Trabajo realizado por el alumno de Estalmat, Carlos Pinto. Curso 2009-2010.

1. Matemática egipcia Carlos Pinto Pérez 16/05/10

2. Notación numérica El sistema de notación egipcio era decimal y acumulativo. Había un símbolo para cada potencia de diez y lo repetían las veces necesarias para obtener el número deseado, sin importar la posición en la que se encontrara cada cifra:

3. Notación numérica De este modo, el número 3.428 se representaría de la siguiente forma:

4. Operaciones básicas El uso de este sistema hacía fácil las operaciones de sumas y restas. En el caso de la suma, basta con superponer todos los elementos y si la cantidad de algunos es diez o mayor, se sustituyen por el símbolo de la siguiente potencia de 10.

5. Operaciones básicas Por ejemplo: + = = 100.411 + 1.820 = 102.231

6. Operaciones básicas La resta es lo contrario de la suma. Aquí, si no tenemos los suficientes símbolos, sustituimos el de la potencia de 10 superior correspondiente por diez de las cifras que nos faltaban.

7. Operaciones básicas - = - = - = - = 100.411 – 1.810 = 98.601

8. Operaciones básicas Las multiplicaciones consistían en sumas continuas, duplicaciones hasta llegar a la cantidad que querían. 62 x 13 sería de la siguiente manera: 62 x 2 = 124 124 x 2 = 62 x 4 = 248 248 x 2 = 62 x 8 = 496 Y a continuación se sumaban los valores hasta llegar a 13: 8 + 4 + 1 = 13; 496 + 248 + 62 = 62 x 13 = 806

9. Operaciones básicas La división requiere el mismo proceso que la suma, aunque en el sentido contrario. Consiste en duplicar el divisor hasta que sobrepase al dividendo, para escoger luego los resultados que más se acerquen a él sin llegar a pasarse. Es, a efectos prácticos, la cantidad de veces que cabe un número dentro de otro.

10. Operaciones básicas Veamos un ejemplo: 514:28 28 x 1 = 28 28 x 2 = 56 28 x 4 = 112 28 x 8 = 224 28 x 16 = 448 28 x 32 = 896 514 – 448 = 66 66 – 56 = 10 10 < 28 Por tanto, 514:28 = 16 + 2 = 18, con resto 10

11. Fracciones egipcias Los egipcios también trabajaron con fracciones. Su modo de utilizarlas era representándolas mediante sumas de fracciones de nominador 1, es decir, fracciones unitarias. De esta manera, la cantidad que nosotros conocemos como 4/5, ellos la expresarían como ½ + ¼ + 1/20. Cabe destacar que los denominadores deben ser siempre distintos, y a veces eran permitidas licencias para usar 2/3 como fracción admitida.

12. Fracciones egipcias La forma de representar fracciones era escribiendo el jeroglífico de una boca abierta sobre el número que represente el denominador, haciendo la función del “1/”. También había símbolos para fracciones especiales. Sólo estos tres:

13. Fracciones egipcias Las propia obtención de fracciones egipcias era muy complicada, siendo el único método posible el tanteo. Las operaciones con estas cifras fueron, por tanto, bastante complejas. Para sumar dos fracciones, como (1/3 + 1/5) + (1/2 + 1/5), basta con agrupar todos los elementos, y si alguno se repite existían tablas con las descomposiciones de todas las fracciones de numerador 2 y denominador hasta 101. Encontramos una de estas tablas en el Papiro de Rhind.

14. Fracciones egipcias Ejemplo: (1/10) + (1/5 + 1/10) = 1/5 + 2/10 Simplificamos y queda: = 1/5 + 1/5 = 2/5 Y observamos la tabla y comprobamos que 2/5 = 1/3 + 1/15

15. Fracciones egipcias No había ningún método para la resta de fracciones, siendo problemas que se resolvían mediante el procedimiento de la falsa posición. Veamos cómo se restarían 1 – (2/3 + 1/15)

16. Fracciones egipcias 1 – (2/3 + 1/15) Imaginemos que son fracciones que en vez de afectar a la unidad se refieren al número quince: 1/1 de 15 = 15 Quedaría: 15 – (10 +1) = 4 2/3 de 15 = 10 1/15 de 15 = 1 Ahora sólo hay que calcular qué fracción de 15 da como resultado 4.

17. Fracciones egipcias Y sabemos que: 1/15 de 15 = 1 1/5 de 15 = 3 Por tanto, como 1 + 3 = 4, la solución es 1/15 + 1/5 1 – (2/3 + 1/15) = 1/5 + 1/15 *Problema 21 del Papiro de Ahmed

18. Fracciones egipcias La división entre fracciones no tenía muchas aplicaciones puramente prácticas, con lo que no fue demasiado explotada. El método para la multiplicación consistía en usar la propiedad distributiva: se multiplica cada fracción unitaria por todas de las del otro factor y al final se suma todo.

19. Fracciones egipcias Multipliquemos (½ + 1/14) x (1 + ½ + ¼) 1 ----> ½ + 1/14 1/2 ----> 1/4 + 1/28 1/4 ----> 1/8 + 1/56 Con lo que queda que: (½ + 1/14) x (1 + ½ + ¼) = ½ + ¼ + 1/8 + 1/14 + 1/28 + 1/56 Y agrupando esta parte: 1/14 + 1/28 + 1/56 = 1/8 1/8 + 1/8 = 1/4 ¼ + ¼ = 1/2 ½ + ½ = 1 *Problema 9 del Papiro de Ahmed

20. Fin