Presentación realizada por el alumno de Estalmat Andrés Maqueda. Curso 2009-2010.

1. Historia de las Matemáticas:Fracciones Egipcias Andrés Maqueda Galán 8/3/2010

2. Notación numérica en la matemática egipcia. Los egipcios usaban un sistema decimal con jeroglíficos, pudiendo formar números incluso mayores que un millón. Se trataba de un sistema aditivo, a diferencia del nuestro. Aquí la representación de cómo se escribían los números: 1.000.000 se representaría así:

3. Operaciones básicas con la numeración egipcia. -Suma: Se añadían los número correspondientes. Cada símbolo sólo se podía repetir 9 veces. Si se excedía este número, los otros símbolos se eliminaban y se incluía el siguiente. -Resta: Igual que la suma, pero en vez de añadir símbolos, esta vez se quitan.

4. -Multiplicación: Usaba duplicación y adición, ayudándose de las potencias de dos. Queremos multiplicar un número n por uno m. Así: n*m Para multiplicar se usaba una tabla, que consta de dos columnas, en la primera ponemos el 1y las potencias de dos hasta que sea mayor que el número n, nunca dejando que sea mayor que éste. En la segunda columna primero ponemos m, en la segunda sería 2*m en la tercera sería 2*m1 (m1 sería la m obtenida en la anterior columna), en la cuarta sería 2*m2… y así sucesivamente hasta rellenar la tabla. Ahora tenemos que descomponer el número n como suma de los números de la primera columna, pero de manera que el número de sumandos sea el menor posible. Para hacer esto se resta al valor n el último número obtenido en la primera columna, y a éste se le resta el número mayor de esa misma columna sin ser mayor que este número, repitiendo este proceso hasta obtener 0. Por ejemplo: siendo n=15 se le restaría 8, el número mayor de la primera columna. Ahora, al número que me ha dado, que es 7, le resto 4, (el siguiente menor en la columna)… y sigo haciendo este proceso hasta que me de 0. El resultado de la multiplicación será la suma de los números de la segunda columna equivalentes a los de la primera que suman n.

5. -División: Basado en la multiplicación, teniendo dos números, n y m, queriendo dividir n/m, se trata de obtener el número de m y de las partes que componen m, de manera que sumen n. El problema llegaba a la hora de que las divisiones no eran exactas, en este caso se debían usar fracciones, que se explicarán más adelante. Explicaré la división con un ejemplo: Tenemos la división 75/3 (n=75 y m=3). Construimos una tabla con dos columnas, como en la multiplicación. En la primera fila ponemos 1 y m (en este caso 3) Rellenamos la tabla como en la multiplicación. Se trata de conseguir el número n con los números de la fila de la derecha. El dividendo se obtiene como la suma de los números de la fila del divisor: 75=3+6+12+48 El cociente es la suma de los números de la fila base de la tabla. 35=16+8+4+2+1 Como en la multiplicación, el número 32 aquí no nos valdría, ya que su equivalente en la segunda columna sería 96, que es mayor que 75, y no vale.

6. Fracciones egipcias y operaciones entre ellas. Los egipcios expresaban las fracciones como descomposición de estas en fracciones unitarias (de numerador 1). Salvo las excepciones del 2/3 y 3/4. Las fracciones se representaban con el siguiente símbolo: que siempre aparecía. Y luego se escribía el valor numérico del denominador normalmente. Ejemplo: Había casos excepcionales: Se usaban mucho las fracciones del ojo de Horus, que representan cada una de las partes del ojo de Horus.

7. -Suma de fracciones: La suma de fracciones con numerador distinto de 1 se representaban como suma de fracciones de numerador 1 pero siendo siempre los sumandos diferentes. Ejemplo: 2/5 =1/3 + 1/15 -Multiplicación de fracciones: Se realizaba mediante el empleo de los números rojos, unos número auxiliares que aparecen de color rojo en el papiro Rhind. Consiste en aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Ejemplo: (1/2+1/14)*(1+1/2+1/4) 1 1/2 + 1/14 1/2 1/4 + 1/28 1/4 1/8 + 1/56 Se multiplica cada fracción del primer sumando por cada fracción del segundo. El resultado es la suma de los resultados de la columna, 1.

8. -Resta de fracciones: Se usan también los números rojos. Lo explicaré con un ejemplo: Quiero realizar la operación 1 - (2/3 + 1 /30). Primero elijo un número auxiliar (el denominador de la fracción unitaria, 30). Ahora, 2/3 + 1/30 de 30 es 21. 30 es mayor que 21 en 9 unidades. Quiero calcular cuántas partes de 30 dan 9, entonces: 1 30 1/10 3 1/5 6 6 + 3 = 9; entonces la respuesta es 1/5 + 1/3

9. -División de fracciones: Como anteriormente, se hace uso de los números rojos. Quiero dividir un número x/y. y es una fracción. Efectuar sucesivas duplicaciones del denominador hasta que la siguiente supere el numerador, como en la división de números enteros. Selecciono la mejor aproximación al numerador sumando los valores obtenidos en la columna de la derecha, que llamaremos z. Calculo la diferencia que resta (x - z). Ahora quiero saber cuántas partes de f son iguales a z, a la que llamo W (mayúscula). El resultado final será la suma de las cantidades de la columna de la izquierda más W. Ejemplo: 10 / (2/3 + 1/10) x=10 y=2/3+1/10 Hacemos lo siguiente: 1 2/3 + 1/10 2 1 + 1/3 + 1/5 4 3 + 1/15 8 6 + 1/10 + 1/30 Sumamos los valores de la derecha obtenidos para 1,4 y 8, y obtenemos; 2/3 + 1/10 + 3 + 1/15 + 6 + 1/10 + 1/30 = 9 + 2/3 + 1/5 + 1/15 + 1/30 entonces: z = x - 9 + 2/3 + 1/5 + 1/15 + 1/30 Por tanto: z = 1/30 Hay que ver ahora cuantas partes de y son iguales a z, es decir, cuantas partes de 2/3 + 1/10 son iguales a 1/30 Seleccionamos el número rojo 30 y repetimos el proceso anterior: 2/3 + 1/10 de 30 es 23 y 1/30 de 30 es 1, entonces 1/23 partes de 2/3 + 1/10 es igual a 1/30. -> W = 1/23 El resultado de la división es; 8 + 4 + 1 + 1/23 = 13 + 1/23

10. Fin.