Acerca de rectas en un eje de coordenadas cartesianas

1. COLEGIO ACADÉMICO NOCTURNO LA CUESTA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
CICLO DIVERSIFICADO
DÉCIMO AÑO
HABILIDADES
ANALIZAR GEOMÉTRICAMENTE Y ALGEBRAICAMENTE LA POSICIÓN
RELATIVA ENTRE RECTAS EN EL PLANO DESDE EL PUNTO VISTA DEL
PARALELISMO Y LA PERPENDICULARIDAD
APLICAR LA PROPIEDAD QUE ESTABLECE QUE UNA RECTA TANGENTE A
UNA CIRCUNFERENCIA ES PERPENDICULAR AL RADIO DE LA
CIRCUNFERENCIA EN EL PUNTO DE TANGENCIA.
PROF. ARGENIS MÉNDEZ VILLALOBOS
II TRIMESTRE 2015

2. 2
Contenido
1- Acerca de las rectas.................................................................................................................. 1
1-1 Autoevaluación................................................................................................................ 3
2- Tipos de rectas.......................................................................................................................... 4
2-1 Rectas paralelas ..................................................................................................................... 4
2-2 Autoevaluación .................................................................................................................. 5
2-3 Rectas perpendiculares ......................................................................................................... 5
2-4 Autoevaluación .................................................................................................................. 7

3. 1
1- Acerca de las rectas
Situación problema:
“el papá de Bernardo tiene una planta purificadora de agua. El cliente acude con
su garrafón y en el negocio lo lavan y lo llenan de agua purificada. El precio al que
vende cada garrafón de 20 litros es de $ 10”
si en total se vendieron 100 garrafones, complete la tabla de análisis siguiente:
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
Garrafones
vendidos
15 16 20 17 18
Dinero
obtenido
Con base a lo anterior podemos representar la situación anterior gráficamente:
Como se observa en la gráfica anterior, todos los puntos se ajustan sobre una recta,
por lo que podemos representar la situación usando un modelo matemático
(ecuación)

4. 2
Demostración de la ecuación de una recta:
Cada uno de los triángulos son semejantes por el principio A-A-A, ya que sus
ángulos son congruentes dado que son correspondientes entre paralelas a estos los
llamamos ∡𝛼 por lo que tenemos lo siguiente:
 tan(𝛼) 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
Y se calcula por medio de la fórmula, utilizando dos puntos (𝑥, 𝑦) ∧ (𝑥1, 𝑦1)
tan(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
= 𝑚 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 =
𝑦1 − 𝑦
𝑥1 − 𝑥
Además contiene una constante “b” que se puede calcular utilizando la siguiente
fórmula:
𝑏 = 𝑦 − 𝑚 ∙ 𝑥
Por lo tanto la ecuación canónica de una recta es:
 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

5. 3
Y la ecuación general de una recta viene dada por:
 𝑎𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑒 = 0 ; 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑐, 𝑒 ∈ ℝ
1-1 Autoevaluación
 Sea f una función lineal que contiene los puntos (−3,4)𝑦 (100,200),
¿encuentre la pendiente de la función f?
 Sea f una función lineal con pendiente
1
4
y contiene el punto (−2,3). ¿Cuál es
el valor de b?
 Sea f una función lineal que contiene los puntos (100,200) 𝑦 (−2,1),
¿encuentre la ecuación de la recta de f?
 Considere la gráfica de la función f
y
f
x
2
1
–1
¿Encuentre la ecuación de la recta f?

6. 4
2- Tipos de rectas
2-1 Rectas paralelas
Gráficamente podemos representar dos rectas paralelas:
Definición:
Sean dos rectas ℓ1 𝑦 ℓ2:
ℓ1: 𝑦 = 𝑚1 𝑥 + 𝑏1
ℓ2: 𝑦 = 𝑚2 𝑥 + 𝑏2
Ejemplo: Sean dos rectas ℓ1: 𝑦 = 3𝑥 − 9 “y” ℓ2: 𝑦 = 3𝑥 + 5 son paralelas dado que
el valor de sus pendientes son iguales:
Gráficamente:
ℓ1 ∥ ℓ2 ⇔ 𝑚1 = 𝑚2
𝑚1 = 𝑚2 = 3

7. 5
2-2 Autoevaluación
 Encuentre la ecuación de la recta que es paralela a la recta dada por
𝑦 = 4𝑥 − 5 y que contiene al punto (−8,7)
 Sea ℓ1 ∥ ℓ2 “y” ℓ1: 𝑦 =
−3
4
𝑥 + 1 , encuentre la ecuación de la recta para ℓ2, si esta
contiene al punto (
5
6
, 0).
 Considere la siguiente gráfica:
Encuentre una recta paralela a la recta que se presenta en la gráfica y que contenga
al punto (−8,11)
2-3 Rectas perpendiculares
Gráficamente podemos representar dos rectas perpendiculares:
Sean ℓ1⋀ ℓ2
ℓ1: 𝑦 = 𝑚1 𝑥 + 𝑏1
ℓ2: 𝑦 = 𝑚2 𝑥 + 𝑏2
Entonces:
ℓ1 ⊥ ℓ2 ⇔ 𝑚1 ∙ 𝑚2
𝑚2 =
−1
𝑚1

8. 6
Ejemplo:
Encuentre una recta perpendicular a la recta dada por 𝑦 = 5𝑥 − 3 y que contenga al
punto (7, −11)
Solución:
En la recta 𝑦 = 5𝑥 − 3, el valor 𝑚 = 5, entonces para encontrar la pendiente de
recta perpendicular utilizamos:
𝑚2 =
−1
𝑚1
=
−1
5
, luego utilizamos el punto (7, −11) para encontrar el valor de b
𝑏 = 𝑦 − 𝑚 ∙ 𝑥
𝑏 = −11 −
−1
5
∙ 7
𝑏 = −
48
5
Por lo tanto:
La ecuación de la recta es: 𝑦 =
−1
5
𝑥 −
48
5
Gráficamente:
5 ∙
−1
5
= −1

9. 7
2-4 Autoevaluación
 Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a la recta dada por
𝑦 = 12𝑥 − 5 y que contiene al punto (5,1).
 Sean ℓ1 ⊥ ℓ2 , ℓ1: 𝑦 =
3
4
𝑥 − 9, entonces, ¿encuentre la ecuación de la recta
para ℓ2 y que contiene al punto (−13, −8).
 Considere la gráfica siguiente:
Encuentre la ecuación de una recta perpendicular a recta dada en la gráfica y que
contenga al punto (
3
7
, −6).