PREUNIVERSITARIO

1. Curso:
Aritmética
Ciclo:
Semestral –
SAN MARCOS
Tema: Razones y proporciones

2. RAZONES
1) RAZÓN: Es la comparación de dos cantidades
A) Razón Aritmética (r): Es la comparación de dos
cantidades mediante la diferencia.
40 24
 
B) Razón Geométrica (k): Es la comparación de dos
cantidades mediante cociente.
a: Antecedente b: Consecuente
Ejemplo: Pedro tiene 40 años y Pamela tiene 24 años
Razón aritmética 16

Del ejemplo anterior:
40
24

Razón geométrica
5
3

NOTA: A la razón geométrica también se le conoce
con el nombre de “razón” o “relación”
En general: Para dos cantidades “a” y “b”
Razón geométrica
Razón aritmética
a b r
 
r: R. Aritmética
a
k
b

k: R. Geométrica
Donde:
Ejemplo 1: Dos números están en relación de 2 a 5. Si su
razón aritmética es 24. Halle el menor de dichos números.
Solución:
Sean los números: “a” y “b”
a 2
b 5

k
k
a 2k
 
b 5k
 
Por dato:
b a 24
 
5k 2k 24
 
3k 24

k 8

El menor número:  
a 2k 2 8 16
  

3. Ejemplo 2: Sean tres cantidades “a”, “b” y “c”, se sabe que
“a” es a “b” como 4 es a 3 y “b” es a “c” como 5 es a 2. Si
la suma de estas cantidades es 615, halle el valor de “a”.
Solución:
a 4
b 3

b 5
c 2

5
5

3
3

a 20
b 15
 
b 15
c 6
 
a 20k
 
b 15k
 
c 6k
 
Por dato:
a b c 615
  
20k 15k 6k 615
  
41k 615

a 20(15)
  300

k
k
k
k
k 15

PROPORCIÓN: Es la igualdad de dos razones de la misma
naturaleza
A) Proporción Aritmética: Es la igualdad de dos razones
aritméticas.
45 12 37 4
  
45; 37 12; 4
Consecuentes:
Además:
Antecedentes:
Valor de
la razón
Ejemplo: Términos Extremos
Términos
Medios
33

B) Proporción Geométrica: Es la igualdad de dos razones
geométricas.
30 9
40 12

Ejemplo:
Términos
Extremos
Términos
Medios
3
4

Valor de
la razón
30; 9 40;12
Consecuentes:
Además:
Antecedentes:

4. Una proporción, dependiendo del valor de sus términos medios, puede ser :
D
I
S
C
R
E
T
A
C
O
N
T
I
N
U
A
Proporción Aritmética Proporción Geométrica
m
e
d
i
o
s
≠
m
e
d
i
o
s
=
Donde:
d: Cuarta diferencial de a, b y c
Además: a d b c
  
a b c d
  
a b b c
  
Donde:
c: Tercera diferencial de a y b
b: Media diferencial o media
aritmética de a y c
Además:
a c
b
2


a c
b d

Donde:
d: Cuarta proporcional de a, b y c
Además:
ad bc

Donde:
c: Tercera proporcional de a y b
b: Media proporcional o media
geométrica de a y c
Además: 2
b ac

a b
b c

 b ac


5. Solución:
a b c d
  
32 25 18 d
  
Sabemos que:
7 18 d
 
d 11

Solución:
a c
b
2


Sabemos que:
56 22
2


78
2
 39

Ejemplo 3: Hallar la cuarta diferencial de 32; 25 y 18
Ejemplo 4: Hallar la media diferencial de 56 y 22
28 49
12 d

Solución:
Sabemos que:
a c
b d
  28d 588
 
d 21

Ejemplo 5: Hallar la cuarta proporcional de 28; 12 y 49
Solución:
Sabemos que: b ac

b 9 4
  36
 6

Ejemplo 6: Hallar la media proporcional de 9 y 4
a b
b c
 k

b ck


a bk

  
ck k
 2
ck

Reemplazando:
2
ck ck
k
ck c
 

Observación:
En una proporción geométrica continua:

6. Serie de razones geométricas equivalentes (S.R.G.E)
Es la igualdad de más de 2 razones geométricas
3
1 2 n
1 2 3 n
a
a a a
k
b b b b
    
Consecuentes
Antecedentes
Donde se cumplen las siguientes propiedades:
• La relación entre la suma/resta de los antecedentes y la
suma/resta de los consecuentes mantiene el valor de la
razón
1 2 3 n
1 2 3 n
a a a ... a
k
b b b ... b
   

   
• El producto de los antecedentes y el producto de los
consecuentes alteran el valor de la razón quedando
elevado al número de razones que se multiplican
n
1 2 3 n
1 2 3 n
a a a ... a
k
b b b ... b
   

   
30 9 21 75
40 12 28 100
  
Ejemplo:
3
4

En general:
n: N° de razones que se multiplican
• Si se eleva un termino a cierta potencia, todos los
elementos quedan afectados por la misma potencia,
incluyendo el valor de la razón
3
1 2 n
1 2 3 n
a
a a a
k
b b b b

  

   
    
Observación:
3 3
1 1 2 2 n n
1 2 3 n
a b
a b a b a b
b b b b

  
   
k 1
1


3 3
1 1 2 2 n n
1 1 2 2 3 3 n n
a b
a b a b a b
a b a b a b a b

  
   
   
k 1
k 1




7. Ejemplo 7: Se tiene la siguiente SRGE
Además:
a b c
21 35 42
 
a 2b 3c 132.
  
Hallar b
Solución:
a b c
21 35 42
 
a b c
k
3 5 6
  
a 3k

b 5k

c 6k

Del dato:
a 2b 3c 132
  
3k 2(5k) 3(6k) 132
  
11k 132

b 5(12) 60
  
k 12

Ejemplo 8: Si:
Y además: . Hallar: a
Solución:
  
2 2 2 2
a b c d
12 27 48 75
   
a b c d 70
• Del dato:
• Simplificando los consecuentes
  
2 2 2 2
a b c d
12 27 48 75
  
2 2 2 2
a b c d
4 9 16 25
• Extrayendo raíz cuadrada
  
a b c d
2 3 4 5
k

   
a b c d 70
   
2k 3k 4k 5k 70

b 3k 
d 5k
 
a 2k 
c 4k
• Luego:
 2(5)

14k 70

k 5

a 2k
• Finalmente:
 10

8. Ejemplo 9: Se tiene la siguiente serie de razones
geométricas continuas equivalentes:
Halle “d”
243 a b c d
k
a b c d 32
    
Solución:
243 a b c d
a b c d 32
   
   
5
k
 5 243
k
32
 
3
k
2
 
d 3
32 2
 
d 48
 
Observación:
• En una SRGE continua, se pueden colocar todos los
elementos en función del último consecuente y el valor de
la razón:
a b c
b c d
  k

b ck

a bk
  
2
dk k
 3
dk

Reemplazando:
3 2
2
dk dk dk
k
dk d
dk
  

c dk
 
 
dk k
 2
dk


9. Problemas
Problema 1: Don Pedro un hacendado le dice a su nieto que
llegó de visita, que tres caballos cuestan igual que 5 vacas.
Si 6 caballos y 9 vacas cuestan $ 4560 ¿Cuánto cuesta un
caballo y una vaca?.
A. $850 C. $500
B. $380 D. $640
Solución:
• Sea: El costo de cada caballo: C
El costo de cada vaca: V
3C 5V
  C 5
V 3

k
k
C 5k
 
V 3k
 
• Por dato:
6C 9V 4560
 
6(5k) 9(3k) 4560
 
57k 4560

k 80

1C 1V 5k 3k 8k
     8(80)
 640

Clave D
Problema 2: Martin un estudiante de la Academia, se
encuentra estudiando Aritmética; cuando se da cuenta que:
"La suma de dos números es igual a k veces su razón
aritmética". Halle la razón geométrica de dichos números.
A. k/3 C. k/(k-1)
B. k/2 D. (k+1)/(k-1)
Solución:
• Sean los números: “a” y “b”
• Por dato:
a b k(a b)
  
a b ak bk
  
b(k 1) a(k 1)
  
a k 1
b k 1



Clave D

10. Problema 3: Tres estudiantes han resuelto problemas de
aritmética en cantidades que están en la relación de 7, X y
5. Los dos primeros juntos resolvieron 36 problemas más
que el último y entre los tres han resuelto 96 problemas
¿Cuántos problemas resolvió el segundo?
A. 60 C. 24
B. 32 D. 108
Solución:
• Sean las cantidades de problemas: “a” ; “b” y “c”
a b c
7 x 5
 
a b c 36
  
a b c 96
  
5
a a
b c
7 x
x 7
5
b c

 

 



36 96
x 2 12 x

 
3 8
36 3x 8x 16
  
20 5x

x 4

b
4

36 b
4 2 4
 

b
6
4

b 24

Clave C
Problema 4: En una reunión, el número de hombres y
mujeres está en la relación de 3 a 2, pero luego llega una
cierta cantidad de parejas y la nueva relación es equivalente
a 15/11. ¿Cuántos hombres habían inicialmente, si el
número de mujeres inicialmente excede en 25 al número de
hombres que llegaron?
A. 20 C. 60
B. 40 D. 65
Solución:
H 3
M 2

k
k
H 3k
 
M 2k
 
• Sea la cantidad de parejas que llega “x”
nuevo
H 3k x
  nuevo
M 2k x
 
• Por dato: 3k x 15
2k x 11



33k 11x 30k 15x
  
3k 4x

M x 25
 
2k x 25
 
3k
2k 25
4
 
5k
25
4

k 20

H 3k 3(20)
   60

Clave C

11. Problema 5: Si:
Calcule:
Solución:
16
a c e
k y además (a b)(c d)(e f) 8
b d f
      
3 3
a c e b d f
    
A. 212
C. 216
B. 16 D. 220
a c e
b d f
  k

a b c d e f
k 1
b d f
  
   
3
(a b)(c d)(e f)
(k 1)
bdf
  
   16 3
8 bdf(k 1)
  
• Piden: 3 3
a c e b d f
    
3
ace
k
bdf
  3
ace bdf k
  
3 3
3
bdf k bdf
 
3
(k 1) bdf
 
3 16
8
 16
2

Clave C
Problema 6: En una serie de 3 razones geométricas
equivalentes y continuas, el primer antecedente es 64 veces
el último consecuente. Hallar el valor de la constante de
proporcionalidad.
A. 1 C. 4
B. 2 D. 8
Solución:
• En la serie:
a
 
64a
b
b
c
c
k

3
64a b c
k
b c a
 
 
 
3
k 64

k 4

Clave C

12. Problema 7: De la proporción geométrica:
Se cumple que:
Calcule:
Solución:
a c
b d

2 2
a c 1
a c 3



A. 3 C. 9
B. 1/3 D. 1/9
2 2
b d
b d


• A partir de:
a c
b d

a b
c d
  k

2 2
a c 1
a c 3



(a c)(a c) 1
a c 3
 


a c 1
3
a c



a c 1
a c 9



a 5
c 4
 
• Por dato:
2 2
b d
x
b d



(b d)(b d)
x
b d
 


b d
x
b d



2
b d
x
b d



b
d

• Piden:
5 4
5 4



2
x 9

x 3

Clave A

13. Problema 8: En una proporción aritmética, la suma de los
extremos es igual al doble de la diferencia de los medios, y
la suma de los términos de la proporción aritmética es 120,
determine la tercera diferencial de la suma de los términos
extremos y el mayor de los términos medios.
A. 30 C. 27
B. 32 D. 25
Solución:
• Sea la proporción aritmética: a b c d
  
a d 2(b c)
  
b c 2b 2c
  
3c b

a b c d 120
   
2(b c) 120
 
b c 60
 
4c 60

c 15

b 45
 
• Por dato: • Además:
(a d) b b x
   
a d
 
60 45 45 x
  
• Piden:
15 45 x
 
x 30
 Clave A
Problema 9: En una proporción de razón igual a 3/4, el
producto de los consecuentes es 880. Si los antecedentes
están en la misma relación de 5 a 11, halle la cuarta
proporcional de dicha proporción
A. 44 C. 96
B. 224 D. 84
Solución:
• Sea la proporción geométrica:
a c 3
b d 4
 
2
a c 3
b d 4
  
   
  
a c 9
880 16


a c 495
 
a 5
c 11

• Por dato: • Además:
k
k
a 5k
 
c 11k
 
a c 495
 
2
55k 495

2
k 9

k 3

c 11k 11(3) 33
   
c 3
d 4
 
33 3
d 4
  d 44
 
Clave A

14. Problema 10: Milagros le indica a su amigo Saúl, qué
estudia en la misma Academia, pero en otro local, que en
una proporción geométrica continua el cuarto término es la
tercera parte del segundo, halle la media proporcional, si la
suma de los cuatro términos es 240.
A. 12 C. 18
B. 24 D. 45
Solución:
a b
b c

• Sea la proporción:
b
c
3
 
b
3
c
 
a
b c
3
b
   b 3c a 9c
  
a 2b c 240
  
9c 6c c 240
  
16c 240

c 15

b 3c 3(15)
   45

• Por dato:
Clave D
Problema 11: El producto de los extremos de una
proporción geométrica es 216, y si uno de los medios es los
2/3 del otro. Entonces la semisuma de los medios es:
A. 12 C. 14
B. 13 D. 15
Solución:
a c
b d

• Sea la proporción: a d 216
  
2
b c
3

a d b c
   
c
2
216 c
3
 
2
c 324

c 18

2
b c
3
  12

b c 12 18
15
2 2
 
  
Clave D

15. Problema 12: Si 8 es la cuarta proporcional de x, 6 y z y
además x es la cuarta proporcional de z, 16 y 48.
Halle z – x.
A. 5 C. 7
B. 6 D. 8
Solución:
• 8 es la cuarta proporcional de x, 6 y z
x z
6 8

x 3
z 4
 
k
k
x 3k
 
z 4k
 
• x es la cuarta proporcional de z, 16 y 48.
z 48
16 x
 x z 16 48
   
2
12k 16 48
 
2
k 64

k 8

z x 4k 3k k
     8

Clave D

17. Clave D
Clave C

18. Clave C Clave A

19. Clave D
Clave B

20. Clave A Clave D

21. Clave B
Clave D