Este documento trata sobre límites al infinito y algunos teoremas y propiedades relacionados con ellos. Explica qué es un límite al infinito y cómo se representa, y analiza casos como límites de funciones polinómicas, racionales y algunos ejemplos numéricos.

1. •
•
1
Límites al
infinito
Límites
infinitos

2. Analicemos …
clientes
f
¿ 50 ?
¿Cuál es el máximo número esperado de
clientes al cual se tiende en
el largo plazo?
t
tiempo
(años)
Entonces:
lim
f (t )
50
t
Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se
aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
2

3. Teoremas de limites

4. Teoremas de
limites

5. Teoremas de
limites

6. Operaciones de los limites

15. 15
Límites al infinito
Si los valores de la función f (x) tienden al número L
cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim f ( x )
L
x
De manera similar, valores de la función f (x) tienden
al número M cuando x disminuye indefinidamente,
se escribe:
lim f ( x )
x
M

16. 16
Por ejemplo….
y = f (x)
y=M
lim f ( x )
y
M
M
x
x
y=L
L
lim f ( x )
x
L

17. 17
Por ejemplo….

18. 18
Límite al infinito para funciones polinómicas
f (x)
an x
n
an 1x
lim f ( x )
lim
x
x
n 1
an x

a1 x
a0
n
Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el
infinito, se halla el límite del término de mayor grado
(término dominante).
Ejemplos:
a)
lim
x
2
3
x
3
x
59
6
b) lim ( x
x
4
x
2
x
5)

19. 19
Ejercicio . . . . .
Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de
http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.
html

20. 20
Ejercicio . . . . .
http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.
html

21. 21
Ejercicio . . . . .
Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de
http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.
html

22. 22
Ejercicio . . . . .
Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de
So x=2 is a vertical asymptote. On the other hand, we
have
So y=1 and y= -1 are horizontal asymptotes.
http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon04/limcon04.
html

23. límite al infinito para funciones racionales
an x
an 1x
bm x
f ( x)
n
n 1
m
bm 1 x

a0

m 1
a1 x
b1 x
b0
Resolución:
Divida el numerador y denominador entre el x
elevado al mayor grado del denominador y calcule
el límite de la nueva expresión:
an x
lim f ( x )
x
an 1x
n 1
x
lim
x
n
bm x
m
bm 1 x

a0
b1 x
b0
m
m 1
x
a1 x

m
23

24. Para funciones racionales:
an x
an 1x
bm x
f ( x)
n
n 1
m
bm 1 x
m 1

a1 x
a0

b1 x
b0
Resolución simplificada:
Calcular el límite, tomando en cuenta el término
dominante del numerador y del denominador:
lim
x
an x
n
bm x
m
24

25. 25
Límites infinitos
Se dice que lim f ( x ) es un límite infinito si f (x)
x a
aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a.
Técnicamente, este límite no existe, pero se puede
dar más información acerca del comportamiento
de la función escribiendo:
lim f ( x )
x
a
lim f ( x )
x
si f (x) crece sin límite cuando x→a.
a
si f (x) decrece sin límite cuando x→a.

26. 26
Límites infinitos
Para una función dada f (x), hay cuatro casos, en los que asíntotas
verticales se pueden presentar:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)

27. 27
Ejemplo 2:
De la gráfica de la función f, halle en caso exista, los
siguientes límites:

28. 28
x2 1
Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función f ( x ) x 2
Estudiemos como no se cumple la definición de continuidad
y que tipo de discontinuidad tenemos.
Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x
= 2 será una punto de discontinuidad.
No se puede
dividir por 0
Evidentemente no existe
f(2)
Calculamos los limites a la izquierda y derecha de
x=2
x2 1 5
lim
x 2 x 2 0
2
lim x 1 5
x 2 x 2 0
Números muy
Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una función
pequeños pero
Números muy
discontinua en x = 2 de 1ª especie con salto infinito (diferencia entre los
negativos:
pequeños
límites laterales)
1,90 – 2 = - 0,1
Continuidad de
Funciones
1,99 – 2 = - 0,01
pero positivos:
1,90 - 2 = 0,1
28
1,99 - 2 = 0,01

29. 29
Veamos la gráfica de la función:
f (x)
x2 1
x 2
Cuando me acerco a 2+
la función va hacia +∞
Cuando me acerco a 2-
Aquí tendremos
la función va hacia -∞
Una Asíntota vertical
De ecuación x=2

30. 30
Veamos el siguiente ejemplo con una función
definida a trozos:
5
f (x)
x
2
x2 6x 10 2 x 5
4x 15
x 5
Aquí tenemos una
parábola. Siempre es
continua en su intervalo
Aquí tenemos una recta
de definición.
Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en
horizontal, paralela al eje
los casos x = 2 es
de abcisas X. Siempre y x = 5 . Que son los una recta.
Aquí tenemos puntos donde puede
ocurrir algún cambio respecto es la continuidad
continua en su intervalo
Siempre a continua en su
de definición.
intervalo de definición.

31. 31
Si nos fijamos en la gráfica de esta función
veremos que:

32. 32
Estudiamos analíticamente el caso de x = 2
f (2) 5
5
f (x)
x
2
x2 6x 10 2 x 5
4x 15
x 5
Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en
x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en x =2,
donde se produce un salto de 3 unidades.
Continuidad de
Funciones
32

33. 33
Estudiamos analíticamente el caso de x = 5
f (5) 5
lim x 2 6 x 10 5
x 5
lim 4 x 15 5
x 5
5
f (x)
x
2
x2 6x 10 2 x 5
4x 15
x 5
Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en
x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5

34. 34
Veamos algún caso con una discontinuidad del
tipo “Evitable”
x 2 3x 2
x 1
f (x)
Tenemos que Dominio de f = R - { 1 }
Solo tendríamos que estudiar el caso x =
1
1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio
2.
lim
x
1
lim
x
1
x 2 3x 2
x 1
0
x 2 3x 2
x 1
0
0
0
x 1
lim
x
x 1
1
x 1
lim
x
1
lim f ( x )
x
1
x 2
lim x 2
x
1
1
x 2
x 1
lim x 2
x
1
1
f (1) que no existe

35. 35
Veamos ahora la gráfica de la función
Tenemos un agujero para x
=1

36. 36
y
y = f (x)
lim f x
2
x
1
lim f x
x
x
1
2
x
0
lim f x
1
2
1
2
3
4
lim f x
lim f x
lim f x
x
1
x
x
3
3
3
0
lim f x y lim f x no existen
x
x
0
lim f x
x
0
0
1
1
1
lim f x no existe
x
1
lim f x
x
2
1
1
4
lim f x y lim f x no existen
x
lim f x
x
lim f x
x
4
x
4
f 3
2

37. 37
Ejemplo 3:
Esboce el gráfico de una función f con dominio R que
cumpla con las siguientes condiciones:

38. 38