Este documento presenta una introducción a las identidades trigonométricas. Define las identidades trigonométricas y muestra ejemplos de demostraciones, recíprocas, identidades pitagóricas y métodos para resolver ecuaciones trigonométricas, incluyendo simplificación, eliminación angular y resolución de ecuaciones generales y particulares.

1. DEMETRIO CCESA RAYME

2. Las Matemáticas son el alfabeto con el
cual Dios ha escrito el Universo.
Galileo Galilei

4. Definición:
Las Identidades Trigonométricas son las
relaciones de igualdad entre las funciones
trigonométricas que se verifican para todo
valor de la variable angular, siempre y
cuando, la función trigonométrica esté
definida en dicho valor angular.

5. Demostración de una identidad:
Teniendo que Tgx + Ctg x = Sec x . Cosec x
Comprobamos que:
Si x=45º  Tg 45º + ctg 45º = sec 45º . Cosec 45º
1 + 1 = √2 . √2

7. Recíprocas:
Sen x = 1 . Cosec x = 1 .
Cosec x Sen x
Cos x = 1 . Sec x = 1 .
Sec x Cos x
Tg x = 1 . Ctg x = 1 .
Ctg x Tg x

8. sen x
tan x = --------
csc x
cos x
ctg x = -------
sen x
cos x
sen x = --------
ctg x
sen x
cos x = ------
tan x

9. Pitagóricas
• sen² x + cos² x = 1
sec² x - tan² x = 1
csc² x - ctg² x = 1

11. Demostración:
Expresando el primer miembro de la identidad en función de seno y
coseno tenemos:
Cosec x – Cotg x . Cos x = Sen X
1 . – Cos x . Cos x = Sen x
Sen x Sen x
1 . – Cos² x = Sen x
Sen x Sen x
1 – Cos ² x = Sen x
Sen x
Pero 1- Cos² x = Sen ² x ; luego Sen² x = Sen x
Sen x
L.q.q.d Sen x = Sen x

12. Simplificación
• Se buscará una expresión reducida de la planteada con ayuda
de las identidades fundamentales y7o auxiliares con
transformaciones algebraicas.
Cos x (Tg x + 1) = Sen x + Cos x
Cos x . Sen x + 1
Cos x
Cos x . Sen x + Cos x
Cos x
Sen x + Cos x = Sen x + Cos x

13. Tipo Condicional
• Si la condición es complicada debemos simplificarlo y así a una
expresión que puede ser la perdida o que nos permita hallar
fácilmente la que nos piden. Si la condición es simple
inmediatamente se procede a encontrar la expresión perdida.
Si Tg x + Ctg x = 4
¿Tg² x + Ctg² x ?
Solución:
(Tg x + Ctg x) ² = (4) ²
Tg² x + 2Tg x . Ctg x + Ctg² x = 16
Tg² x + Ctg² x = 16 – 2
Tg² x + Ctg² x = 14

14. Eliminación Angular
• Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas
relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones
algebraicas en donde no aparezca el ángulo.
ß de:
x = 4 Senß y = 5 Cosß
x = 4Cosß x/4 = Senß x²/16 = Sen²ß
y= 5Cosß y/5 = Cscß y²/25 = Cos²ß
X²/16 + y²/25 = Sen²ß + Cos²ß
X²/16 + y²/25 = 1

16. Definición:
- Una ecuación trigonométrica es una
igualdad entre ecuaciones trigonométricas
de una misma variable angular o variables angulares
diferentes, la cual se verifica para un conjunto de
valores que asumen dichas variables angulares, que
constituyen el conjunto solución de la ecuación
trigonométrica.
- Para que una igualdad sea una ecuación
trigonométrica, las variables angulares deben estar
afectadas por funciones trigonométricas (directas o
inversas), de lo contrario no son consideradas
ecuaciones trigonométricas.

17. • Ejemplo:
 Sen 2x + Cos x = 0  sí es E.T.
 2x + 3 Tan x = √2  no es E.T.
 Sen x + Sen 2x + Sen 3x = 1  sí es
E.T.

18. Soluciones Generales:
• Para Sen y Cosc:
n Л + (-1) V.P.
k
• Para Cos y Sec:
2n Л + - V.P
k
• Para Tag y Cotg:
m Л + V.P.
k

21. • Son aquellas igualdades de 2 expresiones
trigonométricas en donde no se utilizaran
identidades trigonométricas.
• Son aquellas que presentan la siguiente forma:
• Donde: K Є R – {0} ; a Є R
F.T. (Kx) = a

22. Ejemplo:
– Hallar las tres primeras soluciones positivas de: Cotg
3x – 1 = 0
– Resolución:
• Resolviendo la ecuación tenemos:
Cotg 3 X -1 = 0  Cotg 3x = 1
• Hallando la soluciones generales para la cotangente:
x = n Л + arc Cotg (1)
3
x = n Л + Л; o también;
3 12
x = 60° n + 15° Solución General

23. • Luego (n Є Z)
n = 0  x = 60° (0) + 15° = 15°
n = 1  x = 60° (1) + 15° = 75°
n = 2  x = 60° (2) + 15° = 135°
C.S = { 15° ; 75° ; 135°}

25. • Son aquellas ecuaciones que para ser
resueltas se aplicarán propiedades
algebraicas y propiedades trigonométricas
que nos permitan su resolución.

26. Ejemplo:
– Hallar el menor valor
positivo de “x” en:
4 Sen x Cos x – 1 = 0
– Resolución:
• Recordemos que:
Sen 2 x = 2 Sen x Cos x
En la ecuación tenemos:
2 · 2 Sen x Cos x – 1 = 0
2 Sen 2x – 1 = 0
Sen 2x = 1
2
2x = {30º ; 150º ; 390º ; …}
x = {15º ; 75º ; 195º ; …}
Solución principal
x = 15º

27. Recomendaciones Generales para
resolver una E.T.
1. Toda ecuación debe tratar de expresarse en
términos de una sola función y de un solo
ángulo, de manera que dicha función se calcule
mediante un proceso algebraico.
2. Si la ecuación es homogénea en Sen y Cos se
debe dividir entre el Cos elevado al grado de
homogeneidad, lo cual conduce a una ecuación
en la función Tag únicamente.