El documento presenta información sobre raíces. Explica que las primeras raíces cuadradas y cúbicas aparecieron en problemas matemáticos antiguos. Luego define formalmente las raíces, indicando que dependen del signo de la cantidad subradical y del índice. Finalmente, describe propiedades básicas de las raíces como la adición, multiplicación y racionalización.

1. Profesor: Erwin Coronado C.
Sector: Matemática
Puerto Montt Curso: III° y IV Medio
1
Guía de ejercicios N°4, Primer Semestre
Tema: Raíces.
Debes saber que:
La primera raíz cuadrada se presentó en el problema de la determinación de hipotenusas, y la
primera raíz cúbica, parece que fue en el problema de la duplicación del cubo (determinación de
la arista de un cubo de volumen doble al de uno dado), que tuvo en jaque a casi todos los
matemáticos de la antigüedad.
Las potencias y raíces de grado superior aparecieron más tarde con Diofanto (siglos III y IV) y
los árabes del siglo XII.
Las potencias de las incógnitas de los problemas se llamaron durante la Edad Media con los más
variados nombres (res o cosa, censo, quadrato, cubo, censo de censo, primo relato, censo de
cubo...).
No había mucha uniformidad en estas denominaciones. Menos la hubo en las notaciones.
Prevaleció durante mucho tiempo la notación por medio de iniciales combinadas y más o menos
deformadas de aquellas palabras. Esta desdichada notación impidió ver claras las leyes del
cálculo con potencias, hasta que ciertos matemáticos del siglo XVI introdujeron poco a poco la
noción de exponente. En particular esta palabra se debe a Stifel, quien dio ya la regla de suma y
resta de exponentes.
En el siglo XVII, Descartes usaba ya los signos actuales. El procedimiento de cálculo de la raíz
es de origen también hindú.
La homonimia de la raíz aritmética con la del órgano de los vegetales se ha empleado desde
tiempo inmemorial, lo mismo en la India que en el mundo latino, sin que se haya explicado
satisfactoriamente la razón.
B. Raíces
Cuando en la expresión n
a c se desconoce el valor de a , entonces la expresión se puede escribir
como n
x c y en este caso se tiene n
x c y x se llama la raízn -ésima de c . Se distingue en una
raíz
n
c
De acuerdo a esta expresión, y teniendo en cuenta el concepto de potencia, se debe tener en cuenta
los siguientes condiciones para los valores c y n para una definición consistente.
Cantidad
subradicalÍndice
radical

2. Profesor: Erwin Coronado C.
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2
Definición:
Dados el real 0c  y n , se define la raíz n-ésima de c como un número real 0b  tal que la
n-ésima potencia de b es c , es decir
, 0nn
c b b c b   
En el caso de tener c y n , impar, entonces se define la raíz n-ésima de c como un número
real b tal que la n-ésima potencia de b es c , es decir
,nn
c b b c b   
Observación:
Lo anterior se expresa como sigue:
1. El valor de una raíz en el conjunto de los números reales depende del signo de la cantidad
subradical y del índice de la raíz.
2. Siempre existe la raíz de un número real positivo, cualquiera sea su índice (par o impar).
3. La raíz de un número real negativo, existe si y solo si su índice es impar.
4. La raíz de índice par de un número real negativo no es un número real, es un número llamado
imaginario.
Observación:
Algunos nombres que reciben las raíces, dependen del valor del índice, siendo por ejemplo:
a. 2
: Raíz cuadrada dec c (En este caso el valor del índice se omite y solo se escribe c )
b. 3
: Raíz cúbica dec c
c. 4
: Raíz cuarta dec c
d. 5
: Raíz quinta dec c
Observación:
De la definición, el caso de la raíz cuadrada de un real 0c  nos dice que es un real 0b  , es decir
c b si y solo si
2
0
0
c
b
b c
 


 
En otras palabras, se puede escribir 2
b b , es decir 2
si 0
0 si 0
si 0
b b
b b
b b


 
 

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3
Ejemplo
2
3 3 ya que 3 0
   
2
3 3 3    
Otra forma de expresar una raíz es a través de una potencia de exponente racional. En este caso se
escribe
m
n m n
c c , con 0n 
Ejemplo
3
5 3 5
6 6
Esta forma de expresar una raíz y con el apoyo de la amplificación y simplificación de fracciones una
raíz se puede reescribir.
Ejemplo
2 4
3 62 43 63 6
25 5 5 5 5 625    
 
6 3
310 10 53 2 6 310 510 51064 4 2 2 2 2 2 8      
Propiedades de las raíces
1.   Para 0, y
n
n nn
a a a a n   
2. 0 0n
 Para todo n
3. 1 1n
 Para todo n
4. n n n
a b ab 
5. n nn
a b a b  
6. n n n n
a
a b a b
b
    (con 0b  )
7.   Para 0, y
m
n mn
a a a n  
8. m n m n
a a

9. mn m nn m
a b a b 

4. Profesor: Erwin Coronado C.
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4
Raíces semejantes.
Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y cantidad subradical. Por ejemplo los
radicales 3 y 35 son semejantes. Tienen el mismo índice, 2, y la misma cantidad subradical, 3.
Ejemplo
Determine el valor de 27 243 3 
3 5 2 4
27 243 3 3 3 3 3 3 3 3 3
=3 3 9 3 3
= 5 3
         
 

Racionalización
Cuando en una fracción, se presentan raíces en el denominador, estas se pueden escribir como
fracciones equivalentes, pero sin que figuren raíces en el denominador. El proceso para realizar lo
anterior se llama racionalización.
En general, se presentan tres situaciones en la racionalización.
1. Cuando en el denominador se presenta una raíz cuadrada. En este caso, tenemos
a a b a b
bb b b
   Con 0b 
2. Cuando en el denominador se presenta una raíz de índice distinto a 2, se debe amplificar por
una raíz de igual índice donde el nuevo exponente sumado con el exponente inicial sumen el
índice de la raíz.
n nn m n m
n n nm m n m
a a b a b
bb b b
 


   con 0n  , 0m  , 0b 
3. Cuando en el denominador se presenta un binomio con raíces cuadradas se debe amplificar
por el conjugado del binomio.
a.
 a a ba a a b
a ba b a b a b

  
  
con 0a  , 0b 
b.
 a a ba a a b
a ba b a b a b

  
  
con 0a  , 0b 

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5
Ecuaciones con raíces
Una ecuación con radicales es una igualdad en la que intervienen raíces cuyas incógnitas forman parte
de una o más cantidades subradicales.
Observación:
En una ecuación con radicales, las soluciones encontradas algebraicamente deben ser siempre comprobadas,
de modo que la ecuación original esté definida para valores reales.
Ejemplo
1. Determine el valor de x en la ecuación 5 2 6x x   
Solución
5 2 6
5 6 2
x x
x x
   
     
2
5 36 12 2 2
12 2 33
4 2=11
x x x
x
x
     
 
  
 
2
16 2 121
121
2
16
121
2
16
89
16
x
x
x
x
 
 
 

Luego, al reemplazar el valor encontrado en la ecuación se tiene que
89 89
5 2 6
16 16
    , es
decir el valor encontrado, es solución de la ecuación.

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6
2. Determine el valor de x en la ecuación 2
2 2x x  
Solución.
Las restricciones para los valores de x están dadas solo por 2
2 0x   , pero como todo cuadrado de
un número es positivo, no existen restricciones en este caso. Ahora, resolviendo, tenemos
2
2 2x x    
2
2 2
2 4 4
4 2
1
2
x x x
x
x
   


Luego, al reemplazar el valor encontrado se obtiene
9 3
4 2
  , ya que por definición de raíz
cuadrada el valor de la raíz nunca puede ser negativo.
Ejercicios
1. 3
8 4  
A. 5
4 B. 6
4 C. 0 D. -4 E. 4
2. 6
7 7 
A. 6
7 B. 6
49 C. 6 4
7 D. 12
7 E. 12
49
3. 0,09 
A. 0,003 B. 0,018 C. 0,03 D. 0,18 E. 0,3
4. El valor de
15 5
5

corresponde a:
A. 3 1 B. 5 1 C. 3 D. 2 E. 75 5
5.  
2
12 3 
A. 78 B. 63 C. 21 D. 9 E. 3

7. Profesor: Erwin Coronado C.
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7
6.  28 63 252 7   
A. 2 3 7 B. 1 C. 23 D. 1 E. N.A.
7. El valor de 2 18 3 50
A. 6 2 B. 15 2 C. 21 2 D. 42 E. N. A.
8. La suma de
1
0 2
7 16 es igual a:
A.
1
2
5 B. 5 C. 11 D. 15 E. 17
9. El resultado de  
6
3 3 3
2 16 54  es
A. 256 B. 324 C. 64 D. 125 E. 216
10. Si 2a  , 3b  y 5c  , entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son)
equivalente(s) a 60 .
I. 2bc II. 2 2 2
a b c III. 2
a bc
A. Sólo I B. Sólo II C. Sólo III D. I y II E. I y III
11. Al reducir 3 4 5
3 3 3 3 se obtiene
A. 120 4
3 B. 60 43
3 C. 11
3 D. 3
3 E. N. A.
12. El producto de    
x y
x y
x y es:
A.  
x y
xy
xy

B.  
x y
xy
xy

C.  
xy
xy D. xy E. N. A.
13.
5
5
a
a



A.
5
5
a
a


B.
5
5
a
a


C.
2
25
5
a
a


D.
2
5
a
a 
E. 5a 

8. Profesor: Erwin Coronado C.
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8
14. Si 3a  , 3
4b  y 4
5c  , el orden correcto entre ellos es:
A. c b a 
B. b c a 
C. a b c 
D. c a b 
E. a c b 
15.
25 9
8 2
 
A.
7
8
 B.
2
4

C.
6
3
D. 2 E.
2
4
16. La solución de la ecuación 2 2x x   es:
A.
6
4
B.
9
4
C. No tiene solución real
D. No se puede calcular
E. N. A.
17. Si 3a  y 4
12x  , entonces el valor de 2
1ax  es igual a
A. 7 B. 36 C. 37 D. 4
36 1 E. 12 3 1
18. Por cuál(es) de las siguientes expresiones se puede amplificar la fracción 3
5
9
para
racionalizarla?
I. 3
9 II. 3
81 III. 3
3
A. Sólo I B. I y II C.I y III D. II y III E. I, II y III
19. ¿Qué valor de a satisface la igualdad 3 36
27
2
a
x x   ?
A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 E. -2

9. Profesor: Erwin Coronado C.
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9
20. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalentes(s) con  
1
2ax ?
I. 3
a
x
x
II. a x III.
3
ax
x
A. Sólo I B. Sólo II C. I y II D. II y III E. I, II y III
21. ¿Qué expresión resulta al reducir
8
50 32
2
  ?
A. 8 B. 8 2 C. 10 2 D. 9 4 E. N. A.
22. ¿Qué expresión se obtiene al racionalizar
2 5
10
?
A. 2 B. 5 C. 2 50 D. 5 50 E.
50
10
23. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente con 6 12
64
1
b
b
 
 
 
?
A. b B. 2
b C. 2
b b D.  1b b E.  b b b
24. El valor de  
2
1 3 5
3 4
1
512 3 16
32

  
   
 
corresponde a:
A.
7
2
 B.
7
2
C.
9
2
D.
9
2
 E. N.A.
25.
1
0,3 0,9
3
  
A. 1 B. 0,3 C. 0,09 D. 0,09 E. 0,01
26. El valor de
1 1
4
1 3 1 3
 
 
es igual a:
A. 2 3 B. 2 3 C. 4 D. 4 3 E. 4 3
27. La expresión 3
3 2 es equivalente a:
A. 3
6 B. 6 C. 6
5 D. 6
6 E. 6
108

10. Profesor: Erwin Coronado C.
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10
28. 2 8 18  
A. 2 B. 8 C. 12 D. 28 E. 72
29. Si 0a  , entonces
8 8 11 8x x
a a
a
 

es igual a:
A. 2
a
B. a C. a D. 3
a E. N. A.
30. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) equivalente con  
2
3 ?
I. 9 II. 3 III. -3
A. Sólo I B. Sólo II C. Sólo III D. I y II E. II y III
31. AL racionalizar la expresión
8 2
1
2
se debe amplificar por
A. 8 2
2 B. 8 3
2 C. 8 4
2 D. 8 5
2 E. 8 6
2
32. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?
I.  
44 4
5 3 5 3    II. 2 5 10   III. 3 3
3 2 54  
A. Sólo I
B. Sólo III
C. Sólo I y II
D. Sólo I y III
E. Ninguna de ellas.