anual y el salario real de mercado obtenemos :
75,456.00/24,633.00 = 3
Entonces el Salario Mínimo Profesional para el Ingeniero Topógrafo será :
2.55 + 3.06 = 5.61 veces el salario mínimo oficial.
SALARIO POR TIEMPO.
Salario Anual = 75,456.00 (dependiendo de los egresos)
Tiempo real de Trabajo = (11 meses )*(4.3semanas)*(5 dias)*(7horas)= 1656 horas
efectivas de trabajo
ARANCEL POR HORA = 32.73 LA HORA ( Para consultas y asesorias).

TABLA DE SALARIOS SEGÚN LAS DIFERENTES CATEGORIAS DEL ING.
TOPOGRAFO
Número de salarios mínimos
Nivel Puesto Mínimo Medio Máximo
A Ayudante de Ingeniero 5.6 6.98 8.4
B Pasante de Ingeniero 6.13 6.71 9.20
______________________________________________________________________
C Titulado “A” 8.71 9.54 10.60
D Titulado “ B” 8.93 9.78 11.13
E Titulado “C” 9.78 10.70 12.18
______________________________________________________________________
F Jefe de Departamento 12.50 14.50 18.75
G Topógrafo Especialista “A” 14.50 17.98 21.75
H Topógrafo Especialista “B” 16.80 19.49 25.20
I Gerencia. 19.25 22.63 29.27
TABLA PARA EL CÁLCULO DE LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS DE
PLANIMETRÍA
HAS. F. S. M P. *HA. F. R . HA. A.
1 15.55 4.8
2 10.70 2.2
3 8.60 1.3
4 7.30 0.8
5 6.40 0.7
6 5.75 0.6
7 5.20 0.5
8 4.90 0.4
9 4.50 0.3

10 4.21 0.3
12 3.85 0.25
14 3.45 0.2
16 3.30 0.15
18 3.22
19 3.18
25 2.92
30 2.78
40 2.60
50 2.30
60 2.15
70 1.90
80 1.83
90 1.70
100 1.62
150 1.34
200 1.14
300 0.92
400 0.80
500 0.71
600 0.65
700 0.62
800 0.54
900 0.50
1000 0.48

Glosario
Aberración: desplazamiento angular de la posición de un objeto sobre la esfera
celeste, debido a la finitud de la velocidad de la luz en combinación con los
movimientos del objeto y del observador, que hacen que la posición que observamos
en un momento dado no sea la geométrica de ese instante, sino la que tenía cuando
salió de él la luz que observamos.
Aberración diurna: componente de la aberración estelar que resulta del movimiento
diurno del observador debido a la rotación terrestre.
Acimut: distancia angular medida sobre el horizonte, en sentido de las manecillas del
reloj de 0º a 360º
Almucantarat: círculo menor de la esfera celeste paralelo al horizonte.
Angulo horario: distancia angular medida hacia el oeste sobre el ecuador celeste,
desde el meridiano 0h hasta el círculo horario que pasa a través de un astro.
Año-luz: distancia recorrida por la luz, en el vacío, durante un año.
Aparente, posición: posición de un objeto celeste, observada desde el centro de la
Tierra, y referida a la eclíptica y ecuador instantáneos de la fecha. Se obtiene
corrigiendo la posición verdadera por aberración planetaria (exceptuando la parte
diurna) y, si se trata de una estrella, paralaje ánua y movimiento propio.
Apogeo: punto de la órbita de un cuerpo que gira alrededor de la Tierra, en el que el
astro se encuentra más lejos de la Tierra.
Ascensión recta: distancia angular medida hacia el este sobre el ecuador celeste,
desde el equinoccio hasta el círculo horario que pasa a través del astro.
Cénit astronómico: punto de intersección del hemisferio visible de la esfera celeste
con la vertical de un lugar. La intersección con el hemisferio invisible se llama nadir.
Círculo horario: círculo máximo de la esfera celeste, que pasa por los polos
celestes.
Conjunción: configuración que se produce cuando dos cuerpos tienen la misma
longitud geocéntrica aparente. En general, se sobrentiende que uno de los cuerpos es
el Sol. Para Mercurio y Venus, hay conjunción superior cuando el Sol está entre el

planeta y la Tierra, e inferior cuando es el planeta el que está entre la Tierra y el Sol.
Crepúsculo astronómico: intervalo de tiempo que media desde que la distancia
cenital del Sol es de 108o hasta que es de 102o (matutino), y viceversa (vespertino).
Su utilidad estriba en que, mientras hay crepúsculo astronómico, no se pueden ver las
estrellas de sexta magnitud, siendo así un indicador del tiempo útil para observar.
Crepúsculo civil: intervalo de tiempo que media desde que la distancia cenital del
Sol es de 96o hasta que sale por el horizonte (matutino), o desde que se pone hasta
que su distancia cenital es de 96o (vespertino). Su utilidad estriba en que, mientras
hay crepúsculo civil, no se pueden ver las estrellas de primera magnitud.
Culminación: paso de un astro por el punto de máxima altura de su movimiento
diurno. Muchas veces coincide con el paso por el meridiano de un lugar. La
culminación que ocurre más cerca (lejos) del cénit se denomina superior (inferior).
Declinación: distancia angular (sobre la esfera celeste) desde el ecuador celeste
hasta el astro, medido sobre del círculo horario que pasa a través de éste.
Deflexión de la luz: cambio en la trayectoria de un fotón debido a la curvatura del
espacio-tiempo relativista producida por un cuerpo masivo (en general, el Sol).
Desviación de la vertical: ángulo que forman las verticales geodésica y
astronómica. Su valor varía desde fracciones de segundo a un minuto de arco.
Día Juliano: es el número de días transcurridos desde el 1 de Enero de 4713 A.C. a
12h UT. Es útil para calcular intervalos de tiempo y para dar una fecha sin
ambiguedad.
Día Juliano modificado: día Juliano menos 2400000.5.
Día sideral: tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos de un punto fijo de la
esfera celeste por un mismo meridiano.
Día sidéreo: tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos del punto Aries por
un mismo meridiano.
Diámetro aparente: ángulo bajo el cual se ve un astro desde el centro de la tierra
(si es geocéntrico) o el lugar de observación (si es topocéntrico).
Distancia cenital: distancia angular en la esfera celeste, medida sobre un círculo
máximo desde el cénit hasta un objeto celeste. La altura es 90o menos la distancia
cenital.

Eclipse: oscurecimiento de la luz de un cuerpo celeste por otro.
Eclipse de Luna: eclipse en que la Luna es oscurecida por la Tierra. Será total si la
Luna queda dentro del cono de sombra terrestre, y penumbral si pasa sólo a través de
la penumbra.
Eclipse de Sol: eclipse en que el Sol es oscurecido por la Luna. Será total si el
observador queda dentro del cono de sombra de la Luna, parcial si queda dentro de la
penumbra, y anular si el disco solar no llega a ser cubierto del todo, de manera que en
el máximo se le ve a modo de anillo alrededor del disco lunar.
Eclíptica, plano de la: plano orbital promedio de la Tierra. La intersección del plano
de la eclíptica con la esfera celeste se llama eclíptica.
Ecuación de equinoccios: diferencia entre el tiempo sidéreo aparente y el tiempo
sidéreo medio.
Ecuación de tiempo: diferencia entre el ángulo horario del Sol verdadero y el del
Sol medio.
Ecuador: círculo máximo en la superficie de un cuerpo, definido por la intersección de
la superficie con el plano del ecuador.
Ecuador, plano del: plano que pasa a través del centro del cuerpo y es
perpendicular al eje de rotación.
Ecuador celeste: proyección del ecuador terrestre sobre la esfera celeste.
Elementos orbitales: conjunto de parámetros que especifican la posición y la
velocidad de un cuerpo en un momento (época) dado. Con su ayuda, se puede
calcular una efemérides de posición.
Elipsoide de referencia: elipsoide de revolución que se utiliza como aproximación
a la forma de la Tierra.
Elongación: ángulo geocéntrico entre un astro y el Sol, medido en el plano Sol-
Tierra-astro. También se puede definir con respecto a la Luna en lugar del Sol. Se
mide de 0o a 180o.
Equinoccio: uno de los dos puntos de la esfera celeste en los que la eclíptica corta al
ecuador celeste. En el equinoccio de primavera (también llamado punto Aries), el Sol
pasa del hemisferio celeste sur al norte (0o de longitud celeste), y en el de otoño
(también llamado punto Libra) sucede al contrario (180o de longitud celeste). Como

fenómeno, es el tiempo en el que el Sol se encuentra en uno de dichos puntos.
Esfera celeste: esfera imaginaria de radio arbitrario y centro en el observador, sobre
la que se proyectan los cuerpos celestes.
Fase lunar: son cuatro configuraciones de la luna, definidas en los tiempos en que la
longitud aparente de la Luna supera a la del Sol en 0o (Luna nueva), 90o (cuarto
creciente), 180o (Luna llena) y 270o (cuarto menguante).
Fase de un planeta: cociente entre el área iluminada del disco aparente de un
planeta y su área total, considerado circular.
Geocéntrica, posición: con origen en el centro de la Tierra.
Geoide: superficie equipotencial de la Tierra. Difiere en +/- 100m del elipsoide de
referencia. Coincide con la superficie media de los océanos y se prolonga por debajo
de los continentes.
Heliocéntrica, posición: con origen en el centro del Sol.
Horizonte astronómico ó verdadero: plano diametral perpendicular a la vertical
de un lugar.
Latitud celeste: distancia angular sobre la esfera celeste, medida desde la eclíptica
hasta un astro, sobre el círculo máximo que pasa a través de los polos de la eclíptica y
el astro.
Latitud terrestre: distancia angular medida sobre el meridiano de un lugar, desde el
ecuador terrestre hasta ese lugar.
Longitud celeste: distancia angular sobre la eclíptica, medida hacia el este desde el
equinoccio hasta el círculo máximo que pasa a través de los polos de la eclíptica y un
cuerpo celeste.
Longitud terrestre: distancia angular medida sobre el ecuador terrestre, desde el
meridiano de Greenwich hasta el meridiano de un lugar.
Magnitud absoluta: referida a un astro del sistema solar, es la magnitud de un astro
situado a una unidad astronómica de distancia, y observado con ángulo de fase cero.
Magnitud estelar: medida del brillo de un objeto celeste, en una escala logarítmica.
Magnitud de un eclipse de Luna: fracción del diámetro lunar oscurecido por la
sombra terrestre en el máximo del eclipse, medida a lo largo de la línea determinada
por los centros de los dos discos.

Media, posición: posición referida al ecuador y equinoccio medios (corregidos sólo
de precesión) de una época de referencia (usualmente 1950.0 ó J2000.0).
Medianoche: momento de la culminación inferior del Sol.
Mediodía: momento de la culminación superior del Sol.
Meridiano central: meridiano planetario, equidistante de los limbos precedente y
siguiente.
Meridiano celeste: círculo máximo que pasa a través de los polos celestes y el cénit
de un lugar.
Movimiento propio: proyección sobre la esfera celeste del movimiento de una
estrella relativo al sistema solar.
Nutación: oscilaciones de corto periodo que sufre el eje de giro de un cuerpo en
rotación, debido a la acción de fuerzas gravitatorias externas.
Oblicuidad de la eclíptica: ángulo entre los planos del ecuador y de la eclíptica.
Su valor es de unos 23.45o.
Ocaso: ocultación de un objeto celeste por el horizonte.
Oposición: configuración que se produce cuando la longitud geocéntrica aparente de
un astro difiere en 180o de la del Sol.
Orbita: trayectoria seguida por un astro alrededor de otro.
Orto: salida de un objeto celeste por el horizonte.
Paralaje: diferencia en la dirección aparente de un objeto, al ser observado desde
dos puntos.
Paralaje diurna: diferencia entre posición topocéntrica y geocéntrica.
Paralaje horizontal: diferencia entre posición topocéntrica y geocéntrica de un
objeto que se halla en el horizonte astronómico.
Paralaje solar: paralaje horizontal del Sol cuando se encuentra a una unidad
astronómica de distancia.
Paralelos: círculos menores de la superficie de un astro paralelos al ecuador del
astro.
Paralelos celestes: círculos menores de la esfera celeste paralelos al ecuador.
Parsec: distancia a la cual la unidad astronómica subtiende un ángulo de un segundo
de arco.

Penumbra: área parcialmente oscurecida por un cuerpo. Rodea al área de sombra
total.
Periastro: punto de una órbita que está más cerca del cuerpo primario del sistema
involucrado.
Perigeo: punto de la órbita de un cuerpo que gira alrededor de la Tierra, en el que el
astro se encuentra más cerca de la Tierra.
Perihelio: punto de la órbita de un cuerpo que gira alrededor del Sol, en el que el
astro se encuentra más cerca del Sol.
Polo celeste: intersección de la esfera celeste con la prolongación del eje de
rotación terrestre (también llamado eje del mundo) hasta el infinito.
Polo norte: polo que está en el lado norte del plano invariable del sistema solar, que
es el plano perpendicular al vector momento angular total del sistema solar y pasa por
su baricentro.
Polodia: trayectoria irregular del polo de rotación terrestre con respecto a la superficie
de la Tierra.
Precedente: en el contexto de la observación planetaria, primer extremo de un
detalle planetario en llegar al meridiano central debido a la rotación del planeta. El
Limbo por el que vemos ocultarse dichos detalles se llama limbo precedente.
Precesión: movimiento secular del eje de rotación de un cuerpo en rotación, debido
a la acción de fuerzas gravitatorias externas.
Radio vector: referido a un astro que gire alrededor del Sol, es la distancia del Sol a
dicho astro.
Radio medio de la tierra: es la longitud media del globo de aproximadamente de
6378 Km.
Refracción astronómica: cambio en la trayectoria de un rayo de luz al pasar por la
atmósfera terrestre. Aumenta la altura aparente de los astros y disminuye su distancia
cenital, pero no varía los acimutes. Su valor es mayor cuanto menor es la altura,
máximo en el horizonte y mínimo en el cenit.
Siguiente: en el contexto de la observación planetaria, último extremo de un detalle
planetario en pasar por el meridiano central debido a la rotación del planeta. El Limbo
por el que vemos salir dichos detalles se llama limbo siguiente.

Sol medio: Sol ideal que recorre el ecuador, en sentido directo, con velocidad
angular constante e igual al movimiento medio solar.
Solsticio: uno de los dos puntos de la eclíptica en que la longitud aparente del Sol es
90o ó 270o, según se trate del solsticio de verano o de invierno. El solsticio de verano
(o punto Cáncer) es el situado en el hemisferio celeste norte. El de invierno (o punto
Capricornio) está en el hemisferio sur. Entendido como fenómeno, es el momento en
el que el Sol se encuentra en uno de dichos puntos.
Tiempo medio: horario del Sol medio.
Tiempo civil: ángulo horario del sol medio aumentado en 12 h.
Tiempo oficial: es aquel por el que se rige una nación o parte de ella. Para más
información, ver Tiempo universal.
Tiempo sidéreo: ángulo horario del punto Aries. Sirve para medir la rotación de la
Tierra con respecto a las estrellas en lugar de respecto al Sol, como en el caso del
Tiempo Universal.
Tiempo universal: escala de tiempo basada en el movimiento diurno promedio del
Sol. Hay que sumarle una hora (en invierno) o dos (en verano) para obtener la hora
oficial en la Península Ibérica, Baleares, Ceuta y Melilla. En Canarias, el tiempo
universal se corresponde con el oficial durante el invierno, pero hay que sumarle una
hora en verano. Estos cambios horarios son debidamente anunciados cuando se
producen.
Topocéntrica, posición: con origen de coordenadas en un lugar de la superficie
terrestre. Unidad astronómica de distancia (U.A.): es, aproximadamente, la distancia
promedio de la Tierra al Sol. Equivale a 1.4959787 x 1011m.
Verdadera, posición: posición referida al ecuador y eclíptica instantáneos de la
fecha. Se obtiene corrigiendo por nutación una posición media para la fecha.
Vertical astronómica: dirección de la plomada en un lugar.
Vertical geodésica: dirección normal al elipsoide de referencia en un lugar.
Vertical, primer: vertical que contiene la intersección del ecuador celeste con el
horizonte verdadero.
Verticales: planos que pasan por la vertical.

Bibliografía
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Alcántara García, Dante topografía editorial mc graw 1990.
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Peña Alcalá, Benjamín, apuntes de topografía no 24 e.n.e.p. aragon 1990
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Caire Lomeli Jorge, Fotogrametría I editorial rodríguez 1977
Llamas Jesús, manual practico de ajuste de aparatos topográficos editorial limusa
1983.

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