Este documento explica los conceptos básicos de un espacio vectorial, incluyendo sus propiedades fundamentales como la suma, el producto por escalar, el vector neutro y el vector opuesto. Proporciona ejemplos de espacios vectoriales como el plano cartesiano y realiza demostraciones de las propiedades de unicidad del vector neutro y opuesto. Finalmente, incluye ejemplos resueltos para ilustrar los conceptos.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO PARA EL PODER POPULAR DE LA
EDUCACIÓN
UNIDAD EDUCATIVA COLEGIO “PABLO NERUDA
Barquisimeto Octubre 2013

2. Espacio vectorial
Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación
interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por
un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades
fundamentales
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Entre escalares
y vectores
que cumple las siguientes condiciones:
Es decir cumple con las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva , elemento neutro y opuesto
entre otras.
Es costumbre denotar el espacio vectorial (V, K) simplemente por V ; también se que V es un K
espacio vectorial dice
- Podemos visualizar un espacio vectorial así:

3. Ejemplo 9. El plano cartesiano
siguientes operaciones:
de puntos de la forma
con , es un espacio vectorial real respecto de las
Algunas Propiedades
Unicidad del vector neutro de la propiedad :
supongamos que el neutro no es único, es decir, sean
Unicidad del vector opuesto de la propiedad :
supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean
elneutro es único:
y
dos vectores neutros, entonces:
-U1 y -U2 dos vectores opuestos de U , entonces, como

4. Producto de un escalar por el vector neutro;
Producto del escalar 0 por un vector;
Unicidad del elemento inverso en el cuerpo k ;
supongamos que el inverso
de a, no es único, es decir, sean
el neutro es único:
Propiedad conmutativa ;
Propiedad asociativa;
propiedad asociativa:
y
dos opuestos de a , entonces, como

5. Propiedad distributiva por la izquierda;
En este caso tenemos:
Propiedad distributiva por la derecha;
Que en este caso tenemos:

6. Ejemplos Resueltos de espacio vectorial
Sea V = (a) el conjunto de un único elemento “a” determinar si V es un espacio
vectorial sobre los reales con operaciones de adición y multiplicación por un
escalar definida por (a+a) = a ,α.a =a
U+V-X έV
a+a=a έV cumple por definición
U-V =V+U
a+a = a + a , cumple a = a
α. U = y έV
α.a= a έV cumple por definición

7. Referencias Bibliográficas
•http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap1/cap1s2.html
•http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
•http://profe-alexz.blogspot.com/2010/10/espacios-vectoriales-11-problemas.html