Medidas de dispersión: Concepto. Características y usos. Rango. Desviaciones típicas. Varianza y coeficiente de variación. Concepto. Características y utilidad estadística

1. • R A N G O
• D E S V I A C I Ó N M E D I A Y E S T Á N D A R
• D E S V I A C I O N E S T Í P I C A S
• V A R I A N Z A
• C O E F I C I E N T E D E V A R I A C I Ó N
Fernanda G Bravo C
Medidas De Dispersión

2. Los estudios estadísticos
permiten hacer inferencias de
una característica de una
población a partir de la
información contenida en una
muestra.
Los métodos numéricos que
describen a los conjuntos de
observaciones tienen como
objetivo dar una imagen mental
de la distribución de
frecuencias.
Una vez localizado el centro de
la distribución de un conjunto de
datos, lo que procede es buscar
una medida de dispersión de
los datos.
La dispersión o variación es una
característica importante de un
conjunto de datos porque
intenta dar una idea de cuán
esparcidos se encuentran
éstos.

3. Existen diversas medidas de dispersión, algunas de ellas se explican a
continuación:
RANGO
• Datos no agrupados
El rango de un conjunto de números es la diferencia entre el mayor y el menor de
todos ellos.
Hay 2 maneras de expresar ésta medida:
1) La diferencia entre los valores mayor y menor
2) Los valores mayor y menor del grupo
• Datos agrupados
Hay dos formas para determinar el rango para datos agrupados:
1) Rango = punto medio de la clase más alta – punto medio de la más baja
2) Rango = límite superior de la clase más alta – límite inferior de la más baja

4. Rango= Xmax-Xmin
Ventajas
• Es relativamente sencilla
su obtención
• El significado de ésta
medida es fácil de
comprender
Limitaciones
• Considera sólo los
valores extremos de un
conjunto, y no proporciona
mayor información
respecto a los demás
valores del mismo
• Tiene una limitada utilidad
para los distintos tipos de
análisis estadísticos

5. Desviación media Desviación estándar
 La desviación media o desviación promedio
es abreviada por MD. Mide la desviación
promedio de valores con respecto a la media
del grupo, sin tomar en cuenta el signo de la
desviación.
Datos no agrupados: x̅ es la media aritmética de
los números y |xj-x̅ | es el valor absoluto de la
desviación de xj respecto de x̅ .
Datos agrupados: Si x1, x2, …, xk ocurren con
frecuencias f1, f2, …fk, respectivamente, la
desviación media es:
Xj= los puntos medios de las clases
Fj= correspondientes frecuencias de clase
Desviaciones
• La desviación estándar se denota por s.
Datos no agrupados: Se define como:
Datos agrupados: Si x1, x2, …, xk ocurren con
frecuencias f1, f2, …, fk, respectivamente, la
desviación típica se expresa como:
Donde:

6. Varianza y desviación típica
Se define como el cuadrado de la desviación estándar y se representa como S2
Datos no agrupados:
Datos agrupados:

7. En razón de su definición, la
varianza se expresa en el
cuadrado de las unidades
en que se mide la variable,
por ello aprovechando que
su raíz cuadrada existe
siempre por ser un numero
positivo, se define la
desviación típica; S, como
la raíz cuadrada de la
varianza, obteniéndose así
una medida que se expresa
en las mismas unidades que
la variable por consiguiente
la desviación típica será:
Y
Ejemplo: utilizando las calificaciones de 8 alumnos, tendremos
los siguientes cálculos:
Por consiguiente, la varianza S2 será igual a 12/8=1,5 y la
desviación típica S=1.22
Si estos mismos datos apareciesen tabulados, las operaciones
serian:
Igual que antes, la varianza sera 12/8= 1,5 y la desviación típica
1.22

8. Calculo de varianza:
Ejemplo: el cuadro siguiente de la distribución de las calificaciones de 40 alumnos y las operaciones
necesarias para el calculo de la varianza.

9. Varianza
(Propiedades)
 1. La varianza siempre es un valor mayor o
igual que cero, siendo únicamente nula
cuando la variable toma un solo valor.
 2. Dada una determinada distribución de
frecuencias para la variable X, si a todos los
valores de la misma les sumamos una
constante a cualquiera (cambio de origen en
la variable), la varianza de la variable
transformada no varía respecto de la
correspondiente a la variable primitiva.
 3. Dada una determinada distribución de
frecuencias para la variable X, si a todos los
valores de la misma los multiplicamos por una
constante b cualquiera, distinta de cero, (cambio
de escala en la variable), la varianza de la
variable transformada será igual a dicha
constante elevada al cuadrado por la varianza
de la primitiva.
 4. Dada una determinada distribución de frecuencias
para la variable X, si a todos los valores de la misma
les multiplicamos por una constante b cualquiera,
distinta de cero, y a su resultado, les sumamos una
constante a cualquiera, la varianza de la variable
transformada será igual a la primera constante
elevada al cuadrado por la varianza de la variable
primitiva.
 5. Dada una determinada distribución de frecuencias
para la variable X, si a las frecuencias de todos los
valores de la misma les multiplicamos por una
constante k cualquiera, distinta de cero, la varianza
de la variable transformada no variará respecto de la
varianza de la variable primitiva.
 6. Dada una determinada distribución de frecuencias
para la variable X referida a una población, que se
puede dividir en dos o subpoblaciones disjuntas
entre si, la varianza de la variable se puede definir a
partir de las varianzas y medias de esa variable para
cada una de las subpoblaciones.

10. Coeficiente De Variación
Es un estadístico de dispersión que tiene la ventaja de que no lleva asociada
ninguna unidad, por lo que nos permitirá decir entre dos muestras, cual es la que
presenta mayor dispersión. La denotaremos por C.V.
Propiedades
 A menor CVx ⇒ mayor representatividad de la media X y menor dispersión
 Si 0 < CVx < 0,25, la media es muy representativa y existe poca dispersión
 Si 0,25 < CVx< 0,5, la media es moderadamente representativa y existe un grado medio
de dispersión
 Si CVX > 0,5, la media es poco representativa y existe mucha dispersión
 Sea Y = X + b ⇒ CVy 6= CVx
 Sea Y = a X ⇒ CVy = CVx