Explicación teórica de las propiedades de los radicales, así como del paso a exponente fraccionario. Resolución de ejercicios.

1. Tema Radicales
Propiedades y Ejercicios
Profesor Juan Sanmartín
Matemáticas
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2. Propiedades de los radicales
n p
b
Índice de la raíz Exponente
Base
Ejemplo
nn
xx 
Más conceptos básicos
416 
El índice es par
n
x 39 
0x
0x
Conceptos básicos
24 
3273

Si el índice es 2 no se escribe el índice en la raíz.
422

2733

2325
 3225

56254
 62554

2
3

3. Propiedades de los radicales
Ejemplo
nn
xx 
Conceptos básicos
3273

El índice es impar
n
x 2325

0x
0x
Ejemplo
n
x-  81
El índice es par
No pertenece a los
Números Reales
No pertenece a los
Números Reales
n
x- 62163

El índice es impar
nn
xx- 

4. Propiedades de los radicales
Ejemplo
nn
xx 
Conceptos básicos
003

El índice cualquiera
pn p
x

n
x
3272727 6 223 23
 
0x
0x
0xn

Propiedades Fundamental de los Radicales
0p   327327 23 23
 
Ejemplo
3272727 333

0x
0x

5. Propiedades de los radicales
n yx  nn
yx 63232 
0x
Propiedades de los Radicales
Ejemplo
n
n
n
y
x
y
x
 nn
yx
33
3
3
8
8
64
2
2
4
8
64

pnn p
xx

 62333
64642864  
  n p
p
n
xx    8199 3 6
6
3


6. Propiedades de los radicales
 nnn
xwzxwxz  272423 
0x
Propiedades de los Radicales
Ejemplo
nmnm
xxxx  2222 33

xxx
n nn n
  
773 3

pn npn np
xxx    24
55 
n pn pn nn np
xxxxx   
5555555 223


7. Paso de Radical a Exponente Fraccionario
n p
b
Índice de la raíz
Exponente
3
7
3 7
55  Ejemplo
nm
xx 
De esta forma podemos operar con bases iguales bajo raíces distintas.
mn
mn
n
1
m
1
xxx 


Ejemplos:
33 5
22  2
3
3
5
22  2
3
3
5
2

 6
9
6
10
2

 6
19
2
4 3
3 7
5
5
4
3
3
7
5
5
 4
3
3
7
5

 12
9
12
28
5

 12
19
5
n
p
b

8. Indica cuales raíces tienen solución real y cuales no. Opera con las que tienen resultado
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Propiedades de los Radicales
16
49
25
3
64
3
125
5
1
4 1642

7

No pertenece a los
Números Reales
4 6443

5
Ningún número multiplicado un número par
de veces da un número negativo
  1255
3

4
16 
No pertenece a los
Números Reales
Ningún número multiplicado un número par
de veces da un número negativo
 1 1

9. Opera y resuelve (aplica las propiedades de los radicales).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Propiedades de los Radicales.
33
24 
3
729
32
729

2
50
 3
6
16
6216 
3
125
8
3
24  3
8 2
6
729 3
2
50
 25 5
6 3
16
6
4096 4
6216  36 6
3
3
125
8

5
2


10. Factoriza la base y extrae los factores que se puedan de la raíz(aplica las
propiedades de los radicales).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Propiedades de los Radicales
8
3
81
5 8
7
3 42
1625 
3
2 222
 222
 22
3 4
3 3 3
33  33 3
33 
3
33 
5 35
77  5 35 5
77  5 3
77 
   3 4422
25  3 164
25  3 153
2255 
35
2525 
3 11
5 3 29
55  3 23 9
55  3 23
55 
72 23
32  22
322  232 22
 232  26
3
10160 

11. 1
55
525
250
1
22
24
28
1
33
39
218
Opera y simplifica:
Descomponemos las bases de las raíces en sus factores primos.
Separamos las potencias de forma que el exponente sea
igual o múltiplo del índice de la raíz y así pueda salir.
En las raíces donde el exponente es igual o múltiplo del índice desaparece la raíz
 1883502
1883502   2323252 232
 23223252 222
23223252  2326210  213

12. Pasa a exponente fraccionario las raíces y el exponente fraccionario a raíz donde corresponda.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
De Radical a Exponente fraccionario y viceversa.
3
2
g)
h)
i)
j)
k)
l)
3 7
5
7
3
2
5 6
5
13
1
3
1
3
4
3
5
2
3
7
2
1
3

 3
1
27
2
1
5
2
1
7
3
1
2
3
7
5
6
2 6
1
2
5
6
5
2
1
2
1
13
13
1 

3
3
4 3
5
3
7
3
1
3
1
2
1

3
27
5

13. Opera con los radicales (pasa a exponente fraccionario) y deja el resultado en forma de raíz.
a)
b)
c)
d)
e)
Exponente fraccionario
53
44 
33
77 
7
3 5
6
6
  3 4
2
5
33 
4 33 53
222 
3
1
2
3
77  3
1
2
3
7

 6
2
6
9
7

 6
11
7 6 11
7
5
1
6
1
44  5
1
6
1
4

 30
6
30
5
4

 30
11
4 30 11
4
56
44 
2
7
3
5
6
6
 2
7
3
5
6

 6
21
6
10
6

 6
11
6


6
11
6
1

6 11
6
1

3 45 2
33  3
4
5
2
33  3
4
5
2
3

 15
20
15
6
3

 15
26
3 15 26
3
4
3
3
5
2
3
222  12
9
12
20
12
18
2

 12
47
2 12 47
2

14. Opera y simplifica:
Aplicamos las propiedades de los
radicales que hemos visto unir
raíces y pasamos la raíz a
exponente
Utilizando las propiedades de las potencias, sumamos los exponentes de las BASES
IGUALES que se están MULTIPLICANDO y restamos los exponentes de aquellas que
están dividiendo.
6 35
3 44 67
xyy
xyx


6 35
3 44 67
xyy
xyx


12
1
12
3
6
5
3
4
8
6
2
7
xyy
xyx



12
1
4
1
6
5
3
4
4
3
2
7
xyy
xyx


 





12
1
4
1
6
5
4
3
3
4
2
7
xy
yx
12
1
12
3
12
10
4
3
6
8
6
21
xy
yx





12
1
12
13
4
3
6
29
xy
yx


 12
13
4
3
12
1
6
29
yx

 

12
13
12
9
12
1
12
58
yx
12
4
12
57
yx

 3
1
4
19
yx


3
4 19
y
x


15. 333
375524813 
1
33
39
327
381
1
33
26
212
224
1
55
525
5125
3375


3 33 33 4
333
3553233
375524813
 33 333 333 3
35532333
333
35532333 
Opera y simplifica:
Descomponemos las bases de las raíces en sus factores primos.
Separamos las potencias de forma que el
exponente sea igual o múltiplo del índice de la
raíz y así pueda salir.
En las raíces donde el exponente es igual o múltiplo del índice desaparece la raíz
3333
3143253239 

16. 

30
14
60
109
12
11
30
2410
60
841508045
12
188183
dabdab




15
7
60
109
12
11
15
7
60
109
12
11
da
b
dab
Aquí aplicamos suma de fracciones…
En aquellos casos en que la fracción se pueda simplificar es necesario hacerlo.
Las fracciones negativas pasan al denominador (Propiedades de las potencias) y
volvemos a transformar el exponente en raíz.
15 760 109
12 11
da
b



17. 5 4753
3 2233 83
daab
dbbaab


5 4753
3 2233 83
daab
dbbaab


5
4
5
7
2
5
2
3
6
2
6
8
4
3
3
2
2
3
4
1
dab
dab





Opera y simplifica:
Aplicamos las propiedades de los radicales que hemos visto unir raíces y pasamos la
raíz a exponente
Utilizando las propiedades de las potencias, sumamos los exponentes de las BASES
IGUALES que se están MULTIPLICANDO y restamos los exponentes de aquellas que
están dividiendo.




5
4
5
7
2
5
2
3
6
2
3
2
2
3
6
8
4
3
4
1
daab
dbbaab


5
4
6
2
5
7
2
5
6
8
4
3
2
3
3
2
2
3
4
1
dab

18. 

30
14
60
109
12
11
30
2410
60
841508045
12
188183
dabdab




15
7
60
109
12
11
15
7
60
109
12
11
da
b
dab
Aquí aplicamos suma de fracciones…
En aquellos casos en que la fracción se pueda simplificar es necesario hacerlo.
Las fracciones negativas pasan al denominador (Propiedades de las potencias) y
volvemos a transformar el exponente en raíz.
15 760 109
12 11
da
b



19. Fin de Tema
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