1 Introducción a la programación lineal.pdf

Lord Kelvin (W. Thomson) ilustre físico inglés resaltaba los conocimientos cuantitativos: “Suelo decir
con frecuencia que cuando se puede medir aquello de que se habla y expresarlo en números, se sabe algo
acerca de ello; pero nuestro saber es insuficiente e insatisfactorio mientras no somos capaces de expresarlo en
números; lo demás puede significar el comienzo del conocimiento, pero nuestros conceptos apenas habrán
avanzado en el camino de la ciencia, y esto cualquiera que sea la materia de que se trate“.
Mediciones y números, hay mediciones directas, con un instrumento de medición, y mediciones indi-
rectas, mediante el cálculo con fórmulas; en fin, mediciones, números, formas y relaciones son los que dan
vida a la matemática y son conceptos relacionados con el quehacer de las personas en su vida cotidiana.
Por ello, los conocimientos matemáticos se organizan en “Número, relaciones y funciones“, “Geometría y
medición“ y “Estadística y probabilidad“.
El texto de Matemática Serie COVEMATIC para el nivel secundaria presenta un “Texto de grado“ y un
“Libro de actividades“.
En el Texto de grado se exponen los temas de cada unidad con una didáctica de acuerdo al grado de
estudio. Cada unidad presenta las siguientes secciones:
a. Activo mis saberes.
b. Desarrollo de los contenidos.
c. Ejercicios y problemas resueltos.
d. Actividad para la investigación.
e. Tema transversal.
f. Juicio crítico - Reflexión - Amplío mis conocimientos.
El Libro de actividades presenta las actividades que el alumno debe resolver para desarrollar las capaci-
dades del área de Matemática: “Razonamiento y demostración“, “Comunicación matemática“ y “Resolución
de problemas“. Cada unidad presenta las siguientes secciones:
a. Manolito te reta.
b. Actividad para la clase.
c.
Actividad para la casa.
d. Aplico mis aprendizajes
e. Pongo a prueba mis aprendizajes.
f. Autoevaluación. Metacognición
El texto de Matemática SERIE COVEMATIC brinda abundante información teórica y numerosos pro-
blemas, resueltos con estrategias sencillas, que ayudan a los alumnos a comprender, afianzar y ampliar sus
conocimientos teóricos.
Además, el texto presenta situaciones problemáticas que incitan al pensamiento creativo, que es la
capacidad que permite a los estudiantes generar ideas novedosas para resolver problemas relacionados
con sus estudios y también de su vida cotidiana, de manera interesante y con originalidad. El pensamiento
creativo complementa al pensamiento lógico generando nuevas ideas, que éste las desarrolla.
Todo lo expuesto ha encaminado mis voluntades y esfuerzos en bien de la “Educación matemática
escolar“ de mi país.
El Autor.
Presentación

Capítulo 1 Introducción a la programación lineal................................................................................ 7
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 2 Análisis combinatorio y potenciación................................................................................. . 31
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 3 Logaritmación...................................................................................................................... 53
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 4 Funciones exponenciales y logarítmicas............................................................................... 73
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 5 Ángulo trigonométrico......................................................................................................... 89
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 6 Sistemas de medidas angulares........................................................................................... 103
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 7 Sistemas de medidas angulares........................................................................................... 119
Manolito te Reta
Evaluación
Indice

Capítulo 8 Razones trigonométricos de un ángulo agudo.................................................................... 139
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 9 Razones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud.......................................... 175
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 10 Reducción al primer cuadrante......................................................................................... 191
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 11 Circunferencia trigonométrica........................................................................................... 207
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 12 Identidades trigonométricas.............................................................................................. 221
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 13 Funciones trigonométricas de Ángulos Compuestos........................................................ 237
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 14 Funciones trigonométricas de ángulos múltiples.............................................................. 251
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 15 Transformaciones trigonométricas.................................................................................... 273
Manolito te Reta
Evaluación

Capítulo 16 Funciones, trigonométricas de Números Reales............................................................... 287
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 17 Funciones trigonométricas inversas.................................................................................. 305
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 18 Ecuaciones trigonométricas............................................................................................... 319
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 19 Resolución de triángulos oblicuángulos............................................................................ 333
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 20 Geometría del espacio....................................................................................................... 349
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 21 Introducción a la geometría analítica plana...................................................................... 365
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 22 Límites y derivadas de funciones reales............................................................................ 387
Manolito te Reta
Evaluación
Capítulo 23 Estadística y probabilidades.............................................................................................. 409
Manolito te Reta
Evaluación

Razonamiento
y
demostración
Comunicación
Matemática
Resolución
de
problemas
Determina
el
conjunto
solución
de
un
sistema
de
inecuaciones
lineales
con
dos
incógnitas.
Interpreta
la
gráfica
del
conjunto
solución
de
un
sistema
de
inecuaciones
lineales.
Identifica
la
región
factible
en
la
gráfica
de
un
sistema
de
inecuaciones.
Grafica
la
solución
de
una
ineciación
lineal.
Calcula
la
solución
óptima
de
un
sistema
de
inecuaciones
lineales.
Resuelve
problemas
de
programación
lineal
con
dos
variables
mediante
métodos
gráficos.
Aprendizajes
esperados
1.
2.
Educación
para
la
convivencia,
la
paz
y
la
ciudadanía
Actitudes
ante
al
Área
Muestra
seguridad
y
perseverancia
al
resolver
problemas
y
comunicar
resul-
tados
matemáticos.
Muestra
rigurosidad
para
representar
relaciones,
plantear
argumentos
y
comu-
nicar
resultados.
Toma
la
iniciativa
para
formular
pre-
guntas,
buscar
conjeturas
y
plantear
problemas.
1.
2.
3.
Valores
Respeto
Tolerancia
Tema
Transversal
1.
2.
1.
2.
La
programación
lineal
trata
de
un
conjunto
de
técnicas
matemáticas
que
intentan
obtener
el
mayor
provecho
(optimización)
posible
de
sistemas
económicos,
sociales,
tecnológico,
etc.
En
el
Perú
diversas
empresas
optimizan
costos
en
su
producción.
Pro
gra
ma
ció
n
Lin
ea
l
Unida
d
1

Libro de Actividades - Quinto grado de secundaria
Manolito te reta
A continuación se tiene una serie de problemas curiosos, te invitamos alumno a
que pongas tu ingenio y des respuestas a cada una de ellas.
Las monedas
Manuel en las manos tiene cierta cantidad de monedas. Si para cada una moneda de la
mano izquierda a la derecha, en ambas manos tendría la misma cantidad de monedas,
pero si se realizara la operación inversa se tendría el doble número de monedas en la
mano izquierda. ¿Cuántas monedas tiene Manuel en total?
Comprando una TV
En un supermercado Manuel tenía cierta can-
tidad de dinero mayor a la cantidad de Bruno.
Si entre los dos pueden comprar una TV que
cuesta menos de S/. 1200, pero juntos si un TV
que cuesta más de S/. 1000. ¿Cuánto dinero
tiene Manuel y Bruno juntos, si a la suma de
sus dineros se le dividen entre 100 resulta un
número entero mayor de 0 y menor de 20?
8 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche

PROGRAMACIÓN LINEAL
1

2 1 5
1 7
x
x
+ >
− <





2

10 13
11 12
− >
− < −





x
x
3

5 9 6
3 2 26
x
x
− >
+ >





4

3 1 2 5
4 8
2 2
( )
( )
− < −
+ > −





x x
x x
5

x x x x
x x x x
2
3 1 4
4 2 2 8 2 8
+ ≤ + +
− > + −





( )( )
( ) ( )( )
6

2 5 12
4 3 2 2 2
( )
( )
− >
− ≤ +





x
x x
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
"Recuerda tienes que ser persistente, no tienes
que detenerte hasta lograr tu cometido."
Determina el conjunto solución de los siguientes sistemas:
9
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
* 2x + 1 > 5 ® x > 2
* x – 1 < 7 ® x < 8
∴ 2 < x < 8
* 5x – 9 > 6 ® x > 3
* 3x + 2 > 26 ® x > 8
∴ x > 8
* x2 + 3x ≤ x2 + 5x + 4
-2x ≤ 4
x ≥ -2
* 4x2 – 8x > 4x2 – 64
-8x > - 64
x < 8
∴ -2 ≤ x < 8
* 3 – 3x < 2 – 5x

* x2 + 8x + 16 > x2 – 8
x > - 3
∴
* 5 – x > 6 ® x < -1
* 12 – 8x ≤ 2 + 2x ® x ≥ 1
∴
* 10 – x > 13 ® x < -3
* x – 11 < - 12 ® x < -1
∴ x < -3

7

− + ≤ −
− < +





x x x
x x
( )
3 18
4 2
1
2
9
2 8

7 3
2
3
2
4
3 15
2
− <
>
−
− ≥ −









x
x
x x
x x x
( )
9

x x
x x
x
x
> − −
− < +
+
≥ −







2 1
2 3 1
4
2
1
( )
( )
10

11

x x
x x
x
2 2
1
3 1 2 3
3 1 2 5
< −
− ≥ +
+ >







( )
( )
12

* -x2 -3x ≤ 18 – x2
x ≥ -6
*
x > -2
∴ x > -2
*
*
*
∴
*
*
*
∴
*
*
*
∴
*
*
∴ x > 2
* 2x > x – 1 ® x > - 1
* 2x – 6 > x + 1 ® x > 7
* -20 – 4x ≤ x ® x ≥ -4
∴ x > 7

1

5 5 20
3 1 26
x
x
+ >
− <





00
2

2 1 5
2 2 1
( )
x x
x x
− < +
− < +





3

3 2 6
5 3 7 13
x x
x x
+ > −
+ > −





4

x x
x x
+ > +
+ < −





10 18 2
3 5 9
5

6

x
x
x x
x
+
< +
− > − +






2
3
4
1
2
3
5
3
1
( −
− < − −





 +








 4 8
3
2
2
)x x x
entrelosdemas”
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
Determina el conjunto solución de los siguientes sistemas:
11
* 5x > 15 ® x > 3
* 3 x < 27 ® x < 9
∴ 3 < x < 9
* 2 x > - 8 ® x > - 4
* -2x > - 16 ® x < 8
∴ -4 < x < 8
* x2 + 2x + 1 > x2 + 13 ® x > 6
* x2 + 3x < 30 + x2 ® x < 10
* 3x + 8 > 12 + 2x ® x > 4
∴ 6 < x < 10
* x + 2 < 3x + 12 ® x > -5
* 3 – 2x > - 5x – 3 ® x > -2
* x2 – 4x < - 8x + 12 + x2 ® x < 3
∴ -2 < x < 3
* 2x – 2 < 5 + x ® x < 7
* x – 2x < 3 ® x > -3
∴ -3 < x < 7
* –x > 8 ® x < -8
* 4x < 4 ® x < 1
∴ x < - 8

1 x – y > 3 2 2x ≥ y
3 x + y < 2 4 y ≤ x + 3
5 x > 3 6 x ≤ 4
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
Representa gráficamente el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
-3
3

7 y – 2 < 5 8 2x – 3y ≥ 1
9 x – y ≥ 0

10 x + y <
x y
-
2
.
11 2(x – y) < 1 – x 12 2(x + 1) – 3(y – 1) ≥ 3(x – y)
13
5
2x + 2y < x – y ® x + 3y < 0
2x – 2y < 1 – x ® 3x – 2y < 1 2x + 2 – 3y + 3x ≥ 3x - 3y
⇒ x ≤ 5

1 x + 2 < y

2 x ≥ y + 8

3 x < 5

4 3x + 24 > 6

5 3(x + y) < x – y

6 2(x – 1) + y ≤ 3(x – y) + 5

entrelosdemas”
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
Representa gráficamente el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
5
x - y < -2 x - y ≥ 8
x > -6
3x + 3y < x – y ® x + 2y < 0 2x -2 + y ≤ 3x – 3y + 5
® x – 4y ≥ - 7

1

x y
x y
+ ≥
− <





9
2 4

2

x y
x
≤
− >




 2 0

3

x y
x y
− ≥
+ <





3
2 4

4

y x
x
≥
+ ≥




 3 0

5

x y
x
+ <
− ≤ ≤





3
2 4

6

− ≤ ≤
− ≤ ≤





1 4
2 5
x
y

entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
Determina gráficamente el conjunto solución de los siguientes sistemas:
15

7

y x
y x
y
≤ +
≤ − +
≥







1
2
0

8

3 2 9
1
3 2 6
3 2 24
y x
y
x y
x y
< +
≥
+ >
+ ≤










9

3 12 4
3
1
x y
x
y
+ >
<
≥








10

x y
x y
x
y
+ <
+ ≤
≥
≥









3 15
4 16
0
0

11

x y
y x
x
+ ≤
≤ +
− ≤







2 2
2 10
1 3

12

y
x
≤
>





4
1

4

1

x y
x y
+ >
− <





2
2 5

2

3

x
x y
+ >
+ ≥





8 24
2
4
3

4

x y
y x
≥ −
− ≤





3 1
3 2 2
( )
( )

5

x y
x y
y x
≤ −
> −
>







4 5
8 3 5
( )
( )

6

x
y
≥
≥





3
2
entrelosdemas”
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
Determina gráficamente el conjunto solución de los siguientes sistemas:
17
0
y

1 F(x; y) = 2x + y 2 F(x; y) = 20x + 30y
3 F(x; y) = 4x + 2y 4 F(x; y) = 3x + 5y
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
A. En cada uno de los siguientes gráficos determina los valores mínimo y máximo de la función objetivo F
para la región factible R.
F mín = F máx =
F mín = F máx = F mín = F máx =
F mín = F máx =
F (2 ; 2) = 2 (2) + 2 = 6
F (4 ; 6) = 2(4) + 6 = 14
F (5 ; 2) = 2(5) + 2 = 12
F (1 ; 0) = 4(1) + 2(0) = 4
F (0 ; 5) = 4(0) + 2(5) = 10
F (3 ; 7) = 4(3) + 2(7) = 26
F (6 ; 2) = 4(6) + 2(2) = 28
F (0 ; 2) = 3(0) + 5(2) = 10
F (2 ; 5) = 3(2) + 5(5) = 31
F (6 ; 5) = 3(6) + 5(5) = 43
F (8 ; 3) = 3(8) + 5(3) = 39
F (4 ; 0) = 3(4) + 5(0) = 12
6 14 120 340
F (3 ; 2) = 20(3) + 30(2) = 120
F (1 ; 4) = 20(1) + 30(4) = 140
F (5 ; 8) = 20(5) + 30(8) = 340
F (6 ; 3) = 20(6) + 30 (3) = 210
4 28 10 43

5

x + y 8
2 x 5
y 0
F(x; y) = 3x+2y
6

4y 5x – 10
5x + 2y 10
y 5
F(x ; y) = 2x + 7y
B. Determina los valores mínimo y máximo de F para el sistema dado de restricción.
7

y 5
x 6
5x + 6y 30

F(x ; y) = 10x + 5y
8

2x + 3y 6
y 2x + 2
y 0
2x + y 10
F(x; y) = 8x + 3y
19
F (2;0) = 3(2) + 2(0) = 6
F (2;6) = 3(2) + 2(6) = 18
F (5;3) = 3(5) + 2(3) = 21
F (5;0) = 3(5) + 2(0) = 15
Fmin = 6 F máx = 21
F (6;0) = 10(69 + 5(0) = 60
F (0;5) = 10(0) + 5(5) = 25
F (6;5) = 10(6) + 5(5) = 85
F mín = 25 F máx = 85
F (2;0) = 2(2) + 7(0) = 4
F (0;5) = 2(0) + 7(5) = 35
F (6;5) = 2(6) + 7 (5) = 47
F mín = 4 Fmáx = 47
F (3;0) = 8(3) + 3(0) = 24
F (0;2) = 8(0) + 3(2) = 6
F (2;6) = 8(2) + 3 (6) = 34
F (5;0) = 8(5) + 2 (0) = 40
F mín = 6 F máx = 40

C. Resuelve los siguientes problemas.
9 ¿Para qué valores (x; y) de la región determinada por las inecuaciones:
x ≥ 0
y ≥0
3x + y ≤ 21
–3x + 5y ≤ 15
la función F(x; y) = 4x + 2y toma su máximo valor?
10 Una prueba de selección contiene preguntas de matemáticas y física. El tiempo para resolver una pre-
gunta de matemática es 7 minutos y para resolver una pregunta de física es 12 minutos, y no se pueden
resolver más de 20 preguntas. Si el tiempo máximo permitido para la resolución es de 3 horas y cada
pregunta de matemática se califica con 10 puntos y cada pregunta de física con 13 puntos, ¿cuántas
preguntas de cada tipo deberá resolver correctamente un alumno para obtener el máximo puntaje?
11 Un paciente requiere una dieta estricta con dos alimentos A y B. Cada unidad del alimento A contiene
120 calorías y 2 gramos de proteínas. La unidad del alimento B contiene 100 calorías y 5 gramos de
proteínas. La dieta requiere como mínimo 100 calorías y 30 gramos de proteínas. Si el precio de cada
unidad del alimento A es de S/. 60 y de cada unidad del alimento B S/. 80, ¿cuántas unidades de cada
alimento debe contener la dieta para que el costo sea mínimo?
F (0;0) = 4(0) + 2(0) = 0
F (0;3) = 4(0) + 2(3) = 6
F (5;6) = 4(5) + 2(6) = 32 Máximo
F (7;0) = 4(7) + 2(0) = 28
∴ Se obtiene el máximo valor de F para:
x = 5 e y = 6
* Función objetivo
F(x;y) = 10x + 13y
* Evaluando:
F (0;0) = 0
F (0;20) = 260 ® máximo
F (12;8) = 224
F (15;0) = 150
∴ Debe responder 20 preguntas
de física.
x = # de unidades de A
y = # de unidades de B
* Evaluando:
F(15;0) = 60(15) + 80(0) = 900
F (0;6) = 60(0) + 80(6) = 480
* Luego
Para que el costo sea mínimo la dieta debe contener 6 unida-
des del alimento B.

1 F(x; y) = 3x + y
x
(1; 1) (5; 1)
(4; 5)
R
y

2 F(x; y) = 8x + 5y

y
x
(4; 6)
(7; 3)
(3; 2)
(1; 4)
R
3

x + y 4
y ≤ 1
x ≥ 0
F(x ; y) = 2x + 3y
4

x + y 10
x 0
3 y 6
F(x ; y) = 4x + 10y
A. En cada uno de los siguientes gráficos determina los valores mínimos y máximos de la función objetivo
F para la región factible R.
entrelosdemas”
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
B. Determina los valores mínimo y máximo de F para el sistema dado de restricciones.
21
F (1;1) = 3(1) + 1 = 4
F (4;5 = 3(4) + 5 = 17
F (5;1) = 3(5) + 1 = 16
F (3;2) = 8(3) + 5(2) = 34
F (1;4) = 8(1) + 5(4) = 28
F (4;6) = 8(4) + 5(6) = 62
F (7;3) = 8(7) + 5(3) = 71
F mín = 28 F máx = 71
F (0;0) = 2(0) + 3(0) = 0
F (0;1) = 2(0) + 3(1) = 3
F (3;1) = 2(3) + 3(3) = 9
F (4;0) = 2(4) + 3(0) = 8
F (0;3) = 4(0) + 10(3) = 30
F (0;6) = 4(0) + 10 (6) = 60
F (4;6) = 4(4) + 10 (6) = 76
F (7;3) = 4(7) + 10 (3) = 58
F mín 30 F máx = 76

1 Un artesano fabrica ollas de barro de dos calidades A y B. Mensualmente puede fabricar como mínimo
10 ollas y como máximo 90 si es de la calidad B, y como mínimo 15 y como máximo 80 si se trata
de la calidad A. La ganancia por olla de la calidad A es S/. 12 y por olla de la calidad B es S/. 10. Si
mensualmente puede fabricar a lo más 120 unidades combinadas, ¿cuántas unidades de cada calidad
debe fabricar para que obtenga ganancia máxima?
2 Una fábrica de macetas tiene dos calidades A y B. Mensualmente puede fabricar como mínimo 40
macetas y como máximo 100, si es de la calidad B, y como mínimo 90, si se trata de la calidad A. La
ganancia por maceta de la calidad A es S/. 15 y por maceta de la calidad B es S/. 20. Si mensualmente
puede fabricar a lo más 150 unidades combinadas. ¿Cuántas unidades de cada calidad debe fabricar
para que obtenga ganancia máxima?
C. Resuelve el problema.
* x : # de olla A
y : # de ollas B
* Restricciones:
10 ≤ y ≤ 90
15 ≤ x ≤ 80
x + y ≤ 120
Función objetivo:
F(x;y) = 12 x + 10y
* Evaluando:
F(15;10) = 280
F(15;90) = 1080
F(30;90) = 1260
F(80;40) = 1360
F(80;10) = 1060
* Para obtener la máxi-
ma ganancia se deben
fabricar 80 ollas de
calidad A y 40 ollas de
calidad B.
* x : # de macetas A
y : # de macetas B
* Restricciones:
40 ≤ y ≤ 100
x ≥ 90
x + y ≤ 150
* Función objetivo:
F(x;y) = 15 x + 20 y
* Evaluando:
F(90;40) = 2150
F(90;60) = 2550
F(110;40) = 2450
* Se deben fabricar 90
macetas de calidad A y 60
de calidad B.

Razonamiento y demostración
entrelosdemas”
APLICO MIS
APRENDIZAJES
1 Resolver el problema: Max: Z=4x - y

A) 32 B) 30 C) 24 D) 16 E) 10
2 ¿Cuál es el sistema de inecuaciones cuyo conjunto
solución esta representado por la región triángular
sombreada en la figura?
A)
B)
C)
D)
E)
3 La producción mensual de alambre de cobre en
una planta es de 5 toneladas. Dos compañias C1
y C2 requieren juntas por lo menos 3 toneladas de
alambre de cobre al mes. Cuesta s/. 200 (nuevos
soles) por toneladas enviar el alambre a C1 y S/. 300
(nuevos soles) por tonelada enviarlo a C2.
Minimizar el costo totaldel transporte sujeto a las
condiciones del problema.
A) C1: 3 tolenadas B) C2: 2 toneladas
C) C1: 2 toneladas D) C2: 4 toneladas
E) C2: 3 toneladas
4 Un fabricante produce dos clases de camisas, azul
y blanca. Debe producir más camisas azules que
blancas. Sin embargo, el número de camisas azules
no debe exceder al doble del número de blancas.
El fabricante no puede producir más de 15 prendas
al día.
¿Cuántas camisas de cada clase debe fabricar al día
para maximizar las ganancias si obtiene de ganancia
S/. 5,00 por cada camisa azul y S/. 7,00 por camisa
blanca?
A) A=10 y b=5 B) A=4 y B=6
C) A=7 y B=8 D) A=8 y B=7
E) A=5 y B=3
5 Una editorial produce revistas de arte culinario en
dos calidades de papel: bond de 80 gramos y pe-
riódico importado, mensualmente puede producir
entre 500 y 1000 revistas en papel bond de 80
gramos y un máximo de 1 500 revistas en papel
periódico importado. Si la ganancia por cada revista
en papel bond de 80 gramos es de S/. 15 y por
cada revista en papel periódico importado S/. 10,
¿Cuántas revistas de cada calidad debe producirse
al mes para que maximice las ganancias y cual es
ésta ganancia máxima?. Se sabe además que la
capacidad instalada en los talleres de la aditorial le
permiten producir mensualmente a lo más 1500
revistas en total.
Clave de
Respuestas
1. A
2. B
3. A
4. D
5. D
Número de revistas Ganancia
máxima
Papel bond Papel periódico
800 700 16 000
850 650 18 000
900 600 18 500
1 000 500 20 000
12 000 300 20 500
A)
B)
C)
D)
E)
23

entrelosdemas”
APLICO MIS
APRENDIZAJES
Comunicación matemática
1 Determina el área de la región que represente el
conjunto solución del sistema lineal.

A) 18u2 B) 13,5u2 C) 14,5u2
D) 18,5u2 E) 20u2
2 El punto (x*,y*) resuelve el siguiente problema de
programación lineal:
Maximizar: Z=100(x+y)

Determine x*+y*
A) 40 B) 80 C) 50 D) 140 E) 60
3 Escriba el sistema de inecuaciónes cuya solución
sean los puntos interiores al triángulo que se muestra
en la figura, incluyendo los puntos de la frontera.
A) B)
C) D)
E)
4 Un especialista en dietética desea preparar dos clases
de postre para un menú. El primero lleva 1 unidad
de sal por pieza, mientras que el segundo lleva 4.
El primer postre incluye 8 unidades de carbohi-
dratos por pieza, mientras que el segundo incluye
solamente 5.
No debe haber más de 36 unidades de sal y 72
unidades de carbohidratos en total en ambos tipos
de postres.
El número total de platillos debe ser por lo me-
nos 9. Si por cada pieza del primer postre gana
S/.1,2(nuevos soles) y por cada pieza del segundo
gana S/.1,10(nuevos soles).
¿Cuántos postres de cada tipo debe preparar el
especialista para maximizar su ganancia?
A) T1=4 y T2=8 B) T1=5 y T2=6
C) T1=7 y T2=2 D) T1=5 y T2=4
E) T1=3 y T2=6
5 En una industria se fabrican camiones modelos A y
B los cuales deben pasar por los procesos:
P1 (ensamblado), P2 (pintado) y P3 (colocación de
accesorios).
La fabricación del modelo A requiere de 6 horas en
P1, 4 horas en P2 y 1 hora en P3.
En cambio, la fabricación del modelo B invierte 4
horas en P1, 7 horas en P2 y 1 hora en P3.
En losprocesos P1, P2 y P3 se pueden trabajar como
máximo 60, 56 y 11 horas semanales, respectiva-
mente.
Si la utilidad que se obtiene por cada modelo A es
de $ 18 000 y por cada modelo B, de $ 26 000,
¿cuántos camiones del modelo A y cuántos del B
se deben fabricar semanalmente para obtener la
utilidad máxima? ¿cuál es la utilidad máxima?
A) A = 7 ; B = 4 ; G = $ 230 000
B) A = 8 ; B = 3 ; G = $ 175 000
C) A = 6 ; B = 5 ; G = $ 182 000
D) A = 4 ; B = 6 ; G = $ 154 000
E) A = 9 ; B = 4 ; G = $ 164 000
Clave de
Respuestas
1. D
2. C
3. A
4. A
5. A
y
x
- 1

entrelosdemas”
APLICO MIS
APRENDIZAJES
Resolución de problemas
1 Luego de resolver el problema de programación
lineal, maximize f(x;y)=2x+y, sujeta a las restric-
ciones:

Determina el valor óptimo.
A) 10 B) 6 C) 27/2 D) 25/1 E) 15/2
2 Se quiere confeccionar dos tipos de prendas de
vestir con tela de algodon y corduroy, de acuerdo
a las siguientes condiciones

Si el número de prendas de tipo A no debe superar
al doble de prendas de tipo B, calcule la máxima
ganancia que se puede obtener.
A) S/. 240 B) S/. 300 C) S/. 360
D) S/. 200 E) S/. 150
3 Sea u el número de decenas de sillas y v el número
de decenas de mesas que fabrica una empresa al día.
Si la utilidad diaria está dada por 200 u + 300 v, y
se tienen las siguientes restricciones:

encuentre el número de decenas de mesas y sillas
respectivamente, a fabricar diariamente de modo
que la empresa obtenga la mayor utilidad.
A) 3 y 1 B) 1 y 3 C) 2 y 2
D) 2 y 3 E) 3 y 3
4 Un lago se llena de dos especies de peces S1 y S2. La
especie S1 proporciona un peso promedio de 4 kg de
carne y la especie S2 en peso promedio de 2 kg. Dos
tipos de comida F1 y F2 están disponibles en el lago. El
requerimiento promedio de la especie S1 es 1 unidad
deF1y3unidadesdeF2,mientrasqueelrequerimiento
de S2 son 2 unidades de F1 y 1 unidad de F2 cada día.
Sisedisponediariementede500unidadesdeF1y900
unidadesdeF2,determineelnúmerototaldepecesen
ellagoquemaximizeelpesototaldecarnedepescado.
A) 360 B) 380 C) 400 D) 420 E) 460
5 Una empresa fabrica dos modelos de teléfonos
calulares: Infinitum y Premiun. El modelo infinitum
deja ganancias de $ 80 dólares por unidades y el
modelo Premium de $ 100 por unidad. Para cumplir
la demanda diaria, la empresa debe producir un
máximo de 250 teléfonos celulares del modelo In-
finitum y un máximo de 200 teléfonos celulares del
modelo Premium. Si la producción diaria no debe
sobrepasar de 300 teléfonos celulares, ¿cuántas de
cada modelo se deben producir para maximizar las
ganancias? ¿cuál es la ganancia máxima obtenida?
A) I = 100 ; P = 200 ; G = $ 28 000
B) I = 120 ; P = 180 ; G = $ 30 000
C) I = 110 ; P = 190 ; G = $ 32 000
D) I = 80 ; P = 220 ; G = $ 36 000
E) I = 100 ; P = 200 ; G = $ 25 000
6 Una empresa textil confecciones dos líneas de
pantalones Jeans: Clásico y Urbano. El modelo
Clásico deja ganancias de S/. 20 por unidad y
modelo Urbano de S/.25 por unidad. Para cumplir
la demanda diaria, la empresa debe producir un
mínimo de 300 pantalones de línea Clásico y un
mínimo de 450 pantalones de la línea Urbano. Si
la producción diaria no debe sobrepasar de 1 000
pantalones, ¿cuántos de cada modelo se deben
producir para maximizar las ganancias? ¿cuál es la
ganancia máxima obtenida?
A) C = 450 ; U = 300 ; G = $ 165 000
B) C = 550 ; U = 450 ; G = $ 22 250
C) C = 500 ; U = 500 ; G = $ 24 000
D) C = 200 ; U = 800 ; G = $ 22 000
E) C = 300 ; U = 700 ; G = $ 23 500
Clave de
Respuestas
1. C
2. C
3. C
4. B
5. A
6. E
25
Tipo A B Disponible
Tela de algodón 1m 1/2m 5m
Tela de corduroy 1m 3/2m 9 m
Ganacia S/. 20 S/. 60

Solucionario: Razonamiento y demostración
1 Graficando:

Evaluando:
Z (0;0) = 4(0) – 0 = 0
Z (8;0) = 4(8) – 0 = 32
Z (8;2) = 4(8) – 2 = 30
Z (4;6) = 4(4) – 6 = 10
Z (0;6) = 4(0) – 6 = -6
∴ Z máx = 32 Rpta.A
2 Analizando la figura:

L1: y = x
L2: y = - x + 4
L3: x = 6
Entonces:
x ≥ 6
x ≥ y
x + y ≥ 4 Rpta. B
3 Sea:
x : # de toneladas de C1
y : # de toneladas de C2
* Restricciones:
3 ≤ x + y ≤ 5
x ≥ 0 ; y ≥ 0
F = 200 x + 300 y

∴ x = 3 ® C1 : 3 toneladas Rpta. A
4 x : # de camisas azules
y : # de camisas blancas
F(x;y) = 5x + 7y
* No podemos tomar el punto ya que x e y
son números enteros y: x > y, entonces tomamos
(8;7) ∈ R
* Evaluando:
F (0;0) = 0

27
Solucionario: Comunicación matemática
F (8;7) = 89 máx
F (10;5) = 85
* Azules = 8
Blancas = 7 Rpta. D
5 Sea.
X : # revistas en papel bond
Y : # revistas en papel periódico
F(x;y) = 15 x + 10y
* Graficando:
F (5000;0) = 7500
F (500 ; 1000) = 17500
F (1000 ; 500) = 20000 ® máx.
F (1000 ; 0) = 15000
* Finalmente:
Rpta. D
1 Graficando:

A = 18,5 u2 Rpta. D
2 Graficando:
* Evaluando en Z = 100 (x + y)
Z (0;0) = 0
Z (0;40) = 4000
Z (20;30) = 5000 ® máx.
Z (40;0) = 4000
* Entonces:
Rpta. C
3 Analizando el gráfico:

Finalmente:
2x – 3y ≤ 6
2x + 3y ≤ 0
x + 1 ≥ 0 Rpta. A
4 Sean:
x: # de postres T1
y: # de postres T2
* Restricciones:
x + 4y ≤ 36
8x + 5y ≤ 72
x + y ≥ 9
x ≥ 0 ; y ≥ 0
F(x;y) = 1,20 x + 1,10 y
* Evaluando:
F (9;0) = 10,80
F (0;9) = 9,90
F (4,8) = 13,60 ® máx.
* Luego
x = 4 é y= 8
∴ T1 = 4
T2 = 8 Rpta. A
5 Sean:
x : # camiones A
y : # camiones B
* Restricciones:
6x + 4y ≤ 60
4x + 7y ≤ 56
x + y ≤ 11
x ≥ 0 ; y ≥ o
F(x;y) = 18000 x + 26000 y
* Graficando:
* Evaluando:
F (0;0) = 0
F (0;8) = 208000
F (7;4) = 230000 ® máx.
F (8;3) = 222000
F (10;0) = 180000
A = 7 ; B = 4 ; G = $230000 Rpta. A
Solucionario: Resolución de problemas
1 Graficando:

29
f (x;y) = 2x + y ; entonces:
f (1;0) = 2
f (0;2) = 2
f (0;4) =4
f (2;6) = 10

f (3;0) = 6
* Valor optimo = Rpta. C
2 Restricciones:

F (x;y) = 20 x + 60 y
* Graficamos:
* Evaluando:
F (0;0) = 0
F (0;6) = 360 ® máx.
F (3;4) = 300
F (4;2) = 200
Ganancia máxima = $360 Rpta. C
3 Graficando:
* Evaluando:
F (u,v) = 200u + 300v
F (0;0) = 0

F (2,2) = 1000 máx.
F (3;0) = 600
∴ u = 2
v = 2 Rpta. C
4 Del dato:
x : # de peces S1
y : # de peces S2
* Restricciones:
x + 2y ≤ 500
3x + y ≤ 900
x ≥ 0 ; y ≥ 0
C(x;y) = 4x + 2y
* Graficando:
Evaluando:
C (0;0) = 0
C (0; 250) = 500
C (260 ; 120) = 1280 máx.
C (300 ; 0) = 1200
Rpta. B

5 Sean:
x : # de celulares infinitum
y : # de celulares Premium
* Restricciones:
0 ≤ x ≤ 250
0 ≤ y ≤ 200
x + y ≤ 300
F (x ; y) = 80 x + 100 y
* Gráfica:

* Evaluando:
F (0;0) 0
F (0; 200) = 20000
F (100;200) = 28000 máx.
F (250;50)= 25000
F (250; 0) = 2000
x = 100
y = 200
G = $28 000 Rpta. A
6 Sean:
x ® # jeans clásicos
y ® # jeans urbano
* Restricciones:
x ≥ 300
y ≥ 450
x + y ≤ 1000
* Función objetivo
F(x;y) = 20x + 25 y
* Graficando:
* Evaluando:
F (300;450) = 17250
F (300;700)) = 23500 ® máx.
F (550;450) = 22250
x = 300
y = 700
G = s/23500 Rpta. E

Razonamiento y demostración
1 Determine el conjunto solución:

3 5 8
2 4 6
x
x
+ >
− <






2 Determine el conjunto solución:

x x
x
> − −
+
>





3 2
7
2
3
( )

3 Representa gráficamente el conjunto solución
de:
5x – 3y ≤ 1

4 Representa gráficamente el conjunto solución
de:
3(x + y) > 2x + 5

entrelosdemas”
PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES
31
* 3x + 5 > 8 ® x > 1
* 2x – 4 < 6 ® x < 5 * x > - 3 (2 – x) ® x < 3
*
5x - 3y = 1
x + 3y = 5
3(x + y) > 2x + 5 ® x + 3y > 5

Comunicación matemática
1 Determine gráficamente el conjunto solución
de:

x y
x y
x
+ ≥
− <
<







8
3 10
6

2 Determine gráficamente el conjunto solución
de:

3 F(x; y) = 3x + 2y

x
(2; 2) (2; 6)
(3; 7)
R
y

4 F = 10x + 12y

y
x
(6; 7)
(7; 4)
(4; 1)
(1; 4) R
(3; 7)

entrelosdemas”
En cada uno de los siguientes gráficos determine los valores mínimo y máximo de la función objetivo F para
la región factible R.
F (2;2) = 3(2) + 2(2) = 10
F (3;7) = 3(3) + 2(7) = 23
F (2;6) = 3(2) + 2(6) = 18
F mín = 10 F máx = 23
F (4;1) = 10(4) + 12(1) = 52
F (1;4) = 10(1) + 12 (4) = 58
F (3,7) = 10(3) + 12 (7) = 114
F (6:7) = 10(6) + 12 (7) = 144
F (7;4) = 10(7) + 12(4) = 118
F mín = 52 F máx = 144

Resolución de problemas
1 F(x; y) = 5x + 11 y

x y
x
y
+ ≤
≤ ≤
≥







2 15
1 7
0

2 F(x; y) = 10x + 20y

x y
y
x y
≤
<
+ >







12
5 7 42

3 Una fábrica de muebles elabora muebles de 2 calidades A y B. Mensualmente puede fabricar como
mínimo 8 muebles y como máximo 40 si es de la calidad A, y como mínimo 10 muebles y como máximo
50 si se trata de la calidad B. La ganancia por un mueble de la calidad A es S/. 180 y por un mueble de
la calidad B es S/. 120. Si mensualmente puede fabricar a lo más 60 muebles combinados. ¿Cuántos
muebles de cada calidad debe fabricar para que obtenga ganancia máxima?
entrelosdemas”
Determine los valores mínimo y máximo de F para los sistemas.
* x : # de muebles A
y : # de muebles B
* Restricciones:
8 ≤ x ≤ 40
10 ≤ y ≤ 50
X + y ≤ 60
* Función objetivo
F(x,y) = 180 x + 100 y
* Grafica
Donde:
P (8;10)
Q (8;50)
R (10;50)
S (40;20)
T (40; 10)
* Evaluando en F(x;y) = 180x+120y:
F (8;10) = 2640
F (8;50) = 7440
F (10;50) = 7800
F (40;20) = 9600 máximo
F (40;10) = 8400
* Luego, se deben fabricar 40 mue-
bles de calidad a y 20 de calidad B
33
F (1;0) = 5
F (1;7) = 82
F (7;4) = 79
F (7;0) = 35
F mín = 5
F máx = 82
F mín = 105
F máx = 360

4 Un zorro necesita para subsistir al día 40 unidades de proteínas, 30 de grasas y 10 de vitaminas. Sus
presas son dos tipos de animales: libres que le proporcionan 20 unidades de proteínas, 15 unidades
de grasas y 5 de vitaminas y palomas que le proporcionan 10 unidades de proteínas, 8 unidades de
grasa y 2 de vitaminas. Si al cazar y comer une liebre le cuesta 15 unidades de energía y una paloma
10 unidades de energía.
¿Cuántas presas de cada clase debe cazar para satisfacer sus necesidades, con el menos gasto de energía?
* x : # de liebres
y : # de palomas
* Restricciones:
20x + 10 y ≥ 40
15x + 8y ≥ 30
5x + 2y ≥ 10
x ≥ 0
y ≥ 0
F(x:y) = 15 x + 10 y
* Gráfica:
20x+10y=40
15x+8y=30
5x+2y=10
* Evaluamos:
F (2;0) = 15(2) + 10(0) = 30 (mínimo)
F (0;5) = 15(0) + 10(5) = 50
* Luego debe cazar 2 liebres.

Nombre del ALUMNO:…………………………...........................................
Equipo:…………………..............................................................................
INSTRUCCIONES: Luego de completar tus datos responde los aspectos que señalan tu desempeño en
tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego
completa el recuadro realizando una reflexión sobre tu participación.
REFLEXIONO SOBRE MI DESEMPEÑO EN EL EQUIPO:
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
N° Aspectos a evaluar SI NO
1. ¿Mostré entusiasmo en la participación de la actividad?
2. ¿Participé de manera activa en las diferentes actividades propuestas por el equipo?
3. ¿Realicé aportaciones que ayudaron al buen desempeño de mi equipo?
4. ¿Fui tolerante ante las ideas de mis compañeros?
5. ¿Cumplí puntualmente con lo acordado por el equipo?
autoevaluación
INSTRUCCIONES:
Nombre del evaluador: ………………………..............................................
Equipo: ……………….................................................................................
En la primera columna escribe el nombre de cada uno de tus compañeros de equipo
sin incluir el tuyo. Asígnales una puntuación de 0 a 20 en cada uno de los aspectos
a evaluar y si crees necesario puedes colocar un comentario.
Compañeros
Aspectos a evaluar
Comentarios
1 2 3 4 5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
COEVALUACIÓN
ASPECTOS A EVALUAR:
1. Su actitud de apoyo para la elaboración del trabajo.
2. Participó activamente en las diferentes actividades del grupo.
3. Cumplió con lo acordado.
4. Fue tolerante ante las ideas de otros y tomaba en cuenta sus opiniones.
5. Sus aportes los realizó pensando en beneficio del equipo.
35

HETEROEVALUACIÓN
INSTRUCCIONES: El profesor responderá los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de
trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completará el
recuadro realizando un comentario sobre tu participación.
N° Aspectos a evaluar SI NO
1. ¿Mostró interés en el desarrollo de la actividad?
2. ¿Participó de manera activa en las diferentes tareas propuestas por el equipo?
3. ¿Realizó aportaciones que ayudaron al buen desempeño del equipo?
4. ¿Es tolerante ante las ideas de sus compañeros?
5. ¿Cumplió puntualmente con lo acordado por el equipo?
REFLEXIÓN SOBRE LA PARTICIPACIÓN DEL ALUMNO EN EL EQUIPO DE TRABAJO:
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
METACOGNICIÓN
Responde de manera personal las siguientes preguntas:
1. ¿Qué dificultad he tenido para comprender el tema?

...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
2. ¿Cómo he superado estas dificultades?

...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................
3. ¿Qué aplicaciones tiene lo estudiado?

...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................
4. ¿Cómo me sentí durante el desarrollo de la clase?.

...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

1 Introducción a la programación lineal.pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a 1 Introducción a la programación lineal.pdf

Similar a 1 Introducción a la programación lineal.pdf (20)

Último

Último (20)

1 Introducción a la programación lineal.pdf