limites infinitos y limites al infinito

1. LÍMITES
LÍMITES AL INFINITO
LÍMITES INFINITOS
1

2. tiempo
(años)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
−10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
clientes
f
¿Cuál es el máximo número esperado de
clientes al cual se tiende en
el largo plazo?
Analicemos …
¿ ?
¿ ?
50
+∞→t
Entonces: 50)(lim =
+∞→
tf
t
Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se
aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
2

3. LÍMITES AL INFINITO
3
Si los valores de la función f (x) tienden al número L
cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim ( )
x
f x L
→+∞
=
De manera similar, valores de la función f (x) tienden
al número M cuando x disminuye indefinidamente,
se escribe:
lim ( )
x
f x M
→−∞
=

4. POR EJEMPLO….
4
y = f (x)
y
y = L
y = M M
L
lim ( )
x
f x L
→+∞
=
lim ( )
x
f x M
→−∞
=
x

5. LÍMITE AL INFINITO PARA FUNCIONES
POLINÓMICAS
5
1
1 1 0( ) n n
n nf x a x a x a x a−
−= + + + +K
lim ( ) lim n
n
x x
f x a x
→±∞ →±∞
 =  
Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el
infinito, se halla el límite del término de mayor grado
(término dominante).
Ejemplos:
a) 32 59
lim
3 6x
x x
→+∞
 
− + −  
b) )5( 24
lim +−+−
+∞→
xxx
x

6. Sabemos que para n > 0, , ¿cuál es el valor
de los siguientes límites?
INTERROGANTE . . . . .
6
+∞=
+∞→
n
x
xlim
=
+∞→
n
x x
1
lim
=
−∞→
n
x x
1
lim

7. 1
1 1 0
1
1 1 0
( )
n n
n n
m m
m m
a x a x a x a
f x
b x b x b x b
−
−
−
−
+ + + +
=
+ + + +
K
K
1
1 1 0
1
1 1 0
lim ( ) lim
n n
n n
m
m mx x
m m
m
a x a x a x a
xf x
b x b x b x b
x
−
−
−→±∞ →±∞
−
 + + + +
 
=  
+ + + + 
  
K
K
Divida el numerador y denominador entre el x elevado al
mayor grado del denominador y calcule el límite de la
nueva expresión:
Resolución:
límite al infinito para funciones racionales
7

8. 8
Para funciones racionales:
1
1 1 0
1
1 1 0
( )
n n
n n
m m
m m
a x a x a x a
f x
b x b x b x b
−
−
−
−
+ + + +
=
+ + + +
K
K
Resolución simplificada:
Calcular el límite, tomando en cuenta el término
dominante del numerador y del denominador:
m
m
n
n
x xb
xa
lim±∞→

9. Se dice que es un límite infinito si f (x)
aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a.
Técnicamente, este límite no existe, pero se puede
dar más información acerca del comportamiento
de la función escribiendo:
LÍMITES INFINITOS
9
lim ( )
x a
f x
→
= −∞
lim ( )
x a
f x
→
lim ( )
x a
f x
→
= +∞ si f (x) crece sin límite cuando x→a.
si f (x) decrece sin límite cuando x→a.

10. ¡INTERROGANTE!
10
A partir de la gráfica . . . , ¿en qué valor de a, se cumple:
+∞=
→
)(lim xf
ax

11. 11
a. Estime
( ) ( )
2 2
1 1
1 1
lim , lim
1 1x xx x
− +
→− →−+ +
Ejemplo 1:
2 2
2 2
lim , lim
2 2x xx x− +
→ →− −
b. Estime .
¿A dónde tiende ?2
2
lim
2x x→ −
¿A dónde tiende cuando x tiende a −1?
( )
2
1
( )
1
f x
x
=
+

12. 12
De la gráfica de la función f, halle en caso exista, los
siguientes límites:
Ejemplo 2: