1. Ejercicio 7
Una sinusoide continua en el tiempo x(t) con un per´
ıodo fundamental de Tp =
1
F0 se muestrea a una frecuencia Fs = 1/T , con el fin de generar una sinusoide
discreta en el tiempo x[n] = x(nT ).
a) Demuestre que x[n] es peri´dica si T /Tp = k/N (es decir, T /Tp es un
o
n´mero racional).
u
b) Si x[n] es peri´dica. ¿Cu´l es su per´
o a ıodo fundamental Td en segundos?
c) Explique la siguiente afirmaci´n: x[n] es peri´dica si su per´
o o ıodo
fundamental Td , en segundos, es igual al un n´mero entero de per´
u ıodos de
x(t).
Jorge A. Rodr´
ıguez Ejercicios Para el Primer Parcial

2. Soluci´n:
o
a) De una se˜al peri´dica cualquiera se sabe que
n o
x[n] = x[n + N ]
cos[2πf0 (N + n) + θ] = cos(2πf0 n + θ)
Esta afirmaci´n es cierta s´lo si existe un entero k tal que
o o
2πf0 N = 2kπ
o lo que es lo mismo
k
f0 =
N
por lo tanto
T k
f0 = =
Tp N
T
Es decir, la relaci´n
o Tp debe ser un racional.
Jorge A. Rodr´
ıguez Ejercicios Para el Primer Parcial

3. b) si x[n] es peri´dica, luego f0 = k/N donde N es el per´
o ıodo. Entonces
k Tp
Td = T =k T = kTp
f0 T
Por lo tanto, se necesitan k periodos de la se˜al continua para obtener un
n
per´
ıodo de la se˜al discreta.
n
c) Del anterior punto se puede comprobar f´cilmente esta afirmaci´n ya que k
a o
es por definici´n un n´mero entero.
o u
Jorge A. Rodr´
ıguez Ejercicios Para el Primer Parcial

4. Ejercicio 8
Una se˜al continua contiene frecuencias hasta 10KHz
n
1 ¿Cu´l es el rango de frecuencias de muestreo que permite la construcci´n
a o
exacta de la se˜al a partir de sus muestras?
n
2 Suponga que muestreamos esta se˜al a una frecuencia de muestreo
n
Fs = 8KHz. Examine lo que ocurre con la frecuencia F1 = 5KHz.
3 Repita el apartado (b) para una frecuencia F2 = 9KHz.
Jorge A. Rodr´
ıguez Ejercicios Para el Primer Parcial

5. Soluci´n:
o
1 Seg´n el criterio de Nyquist la frecuencia debe ser al menos 2 veces mayor
u
que la frecuencia m´xima de la se˜al, es decir
a n
Fs ≥ 2Fmax ⇒ Fs ≥ 20KHz
2 Si Fs = 8KHz se pueden representar se˜ales con una frecuencia m´xima
n a
de Fs /2 = 4KHz por lo tanto la se˜al de 5KHz es un alias de 3KHz
n
3 Con F2 = 9KHz es un alias de 1KHz
Jorge A. Rodr´
ıguez Ejercicios Para el Primer Parcial