Cómo obtener los esfuerzos en una estructura articulada, plana, mediante el método de Ritter o método de las secciones.

1. Bloque B. Sistemas isostáticos articulados.
Cálculo de esfuerzos. Método de Ritter.
Nota:
Este documento no constituye
unos apuntes sobre los temas
tratados, por lo que no se
recomienda su impresión, sino
seguirlo paso a paso en Power
Point.
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2. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter (o método de las secciones)
 Esta es la estructura cuyos esfuerzos calcularemos en el ejemplo.
 Una vez comprobado el isostatismo de la misma y obtenidas las
reacciones, podemos pasar a obtener los esfuerzos.
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3. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter (cont).
 No siempre será necesario conocer el valor de los axiles de todas y cada
una de las barras que forman una estructura isostática articulada. En
ocasiones únicamente necesitaremos conocer, para una barra en
concreto, si la barra está traccionada o comprimida y el valor numérico
del esfuerzo.
 En estos casos recurrir a este método es lo más apropiado.
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4. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter (cont).
 No siempre será necesario conocer el valor de los axiles de todas y cada
una de las barras que forman una estructura isostática articulada. En
ocasiones únicamente necesitaremos conocer, para una barra en
concreto, si la barra está traccionada o comprimida y el valor numérico
del esfuerzo.
 En estos casos recurrir a este método es lo más apropiado.
 Una forma sencilla e intuitiva de ver cómo se comporta una barra en la
estructura es, partiendo de la estructura en equilibrio (con las reacciones
calculadas), imaginar que la eliminamos y comprobar qué le pasaría a la
estructura.
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5. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter (cont).
 No siempre será necesario conocer el valor de los axiles de todas y cada
una de las barras que forman una estructura isostática articulada. En
ocasiones únicamente necesitaremos conocer, para una barra en
concreto, si la barra está traccionada o comprimida y el valor numérico
del esfuerzo.
 En estos casos recurrir a este método es lo más apropiado.
 Una forma sencilla e intuitiva de ver cómo se comporta una barra en la
estructura es, partiendo de la estructura en equilibrio (con las reacciones
calculadas), imaginar que la eliminamos y comprobar qué le pasaría a la
estructura.
 En el ejemplo que nos
ocupa, vamos a ver qué
ocurriría si eliminásemos
la barra ED.
P
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6. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter (cont).
 No siempre será necesario conocer el valor de los axiles de todas y cada
una de las barras que forman una estructura isostática articulada. En
ocasiones únicamente necesitaremos conocer, para una barra en
concreto, si la barra está traccionada o comprimida y el valor numérico
del esfuerzo.
 En estos casos recurrir a este método es lo más apropiado.
 Una forma sencilla e intuitiva de ver cómo se comporta una barra en la
estructura es, partiendo de la estructura en equilibrio (con las reacciones
calculadas) imaginar que la eliminamos y comprobar qué le pasaría a la
estructura.
Así que la misión de la barra ED es
evitar que la estructura se cierre al
girar alrededor de B. Por lo tanto, la
barra estará comprimida.
P
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7. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter (cont).
 Para saber cuál es el valor del esfuerzo (ya he deducido el signo:
negativo), lo único que tengo que hacer es eliminar uno de los dos
sólidos rígidos en los que queda dividida la estructura al quitar la
barra y hacer equilibrio de momentos en el nudo B (el nudo
alrededor del cual se «cerraba» la estructura.
P
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8. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter (cont).
 Para saber cuál es el valor del esfuerzo (ya he deducido el signo:
negativo), lo único que tengo que hacer es eliminar uno de los dos
sólidos rígidos en los que queda dividida la estructura al quitar la
barra y hacer equilibrio de momentos en el nudo B (el nudo
alrededor del cual se «cerraba» la estructura.
P
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9. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter (cont).
 Para saber cuál es el valor del esfuerzo (ya he deducido el signo:
negativo), lo único que tengo que hacer es eliminar uno de los dos
sólidos rígidos en los que queda dividida la estructura al quitar la
barra y hacer equilibrio de momentos en el nudo B (el nudo
alrededor del cual se «cerraba» la estructura.
P
 El obtener un valor positivo significa que mi intuición inicial fue buena y que la barra estaba
comprimida.
 En caso de haberme equivocado con el sentido inicial de la fuerza lo único que habría sucedido es
que el resultado habría sido negativo y la barra estaría traccionada en lugar de comprimida.
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10. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter (cont).
 Este método también se llama método de las secciones porque es
equivalente a cortar la estructura por un mínimo de tres barras
para poder deducir el axil de una de ellas mediante la ecuación de
equilibrio de momentos planteada en el punto donde se cruzan las
líneas de acción del resto de barras cortadas:
 Si nos fijamos, tomando momentos en B, la operación es la
misma que hemos realizado antes:
P
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11. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 1.
 La estructura de la figura se corresponde con la de una pasarela real que se encuentra en el aeropuerto de
Treviso (Italia). Se desea conocer el valor del axil en las barras más solicitadas de ambos cordones, así
como el valor de la diagonal más solicitada y del montante más solicitado.
3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN
1,125 m
1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
Consideraciones iniciales:
- La estructura es simétrica en
cuanto a geometría y en
cuanto a acciones externas.
- Los valores más altos de axil
en los cordones se darán en el
centro del vano.
- Los valores más altos de axil
en los montantes y en las
diagonales se darán
inmediatamente antes de los
apoyos.
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12. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 1 (cont).
 Una vez hemos hallado los valores de las reacciones, aplico Ritter para obtener los valores de los axiles en
los cordones.
3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN
1,125 m
10,5 kN 10,5 kN
1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
Cordón superior: 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN
10,5 kN 10,5 kN
Imaginando que el tramo de cordón superior no está, podemos intuir que la barra está comprimida.
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13. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 1 (cont).
 Una vez hemos hallado los valores de las reacciones, aplico Ritter para obtener los valores de los axiles en
los cordones.
3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN
1,125 m
10,5 kN 10,5 kN
1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
Cordón superior: 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN
10,5 kN 10,5 kN
Imaginando que el tramo de cordón superior no está, podemos intuir que la barra está comprimida.
• Eliminaremos el “subsólido” del lado derecho
• Colocaremos la fuerza que empuja el nudo y que representa la barra que imaginamos que hemos quitado
• Haremos equilibrio de momentos en el punto alrededor del cual habría girado la estructura si hubiésemos quitado
la barra.
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14. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 1 (cont).
 Una vez hemos hallado los valores de las reacciones, aplico Ritter para obtener los valores de los axiles en
los cordones.
3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN
1,125 m
10,5 kN 10,5 kN
1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
Cordón superior: 3 kN 3 kN 3 kN
10,5 kN
Eliminamos el sólido del lado derecho, colocamos la fuerza que empuja el nudo y que representa la barra que hemos
quitado y hacemos equilibrio de momentos en el punto alrededor del cual habría girado la estructura si hubiésemos
quitado la barra.
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15. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 1 (cont).
 De manera análoga obtendremos el cordón inferior:
3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN
1,125 m
10,5 kN 10,5 kN
1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
Imaginando que el tramo de cordón inferior no está, podemos intuir que la barra está traccionada.
Eliminamos el sólido del lado derecho, colocamos la fuerza que empuja el nudo y que representa la barra que hemos
quitado y hacemos equilibrio de momentos en el punto alrededor del cual habría girado la estructura si hubiésemos
quitado la barra.
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16. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 1 (cont).
 De manera análoga obtendremos el cordón inferior:
3 kN 3 kN 3 kN
1,125 m
10,5 kN
1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
Imaginando que el tramo de cordón inferior no está, podemos intuir que la barra está traccionada.
Eliminamos el sólido del lado derecho, colocamos la fuerza que empuja el nudo y que representa la barra que hemos
quitado y hacemos equilibrio de momentos en el punto alrededor del cual habría girado la estructura si hubiésemos
quitado la barra.
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17. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 1 (cont).
 Para la diagonal equilibramos el nudo del apoyo:
3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN
1,125 m
10,5 kN 10,5 kN
1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
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18. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 1 (cont).
 Para la diagonal equilibramos el nudo del apoyo:
3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN
1,125 m
10,5 kN 10,5 kN
1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
La reacción en el apoyo sólo puede ser compensada con una fuerza de componente vertical.
En el nudo la única barra con componente vertical es la diagonal. El sentido tiene que ser tal
que la componente vertical del axil de esta barra compense la reacción en el apoyo. Por lo
10,5 kN tanto, la barra debe estar traccionada.
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19. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 1 (cont).
 Para la diagonal equilibramos el nudo del apoyo:
3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN
1,125 m
10,5 kN 10,5 kN
1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
Una vez tengoen el apoyo sólo de la fuerza, calculo el módulo. fuerza de componente vertical.
La reacción claro el sentido puede ser compensada con una
En el nudo la única barra con componente vertical es la diagonal. El sentido tiene que ser tal
- quetriángulo base de la estructura tieneesta barra compense la a 3 y 4, por lo tanto la Por lo
El la componente vertical del axil de catetos proporcionales reacción en el apoyo. hipotenusa
10,5 kN tanto, proporcional a estar traccionada.
será la barra debe 5 y el seno del ángulo que forman las barras en el nudo valdrá 0,6.
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20. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 1 (cont).
 Para la diagonal equilibramos el nudo del apoyo:
3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN
1,125 m
10,5 kN 10,5 kN
1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
10,5 kN
 Para el montante puedo plantear el siguiente corte por Ritter y equilibrar las fuerzas verticales:
10,5 kN
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21. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 1 (cont).
 Para la diagonal equilibramos el nudo del apoyo:
3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN
1,125 m
10,5 kN 10,5 kN
1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
10,5 kN
 Para el montante puedo plantear el siguiente corte por Ritter y equilibrar las fuerzas verticales:
Si observamos las fuerzas que equilibran el corte, la única con componente vertical
para equilibrar la reacción en el apoyo es el axil en el montante. Por lo tanto la barra
10,5 kN estará comprimida, y el valor del esfuerzo axil será de -10,5 kN.
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22. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 1. Resultados.
 Los resultados solicitados son los siguientes:
3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN
-32 kN -32 kN
-10,5 kN
-10,5 kN
1,125 m
10,5 kN 10,5 kN
+30 kN +30 kN
1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m 1,5 m
Si observamos la estructura
real, podemos comprobar cómo los
montantes (comprimidos) se ejecutan
tubos y las diagonales (todas
traccionadas) con cables.
El cordón inferior, pese a estar
traccionado se materializa mediante un
tubo. Se hace así para dotar al
conjunto de mayor estabilidad..
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23. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 2.
 Obtener el esfuerzo axil en la barra señalada.
Consideraciones iniciales:
- La estructura es una aproximación a uno de los
60 kN
módulos de la cubierta del aeropuerto de
60 kN
Fukuoka (Japón).
60 kN
- La barra está en la zona interior de la
60 kN
estructura, por lo que el método adecuado será
60 kN
el de Ritter.
3,75 m 60 kN
7,20 m
3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m
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24. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 2.
 Obtener el esfuerzo axil en la barra señalada.
Consideraciones iniciales:
- La estructura es una aproximación a uno de los
60 kN
módulos de la cubierta del aerpuerto de
60 kN
Fukuoka (Japón).
60 kN
- La barra está en la zona interior de la
60 kN
estructura, por lo que el método adecuado será
60 kN
el de Ritter.
3,75 m 60 kN
7,20 m
3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m
Mecánica de Sólidos – Curso 2012/2013 Profesor: Maribel Castilla Heredia @maribelcastilla

25. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 2.
 Obtener el esfuerzo axil en la barra señalada.
Consideraciones iniciales:
- La estructura es una aproximación a uno de los
60 kN
2 60 kN
módulos de la cubierta del aerpuerto de
Fukuoka (Japón).
60 kN
- La barra está en la zona interior de la
60 kN
estructura, por lo que el método adecuado será
60 kN
el de Ritter.
3,75 m 60 kN
- Tendríamos que encontrar algún posible corte
en el que, incluyendo la barra solicitada, sólo
hubiera tres barras desconocidas. Sin
embargo, esto no es posible, siempre cortamos
como mínimo cuatro.
7,20 m
3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m
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26. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 2.
 Obtener el esfuerzo axil en la barra señalada.
Consideraciones iniciales:
- La estructura es una aproximación a uno de los
60 kN
2 60 kN
módulos de la cubierta del aerpuerto de
Fukuoka (Japón).
60 kN
- La barra está en la zona interior de la
60 kN
estructura, por lo que el método adecuado será
60 kN
el de Ritter.
3,75 m 60 kN
- Tendríamos que encontrar algún posible corte
en el que, incluyendo la barra solicitada, sólo
hubiera tres barras desconocidas. Sin embargo,
esto no es posible, siempre cortamos como
mínimo cuatro.
- Por lo tanto, tendremos que hallar primero una
7,20 m
1 de las cuatro incógnitas que aparecen en esos
cortes y después resolver el corte que contiene
nuestra barra.
- Resolveremos primero el corte 1. Cuando
obtengamos el axil de la cuarta barra que
acomete al nudo que nos interesa,
resolveremos el corte 2.
3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m
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27. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 2.
 Obtener el esfuerzo axil en la barra señalada.
- Corte 1.
- Estas son las fuerzas que representan las
60 kN
barras que hemos quitado en el corte.
60 kN
60 kN - Si equilibramos momentos en el punto
señalado, la única incógnita es el axil de la
60 kN
barra que necesitamos.
60 kN
3,75 m 60 kN - Para que nos resulte más sencillo, podemos
obtener el valor de la componente vertical del
axil (que es la única que produce momento ya
que la horizontal pasaría por el punto respecto
al que estamos tomando momentos) y luego -
Nv estableciendo semejanza de triángulos- obtener
el valor del axil.
7,20 m
1
N
3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m
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28. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 2.
 Obtener el esfuerzo axil en la barra señalada.
- Corte 1.
- Estas son las fuerzas que representan las
60 kN
barras que hemos quitado en el corte.
60 kN
60 kN - Si equilibramos momentos en el punto
señalado, la única incógnita es el axil de la
60 kN
barra que necesitamos.
60 kN
3,75 m 60 kN - Para que nos resulte más sencillo, podemos
obtener el valor de la componente vertical del
axil (que es la única que produce momento ya
que la horizontal pasaría por el punto respecto
al que estamos tomando momentos) y luego -
Nv 300 kN estableciendo semejanza de triángulos- obtener
el valor del axil.
7,20 m
1
N 325 kN
- Para obtener el valor del axil, establezco una
semejanza de triángulos:
7,80 m 7,20 m
x kN 300 kN
3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m
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29. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 2 (cont).
 Obtener el esfuerzo axil en la barra señalada.
Corte 2.
- Estas son las fuerzas que representan los efectos
que producen las barras que hemos quitado en el
corte.
60 kN - Si equilibramos momentos en el punto señalado, la
2 60 kN única incógnita es el axil de la barra que
60 kN necesitamos.
60 kN - De la barra cuyo axil obtuvimos previamente (con
60 kN axil -325 kN) producen momentos tanto la
3,75 m 60 kN componente horizontal como la vertical.
2,25 m
N
7,20 m
325 kN
3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m
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30. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 2 (cont).
 Obtener el esfuerzo axil en la barra señalada.
Corte 2.
- Estas son las fuerzas que representan los efectos
que producen las barras que hemos quitado en el
corte.
60 kN - Si equilibramos momentos en el punto señalado, la
2 60 kN única incógnita es el axil de la barra que
60 kN necesitamos.
60 kN - De la barra cuyo axil obtuvimos previamente (con
60 kN axil -325 kN) producen momentos tanto la
3,75 m 60 kN componente horizontal como la vertical. Ésta última
la había hallado en el paso previo, y el valor de la
2,25 m
horizontal lo puedo obtener por semejanza de
triángulos como hice antes.
125 kN N 3,0 m x kN
300 kN 7,80 m 7,20 m
325 kN 300 kN
7,20 m
3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m
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31. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 2 (cont).
 Obtener el esfuerzo axil en la barra señalada.
Corte 2.
- Estas son las fuerzas que representan los efectos
que producen las barras que hemos quitado en el
corte.
60 kN - Si equilibramos momentos en el punto señalado, la
2 60 kN única incógnita es el axil de la barra que
60 kN necesitamos.
60 kN - De la barra cuyo axil obtuvimos previamente (con
60 kN axil -325 kN) producen momentos tanto la
3,75 m 60 kN componente horizontal como la vertical. Ésta última
la había hallado en el paso previo, y el valor de la
2,25 m
horizontal lo puedo obtener por semejanza de
triángulos como hice antes.
125 kN N 3,0 m x kN
300 kN 7,80 m 7,20 m
325 kN 300 kN
7,20 m
- Por último, establezco el equilibrio de momentos
para hallar N:
3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m
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32. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 2 (cont).
 Obtener el esfuerzo axil en la barra señalada.
Corte 2.
- Estas son las fuerzas que representan los efectos
que producen las barras que hemos quitado en el
corte.
60 kN - Si equilibramos momentos en el punto señalado, la
2 60 kN única incógnita es el axil de la barra que
60 kN necesitamos.
60 kN - De la barra cuyo axil obtuvimos previamente (con
60 kN axil -325 kN) producen momentos tanto la
3,75 m 60 kN componente horizontal como la vertical. Ésta última
la había hallado en el paso previo, y el valor de la
2,25 m
horizontal lo puedo obtener por semejanza de
45 kN triángulos como hice antes.
125 kN N 3,0 m x kN
300 kN 7,80 m 7,20 m
325 kN 300 kN
7,20 m
- Por último, establezco el equilibrio de momentos
para hallar N:
3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m
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33. Estructuras isostáticas articuladas. Obtención de esfuerzos.
 Método de Ritter. Ejemplo 2.
 Obtener el esfuerzo axil en la barra señalada.
Consideraciones finales:
60 kN
60 kN - Partí de la base de que la estructura estaba
60 kN en equilibrio, por lo que no calculé las
60 kN reacciones para hallar el axil de la barra
60 kN debido a que existían cortes de la estructura
3,75 m 60 kN que me permitían prescindir de los valores de
las reacciones.
-45 kN
7,20 m
3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m
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34. Bloque B. Sistemas isostáticos articulados.
Cálculo de esfuerzos. Método de Ritter.
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