1) El documento discute la importancia de las mediciones cuantitativas en la ciencia según Lord Kelvin. 2) Explica que los temas de matemáticas se organizan en números, relaciones y funciones, geometría y medición, y estadística y probabilidad. 3) Describe la estructura del libro de texto de matemáticas SERIE COVEMATIC para secundaria, el cual presenta temas teóricos y problemas resueltos para ayudar a los estudiantes.
Este documento presenta un plan de negocios para una tienda de ropa llamada "Palacio de Modas S.R.L." en Perú. Describe el tipo de empresa, su misión, visión y productos. Incluye un análisis FODA, un estudio de mercado, objetivos de marketing, posicionamiento, canales de distribución y presupuesto. También presenta planes de inversión, costos, riesgos y conclusiones para este nuevo negocio de ropa.
El documento presenta las reglas para operar con potencias. Específicamente, explica que en la multiplicación se conserva el exponente y se multiplican las bases si son distintas, o se conservan las bases y se suman los exponentes si son iguales. También indica que en la división se conserva el exponente y se dividen las bases si son distintas, o se conservan las bases y se restan los exponentes si son iguales. Por último, señala que en potencias con paréntesis y dos exponentes, estos se multiplican primero antes de resolver la potencia
Este ejercicio muestra la forma correcta de considerar el punto de equilibrio, teniendo en cuenta que éste se logra cuando los costos totales son iguiales a los ingresos totales.
El documento presenta una introducción a la resolución de problemas mediante la formación y resolución de ecuaciones. Explica que un problema involucra datos, incógnitas y una relación entre ellos que puede expresarse como una ecuación. Luego, detalla los pasos para resolver problemas, que incluyen identificar datos e incógnitas, formular la ecuación, resolverla y verificar la solución. Por último, provee ejemplos resueltos de problemas y su correspondiente formulación como ecuaciones.
Este documento presenta 7 problemas resueltos sobre progresiones aritméticas. En cada problema se dan los valores de algunos términos de la progresión y se pide hallar otro término u otro valor como la razón. Las soluciones encuentran la razón de la progresión r utilizando las fórmulas de progresiones aritméticas y luego aplican la fórmula general an=a+(n-1)r para hallar el término requerido.
Este documento contiene 22 preguntas sobre diferentes gráficas estadísticas que representan datos sobre el número de paquetes enviados por una tienda de velas, pacientes admitidos en un hospital, millas acumuladas por empleados, tiempo de entrega de pedidos en línea, salarios de soldadores, y precios de casas vendidas. Las gráficas incluyen histogramas, polígonos de frecuencias y polígonos de frecuencias acumuladas. Las preguntas requieren calcular puntos medios, frecuencias, porcentajes y
El documento presenta información sobre las razones trigonométricas de ángulos notables. Explica que ciertos triángulos rectángulos tienen proporciones conocidas entre sus lados dependiendo de las medidas de sus ángulos agudos. Luego, muestra los triángulos notables de 45°, 30°-60° y algunos aproximados como 37°-53°. Finalmente, incluye ejercicios resueltos como ejemplos.
Este documento contiene 13 problemas matemáticos relacionados con porcentajes, descuentos, aumentos de precios, intereses y cálculos financieros. Los problemas incluyen calcular precios finales después de aplicar descuentos y aumentos, determinar porcentajes de parte de un todo, calcular valores originales con IGV incluido, y calcular intereses ganados sobre una inversión.
Este documento presenta un plan de negocios para una tienda de ropa llamada "Palacio de Modas S.R.L." en Perú. Describe el tipo de empresa, su misión, visión y productos. Incluye un análisis FODA, un estudio de mercado, objetivos de marketing, posicionamiento, canales de distribución y presupuesto. También presenta planes de inversión, costos, riesgos y conclusiones para este nuevo negocio de ropa.
El documento presenta las reglas para operar con potencias. Específicamente, explica que en la multiplicación se conserva el exponente y se multiplican las bases si son distintas, o se conservan las bases y se suman los exponentes si son iguales. También indica que en la división se conserva el exponente y se dividen las bases si son distintas, o se conservan las bases y se restan los exponentes si son iguales. Por último, señala que en potencias con paréntesis y dos exponentes, estos se multiplican primero antes de resolver la potencia
Este ejercicio muestra la forma correcta de considerar el punto de equilibrio, teniendo en cuenta que éste se logra cuando los costos totales son iguiales a los ingresos totales.
El documento presenta una introducción a la resolución de problemas mediante la formación y resolución de ecuaciones. Explica que un problema involucra datos, incógnitas y una relación entre ellos que puede expresarse como una ecuación. Luego, detalla los pasos para resolver problemas, que incluyen identificar datos e incógnitas, formular la ecuación, resolverla y verificar la solución. Por último, provee ejemplos resueltos de problemas y su correspondiente formulación como ecuaciones.
Este documento presenta 7 problemas resueltos sobre progresiones aritméticas. En cada problema se dan los valores de algunos términos de la progresión y se pide hallar otro término u otro valor como la razón. Las soluciones encuentran la razón de la progresión r utilizando las fórmulas de progresiones aritméticas y luego aplican la fórmula general an=a+(n-1)r para hallar el término requerido.
Este documento contiene 22 preguntas sobre diferentes gráficas estadísticas que representan datos sobre el número de paquetes enviados por una tienda de velas, pacientes admitidos en un hospital, millas acumuladas por empleados, tiempo de entrega de pedidos en línea, salarios de soldadores, y precios de casas vendidas. Las gráficas incluyen histogramas, polígonos de frecuencias y polígonos de frecuencias acumuladas. Las preguntas requieren calcular puntos medios, frecuencias, porcentajes y
El documento presenta información sobre las razones trigonométricas de ángulos notables. Explica que ciertos triángulos rectángulos tienen proporciones conocidas entre sus lados dependiendo de las medidas de sus ángulos agudos. Luego, muestra los triángulos notables de 45°, 30°-60° y algunos aproximados como 37°-53°. Finalmente, incluye ejercicios resueltos como ejemplos.
Este documento contiene 13 problemas matemáticos relacionados con porcentajes, descuentos, aumentos de precios, intereses y cálculos financieros. Los problemas incluyen calcular precios finales después de aplicar descuentos y aumentos, determinar porcentajes de parte de un todo, calcular valores originales con IGV incluido, y calcular intereses ganados sobre una inversión.
El documento presenta una introducción al análisis vectorial en física, definiendo conceptos básicos como vectores, magnitudes vectoriales, elementos de un vector, representación gráfica y expresión analítica de vectores. También describe operaciones con vectores como adición, métodos para calcular la resultante, tipos de vectores y sustracción de vectores. El objetivo es que los estudiantes aprendan estos conceptos vectoriales fundamentales en física.
El documento presenta el plan de estudios de una unidad de matemáticas comerciales. La unidad cubre temas como descuentos y aumentos sucesivos, precios y ganancias. Las sesiones enseñan cómo aplicar estas nociones a situaciones comerciales mediante la resolución de problemas. El documento incluye ejemplos de problemas resueltos sobre precios, descuentos y cálculo de ganancias.
TABLA DE FRECUENCIA DE DATOS AGRUPADOS-Proyecto 7 noveno-matemáticasAlexandra Sotama Ortiz
Este documento presenta una serie de actividades microcurriculares para el grado noveno sobre el tema de tablas de frecuencias, medidas de tendencia central y dispersión para datos agrupados, diagramas de árbol y probabilidad de eventos compuestos. La tarea incluye construir tablas de frecuencias, calcular la media, mediana y moda para datos agrupados, identificar medidas de dispersión, resolver problemas usando diagramas de árbol y clasificar sucesos compuestos. El documento proporciona ejemplos y actividades para que los estud
01. La ecuación de segundo grado general es de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son los coeficientes.
02. Existen dos métodos para resolver una ecuación de segundo grado: factorización y fórmula cuadrática.
03. La naturaleza de las raíces depende del valor del discriminante Δ = b2 - 4ac. Si Δ > 0 las raíces son reales y distintas, si Δ = 0 las raíces son reales e iguales, y si Δ < 0 las raíces son complejas.
El documento presenta la programación anual del área de matemáticas para 2° grado en una institución educativa. Describe los datos generales como el ciclo, grado, docente responsable y número de horas. Explica que la matemática se enseñará enfocada en la resolución de problemas a través de cuatro competencias: cantidad, regularidad y cambio, forma y movimiento, y gestión de datos. También incorporará enfoques transversales como atención a la diversidad, interculturalidad y ambiental. Finalmente, presenta los estándares de apre
Solucionario planteo de ecuaciones - 5to SecundariaLeoncito Salvaje
Este documento presenta 13 problemas de matemáticas resueltos. Los problemas involucran ecuaciones, áreas de figuras geométricas, edades y otras operaciones matemáticas. Cada problema viene con su resolución paso a paso para llegar a la respuesta correcta.
Cálculo integral y sus aplicaciones en la empresaSergioBermudez27
Este documento presenta un resumen de las aplicaciones del cálculo integral en la administración y economía. En la primera unidad, se define la integral indefinida y se explican conceptos básicos como la antiderivada. La segunda unidad aplica las integrales a funciones de oferta, demanda y análisis marginal. La tercera unidad describe métodos de integración. La cuarta unidad presenta la integral definida y su uso para calcular áreas. Finalmente, la quinta unidad muestra aplicaciones económicas como coeficientes de desigualdad y curvas de
PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÒN DE FUNCIONES EXPONENCIALESguest79929af
Este documento presenta varios ejemplos resueltos sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Los ejemplos cubren temas como la desintegración radiactiva, el crecimiento bacteriano exponencial, intereses compuestos y descuentos exponenciales. Cada ejemplo proporciona la formulación matemática del problema, los pasos para resolverlo y la solución.
Ejercicios de potenciacion de números enterosgutidiego
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre potenciación de números enteros. Los ejercicios incluyen expresar productos y potencias usando un solo exponente, simplificar expresiones aplicando las propiedades de las potencias, calcular valores de expresiones cuando se dan valores para las variables, ordenar expresiones, y hallar valores de exponentes o bases. El documento proporciona referencias bibliográficas al final.
1. Dos torres de vigilancia de incendios están a 1.5 km de distancia entre sí y divisan un fuego en un punto C. Se pide calcular cuán lejos está el fuego de la Torre A.
2. Un hombre observa la altura de una torre de alta tensión de 10 metros y el ángulo de elevación del sol es de 30°. Se pide calcular la distancia entre el hombre y la torre.
3. Se pide calcular cuán lejos está un bote de pesca de la base de un risco de 60 metros de altura, si
INFORME DE PRÁCTICAS: “PRÁCTICAS PRE-PROFESIONALES DE ASISTENTE ADMINISTRATIV...CESAR GUSTAVO
Este informe resume las prácticas pre-profesionales del autor en el área de comercialización de la empresa INDEX NET S.A.C. durante el periodo de agosto a noviembre de 2017. La empresa ofrece servicios informáticos como consultoría TI, desarrollo de aplicaciones, soluciones de sistemas, redes y seguridad. Como parte de sus prácticas, el autor realizó estrategias de marketing y ventas para los servicios de la empresa. El informe describe las actividades y evaluaciones realizadas durante el periodo de prácticas
1) El documento presenta información sobre ecuaciones cuadráticas, incluyendo definiciones, métodos de resolución, propiedades de las raíces y ejemplos.
2) Se explican los métodos de resolución por factorización y fórmula cuadrática, así como propiedades como la suma, producto y diferencia de raíces.
3) También se detallan conceptos como la naturaleza de las raíces dependiendo del discriminante, y la formación de ecuaciones cuadráticas a partir de las raíces.
Este documento presenta una sesión de aprendizaje sobre proporcionalidad directa e inversa para estudiantes de cuarto grado. La sesión incluye datos informativos, aprendizajes esperados, una secuencia didáctica con actividades para desarrollar durante la clase y en casa, y materiales a utilizar. El objetivo es que los estudiantes reconozcan y apliquen modelos basados en la proporción para resolver problemas relacionados con la proporcionalidad.
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre estadística. Introduce conceptos básicos como población, muestra, variable e individuo. Explica cómo clasificar variables y construir tablas estadísticas para representar datos cuantitativos discretos y continuos mediante frecuencias e intervalos. Finalmente, proporciona ejemplos prácticos de elaboración de tablas a partir de conjuntos de datos.
Apuntes y problemas de cálculo I - Victor Chungara Castro.pdfDaine Anglariy
Este capítulo presenta los fundamentos del sistema numérico de los números reales, incluyendo sus propiedades, teoremas, inecuaciones y el valor absoluto. Introduce el conjunto de los números reales R, que incluye números racionales e irracionales, y explica que el cálculo opera con números reales. Luego define las propiedades básicas de los números reales como la conmutatividad, asociatividad, existencia de neutros y opuestos, entre otras. Finalmente, presenta varios teoremas importantes sobre números reales.
Este documento presenta información sobre funciones racionales. Introduce el concepto de función racional como una función que se expresa como el cociente de dos polinomios. Explica cómo graficar funciones racionales y determinar sus asíntotas. También cubre operaciones como suma, resta, multiplicación y división de funciones racionales. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar conceptos como evaluación, simplificación y operaciones con funciones racionales.
Este documento presenta la planificación de una sesión de aprendizaje sobre triángulos en geometría para estudiantes de secundaria. La sesión cubrirá puntos colineales, segmentos consecutivos y sumas y restas de longitudes. Los estudiantes aprenderán a nombrar triángulos según sus ángulos y lados, identificar propiedades de triángulos y resolver problemas aplicando definiciones básicas sobre triángulos. La sesión utilizará métodos como la demostración, comunicación y resolución de problemas.
Este documento presenta la sesión de aprendizaje sobre la factorización de polinomios por el método de factor común para estudiantes de tercer grado. La sesión cubre la introducción del tema, la explicación del método a través de ejemplos resueltos en el tablero y una guía de práctica para que los estudiantes apliquen el método resolviendo ejercicios. El objetivo es que los estudiantes identifiquen la factorización por factor común monomio, polinomio y agrupación de tér
El documento presenta el plan de estudios de matemáticas para décimo grado, dividido en 4 períodos. Cada período cubre diferentes temas como números reales, ángulos, triángulos, estadística descriptiva, funciones trigonométricas y probabilidad. También incluye los logros y criterios de evaluación para el primer período, enfocados en números reales, ángulos, triángulos, estadística descriptiva y el uso de tecnologías de la información.
PROGRAMACIÓN 1ER AÑO SECUNDARIA 2023 U_1_2.docxMarcoOcana1
Este documento presenta la programación curricular anual 2023 del área de Matemáticas para el primer año de secundaria en la Institución Educativa "Nuestra Señora de la Asunción". Incluye datos generales, fundamentación del área, logros de aprendizaje, enfoques transversales y la matriz de programación anual dividida en cuatro bimestres, con situaciones significativas, logros, enfoques y valores. El objetivo general es desarrollar competencias matemáticas en los estudiantes y abordar temas transversales como dere
Este documento presenta información sobre los autores de un libro de texto de matemáticas para primer año medio. Incluye los nombres, títulos y lugares de estudio y trabajo de cuatro autores: Andrés Ortiz Jiménez, Cristián Reyes Reyes, Marisol Valenzuela Chandía y Eugenio Chandía Muñoz. También incluye información sobre la editorial, ilustradores y equipo de producción del libro.
Demo matemáticas básicas y esenciales iSamali Correa
Este documento presenta información sobre conceptos matemáticos básicos como funciones, manipulación gráfica de funciones, cónicas, logaritmos y exponenciales. Explica cómo analizar el dominio de una función dependiendo de si tiene denominador, raíz cuadrada u otros elementos. También describe cómo graficar funciones al sumar o restar constantes, y cómo esto causa desplazamientos verticales u horizontales. El objetivo es servir como material de apoyo para estudiantes y profesores.
El documento presenta una introducción al análisis vectorial en física, definiendo conceptos básicos como vectores, magnitudes vectoriales, elementos de un vector, representación gráfica y expresión analítica de vectores. También describe operaciones con vectores como adición, métodos para calcular la resultante, tipos de vectores y sustracción de vectores. El objetivo es que los estudiantes aprendan estos conceptos vectoriales fundamentales en física.
El documento presenta el plan de estudios de una unidad de matemáticas comerciales. La unidad cubre temas como descuentos y aumentos sucesivos, precios y ganancias. Las sesiones enseñan cómo aplicar estas nociones a situaciones comerciales mediante la resolución de problemas. El documento incluye ejemplos de problemas resueltos sobre precios, descuentos y cálculo de ganancias.
TABLA DE FRECUENCIA DE DATOS AGRUPADOS-Proyecto 7 noveno-matemáticasAlexandra Sotama Ortiz
Este documento presenta una serie de actividades microcurriculares para el grado noveno sobre el tema de tablas de frecuencias, medidas de tendencia central y dispersión para datos agrupados, diagramas de árbol y probabilidad de eventos compuestos. La tarea incluye construir tablas de frecuencias, calcular la media, mediana y moda para datos agrupados, identificar medidas de dispersión, resolver problemas usando diagramas de árbol y clasificar sucesos compuestos. El documento proporciona ejemplos y actividades para que los estud
01. La ecuación de segundo grado general es de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son los coeficientes.
02. Existen dos métodos para resolver una ecuación de segundo grado: factorización y fórmula cuadrática.
03. La naturaleza de las raíces depende del valor del discriminante Δ = b2 - 4ac. Si Δ > 0 las raíces son reales y distintas, si Δ = 0 las raíces son reales e iguales, y si Δ < 0 las raíces son complejas.
El documento presenta la programación anual del área de matemáticas para 2° grado en una institución educativa. Describe los datos generales como el ciclo, grado, docente responsable y número de horas. Explica que la matemática se enseñará enfocada en la resolución de problemas a través de cuatro competencias: cantidad, regularidad y cambio, forma y movimiento, y gestión de datos. También incorporará enfoques transversales como atención a la diversidad, interculturalidad y ambiental. Finalmente, presenta los estándares de apre
Solucionario planteo de ecuaciones - 5to SecundariaLeoncito Salvaje
Este documento presenta 13 problemas de matemáticas resueltos. Los problemas involucran ecuaciones, áreas de figuras geométricas, edades y otras operaciones matemáticas. Cada problema viene con su resolución paso a paso para llegar a la respuesta correcta.
Cálculo integral y sus aplicaciones en la empresaSergioBermudez27
Este documento presenta un resumen de las aplicaciones del cálculo integral en la administración y economía. En la primera unidad, se define la integral indefinida y se explican conceptos básicos como la antiderivada. La segunda unidad aplica las integrales a funciones de oferta, demanda y análisis marginal. La tercera unidad describe métodos de integración. La cuarta unidad presenta la integral definida y su uso para calcular áreas. Finalmente, la quinta unidad muestra aplicaciones económicas como coeficientes de desigualdad y curvas de
PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÒN DE FUNCIONES EXPONENCIALESguest79929af
Este documento presenta varios ejemplos resueltos sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Los ejemplos cubren temas como la desintegración radiactiva, el crecimiento bacteriano exponencial, intereses compuestos y descuentos exponenciales. Cada ejemplo proporciona la formulación matemática del problema, los pasos para resolverlo y la solución.
Ejercicios de potenciacion de números enterosgutidiego
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre potenciación de números enteros. Los ejercicios incluyen expresar productos y potencias usando un solo exponente, simplificar expresiones aplicando las propiedades de las potencias, calcular valores de expresiones cuando se dan valores para las variables, ordenar expresiones, y hallar valores de exponentes o bases. El documento proporciona referencias bibliográficas al final.
1. Dos torres de vigilancia de incendios están a 1.5 km de distancia entre sí y divisan un fuego en un punto C. Se pide calcular cuán lejos está el fuego de la Torre A.
2. Un hombre observa la altura de una torre de alta tensión de 10 metros y el ángulo de elevación del sol es de 30°. Se pide calcular la distancia entre el hombre y la torre.
3. Se pide calcular cuán lejos está un bote de pesca de la base de un risco de 60 metros de altura, si
INFORME DE PRÁCTICAS: “PRÁCTICAS PRE-PROFESIONALES DE ASISTENTE ADMINISTRATIV...CESAR GUSTAVO
Este informe resume las prácticas pre-profesionales del autor en el área de comercialización de la empresa INDEX NET S.A.C. durante el periodo de agosto a noviembre de 2017. La empresa ofrece servicios informáticos como consultoría TI, desarrollo de aplicaciones, soluciones de sistemas, redes y seguridad. Como parte de sus prácticas, el autor realizó estrategias de marketing y ventas para los servicios de la empresa. El informe describe las actividades y evaluaciones realizadas durante el periodo de prácticas
1) El documento presenta información sobre ecuaciones cuadráticas, incluyendo definiciones, métodos de resolución, propiedades de las raíces y ejemplos.
2) Se explican los métodos de resolución por factorización y fórmula cuadrática, así como propiedades como la suma, producto y diferencia de raíces.
3) También se detallan conceptos como la naturaleza de las raíces dependiendo del discriminante, y la formación de ecuaciones cuadráticas a partir de las raíces.
Este documento presenta una sesión de aprendizaje sobre proporcionalidad directa e inversa para estudiantes de cuarto grado. La sesión incluye datos informativos, aprendizajes esperados, una secuencia didáctica con actividades para desarrollar durante la clase y en casa, y materiales a utilizar. El objetivo es que los estudiantes reconozcan y apliquen modelos basados en la proporción para resolver problemas relacionados con la proporcionalidad.
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre estadística. Introduce conceptos básicos como población, muestra, variable e individuo. Explica cómo clasificar variables y construir tablas estadísticas para representar datos cuantitativos discretos y continuos mediante frecuencias e intervalos. Finalmente, proporciona ejemplos prácticos de elaboración de tablas a partir de conjuntos de datos.
Apuntes y problemas de cálculo I - Victor Chungara Castro.pdfDaine Anglariy
Este capítulo presenta los fundamentos del sistema numérico de los números reales, incluyendo sus propiedades, teoremas, inecuaciones y el valor absoluto. Introduce el conjunto de los números reales R, que incluye números racionales e irracionales, y explica que el cálculo opera con números reales. Luego define las propiedades básicas de los números reales como la conmutatividad, asociatividad, existencia de neutros y opuestos, entre otras. Finalmente, presenta varios teoremas importantes sobre números reales.
Este documento presenta información sobre funciones racionales. Introduce el concepto de función racional como una función que se expresa como el cociente de dos polinomios. Explica cómo graficar funciones racionales y determinar sus asíntotas. También cubre operaciones como suma, resta, multiplicación y división de funciones racionales. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar conceptos como evaluación, simplificación y operaciones con funciones racionales.
Este documento presenta la planificación de una sesión de aprendizaje sobre triángulos en geometría para estudiantes de secundaria. La sesión cubrirá puntos colineales, segmentos consecutivos y sumas y restas de longitudes. Los estudiantes aprenderán a nombrar triángulos según sus ángulos y lados, identificar propiedades de triángulos y resolver problemas aplicando definiciones básicas sobre triángulos. La sesión utilizará métodos como la demostración, comunicación y resolución de problemas.
Este documento presenta la sesión de aprendizaje sobre la factorización de polinomios por el método de factor común para estudiantes de tercer grado. La sesión cubre la introducción del tema, la explicación del método a través de ejemplos resueltos en el tablero y una guía de práctica para que los estudiantes apliquen el método resolviendo ejercicios. El objetivo es que los estudiantes identifiquen la factorización por factor común monomio, polinomio y agrupación de tér
El documento presenta el plan de estudios de matemáticas para décimo grado, dividido en 4 períodos. Cada período cubre diferentes temas como números reales, ángulos, triángulos, estadística descriptiva, funciones trigonométricas y probabilidad. También incluye los logros y criterios de evaluación para el primer período, enfocados en números reales, ángulos, triángulos, estadística descriptiva y el uso de tecnologías de la información.
PROGRAMACIÓN 1ER AÑO SECUNDARIA 2023 U_1_2.docxMarcoOcana1
Este documento presenta la programación curricular anual 2023 del área de Matemáticas para el primer año de secundaria en la Institución Educativa "Nuestra Señora de la Asunción". Incluye datos generales, fundamentación del área, logros de aprendizaje, enfoques transversales y la matriz de programación anual dividida en cuatro bimestres, con situaciones significativas, logros, enfoques y valores. El objetivo general es desarrollar competencias matemáticas en los estudiantes y abordar temas transversales como dere
Este documento presenta información sobre los autores de un libro de texto de matemáticas para primer año medio. Incluye los nombres, títulos y lugares de estudio y trabajo de cuatro autores: Andrés Ortiz Jiménez, Cristián Reyes Reyes, Marisol Valenzuela Chandía y Eugenio Chandía Muñoz. También incluye información sobre la editorial, ilustradores y equipo de producción del libro.
Demo matemáticas básicas y esenciales iSamali Correa
Este documento presenta información sobre conceptos matemáticos básicos como funciones, manipulación gráfica de funciones, cónicas, logaritmos y exponenciales. Explica cómo analizar el dominio de una función dependiendo de si tiene denominador, raíz cuadrada u otros elementos. También describe cómo graficar funciones al sumar o restar constantes, y cómo esto causa desplazamientos verticales u horizontales. El objetivo es servir como material de apoyo para estudiantes y profesores.
Este documento presenta un libro de texto sobre precálculo destinado a estudiantes de ciencias biológicas. Explica conceptos básicos de conjuntos y números reales, álgebra elemental, funciones polinomiales, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, con ejemplos relevantes para las ciencias de la vida. El libro fue escrito por profesores de matemáticas de la UAM-IZTAPALAPA para cubrir el material necesario para los estudiantes de biociencias de su institución de una manera
El documento presenta un libro de precálculo destinado a estudiantes de ciencias biológicas. Explica los temas cubiertos en cada capítulo, incluyendo conjuntos, aritmética elemental, álgebra, funciones polinomiales, funciones trascendentes y funciones trigonométricas. El objetivo es ilustrar los temas con ejemplos relevantes para las ciencias de la vida.
Este documento presenta un plan de lección para enseñar sumas de números enteros a estudiantes de 8° grado. El objetivo es que los estudiantes comprendan cómo sumar números enteros y puedan resolver problemas de la vida cotidiana que involucren sumas. La lección incluye repasar conceptos previos, resolver ejercicios de suma de números enteros usando una guía de actividades y una representación gráfica, y explicar los procedimientos para sumar números de igual y diferente signo.
Este documento presenta un plan de lección para una clase de matemática sobre sumas de números enteros. El objetivo es que los estudiantes comprendan cómo sumar números enteros y puedan resolver problemas de la vida cotidiana que involucren sumas. La lección incluye repasar conceptos previos, resolver ejercicios de suma de números enteros usando una guía de actividades y una discusión de los procedimientos para sumar números de igual y diferente signo.
Este documento presenta un plan de lección para enseñar sumas de números enteros a estudiantes de 8° grado. El objetivo es que los estudiantes comprendan cómo sumar números enteros y puedan resolver problemas de la vida cotidiana que involucren sumas. La lección incluye repasar conceptos previos, resolver ejercicios de suma de números enteros usando una guía de actividades y una representación gráfica, y explicar los procedimientos para sumar números de igual y diferente signo.
Este documento presenta un plan de lección para una clase de matemática sobre sumas de números enteros. El objetivo es que los estudiantes comprendan cómo sumar números enteros y puedan resolver problemas de la vida cotidiana que involucren sumas. La lección incluye repasar conceptos previos, resolver ejercicios de suma de números enteros usando una guía de actividades y una discusión guiada de los procedimientos. Se evaluará la participación de los estudiantes y su trabajo en grupo a través de las actividades y ejercicios resueltos.
Este documento presenta un plan de lección para enseñar sumas de números enteros a estudiantes de 8° grado. El objetivo es que los estudiantes comprendan cómo sumar números enteros y puedan resolver problemas de la vida cotidiana que involucren sumas. La lección incluye repasar conceptos previos, resolver ejercicios de suma con números enteros usando una guía y pizarra, y explicar los procedimientos para sumar números de igual y diferente signo. Se evaluará la participación de los estudiantes y su trabajo en grupo.
Con esta serie de textos el IMCA inicia sus trabajos contribuyendo a la difuci´on de la cultura matem´atica por medio de una
literatura de alta calidad cient´ıfica.
Esta colecci´on busca poner a disposici´on de alumnos y profesores universitarios, libros escritos con rigor y claridad, que sirvan
como textos de cursos de graduaci´on.
La publicaci´on de este libro cont´o con el apoyo decidido de la
Sociedad Brasileira de Matem´atica y de la Universidad Nacional de
Ingenier´ıa del Per´u que compartieron su costo. A estas instituciones damos nuestro agradecimiento.
Este documento presenta un resumen de 3 oraciones o menos del libro "An ́alisis Real, Volumen 1" de Elon Lages Lima. El libro introduce conceptos básicos de conjuntos finitos e infinitos, incluyendo los números naturales y sus propiedades definidas por los axiomas de Peano. Explica la diferencia entre conjuntos finitos e infinitos, así como entre conjuntos numerables y no numerables. El documento contiene 13 capítulos que desarrollan temas fundamentales del análisis matemático.
Este documento presenta una introducción a la teoría de números. Explica conceptos básicos de aritmética y álgebra como reacomodos, exponentes, ecuaciones, polinomios y bases. Luego introduce temas más avanzados de teoría de números como divisibilidad, primos, criterios de divisibilidad, máximo común divisor, mínimo común múltiplo y congruencias. Incluye ejemplos y ejercicios para cada tema.
Este documento presenta un resumen de la Teoría de Números dirigido a estudiantes que se preparan para olimpiadas de matemáticas. Explica conceptos clave como divisibilidad, primos, congruencias y aplicaciones. El objetivo es motivar el estudio de esta área y proporcionar material de apoyo para la preparación de competencias de matemáticas. Incluye secciones de problemas resueltos y sugerencias para la práctica.
Este documento trata sobre cómo los niños aprenden resolviendo problemas entre iguales. Explica que los niños desarrollan su capacidad de aprendizaje a través de la representación, el autocontrol y la interacción social. También explora cómo enseñar estrategias de resolución de problemas y el valor de las tareas de construcción grupales para que los niños compartan conocimientos y aprendan los unos de los otros.
Este documento trata sobre cómo los niños aprenden a resolver problemas trabajando juntos. Explica que los niños desarrollan estrategias para resolver problemas mediante la representación, el autocontrol y la interacción social. También explora cómo enseñar estrategias de resolución de problemas en el aula y analiza ejemplos de niños resolviendo puzzles y castillos de arena en grupo. El objetivo general es mostrar cómo los niños pueden aprender resolviendo problemas entre iguales y desarrollar habilidades de pensamiento.
Este documento presenta el libro de texto Matemáticas 2. Explica que fue elaborado por la Gerencia Editorial Textos de Ediciones Larousse y proporciona los nombres de las personas involucradas en su edición, diseño, ilustración y publicación. El documento también describe la organización del libro de texto en cinco bloques temáticos, cada uno con lecciones diseñadas para motivar a los estudiantes y desarrollar sus habilidades matemáticas a través de actividades prácticas.
Este editorial presenta dos nuevos temas en la revista: criptografía y la conexión entre matemáticas y música. También da la bienvenida a un artículo sobre el sentido numérico de su amigo Fernando Corbalán. El resto de los artículos se centran en actividades que pueden integrarse en el aula. La revista agradece a todos los autores por sus colaboraciones.
Este documento presenta un libro de matemáticas para estudiantes. Contiene 13 capítulos que cubren temas como razonamientos y proporciones, mediciones y análisis dimensional, ecuaciones e inecuaciones, sucesiones y funciones, y grafos y matrices. El libro proporciona definiciones, ejemplos y problemas para cada tema, con el objetivo de ayudar a los estudiantes a aprender y practicar conceptos matemáticos fundamentales.
Este documento presenta el texto de instrucción "Matemática Básica I" dirigido a estudiantes de carreras como Derecho, Administración, Contabilidad y Ciencias de la Comunicación. El texto abarca ocho capítulos que cubren temas como lógica simbólica, álgebra de conjuntos, álgebra de números, matrices, álgebra de ecuaciones, relaciones, la circunferencia y la parábola. El objetivo es proporcionar conocimientos básicos de matemática de manera progresiva y
Este documento presenta un resumen del origen y evolución de los sistemas de numeración. Comienza explicando que todas las civilizaciones han tenido formas de contar y representar números. Luego describe brevemente algunos de los primeros sistemas, como los egipcio y romano, señalando sus características. Finalmente, introduce el sistema decimal posicional actual, destacando que utiliza diez símbolos y que el valor de cada cifra depende de su posición.
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1.
2.
3. Lord Kelvin (W. Thomson) ilustre físico inglés resaltaba los conocimientos cuantitativos: “Suelo decir
con frecuencia que cuando se puede medir aquello de que se habla y expresarlo en números, se sabe algo
acerca de ello; pero nuestro saber es insuficiente e insatisfactorio mientras no somos capaces de expresarlo en
números; lo demás puede significar el comienzo del conocimiento, pero nuestros conceptos apenas habrán
avanzado en el camino de la ciencia, y esto cualquiera que sea la materia de que se trate“.
Mediciones y números, hay mediciones directas, con un instrumento de medición, y mediciones indi-
rectas, mediante el cálculo con fórmulas; en fin, mediciones, números, formas y relaciones son los que dan
vida a la matemática y son conceptos relacionados con el quehacer de las personas en su vida cotidiana.
Por ello, los conocimientos matemáticos se organizan en “Número, relaciones y funciones“, “Geometría y
medición“ y “Estadística y probabilidad“.
El texto de Matemática Serie COVEMATIC para el nivel secundaria presenta un “Texto de grado“ y un
“Libro de actividades“.
En el Texto de grado se exponen los temas de cada unidad con una didáctica de acuerdo al grado de
estudio. Cada unidad presenta las siguientes secciones:
a. Activo mis saberes.
b. Desarrollo de los contenidos.
c. Ejercicios y problemas resueltos.
d. Actividad para la investigación.
e. Tema transversal.
f. Juicio crítico - Reflexión - Amplío mis conocimientos.
El Libro de actividades presenta las actividades que el alumno debe resolver para desarrollar las capaci-
dades del área de Matemática: “Razonamiento y demostración“, “Comunicación matemática“ y “Resolución
de problemas“. Cada unidad presenta las siguientes secciones:
a. Manolito te reta.
b. Actividad para la clase.
c.
Actividad para la casa.
d. Aplico mis aprendizajes
e. Pongo a prueba mis aprendizajes.
f. Autoevaluación. Metacognición
El texto de Matemática SERIE COVEMATIC brinda abundante información teórica y numerosos pro-
blemas, resueltos con estrategias sencillas, que ayudan a los alumnos a comprender, afianzar y ampliar sus
conocimientos teóricos.
Además, el texto presenta situaciones problemáticas que incitan al pensamiento creativo, que es la
capacidad que permite a los estudiantes generar ideas novedosas para resolver problemas relacionados
con sus estudios y también de su vida cotidiana, de manera interesante y con originalidad. El pensamiento
creativo complementa al pensamiento lógico generando nuevas ideas, que éste las desarrolla.
Todo lo expuesto ha encaminado mis voluntades y esfuerzos en bien de la “Educación matemática
escolar“ de mi país.
El Autor.
Presentación
4. Capítulo 1 Introducción a la programación lineal................................................................................ 7
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 2 Análisis combinatorio y potenciación................................................................................. . 31
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 3 Logaritmación...................................................................................................................... 53
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 4 Funciones exponenciales y logarítmicas............................................................................... 73
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 5 Ángulo trigonométrico......................................................................................................... 89
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 6 Sistemas de medidas angulares........................................................................................... 103
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 7 Sistemas de medidas angulares........................................................................................... 119
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Indice
5. Capítulo 8 Razones trigonométricos de un ángulo agudo.................................................................... 139
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 9 Razones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud.......................................... 175
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 10 Reducción al primer cuadrante......................................................................................... 191
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 11 Circunferencia trigonométrica........................................................................................... 207
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 12 Identidades trigonométricas.............................................................................................. 221
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 13 Funciones trigonométricas de Ángulos Compuestos........................................................ 237
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 14 Funciones trigonométricas de ángulos múltiples.............................................................. 251
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 15 Transformaciones trigonométricas.................................................................................... 273
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
6. Capítulo 16 Funciones, trigonométricas de Números Reales............................................................... 287
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 17 Funciones trigonométricas inversas.................................................................................. 305
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 18 Ecuaciones trigonométricas............................................................................................... 319
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 19 Resolución de triángulos oblicuángulos............................................................................ 333
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 20 Geometría del espacio....................................................................................................... 349
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 21 Introducción a la geometría analítica plana...................................................................... 365
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 22 Límites y derivadas de funciones reales............................................................................ 387
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
Capítulo 23 Estadística y probabilidades.............................................................................................. 409
Manolito te Reta
Actividades para la Clase
Actividades para la Casa
Aplico mis aprendizajes
Pongo a prueba mis aprendizajes
Evaluación
8. Libro de Actividades - Quinto grado de secundaria
Manolito te reta
A continuación se tiene una serie de problemas curiosos, te invitamos alumno a
que pongas tu ingenio y des respuestas a cada una de ellas.
Las monedas
Manuel en las manos tiene cierta cantidad de monedas. Si para cada una moneda de la
mano izquierda a la derecha, en ambas manos tendría la misma cantidad de monedas,
pero si se realizara la operación inversa se tendría el doble número de monedas en la
mano izquierda. ¿Cuántas monedas tiene Manuel en total?
Comprando una TV
En un supermercado Manuel tenía cierta can-
tidad de dinero mayor a la cantidad de Bruno.
Si entre los dos pueden comprar una TV que
cuesta menos de S/. 1200, pero juntos si un TV
que cuesta más de S/. 1000. ¿Cuánto dinero
tiene Manuel y Bruno juntos, si a la suma de
sus dineros se le dividen entre 100 resulta un
número entero mayor de 0 y menor de 20?
8 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
9. PROGRAMACIÓN LINEAL
1
2 1 5
1 7
x
x
+ >
− <
2
10 13
11 12
− >
− < −
x
x
3
5 9 6
3 2 26
x
x
− >
+ >
4
3 1 2 5
4 8
2 2
( )
( )
− < −
+ > −
x x
x x
5
x x x x
x x x x
2
3 1 4
4 2 2 8 2 8
+ ≤ + +
− > + −
( )( )
( ) ( )( )
6
2 5 12
4 3 2 2 2
( )
( )
− >
− ≤ +
x
x x
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
"Recuerda tienes que ser persistente, no tienes
que detenerte hasta lograr tu cometido."
Determina el conjunto solución de los siguientes sistemas:
9
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
* 2x + 1 > 5 ® x > 2
* x – 1 < 7 ® x < 8
∴ 2 < x < 8
* 5x – 9 > 6 ® x > 3
* 3x + 2 > 26 ® x > 8
∴ x > 8
* x2 + 3x ≤ x2 + 5x + 4
-2x ≤ 4
x ≥ -2
* 4x2 – 8x > 4x2 – 64
-8x > - 64
x < 8
∴ -2 ≤ x < 8
* 3 – 3x < 2 – 5x
* x2 + 8x + 16 > x2 – 8
x > - 3
∴
* 5 – x > 6 ® x < -1
* 12 – 8x ≤ 2 + 2x ® x ≥ 1
∴
* 10 – x > 13 ® x < -3
* x – 11 < - 12 ® x < -1
∴ x < -3
10. Libro de Actividades - Quinto grado de secundaria
7
− + ≤ −
− < +
x x x
x x
( )
3 18
4 2
1
2
9
2 8
7 3
2
3
2
4
3 15
2
− <
>
−
− ≥ −
x
x
x x
x x x
( )
9
x x
x x
x
x
> − −
− < +
+
≥ −
2 1
2 3 1
4
2
1
( )
( )
10
11
x x
x x
x
2 2
1
3 1 2 3
3 1 2 5
< −
− ≥ +
+ >
( )
( )
12
10 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
* -x2 -3x ≤ 18 – x2
x ≥ -6
*
x > -2
∴ x > -2
*
*
*
∴
*
*
*
∴
*
*
*
∴
*
*
∴ x > 2
* 2x > x – 1 ® x > - 1
* 2x – 6 > x + 1 ® x > 7
* -20 – 4x ≤ x ® x ≥ -4
∴ x > 7
11. PROGRAMACIÓN LINEAL
1
5 5 20
3 1 26
x
x
+ >
− <
00
2
2 1 5
2 2 1
( )
x x
x x
− < +
− < +
3
3 2 6
5 3 7 13
x x
x x
+ > −
+ > −
4
x x
x x
+ > +
+ < −
10 18 2
3 5 9
5
6
x
x
x x
x
+
< +
− > − +
2
3
4
1
2
3
5
3
1
( −
− < − −
+
4 8
3
2
2
)x x x
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
"Recuerda tienes que ser persistente, no tienes
que detenerte hasta lograr tu cometido."
Determina el conjunto solución de los siguientes sistemas:
11
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
* 5x > 15 ® x > 3
* 3 x < 27 ® x < 9
∴ 3 < x < 9
* 2 x > - 8 ® x > - 4
* -2x > - 16 ® x < 8
∴ -4 < x < 8
* x2 + 2x + 1 > x2 + 13 ® x > 6
* x2 + 3x < 30 + x2 ® x < 10
* 3x + 8 > 12 + 2x ® x > 4
∴ 6 < x < 10
* x + 2 < 3x + 12 ® x > -5
* 3 – 2x > - 5x – 3 ® x > -2
* x2 – 4x < - 8x + 12 + x2 ® x < 3
∴ -2 < x < 3
* 2x – 2 < 5 + x ® x < 7
* x – 2x < 3 ® x > -3
∴ -3 < x < 7
* –x > 8 ® x < -8
* 4x < 4 ® x < 1
∴ x < - 8
12. Libro de Actividades - Quinto grado de secundaria
1 x – y > 3 2 2x ≥ y
3 x + y < 2 4 y ≤ x + 3
5 x > 3 6 x ≤ 4
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
"Recuerda tienes que ser persistente, no tienes
que detenerte hasta lograr tu cometido."
Representa gráficamente el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
12 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
-3
3
13. PROGRAMACIÓN LINEAL
7 y – 2 < 5 8 2x – 3y ≥ 1
9 x – y ≥ 0
10 x + y <
x y
-
2
.
11 2(x – y) < 1 – x 12 2(x + 1) – 3(y – 1) ≥ 3(x – y)
13
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
5
2x + 2y < x – y ® x + 3y < 0
2x – 2y < 1 – x ® 3x – 2y < 1 2x + 2 – 3y + 3x ≥ 3x - 3y
⇒ x ≤ 5
14. Libro de Actividades - Quinto grado de secundaria
1 x + 2 < y
2 x ≥ y + 8
3 x < 5
4 3x + 24 > 6
5 3(x + y) < x – y
6 2(x – 1) + y ≤ 3(x – y) + 5
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
"Recuerda tienes que ser persistente, no tienes
que detenerte hasta lograr tu cometido."
Representa gráficamente el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
14 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
5
x - y < -2 x - y ≥ 8
x > -6
3x + 3y < x – y ® x + 2y < 0 2x -2 + y ≤ 3x – 3y + 5
® x – 4y ≥ - 7
15. PROGRAMACIÓN LINEAL
1
x y
x y
+ ≥
− <
9
2 4
2
x y
x
≤
− >
2 0
3
x y
x y
− ≥
+ <
3
2 4
4
y x
x
≥
+ ≥
3 0
5
x y
x
+ <
− ≤ ≤
3
2 4
6
− ≤ ≤
− ≤ ≤
1 4
2 5
x
y
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
"Recuerda tienes que ser persistente, no tienes
que detenerte hasta lograr tu cometido."
Determina gráficamente el conjunto solución de los siguientes sistemas:
15
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
16. Libro de Actividades - Quinto grado de secundaria
7
y x
y x
y
≤ +
≤ − +
≥
1
2
0
8
3 2 9
1
3 2 6
3 2 24
y x
y
x y
x y
< +
≥
+ >
+ ≤
9
3 12 4
3
1
x y
x
y
+ >
<
≥
10
x y
x y
x
y
+ <
+ ≤
≥
≥
3 15
4 16
0
0
11
x y
y x
x
+ ≤
≤ +
− ≤
2 2
2 10
1 3
12
y
x
≤
>
4
1
4
16 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
17. PROGRAMACIÓN LINEAL
1
x y
x y
+ >
− <
2
2 5
2
3
x
x y
+ >
+ ≥
8 24
2
4
3
4
x y
y x
≥ −
− ≤
3 1
3 2 2
( )
( )
5
x y
x y
y x
≤ −
> −
>
4 5
8 3 5
( )
( )
6
x
y
≥
≥
3
2
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
"Recuerda tienes que ser persistente, no tienes
que detenerte hasta lograr tu cometido."
Determina gráficamente el conjunto solución de los siguientes sistemas:
17
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
0
y
18. Libro de Actividades - Quinto grado de secundaria
1 F(x; y) = 2x + y 2 F(x; y) = 20x + 30y
3 F(x; y) = 4x + 2y 4 F(x; y) = 3x + 5y
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
"Recuerda tienes que ser persistente, no tienes
que detenerte hasta lograr tu cometido."
A. En cada uno de los siguientes gráficos determina los valores mínimo y máximo de la función objetivo F
para la región factible R.
F mín = F máx =
F mín = F máx = F mín = F máx =
F mín = F máx =
18 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
F (2 ; 2) = 2 (2) + 2 = 6
F (4 ; 6) = 2(4) + 6 = 14
F (5 ; 2) = 2(5) + 2 = 12
F (1 ; 0) = 4(1) + 2(0) = 4
F (0 ; 5) = 4(0) + 2(5) = 10
F (3 ; 7) = 4(3) + 2(7) = 26
F (6 ; 2) = 4(6) + 2(2) = 28
F (0 ; 2) = 3(0) + 5(2) = 10
F (2 ; 5) = 3(2) + 5(5) = 31
F (6 ; 5) = 3(6) + 5(5) = 43
F (8 ; 3) = 3(8) + 5(3) = 39
F (4 ; 0) = 3(4) + 5(0) = 12
6 14 120 340
F (3 ; 2) = 20(3) + 30(2) = 120
F (1 ; 4) = 20(1) + 30(4) = 140
F (5 ; 8) = 20(5) + 30(8) = 340
F (6 ; 3) = 20(6) + 30 (3) = 210
4 28 10 43
19. PROGRAMACIÓN LINEAL
5
x + y 8
2 x 5
y 0
F(x; y) = 3x+2y
6
4y 5x – 10
5x + 2y 10
y 5
F(x ; y) = 2x + 7y
B. Determina los valores mínimo y máximo de F para el sistema dado de restricción.
7
y 5
x 6
5x + 6y 30
F(x ; y) = 10x + 5y
8
2x + 3y 6
y 2x + 2
y 0
2x + y 10
F(x; y) = 8x + 3y
19
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
F (2;0) = 3(2) + 2(0) = 6
F (2;6) = 3(2) + 2(6) = 18
F (5;3) = 3(5) + 2(3) = 21
F (5;0) = 3(5) + 2(0) = 15
Fmin = 6 F máx = 21
F (6;0) = 10(69 + 5(0) = 60
F (0;5) = 10(0) + 5(5) = 25
F (6;5) = 10(6) + 5(5) = 85
F mín = 25 F máx = 85
F (2;0) = 2(2) + 7(0) = 4
F (0;5) = 2(0) + 7(5) = 35
F (6;5) = 2(6) + 7 (5) = 47
F mín = 4 Fmáx = 47
F (3;0) = 8(3) + 3(0) = 24
F (0;2) = 8(0) + 3(2) = 6
F (2;6) = 8(2) + 3 (6) = 34
F (5;0) = 8(5) + 2 (0) = 40
F mín = 6 F máx = 40
20. Libro de Actividades - Quinto grado de secundaria
C. Resuelve los siguientes problemas.
9 ¿Para qué valores (x; y) de la región determinada por las inecuaciones:
x ≥ 0
y ≥0
3x + y ≤ 21
–3x + 5y ≤ 15
la función F(x; y) = 4x + 2y toma su máximo valor?
10 Una prueba de selección contiene preguntas de matemáticas y física. El tiempo para resolver una pre-
gunta de matemática es 7 minutos y para resolver una pregunta de física es 12 minutos, y no se pueden
resolver más de 20 preguntas. Si el tiempo máximo permitido para la resolución es de 3 horas y cada
pregunta de matemática se califica con 10 puntos y cada pregunta de física con 13 puntos, ¿cuántas
preguntas de cada tipo deberá resolver correctamente un alumno para obtener el máximo puntaje?
11 Un paciente requiere una dieta estricta con dos alimentos A y B. Cada unidad del alimento A contiene
120 calorías y 2 gramos de proteínas. La unidad del alimento B contiene 100 calorías y 5 gramos de
proteínas. La dieta requiere como mínimo 100 calorías y 30 gramos de proteínas. Si el precio de cada
unidad del alimento A es de S/. 60 y de cada unidad del alimento B S/. 80, ¿cuántas unidades de cada
alimento debe contener la dieta para que el costo sea mínimo?
20 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
F (0;0) = 4(0) + 2(0) = 0
F (0;3) = 4(0) + 2(3) = 6
F (5;6) = 4(5) + 2(6) = 32 Máximo
F (7;0) = 4(7) + 2(0) = 28
∴ Se obtiene el máximo valor de F para:
x = 5 e y = 6
* Función objetivo
F(x;y) = 10x + 13y
* Evaluando:
F (0;0) = 0
F (0;20) = 260 ® máximo
F (12;8) = 224
F (15;0) = 150
∴ Debe responder 20 preguntas
de física.
x = # de unidades de A
y = # de unidades de B
* Evaluando:
F(15;0) = 60(15) + 80(0) = 900
F (0;6) = 60(0) + 80(6) = 480
* Luego
Para que el costo sea mínimo la dieta debe contener 6 unida-
des del alimento B.
21. PROGRAMACIÓN LINEAL
1 F(x; y) = 3x + y
x
(1; 1) (5; 1)
(4; 5)
R
y
2 F(x; y) = 8x + 5y
y
x
(4; 6)
(7; 3)
(3; 2)
(1; 4)
R
3
x + y 4
y ≤ 1
x ≥ 0
F(x ; y) = 2x + 3y
4
x + y 10
x 0
3 y 6
F(x ; y) = 4x + 10y
A. En cada uno de los siguientes gráficos determina los valores mínimos y máximos de la función objetivo
F para la región factible R.
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
"Recuerda tienes que ser persistente, no tienes
que detenerte hasta lograr tu cometido."
B. Determina los valores mínimo y máximo de F para el sistema dado de restricciones.
21
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
F (1;1) = 3(1) + 1 = 4
F (4;5 = 3(4) + 5 = 17
F (5;1) = 3(5) + 1 = 16
F mín = 4 F máx = 17
F (3;2) = 8(3) + 5(2) = 34
F (1;4) = 8(1) + 5(4) = 28
F (4;6) = 8(4) + 5(6) = 62
F (7;3) = 8(7) + 5(3) = 71
F mín = 28 F máx = 71
F (0;0) = 2(0) + 3(0) = 0
F (0;1) = 2(0) + 3(1) = 3
F (3;1) = 2(3) + 3(3) = 9
F (4;0) = 2(4) + 3(0) = 8
F mín = 0 F máx = 9
F (0;3) = 4(0) + 10(3) = 30
F (0;6) = 4(0) + 10 (6) = 60
F (4;6) = 4(4) + 10 (6) = 76
F (7;3) = 4(7) + 10 (3) = 58
F mín 30 F máx = 76
22. Libro de Actividades - Quinto grado de secundaria
1 Un artesano fabrica ollas de barro de dos calidades A y B. Mensualmente puede fabricar como mínimo
10 ollas y como máximo 90 si es de la calidad B, y como mínimo 15 y como máximo 80 si se trata
de la calidad A. La ganancia por olla de la calidad A es S/. 12 y por olla de la calidad B es S/. 10. Si
mensualmente puede fabricar a lo más 120 unidades combinadas, ¿cuántas unidades de cada calidad
debe fabricar para que obtenga ganancia máxima?
2 Una fábrica de macetas tiene dos calidades A y B. Mensualmente puede fabricar como mínimo 40
macetas y como máximo 100, si es de la calidad B, y como mínimo 90, si se trata de la calidad A. La
ganancia por maceta de la calidad A es S/. 15 y por maceta de la calidad B es S/. 20. Si mensualmente
puede fabricar a lo más 150 unidades combinadas. ¿Cuántas unidades de cada calidad debe fabricar
para que obtenga ganancia máxima?
C. Resuelve el problema.
22 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
* x : # de olla A
y : # de ollas B
* Restricciones:
10 ≤ y ≤ 90
15 ≤ x ≤ 80
x + y ≤ 120
Función objetivo:
F(x;y) = 12 x + 10y
* Evaluando:
F(15;10) = 280
F(15;90) = 1080
F(30;90) = 1260
F(80;40) = 1360
F(80;10) = 1060
* Para obtener la máxi-
ma ganancia se deben
fabricar 80 ollas de
calidad A y 40 ollas de
calidad B.
* x : # de macetas A
y : # de macetas B
* Restricciones:
40 ≤ y ≤ 100
x ≥ 90
x + y ≤ 150
* Función objetivo:
F(x;y) = 15 x + 20 y
* Evaluando:
F(90;40) = 2150
F(90;60) = 2550
F(110;40) = 2450
* Se deben fabricar 90
macetas de calidad A y 60
de calidad B.
23. PROGRAMACIÓN LINEAL
Razonamiento y demostración
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
APLICO MIS
APRENDIZAJES
"Recuerda tienes que ser persistente, no tienes
que detenerte hasta lograr tu cometido."
1 Resolver el problema: Max: Z=4x - y
A) 32 B) 30 C) 24 D) 16 E) 10
2 ¿Cuál es el sistema de inecuaciones cuyo conjunto
solución esta representado por la región triángular
sombreada en la figura?
A)
B)
C)
D)
E)
3 La producción mensual de alambre de cobre en
una planta es de 5 toneladas. Dos compañias C1
y C2 requieren juntas por lo menos 3 toneladas de
alambre de cobre al mes. Cuesta s/. 200 (nuevos
soles) por toneladas enviar el alambre a C1 y S/. 300
(nuevos soles) por tonelada enviarlo a C2.
Minimizar el costo totaldel transporte sujeto a las
condiciones del problema.
A) C1: 3 tolenadas B) C2: 2 toneladas
C) C1: 2 toneladas D) C2: 4 toneladas
E) C2: 3 toneladas
4 Un fabricante produce dos clases de camisas, azul
y blanca. Debe producir más camisas azules que
blancas. Sin embargo, el número de camisas azules
no debe exceder al doble del número de blancas.
El fabricante no puede producir más de 15 prendas
al día.
¿Cuántas camisas de cada clase debe fabricar al día
para maximizar las ganancias si obtiene de ganancia
S/. 5,00 por cada camisa azul y S/. 7,00 por camisa
blanca?
A) A=10 y b=5 B) A=4 y B=6
C) A=7 y B=8 D) A=8 y B=7
E) A=5 y B=3
5 Una editorial produce revistas de arte culinario en
dos calidades de papel: bond de 80 gramos y pe-
riódico importado, mensualmente puede producir
entre 500 y 1000 revistas en papel bond de 80
gramos y un máximo de 1 500 revistas en papel
periódico importado. Si la ganancia por cada revista
en papel bond de 80 gramos es de S/. 15 y por
cada revista en papel periódico importado S/. 10,
¿Cuántas revistas de cada calidad debe producirse
al mes para que maximice las ganancias y cual es
ésta ganancia máxima?. Se sabe además que la
capacidad instalada en los talleres de la aditorial le
permiten producir mensualmente a lo más 1500
revistas en total.
Clave de
Respuestas
1. A
2. B
3. A
4. D
5. D
Número de revistas Ganancia
máxima
Papel bond Papel periódico
800 700 16 000
850 650 18 000
900 600 18 500
1 000 500 20 000
12 000 300 20 500
A)
B)
C)
D)
E)
23
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
24. Libro de Actividades - Quinto grado de secundaria
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
APLICO MIS
APRENDIZAJES
"Recuerda tienes que ser persistente, no tienes
que detenerte hasta lograr tu cometido."
Comunicación matemática
1 Determina el área de la región que represente el
conjunto solución del sistema lineal.
A) 18u2 B) 13,5u2 C) 14,5u2
D) 18,5u2 E) 20u2
2 El punto (x*,y*) resuelve el siguiente problema de
programación lineal:
Maximizar: Z=100(x+y)
Determine x*+y*
A) 40 B) 80 C) 50 D) 140 E) 60
3 Escriba el sistema de inecuaciónes cuya solución
sean los puntos interiores al triángulo que se muestra
en la figura, incluyendo los puntos de la frontera.
A) B)
C) D)
E)
4 Un especialista en dietética desea preparar dos clases
de postre para un menú. El primero lleva 1 unidad
de sal por pieza, mientras que el segundo lleva 4.
El primer postre incluye 8 unidades de carbohi-
dratos por pieza, mientras que el segundo incluye
solamente 5.
No debe haber más de 36 unidades de sal y 72
unidades de carbohidratos en total en ambos tipos
de postres.
El número total de platillos debe ser por lo me-
nos 9. Si por cada pieza del primer postre gana
S/.1,2(nuevos soles) y por cada pieza del segundo
gana S/.1,10(nuevos soles).
¿Cuántos postres de cada tipo debe preparar el
especialista para maximizar su ganancia?
A) T1=4 y T2=8 B) T1=5 y T2=6
C) T1=7 y T2=2 D) T1=5 y T2=4
E) T1=3 y T2=6
5 En una industria se fabrican camiones modelos A y
B los cuales deben pasar por los procesos:
P1 (ensamblado), P2 (pintado) y P3 (colocación de
accesorios).
La fabricación del modelo A requiere de 6 horas en
P1, 4 horas en P2 y 1 hora en P3.
En cambio, la fabricación del modelo B invierte 4
horas en P1, 7 horas en P2 y 1 hora en P3.
En losprocesos P1, P2 y P3 se pueden trabajar como
máximo 60, 56 y 11 horas semanales, respectiva-
mente.
Si la utilidad que se obtiene por cada modelo A es
de $ 18 000 y por cada modelo B, de $ 26 000,
¿cuántos camiones del modelo A y cuántos del B
se deben fabricar semanalmente para obtener la
utilidad máxima? ¿cuál es la utilidad máxima?
A) A = 7 ; B = 4 ; G = $ 230 000
B) A = 8 ; B = 3 ; G = $ 175 000
C) A = 6 ; B = 5 ; G = $ 182 000
D) A = 4 ; B = 6 ; G = $ 154 000
E) A = 9 ; B = 4 ; G = $ 164 000
Clave de
Respuestas
1. D
2. C
3. A
4. A
5. A
y
x
- 1
24 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
25. PROGRAMACIÓN LINEAL
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
APLICO MIS
APRENDIZAJES
"Recuerda tienes que ser persistente, no tienes
que detenerte hasta lograr tu cometido."
Resolución de problemas
1 Luego de resolver el problema de programación
lineal, maximize f(x;y)=2x+y, sujeta a las restric-
ciones:
Determina el valor óptimo.
A) 10 B) 6 C) 27/2 D) 25/1 E) 15/2
2 Se quiere confeccionar dos tipos de prendas de
vestir con tela de algodon y corduroy, de acuerdo
a las siguientes condiciones
Si el número de prendas de tipo A no debe superar
al doble de prendas de tipo B, calcule la máxima
ganancia que se puede obtener.
A) S/. 240 B) S/. 300 C) S/. 360
D) S/. 200 E) S/. 150
3 Sea u el número de decenas de sillas y v el número
de decenas de mesas que fabrica una empresa al día.
Si la utilidad diaria está dada por 200 u + 300 v, y
se tienen las siguientes restricciones:
encuentre el número de decenas de mesas y sillas
respectivamente, a fabricar diariamente de modo
que la empresa obtenga la mayor utilidad.
A) 3 y 1 B) 1 y 3 C) 2 y 2
D) 2 y 3 E) 3 y 3
4 Un lago se llena de dos especies de peces S1 y S2. La
especie S1 proporciona un peso promedio de 4 kg de
carne y la especie S2 en peso promedio de 2 kg. Dos
tipos de comida F1 y F2 están disponibles en el lago. El
requerimiento promedio de la especie S1 es 1 unidad
deF1y3unidadesdeF2,mientrasqueelrequerimiento
de S2 son 2 unidades de F1 y 1 unidad de F2 cada día.
Sisedisponediariementede500unidadesdeF1y900
unidadesdeF2,determineelnúmerototaldepecesen
ellagoquemaximizeelpesototaldecarnedepescado.
A) 360 B) 380 C) 400 D) 420 E) 460
5 Una empresa fabrica dos modelos de teléfonos
calulares: Infinitum y Premiun. El modelo infinitum
deja ganancias de $ 80 dólares por unidades y el
modelo Premium de $ 100 por unidad. Para cumplir
la demanda diaria, la empresa debe producir un
máximo de 250 teléfonos celulares del modelo In-
finitum y un máximo de 200 teléfonos celulares del
modelo Premium. Si la producción diaria no debe
sobrepasar de 300 teléfonos celulares, ¿cuántas de
cada modelo se deben producir para maximizar las
ganancias? ¿cuál es la ganancia máxima obtenida?
A) I = 100 ; P = 200 ; G = $ 28 000
B) I = 120 ; P = 180 ; G = $ 30 000
C) I = 110 ; P = 190 ; G = $ 32 000
D) I = 80 ; P = 220 ; G = $ 36 000
E) I = 100 ; P = 200 ; G = $ 25 000
6 Una empresa textil confecciones dos líneas de
pantalones Jeans: Clásico y Urbano. El modelo
Clásico deja ganancias de S/. 20 por unidad y
modelo Urbano de S/.25 por unidad. Para cumplir
la demanda diaria, la empresa debe producir un
mínimo de 300 pantalones de línea Clásico y un
mínimo de 450 pantalones de la línea Urbano. Si
la producción diaria no debe sobrepasar de 1 000
pantalones, ¿cuántos de cada modelo se deben
producir para maximizar las ganancias? ¿cuál es la
ganancia máxima obtenida?
A) C = 450 ; U = 300 ; G = $ 165 000
B) C = 550 ; U = 450 ; G = $ 22 250
C) C = 500 ; U = 500 ; G = $ 24 000
D) C = 200 ; U = 800 ; G = $ 22 000
E) C = 300 ; U = 700 ; G = $ 23 500
Clave de
Respuestas
1. C
2. C
3. C
4. B
5. A
6. E
25
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
Tipo A B Disponible
Tela de algodón 1m 1/2m 5m
Tela de corduroy 1m 3/2m 9 m
Ganacia S/. 20 S/. 60
26. Libro de Actividades - Quinto grado de secundaria
26 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
Solucionario: Razonamiento y demostración
1 Graficando:
Evaluando:
Z (0;0) = 4(0) – 0 = 0
Z (8;0) = 4(8) – 0 = 32
Z (8;2) = 4(8) – 2 = 30
Z (4;6) = 4(4) – 6 = 10
Z (0;6) = 4(0) – 6 = -6
∴ Z máx = 32 Rpta.A
2 Analizando la figura:
L1: y = x
L2: y = - x + 4
L3: x = 6
Entonces:
x ≥ 6
x ≥ y
x + y ≥ 4 Rpta. B
3 Sea:
x : # de toneladas de C1
y : # de toneladas de C2
* Restricciones:
3 ≤ x + y ≤ 5
x ≥ 0 ; y ≥ 0
* Función objetivo:
F = 200 x + 300 y
∴ x = 3 ® C1 : 3 toneladas Rpta. A
4 x : # de camisas azules
y : # de camisas blancas
* Función objetivo:
F(x;y) = 5x + 7y
* No podemos tomar el punto ya que x e y
son números enteros y: x > y, entonces tomamos
(8;7) ∈ R
* Evaluando:
F (0;0) = 0
27. PROGRAMACIÓN LINEAL
27
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
Solucionario: Comunicación matemática
F (8;7) = 89 máx
F (10;5) = 85
* Azules = 8
Blancas = 7 Rpta. D
5 Sea.
X : # revistas en papel bond
Y : # revistas en papel periódico
* Función objetivo:
F(x;y) = 15 x + 10y
* Graficando:
F (5000;0) = 7500
F (500 ; 1000) = 17500
F (1000 ; 500) = 20000 ® máx.
F (1000 ; 0) = 15000
* Finalmente:
Rpta. D
1 Graficando:
A = 18,5 u2 Rpta. D
2 Graficando:
* Evaluando en Z = 100 (x + y)
Z (0;0) = 0
Z (0;40) = 4000
Z (20;30) = 5000 ® máx.
Z (40;0) = 4000
* Entonces:
Rpta. C
3 Analizando el gráfico:
28. Libro de Actividades - Quinto grado de secundaria
28 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
Finalmente:
2x – 3y ≤ 6
2x + 3y ≤ 0
x + 1 ≥ 0 Rpta. A
4 Sean:
x: # de postres T1
y: # de postres T2
* Restricciones:
x + 4y ≤ 36
8x + 5y ≤ 72
x + y ≥ 9
x ≥ 0 ; y ≥ 0
* Función objetivo:
F(x;y) = 1,20 x + 1,10 y
* Evaluando:
F (9;0) = 10,80
F (0;9) = 9,90
F (4,8) = 13,60 ® máx.
* Luego
x = 4 é y= 8
∴ T1 = 4
T2 = 8 Rpta. A
5 Sean:
x : # camiones A
y : # camiones B
* Restricciones:
6x + 4y ≤ 60
4x + 7y ≤ 56
x + y ≤ 11
x ≥ 0 ; y ≥ o
* Función objetivo:
F(x;y) = 18000 x + 26000 y
* Graficando:
* Evaluando:
F (0;0) = 0
F (0;8) = 208000
F (7;4) = 230000 ® máx.
F (8;3) = 222000
F (10;0) = 180000
A = 7 ; B = 4 ; G = $230000 Rpta. A
Solucionario: Resolución de problemas
1 Graficando:
29. PROGRAMACIÓN LINEAL
29
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
f (x;y) = 2x + y ; entonces:
f (1;0) = 2
f (0;2) = 2
f (0;4) =4
f (2;6) = 10
f (3;0) = 6
* Valor optimo = Rpta. C
2 Restricciones:
* Función objetivo:
F (x;y) = 20 x + 60 y
* Graficamos:
* Evaluando:
F (0;0) = 0
F (0;6) = 360 ® máx.
F (3;4) = 300
F (4;2) = 200
Ganancia máxima = $360 Rpta. C
3 Graficando:
* Evaluando:
F (u,v) = 200u + 300v
F (0;0) = 0
F (2,2) = 1000 máx.
F (3;0) = 600
∴ u = 2
v = 2 Rpta. C
4 Del dato:
x : # de peces S1
y : # de peces S2
* Restricciones:
x + 2y ≤ 500
3x + y ≤ 900
x ≥ 0 ; y ≥ 0
* Función objetivo:
C(x;y) = 4x + 2y
* Graficando:
Evaluando:
C (0;0) = 0
C (0; 250) = 500
C (260 ; 120) = 1280 máx.
C (300 ; 0) = 1200
Rpta. B
30. Libro de Actividades - Quinto grado de secundaria
30 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
5 Sean:
x : # de celulares infinitum
y : # de celulares Premium
* Restricciones:
0 ≤ x ≤ 250
0 ≤ y ≤ 200
x + y ≤ 300
* Función objetivo:
F (x ; y) = 80 x + 100 y
* Gráfica:
* Evaluando:
F (0;0) 0
F (0; 200) = 20000
F (100;200) = 28000 máx.
F (250;50)= 25000
F (250; 0) = 2000
x = 100
y = 200
G = $28 000 Rpta. A
6 Sean:
x ® # jeans clásicos
y ® # jeans urbano
* Restricciones:
x ≥ 300
y ≥ 450
x + y ≤ 1000
* Función objetivo
F(x;y) = 20x + 25 y
* Graficando:
* Evaluando:
F (300;450) = 17250
F (300;700)) = 23500 ® máx.
F (550;450) = 22250
x = 300
y = 700
G = s/23500 Rpta. E
31. PROGRAMACIÓN LINEAL
Razonamiento y demostración
1 Determine el conjunto solución:
3 5 8
2 4 6
x
x
+ >
− <
2 Determine el conjunto solución:
x x
x
> − −
+
>
3 2
7
2
3
( )
3 Representa gráficamente el conjunto solución
de:
5x – 3y ≤ 1
4 Representa gráficamente el conjunto solución
de:
3(x + y) > 2x + 5
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES
31
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
* 3x + 5 > 8 ® x > 1
* 2x – 4 < 6 ® x < 5 * x > - 3 (2 – x) ® x < 3
*
5x - 3y = 1
x + 3y = 5
3(x + y) > 2x + 5 ® x + 3y > 5
32. Libro de Actividades - Quinto grado de secundaria
Comunicación matemática
1 Determine gráficamente el conjunto solución
de:
x y
x y
x
+ ≥
− <
<
8
3 10
6
2 Determine gráficamente el conjunto solución
de:
3 F(x; y) = 3x + 2y
x
(2; 2) (2; 6)
(3; 7)
R
y
4 F = 10x + 12y
y
x
(6; 7)
(7; 4)
(4; 1)
(1; 4) R
(3; 7)
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES
En cada uno de los siguientes gráficos determine los valores mínimo y máximo de la función objetivo F para
la región factible R.
32 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
F (2;2) = 3(2) + 2(2) = 10
F (3;7) = 3(3) + 2(7) = 23
F (2;6) = 3(2) + 2(6) = 18
F mín = 10 F máx = 23
F (4;1) = 10(4) + 12(1) = 52
F (1;4) = 10(1) + 12 (4) = 58
F (3,7) = 10(3) + 12 (7) = 114
F (6:7) = 10(6) + 12 (7) = 144
F (7;4) = 10(7) + 12(4) = 118
F mín = 52 F máx = 144
33. PROGRAMACIÓN LINEAL
Resolución de problemas
1 F(x; y) = 5x + 11 y
x y
x
y
+ ≤
≤ ≤
≥
2 15
1 7
0
2 F(x; y) = 10x + 20y
x y
y
x y
≤
<
+ >
12
5 7 42
3 Una fábrica de muebles elabora muebles de 2 calidades A y B. Mensualmente puede fabricar como
mínimo 8 muebles y como máximo 40 si es de la calidad A, y como mínimo 10 muebles y como máximo
50 si se trata de la calidad B. La ganancia por un mueble de la calidad A es S/. 180 y por un mueble de
la calidad B es S/. 120. Si mensualmente puede fabricar a lo más 60 muebles combinados. ¿Cuántos
muebles de cada calidad debe fabricar para que obtenga ganancia máxima?
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES
Determine los valores mínimo y máximo de F para los sistemas.
* x : # de muebles A
y : # de muebles B
* Restricciones:
8 ≤ x ≤ 40
10 ≤ y ≤ 50
X + y ≤ 60
* Función objetivo
F(x,y) = 180 x + 100 y
* Grafica
Donde:
P (8;10)
Q (8;50)
R (10;50)
S (40;20)
T (40; 10)
* Evaluando en F(x;y) = 180x+120y:
F (8;10) = 2640
F (8;50) = 7440
F (10;50) = 7800
F (40;20) = 9600 máximo
F (40;10) = 8400
* Luego, se deben fabricar 40 mue-
bles de calidad a y 20 de calidad B
33
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
F (1;0) = 5
F (1;7) = 82
F (7;4) = 79
F (7;0) = 35
F mín = 5
F máx = 82
F mín = 105
F máx = 360
34. Libro de Actividades - Quinto grado de secundaria
4 Un zorro necesita para subsistir al día 40 unidades de proteínas, 30 de grasas y 10 de vitaminas. Sus
presas son dos tipos de animales: libres que le proporcionan 20 unidades de proteínas, 15 unidades
de grasas y 5 de vitaminas y palomas que le proporcionan 10 unidades de proteínas, 8 unidades de
grasa y 2 de vitaminas. Si al cazar y comer une liebre le cuesta 15 unidades de energía y una paloma
10 unidades de energía.
¿Cuántas presas de cada clase debe cazar para satisfacer sus necesidades, con el menos gasto de energía?
* x : # de liebres
y : # de palomas
* Restricciones:
20x + 10 y ≥ 40
15x + 8y ≥ 30
5x + 2y ≥ 10
x ≥ 0
y ≥ 0
* Función objetivo:
F(x:y) = 15 x + 10 y
* Gráfica:
20x+10y=40
15x+8y=30
5x+2y=10
* Evaluamos:
F (2;0) = 15(2) + 10(0) = 30 (mínimo)
F (0;5) = 15(0) + 10(5) = 50
* Luego debe cazar 2 liebres.
34 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
35. PROGRAMACIÓN LINEAL
Nombre del ALUMNO:…………………………...........................................
Equipo:…………………..............................................................................
INSTRUCCIONES: Luego de completar tus datos responde los aspectos que señalan tu desempeño en
tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego
completa el recuadro realizando una reflexión sobre tu participación.
REFLEXIONO SOBRE MI DESEMPEÑO EN EL EQUIPO:
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
N° Aspectos a evaluar SI NO
1. ¿Mostré entusiasmo en la participación de la actividad?
2. ¿Participé de manera activa en las diferentes actividades propuestas por el equipo?
3. ¿Realicé aportaciones que ayudaron al buen desempeño de mi equipo?
4. ¿Fui tolerante ante las ideas de mis compañeros?
5. ¿Cumplí puntualmente con lo acordado por el equipo?
autoevaluación
INSTRUCCIONES:
Nombre del evaluador: ………………………..............................................
Equipo: ……………….................................................................................
En la primera columna escribe el nombre de cada uno de tus compañeros de equipo
sin incluir el tuyo. Asígnales una puntuación de 0 a 20 en cada uno de los aspectos
a evaluar y si crees necesario puedes colocar un comentario.
Compañeros
Aspectos a evaluar
Comentarios
1 2 3 4 5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
COEVALUACIÓN
ASPECTOS A EVALUAR:
1. Su actitud de apoyo para la elaboración del trabajo.
2. Participó activamente en las diferentes actividades del grupo.
3. Cumplió con lo acordado.
4. Fue tolerante ante las ideas de otros y tomaba en cuenta sus opiniones.
5. Sus aportes los realizó pensando en beneficio del equipo.
35
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1
36. Libro de Actividades - Quinto grado de secundaria
HETEROEVALUACIÓN
INSTRUCCIONES: El profesor responderá los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de
trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completará el
recuadro realizando un comentario sobre tu participación.
N° Aspectos a evaluar SI NO
1. ¿Mostró interés en el desarrollo de la actividad?
2. ¿Participó de manera activa en las diferentes tareas propuestas por el equipo?
3. ¿Realizó aportaciones que ayudaron al buen desempeño del equipo?
4. ¿Es tolerante ante las ideas de sus compañeros?
5. ¿Cumplió puntualmente con lo acordado por el equipo?
REFLEXIÓN SOBRE LA PARTICIPACIÓN DEL ALUMNO EN EL EQUIPO DE TRABAJO:
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METACOGNICIÓN
Responde de manera personal las siguientes preguntas:
1. ¿Qué dificultad he tenido para comprender el tema?
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2. ¿Cómo he superado estas dificultades?
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3. ¿Qué aplicaciones tiene lo estudiado?
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4. ¿Cómo me sentí durante el desarrollo de la clase?.
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36 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche