1. SEMESTRE ACADÉMICO 2014-II
“Firmes en nuestro compromiso de alcanzar nuestra
visión de ser competitivos e innovadores para tener
acreditación internacional y contribuir al desarrollo
sostenido.”
MATEMÁTICA I
Límites
de
Funciones
1
3. NOCIÓN INTUITIVA
3
1
1
)(
3
x
x
xf
1
3
• Tabulemos y grafiquemos la función en cercanías de
x = 1
1
1
)(
3
x
x
xf
1x
1x
x
x
)(xf
)(xf
2.1 1.1 05.1 01.1
64.3 31.3 1525.3 0301.3
8.0 9.0 95.0 99.0
44.2 71.2 8525.2 9701.2
4. CONCEPTO DE LÍMITE
El límite de cuando tiende al
punto , es , cuya notación es:
Siempre que esté arbitrariamente
cerca a para todo lo
suficientemente cerca de
NOTA.-
Si no existe tal número , se dice que el límite no existe.
4
)(xf x
a L
LxfLim
ax
)(
)(xf
L
L
.a
x
6. TEOREMAS DE LÍMITES
kLxfLimkxkfLim
axax
)()(
MLxgLimxfLimxgxfLim
axaxax
)()()()(
MLxgLimxfLimxgxfLim
axaxax
.)().()().(
0,
1
)(
1
)(
1
M
MxgLimxg
Lim
ax
ax
Sean dos funciones tales que
y k una constante, entonces
MxgLimyLxfLim
axax
)()(gyf
6
7. nLxfLimxfLim nn
ax
n
ax
,)()(
n
n
ax
n
ax
LxfLimxfLim
)()(
LxfLimxfLim
axax
)()(
)()(
)()(
xgLim
ax
xg
ax
axxfLimxfLim
0,
)(
)(
)(
)(
M
M
L
xgLim
xfLim
xg
xf
Lim
ax
ax
ax
7
TEOREMAS DE LÍMITES
8. 8
CÁLCULO DE LÍMITES
El calcular se realiza de la siguiente manera:
1°.- Reemplazamos x=a en la función f(x).
2°.- Si obtenemos una forma indeterminada:
tratamos de salvar el límite, para lo cual factorizamos
o racionalizamos, luego simplificamos y volvemos a
aplicar el paso 1°.
3°.- Si a pesar de aplicar el paso 2°, seguimos obteniendo
una forma indeterminada, concluimos que dicho límite NO
EXISTE.
00
100
0
0
,,.,,,
)(xfLim
ax
9. Calcule los siguientes límites:
13
42
1 x
x
Lim
x
x
x
Lim
x 2
5
1
x-x
4x-
24x
Lim
0
0
1)1(3
4)1(2
12
15
4-)4(
4-4
2
12
4
24 xx
x
Lim
x
124-)4(
4-4
2
9
1
2
2
2
1
4
0
12
0
10. 10
12
4
24 xx
x
Lim
x
34
4
4 xx
x
Lim
x
34
4
4 xx
x
Lim
x
7
1
3
1
4
x
Lim
x
7
1
12
4
24
xx
x
Lim
x
Calcule:
14. 9
0
0
2
22
2
x
x
Lim
x
2
22
2
x
x
Lim
x
)22)(2(
42
2
xx
x
Lim
x
)22)(2(
2
2
xx
x
Lim
x
)22(
1
2 x
Lim
x 4
1
)22(
)22(
x
x
2
22
2
x
x
Lim
x 4
1
14
Calcule:
17. Verificar si existen los siguientes límites
1,4
1,5
)(
2
xx
xx
xf
2,
2
333
2,
4
8
)(
2
3
xsi
x
x
xsi
x
x
xf
)())())()
111
xfLimcxfLimbxfLima
xxx
)())())()
222
xfLimcxfLimbxfLima
xxx
2,84
21,23
1,
1
)(
23
xaxbx
xaxbx
x
x
xx
xf
Determinar el valor de a y b, si se sabe
que existen
)()(
21
xfLimyxfLim
xx
17
18. Dada la gráfica de la función
Calcular los siguientes límites
)(xf
1 3-2
-3
12
7
3
)())())() xfLimcxfLimbxfLima
xxx 222
)())())() xfLimfxfLimexfLimd
xxx 111
)())())()
333
xfLimixfLimhxfLimg
xxx
3 7 NO EXISTE
12 -3 NO EXISTE
0 0 = 0
18
19. • Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia el punto “a” es mas infinito si la
función f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que se
tomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Se
designa :
•· Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia el punto “a” es menos infinito si
la función f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que se
tomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Se
designa:
Límites infinitos de una función en un punto: definición
x0+
lim
1
| x |
=
x0–
lim
1
| x |
=
x0
lim
1
| x |
=
Ejemplo: observando la gráfica de la
función f(x) =
1
| x |
se ve que:
)(lim xf
ax
)(lim xf
ax
20. Límite infinito en un punto: definición formal
Ejemplo: En la medida en que x se acerca o 0, con valores positivos ¿a quién se acerca
f(x) = (x+1) / x?
x+
lim
x + 1
x = +
x 1 0,1 0,01 0,01 0+
f(x) = (x+1)/x 2 11 101 1001 +
• El límite de f(x) cuando x tiende a “a” por la derecha es infinito si para cada
número K > 0 existe otro número d > 0 tal que f(x) > K si a < x < a + d donde d
es función del K elegido .
• El límite de f(x) cuando x tiende a “a” por la izquierda es menos infinito si para
cada número K < 0 existe otro número d > 0 tal que f(x) < K si a – d < x < a donde
d debe ser función de K.
De igual manera si x se acerca a 0 con valores negativos se ve que:
x–
lim
x + 1
x = –
21. Límites finitos en el infinito: Definición
x 10 102
103
104
+
f(x) = (x+1)/x 1,1 1,01 1,001 1,0001 1
Ejemplo (comportamiento en el infinito, límite finito) : En la medida en que x se
hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = (x+1) / x?
Lxf
x
)(lim
x+
lim
x + 1
x
= 1
Se dice que el nº L es el límite de f(x) cuando x tiende a infinito (menos infinito), si
la distancia | f(x) – L | se hace tan pequeña como se quiera siempre que se tomen
valores de x suficientemente grandes (en valor absoluto). De denota
Lxf
x
)(lim
22. Límites infinitos en el infinito: Definición
x+
lim x2
= +
En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca
f(x) = x2?
x 10 102
103
104
+
f(x) = x2
102
104
106
108
+
Def: El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para todo número real M
se puede encontrar otro número real K tal que f(x) > M si x > K donde K debe ser
función de M.
Otros comportamientos en el infinito, gráficamente.
23. Ejemplo de comportamiento en el infinito: no existe límite
Cuando x tiende a infinito o x tiende a menos infinito los valores de estas
funciones seno y coseno no tienden a ningún valor, ya que oscilan entre 1 y –1.
Ambos límites no existen.
24. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo 0/0
Cuando el
xa
lim
P(x)
Q(x) es indeterminado
0
0 siendo P(x) y Q(x) polinomios, pod e-
mos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por (x – a)
x3
lim
–18+ 21x– 8x2
+ x3
x2
– 9
=
x3
lim
(x – 3)2
(x – 2)
(x– 3)(x+ 3)
=
x3
lim
(x – 3)(x– 2)
(x + 3)
=
0
6 = 0
Indet
0
0
x
3
2
lim
–18+ 33 x – 20 x2
+ 4 x3
9 – 12x + 4 x2 =
x
3
2
lim
(x – 2)(2x– 3)2
(2x– 3)2 =
x
3
2
lim (x– 2)=
–1
2
Indet
0
0
25. Cálculo de límites
Límites simples
Algunos límites típicos (trigonométricos y exponenciales)
x
x
lim
1 +
a
x = ea
, para todo a
Cuando las funciones verifican se pueden obtener directamente
por el procedimiento de sustituir en la expresión de la función el valor de la variable x
por el de a hacia el que tiende.
)()(lim afxf
ax
sen x
x0
lim
x
= 1
x
x
lim
e
xp = , para todo p
ln x
x
lim
xp = 0, para todo p > 0
26. Ejemplo de cálculo de indeterminaciones: tipo 0 .
= 0 + 5 . 0 + 7 . 0 = 0
1/x = y
Estas indeterminaciones se resuelven a veces operando previamente para
obtener una expresión más sencilla o reduciéndolas a otras del tipo
0
0 o
Recordando que
x
lim xp
e–x
= 0
x
lim (x3
+ 5x2
+ 7x)e–x
=
Indet 0.
Recordando que x
x
X
ln
lim
= 0
x0
+
lim x .
ln x =
x0+
lim ln x
1
x
= 0
y
lim
– ln y
y =
5
x
lim x2
e–x
+
x
lim x3
e–x
+ 7
x
lim xe–x
=
Indet 0.
27. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo /
En otros casos un cambio de variable permite salvar la indeterminación.
ln x = y
x
lim
–2x3
+ 3x– 5
–x3
– 2x + 5 =
Indet
x
lim
–2 +
3
x2 –
5
x3
–1 –
2
x2 +
5
x3
=
–2
–1
= 2
x
lim
ln (ln x)
ln x =
y
lim
ln y
y = 0
Indet
Cuando el
x
lim
P(x)
Q(x)
es indeterminado
siendo P(x) y Q(x) polinomios,
podemos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por la potencia más
alta de x que aparezca en ambos.
28. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipos 0, 00
Indet 0
e0 = 1
ln
0
lim 1
x
x
x
e e
Estas indeterminaciones se resuelven frecuentemente tomando logaritmos y
expresando la función inicial como «la exponencial de su logaritmo».
x0+
lim xx
=
Indet 0 0
x0+
lim eln (x
x
)
=
x0
+
lim ex ln x
=
1
lim x
x
x
1
ln
lim
xx
x
e
29. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo 1
Indet 1
Indet 1
1
2x2
+ x4 = y
e8
Para resolver estas indeterminaciones resulta útil muchas veces recordar la expresión
de e
a
como límite, combinada con un cambio de variable.
x
lim
1 +
1
x
2x
=
x
lim
1+
1
x
x 2
=
x
lim
1+
1
x
x 2
= e2
x0
lim(1 + 2x2
+ x4
)
4
x2
=
x0
lim
1 +
1
1
2x2
+ x4
4
x2
=
x0
lim
1 +
1
1
2x2
+ x4
1
2x2
+ x4 (2x2
+ x4
)
4
x2
=
=
y
lim
1 +
1
y
y x0
lim
4(2x2
+ x4
)
x2
=
y
lim
1 +
1
y
y x0
lim (8 + 4x2
)
=