El cuaderno de ejercicios de cálculo diferencial de la Universidad Politécnica de Tlaxcala, elaborado por el Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez, presenta diversos temas fundamentales como límites, derivadas y ecuaciones de rectas tangentes. Incluye ejercicios resueltos y propuestos para facilitar el aprendizaje y la comprensión de la materia, junto con definiciones clave y propiedades de los límites. Además, se proporciona bibliografía relevante para profundizar en los conceptos tratados.

1. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial
Universidad Politécnica de Tlaxcala
Ingeniería Química
Academia de Matemáticas
Núcleo de formación: Matemáticas
Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial
para la asesoría en el área de Matemáticas
Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez
ENERO 2015

2. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial
Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez Página 2
INDICE
Presentación……………………………………………………………………………………………3
Tema No.1. Límite de una función. ……………………………………………………………4
Ejercicios………………………………………………………………………………7
Definiciones y Propiedad de los límites ……………………………………………………….8
Bibliografía …..……………………………………………………………………………………………9

3. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial
Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez Página 3
Presentación
El presente Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial pretende
apoyar los objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura
presentando ejercicios resueltos y proponiendo al alumno ejercicios por
resolver de uso más frecuente en los temas a tratar.
El alumno al hacer uso frecuente de este cuaderno de ejercicios
encuentra un apoyo académico, ya que los ejemplos presentados le
permitirán hacer más comprensibles e interesantes la resolución de los
ejercicios en el la aplicación a los diferentes tipos de problemas.
Así, los ejercicios que resuelva le proveerán de un conocimiento
básico del Cálculo, comprendiendo la materia de un modo más
completo. El cuaderno contiene ejemplos de funciones, límites,
derivadas y ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva,
así como aplicación de los conocimientos adquiridos en la resolución de
problemas prácticos.

4. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial
Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez Página 4
Tema No. 1. Límite de una función.
Definición de función: Decir que:
lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = 𝐿
Significa que cuando x está cerca, pero difiere de c, f(x) está cerca
de L.
Ejemplo: Encuentre el
lim
𝑥→3
𝑥2
− 𝑥 − 6
𝑥 − 3
Solución. Note que (𝑥2
− 𝑥 − 6)/(𝑥 − 3) no está definido para x=3,
pero todo está bien. Para tener idea de lo que sucede cuando x tiende
a 3 se puede usar una calculadora para evaluar la expresión dada; por
ejemplo:
Evaluando el límite lateral izquierdo: quiere decir dar valores cercanos
a 3 menores que 3, es decir: sustituir el valor de x por 2.9, 2.99,
2.999, etc.
𝒙 → 𝟑−
𝒚 → 𝟓
(𝟐. 𝟗) 𝟐
− (𝟐. 𝟗) − 𝟔
𝟐. 𝟗 − 𝟑
4.899999999999998
(𝟐. 𝟗𝟗) 𝟐
− (𝟐. 𝟗𝟗) − 𝟔
𝟐. 𝟗𝟗 − 𝟑
4.990000000000023
(𝟐. 𝟗𝟗𝟗) 𝟐
− (𝟐. 𝟗𝟗𝟗) − 𝟔
𝟐. 𝟗𝟗𝟗 − 𝟑
4.999000000000304

5. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial
Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez Página 5
Practica:
Como definir en wxMaxima una función:
Comando Salida (Presionando la
secuencia de teclas Shift +
Enter)
f(x):=(x^2-x-6)/(x-3);
Para evaluar el límite lateral derecho solamente hay que definir en un
arreglo los valores cercanos al 3 del lado izquierdo.
Comando Salida
x1:[2.9,2.99,2.999];
Evaluar los tres puntos en la función solo debemos llamar a la función
definida y observar el resultado de cada punto evaluado.
Comando Salida
f(x1);
Por lo tanto se puede deducir que el límite lateral izquierdo tiende a 5:
lim
𝑥→3−
𝑥2
− 𝑥 − 6
𝑥 − 3
= 5
Se prosigue a evaluar el límite lateral derecho, de la misma forma se
dan valores cercanos al tres pero mayores, es decir 3.1, 3.01, 3.001,
etc.

6. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial
Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez Página 6
𝒙 → 𝟑+
𝒚 → 𝟓
(𝟑. 𝟏) 𝟐
− (𝟑. 𝟏) − 𝟔
𝟑. 𝟏 − 𝟑
5.100000000000011
(𝟑. 𝟎𝟏) 𝟐
− (𝟑. 𝟎𝟏) − 𝟔
𝟑. 𝟎𝟏 − 𝟑
5.009999999999977
(𝟑. 𝟎𝟎𝟏) 𝟐
− (𝟑. 𝟎𝟎𝟏) − 𝟔
𝟑. 𝟎𝟎𝟏 − 𝟑
5.001000000000584
Tabla 1.2 Evaluación del límite lateral derecho
Aplicando el software se tiene los resultados de la tabla 1.2
Comando Salida
x2:[3.1,3.01,3.001]$
f(x2);
lim
𝑥→3+
𝑥2
− 𝑥 − 6
𝑥 − 3
= 5
Como se observa que ambos límites tanto el izquierdo y el derecho se
acercan a 5, se concluye que el límite de la función cuando x se acerca
a 3, la función tiende a 5.
Pero es mucho mejor usar un poco de álgebra para simplificar el
problema.
lim
𝑥→3
𝑥2
− 𝑥 − 6
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
(𝑥 + 2) = 3 + 2 = 5
La cancelación de x-3 en el segundo paso es legítima, ya que la
definición pasa por alto el comportamiento preciso de x=3. Por lo
tanto, no se ha dividido entre cero.

7. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial
Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez Página 7
Ejercicios: Encontrar los siguientes límites:
Ejercicio 1
lim
𝑥→3
2𝑥 − 8
Ejercicio 2
lim
𝑥→3
2
𝑥
+ 1
Ejercicio 3
lim
𝑥→−2
𝑥2
− 3𝑥 + 1
Ejercicio 4
lim
𝑥→4
√9 + 𝑥2
𝑥 − 3
Ejercicio 5
lim
𝑥→1
𝑥2
+ 3𝑥 − 4
𝑥 − 1
Ejercicio 6
lim
𝑥→4
√5𝑥 + 7
3
Ejercicio 7
lim
𝑥→1
√5𝑥 − √5
1 − 𝑥
Ejercicio 8
lim
𝑥→2
3 − √4𝑥 + 1
𝑥2 − 2𝑥
Ejercicio 8
Calcule el límite por la derecha de la siguiente función, cuando x
se acerca a 0: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2
+ 3
Ejercicio 9
Calcule el siguiente límite, obteniendo sus límites laterales:
lim
𝑥→−4
|𝑥|
𝑥

8. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial
Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez Página 8
Definiciones y Propiedades.
Límite finito. Límites laterales
Definición 1.1 Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a “a” es
igual a L, y lo escribimos:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
Si los valores de f(x) pueden aproximarse “tanto como queramos” a L
eligiendo un “x” suficientemente próximo a “a”.
Definición 1.2 Decimos cuando el límite de f(x) cuando x tiende a “a”
por la izquierda es igual a L (Límite lateral por la izquierda), y lo
escribimos:
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿
Si los valores de f(x) pueden aproximarse “tanto como queramos” a L
eligiendo un “x” suficientemente próximo a “a” y menor que “a”.
Definición 1.3 Decimos que el límite de f(x) cuando “x” tiende a “a” por
la derecha es igual a L (límite lateral por la derecha), y lo escribimos:
lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = 𝐿
Si los valores de f(x) pueden aproximarse “tanto como queramos” a L
eligiendo un “x” suficientemente próximo a “a” y mayor que “a”.
Propiedad 1
El límite de f(x) cuando x tiende a “a” es igual L si y sólo si
existen los límites laterales por la izquierda y por la derecha y son
iguales; es decir:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿

9. Cuaderno Guía de Cálculo Diferencial
Ing. Saúl Olaf Loaiza Meléndez Página 9
Bibliografía
AYRES, F., 2004, Cálculo diferencial e integral, México, Mc. Graw Hill
ANFOSSI, Agustín; Flores, M. A., 1991, Cálculo Diferencial e Integral,
México, Editorial Progreso.
CONTRERAS G. L., et al., Cálculo diferencial e integral, 2004, México,
Universidad Autónoma del estado de México.
GUZMÁN, José, et al., 2005, Cálculo Diferencia e Integral, México,
Universidad Autónoma del Estado de México.
LEITHOLD, Louis, 1987, El Cálculo con Geometría Analítica, México,
Harla.
PURCEL, Edwin J; Varberg, Dale, 1992, Calculo Diferencial e Integral,
México, Prentice Hall, Hispanoamericana.
ZILL, Dennis G., 1987, Cálculo con Geometría Analítica, México, Grupo
Editorial Iberoamérica.