Programación Lineal

PROGRAMACIÓN LINEALPROGRAMACIÓN LINEAL
Curso: Administración de Operaciones IICurso: Administración de Operaciones II
Instructor: Lic. MILTON ALVARADO MERINO
Carrera: Administración Industrial Semestre: IV

1.- Generalidades1.- Generalidades
 Las decisiones empresariales involucran laLas decisiones empresariales involucran la
utilización de recursos (maquinaria, manoutilización de recursos (maquinaria, mano
obra, tiempo, espacio, dinero, materiasobra, tiempo, espacio, dinero, materias
primas) estos son usados para manufacturarprimas) estos son usados para manufacturar
bienes o servicios, la Programación Linealbienes o servicios, la Programación Lineal
es utilizada para planear y decidir acerca dees utilizada para planear y decidir acerca de
la asignación de dichos recursos.la asignación de dichos recursos.

 La administración de operaciones tiene susLa administración de operaciones tiene sus
orígenes muchas décadas atrás desde queorígenes muchas décadas atrás desde que
se comenzó a utilizar el método científico ense comenzó a utilizar el método científico en
la administración de una empresa.la administración de una empresa.
 Durante la II guerra Mundial con laDurante la II guerra Mundial con la
necesidad de asignar recursos bélicosnecesidad de asignar recursos bélicos
escasos a las operaciones militares seescasos a las operaciones militares se
recurrió a científicos de la época para querecurrió a científicos de la época para que
desarrollen problemas estratégicos ydesarrollen problemas estratégicos y
tácticos.tácticos.

 Terminada la guerra estas operacionesTerminada la guerra estas operaciones
generaron gran interés fuera del campo degeneraron gran interés fuera del campo de
batalla, ya para 1950 se habían introducidobatalla, ya para 1950 se habían introducido
en la industria, los negocios y el gobierno.en la industria, los negocios y el gobierno.
 Un factor de empuje para la investigación deUn factor de empuje para la investigación de
operaciones es que gran parte de losoperaciones es que gran parte de los
científicos que habían participado en lacientíficos que habían participado en la
guerra estaban motivados en probar estosguerra estaban motivados en probar estos
métodos en otros campos allí nació elmétodos en otros campos allí nació el
método simplex de programación lineal.método simplex de programación lineal.

 El surgimiento de las computadora dio granEl surgimiento de las computadora dio gran
impulso a esta disciplina, ya que para resolverimpulso a esta disciplina, ya que para resolver
los problemas de administración delos problemas de administración de
operaciones se necesita resolver gran númerooperaciones se necesita resolver gran número
de cálculos que sin la ayuda de la computadorade cálculos que sin la ayuda de la computadora
hubiera sido imposible.hubiera sido imposible.
 En los 80´ con la aparición de la computadoraEn los 80´ con la aparición de la computadora
personal y los modernos paquetes de softwarepersonal y los modernos paquetes de software
se hizo más rápido la solución de problemas dese hizo más rápido la solución de problemas de
investigación de operaciones.investigación de operaciones.

2.- Investigación de Operaciones2.- Investigación de Operaciones
 Ofrece herramientas cuantitativas para la tomaOfrece herramientas cuantitativas para la toma
de decisiones a los problemas de corto,de decisiones a los problemas de corto,
mediano y largo plazo de una empresamediano y largo plazo de una empresa
manufacturera o de servicios.manufacturera o de servicios.
 Pasos de la investigación de operaciones:Pasos de la investigación de operaciones:
1.1. Análisis y definición del problemasAnálisis y definición del problemas
2.2. Desarrollo del modeloDesarrollo del modelo
3.3. Selección de datos de entradaSelección de datos de entrada
4.4. Obtención de una soluciónObtención de una solución
5.5. Limitaciones del modelo y la soluciónLimitaciones del modelo y la solución
6.6. Utilización del modelo.Utilización del modelo.

3.- Optimización3.- Optimización
 También llamada programación matemática es elTambién llamada programación matemática es el
proceso de maximizar o minimizar que sirve paraproceso de maximizar o minimizar que sirve para
encontrar la respuesta que proporcione el mejorencontrar la respuesta que proporcione el mejor
resultado (> ganancias, > producción, < costo, <resultado (> ganancias, > producción, < costo, <
desperdicio).desperdicio).
 Consiste en utilizar de la manera más eficienteConsiste en utilizar de la manera más eficiente
los recursos tales como dinero, tiempo,los recursos tales como dinero, tiempo,
maquinarias, personal, existencias.maquinarias, personal, existencias.
 Para la solución de problemas de optimizaciónPara la solución de problemas de optimización
existen los siguientes software informáticos:existen los siguientes software informáticos:
WinQsb, LINDO, SUPERLINDO.WinQsb, LINDO, SUPERLINDO.

3.- Optimización3.- Optimización
 Aborda el problema de determinar asignacionesAborda el problema de determinar asignaciones
óptimas de recursos limitados para cumplir unóptimas de recursos limitados para cumplir un
objetivo dado. Entre todas las asignacionesobjetivo dado. Entre todas las asignaciones
admisibles queremos encontrar las queadmisibles queremos encontrar las que
maximizan o minimizan alguna cantidadmaximizan o minimizan alguna cantidad
numérica tal como ganancias o costos.numérica tal como ganancias o costos.
 El objetivo de la optimización es encontrar laEl objetivo de la optimización es encontrar la
mejor solución de los modelos de decisionesmejor solución de los modelos de decisiones
difíciles, frente a las múltiples solucionesdifíciles, frente a las múltiples soluciones
posibles.posibles.

4.- Modelo4.- Modelo
 Es la representación de la realidad, es unaEs la representación de la realidad, es una
abstracción de un sistema físico matemático, seabstracción de un sistema físico matemático, se
puede trabajar con un modelo en vez de hacerlopuede trabajar con un modelo en vez de hacerlo
con un sistema real.con un sistema real.
 Ya que es costoso e impractico experimentarYa que es costoso e impractico experimentar
con un modelo real, es uso de un modelocon un modelo real, es uso de un modelo
permite realizar el énfasis que de otro modopermite realizar el énfasis que de otro modo
sería imposible.sería imposible.
 Son importantes ya que las ecuaciones se usanSon importantes ya que las ecuaciones se usan
para representar los procesos llamados modelospara representar los procesos llamados modelos
matemáticos.matemáticos.
 Estos modelos utilizan símbolos que incluyenEstos modelos utilizan símbolos que incluyen
letras, números y operadores matemáticos.letras, números y operadores matemáticos.

4.- Modelo4.- Modelo
 Existen dos modelos que se usan en laExisten dos modelos que se usan en la
investigación de operaciones: modelosinvestigación de operaciones: modelos
descriptivos y normativos.descriptivos y normativos.
 Los descriptivos describen algún aspecto delLos descriptivos describen algún aspecto del
sistema que se modela (condición ysistema que se modela (condición y
características – ecuaciones)características – ecuaciones)
 Los normativos analizan y dan solución a losLos normativos analizan y dan solución a los
problemas como herramienta tenemos elproblemas como herramienta tenemos el
modelo matemático del problema de decisión.modelo matemático del problema de decisión.
 Las empresas se presentan a diario a variosLas empresas se presentan a diario a varios
problemas de decisión en cada unoproblemas de decisión en cada uno
encontramos los siguientes componentes:encontramos los siguientes componentes:
variables de decisión, función objetivo, yvariables de decisión, función objetivo, y
restricciones.restricciones.

5.- Sistema5.- Sistema
 Es un conjunto de ecuaciones llamadasEs un conjunto de ecuaciones llamadas
restricciones que permiten analizar los recursosrestricciones que permiten analizar los recursos
que se manejan, para optimizar su mejorque se manejan, para optimizar su mejor
utilización, ya sea maximizándolo outilización, ya sea maximizándolo o
minimizándolo respecto a su utilidad o costosminimizándolo respecto a su utilidad o costos
respectivamente.respectivamente.
Restricción 2
Restricción 3
Restricción 1

6.- Programación Lineal6.- Programación Lineal
 6.1.-6.1.- Definición.-Definición.- Es una técnicas matemáticaEs una técnicas matemática
que permite asignar recursos limitados, es decirque permite asignar recursos limitados, es decir
es útil para aprovechar al máximo o reducir ales útil para aprovechar al máximo o reducir al
mínimo posible una función lineal objetiva sujetamínimo posible una función lineal objetiva sujeta
restricciones.restricciones.
 6.2.-6.2.- Formulación.-Formulación.- Una sus aplicaciones es laUna sus aplicaciones es la
mezcla de productos, generalmente se fabricanmezcla de productos, generalmente se fabrican
2 o más productos utilizando recursos limitados.2 o más productos utilizando recursos limitados.
La empresa debe determinar cuantas unidadesLa empresa debe determinar cuantas unidades
de cada producto debe producir para maximizarde cada producto debe producir para maximizar
su utilidad, dados sus recursos limitados.su utilidad, dados sus recursos limitados.

7.- Conceptos Básicos7.- Conceptos Básicos
 7.1.-7.1.- Función Objetivo.-Función Objetivo.- Es una ecuaciónEs una ecuación
matemática que mide los resultados dematemática que mide los resultados de
cualquier alternativa que se proponga encualquier alternativa que se proponga en
la programación lineal. Debe ser unala programación lineal. Debe ser una
ecuación lineal, todos los problemasecuación lineal, todos los problemas
buscan maximizar la utilidad y minimizarbuscan maximizar la utilidad y minimizar
el costo.el costo.
Maximizar Z = C1 + X1 + C2 + X2
Minimizar … … … Cn + Xn

 7.2.-7.2.- Variable de Decisión.-Variable de Decisión.- Es necesarioEs necesario
determinar los valores numéricos de 2 odeterminar los valores numéricos de 2 o
más variables, estos valores son factoresmás variables, estos valores son factores
bajo el control de quien toma lasbajo el control de quien toma las
decisiones, lo que si se modifican; dandecisiones, lo que si se modifican; dan
como resultado soluciones diferentescomo resultado soluciones diferentes
entre sí.entre sí.
X1, X2, … … … … … ...Xn

 7.3.-7.3.- Restricciones.-Restricciones.- La presencia deLa presencia de
limitaciones, restringe el grado al cual selimitaciones, restringe el grado al cual se
puede lograr el objetivo. Los valores quepuede lograr el objetivo. Los valores que
pueden ser seleccionados como variablespueden ser seleccionados como variables
de decisión están restringidas; no existe lade decisión están restringidas; no existe la
libertad completa de elección. Los valoreslibertad completa de elección. Los valores
permisibles de las variables de decisiónpermisibles de las variables de decisión
se definen mediante inecuacionesse definen mediante inecuaciones
lineales.lineales.
A11 X1 + A12 X2 + … … … + A1n X1 <= B1
A21 X1 + A22 X2 + … … + A2n Xn <= B2
………………………………………………………………
………………
Am1 X1+Am2 X2+……+Amn Xn <= Bm

 7.4.-7.4.- Condición de No Negatividad.-Condición de No Negatividad.-
 Las variables deben ser divisibles y noLas variables deben ser divisibles y no
negativas.negativas.
 Condiciones del modelo que estipulan queCondiciones del modelo que estipulan que
las variables de decisión deben tener sólolas variables de decisión deben tener sólo
valores no negativos (positivos o nulos).valores no negativos (positivos o nulos).

8.- Modelo de Programación Lineal8.- Modelo de Programación Lineal
 Comprende un proceso de optimización dondeComprende un proceso de optimización donde
se seleccionan valores no negativos para unse seleccionan valores no negativos para un
conjunto de variables de decisión de tal formaconjunto de variables de decisión de tal forma
que se maximice o minimice una funciónque se maximice o minimice una función
objetivo de la forma:objetivo de la forma:
 Z = C1 + X1 + C2 + X2 … … … Cn + Xn
 Donde:Donde:
 Z = Función Objetivo lineal de variable XiZ = Función Objetivo lineal de variable Xi
 C1, C2, … Cn = Coeficiente contribución de lasC1, C2, … Cn = Coeficiente contribución de las
variables de la función objetivo.variables de la función objetivo.
 X1, X2, … Xn = Variables decisión cuyos
valores deben ser determinados.

 Cuando Xi se incrementa en una unidad,Cuando Xi se incrementa en una unidad,
el valor de Z se incrementa en un valor Ci,el valor de Z se incrementa en un valor Ci,
sujeto a restricciones de recursos de lasujeto a restricciones de recursos de la
forma:forma:
 A11X1 + A12X2 + … … + A1n X1 <= B1
 A21X1 + A22X2 + … … + A2n Xn <= B2
 ………………………………………………
………………………………………………
…………………………
 Am1 X1+Am2 X2+……+Amn Xn <= Bm

 Donde:Donde:
 A11, A12, …, Amn : Coeficientes de las
Variables de decisión
 B1, B2, …., Bn : Cantidades de unidades
de los recursos disponibles
 X1, X2, … , Xn : >= 0
 Cuando Xi se incrementa en una unidad,
Aij unidades del recurso Bj se consumen

9.- Condiciones Programación Lineal9.- Condiciones Programación Lineal
 Debe existir una función objetivaDebe existir una función objetiva
 Los recursos deben ser limitadosLos recursos deben ser limitados
 Debe existir una relación lineal en lasDebe existir una relación lineal en las
Función Objetivo y la restriccionesFunción Objetivo y la restricciones
 Los recursos y los productos deben serLos recursos y los productos deben ser
homogéneos.homogéneos.
 Las variables deber ser divisibles y noLas variables deber ser divisibles y no
negativas.negativas.

10.- Métodos Programación Lineal10.- Métodos Programación Lineal
 Método GráficoMétodo Gráfico::
 Tiene un valor práctico limitado pero es de granTiene un valor práctico limitado pero es de gran
utilidad para visualizar conceptos subyacentes.utilidad para visualizar conceptos subyacentes.
 Método SimplexMétodo Simplex::
 Es utilizado para resolver cualquier problema deEs utilizado para resolver cualquier problema de
programación lineal.programación lineal.
 Método TransporteMétodo Transporte::
 Empleado únicamente en problemas especialesEmpleado únicamente en problemas especiales
con características especiales.con características especiales.

11.- Planteamiento Problemas11.- Planteamiento Problemas
Programación LinealProgramación Lineal
 PropiedadesPropiedades
1.1. Todos buscan maximizar o minimizar algunaTodos buscan maximizar o minimizar alguna
cantidad. A esto se le llama función objetivo decantidad. A esto se le llama función objetivo de
un problema.un problema.
2.2. La presencia de restricciones limita el grado alLa presencia de restricciones limita el grado al
cual se puede lograr el objetivo.cual se puede lograr el objetivo.
3.3. Deben existir caminos de acción para laDeben existir caminos de acción para la
elección. Si no hubiera alternativas no seríaelección. Si no hubiera alternativas no sería
necesaria la programación lineal.necesaria la programación lineal.
4.4. La Función Objetivo y las Restricciones en losLa Función Objetivo y las Restricciones en los
problemas deben expresarse en términos deproblemas deben expresarse en términos de
ecuaciones lineales o inecuaciones.ecuaciones lineales o inecuaciones.

Solución de Problemas deSolución de Problemas de

1.- METODO GRAFICO O1.- METODO GRAFICO O
GEOMÉTRICOGEOMÉTRICO
 La PL Gráfica se limita a problemas con 2La PL Gráfica se limita a problemas con 2
variables de decisión, es una manera rápida devariables de decisión, es una manera rápida de
conocer la naturaleza de la PL ilustra lo queconocer la naturaleza de la PL ilustra lo que
sucede en el Método Simplex. Sus pasos son:sucede en el Método Simplex. Sus pasos son:
1.1. Reunir información para formular y resolverReunir información para formular y resolver
2.2. Identificar variables de decisión.Identificar variables de decisión.
3.3. Identificar la función objetivoIdentificar la función objetivo
4.4. Identificar las restricciones de los recursosIdentificar las restricciones de los recursos
5.5. Graficar restricciones e identificar área factibleGraficar restricciones e identificar área factible
6.6. Seleccionar el punto óptimo.Seleccionar el punto óptimo.
7.7. Interpretar la soluciónInterpretar la solución

METODO SIMPLEXMETODO SIMPLEX
Administración Empresas Industriales IIIAdministración Empresas Industriales III
PRESENTADO POR:
Lic. Adm. MILTON ALVARADO MERINO
Instructor SENATI - Piura

MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
 El método gráfico soluciona problemasEl método gráfico soluciona problemas
industriales en forma matemática y halla laindustriales en forma matemática y halla la
solución óptima. Pero sólo para 2 productos parasolución óptima. Pero sólo para 2 productos para
aplicaciones teóricas.aplicaciones teóricas.
 Sin embargo en aplicaciones prácticas esteSin embargo en aplicaciones prácticas este
método es poco empleado ya que sólo trabaja enmétodo es poco empleado ya que sólo trabaja en
2 dimensiones.2 dimensiones.
 Pero cuando los productos son 3 o más esPero cuando los productos son 3 o más es
necesario trabajar con espacios de “n”necesario trabajar con espacios de “n”
dimensiones que son desconocidas en el mundodimensiones que son desconocidas en el mundo
físico, pero no en el matemático.físico, pero no en el matemático.
 Para resolver problemas de más de 2Para resolver problemas de más de 2
dimensiones se emplea el método simplexdimensiones se emplea el método simplex
basado en el algebra matricial.basado en el algebra matricial.

 Es un procedimiento de restricciones con el cualEs un procedimiento de restricciones con el cual
se examinan los puntos en las esquinas de unase examinan los puntos en las esquinas de una
manera metódica hasta conseguir la mejormanera metódica hasta conseguir la mejor
solución.solución.
 En teoría, este método puede resolver unEn teoría, este método puede resolver un
problema que consiste en cualquier número deproblema que consiste en cualquier número de
variable y restricciones; aunque en el caso devariable y restricciones; aunque en el caso de
problemas que tienen más de 4 variables oproblemas que tienen más de 4 variables o
restricciones, es mejor que los cálculos seanrestricciones, es mejor que los cálculos sean
hechos con el computador a través de software.hechos con el computador a través de software.
 Sin embargo para poder comprender la PL seSin embargo para poder comprender la PL se
deben construir ecuaciones para desarrollar eldeben construir ecuaciones para desarrollar el
programa de computación y poder integrar susprograma de computación y poder integrar sus
resultados.resultados.

 Los pasos que comprende el método son:Los pasos que comprende el método son:
1.1. Formular el problema (FO y Restricciones)Formular el problema (FO y Restricciones)
2.2. Introducir variable de holgura (S): Es la cantidadIntroducir variable de holgura (S): Es la cantidad
ociosa de cada recurso. Se introducen lasociosa de cada recurso. Se introducen las
variables de holgura en cada restricción ya quevariables de holgura en cada restricción ya que
estas se convierten en igualdades. Para que lasestas se convierten en igualdades. Para que las
variables de holgura estén representadas envariables de holgura estén representadas en
cada restricción se le asigna un coeficiente “0” acada restricción se le asigna un coeficiente “0” a
aquellas que no estén asociados a dichaaquellas que no estén asociados a dicha
restricción. La FO también refleja la suma de lasrestricción. La FO también refleja la suma de las
variables de holgura pero como esta no generavariables de holgura pero como esta no genera
utilidad su coeficiente es “0”.utilidad su coeficiente es “0”.
3.3. Elaborar una tabla inicial simplex donde todosElaborar una tabla inicial simplex donde todos
los coeficientes numéricos de la FO y de laslos coeficientes numéricos de la FO y de las
restricciones son ubicados en la tabla.restricciones son ubicados en la tabla.

Variables RealesVariables Reales
X1 X2X1 X2
Variables HolguraVariables Holgura
S1 S2 S3S1 S2 S3
SoluciónSolución
S1S1
S2S2
S3S3
Función ObjetivoFunción Objetivo
F.O.= ZF.O.= Z

 Teniendo en cuenta que los coeficientes de laTeniendo en cuenta que los coeficientes de la
función objetivo se registran con signosfunción objetivo se registran con signos
combinados.combinados.
4.- Se escoge entre las restricciones un punto de4.- Se escoge entre las restricciones un punto de
apoyo (pivote) para lo cual se determina unaapoyo (pivote) para lo cual se determina una
columna pivote, eligiendo entre la columnacolumna pivote, eligiendo entre la columna
variables reales a aquella que tenga el menorvariables reales a aquella que tenga el menor
valor negativo. Posteriormente se determinavalor negativo. Posteriormente se determina
un fila pivote, dividiendo la columna soluciónun fila pivote, dividiendo la columna solución
entre la columna elegida, tomando comoentre la columna elegida, tomando como
referencia el menor valor positivo, lareferencia el menor valor positivo, la
intercepción de ambas es el punto pivote.intercepción de ambas es el punto pivote.

5.- El punto pivote preferentemente deberá ser 1,5.- El punto pivote preferentemente deberá ser 1,
sino es así tendrá que operarse ya seasino es así tendrá que operarse ya sea
multiplicando o dividiendo con la finalidad demultiplicando o dividiendo con la finalidad de
obtener 1, el punto pivote para su ubicaciónobtener 1, el punto pivote para su ubicación
indica que variable de holgura sale y queindica que variable de holgura sale y que
variable real entra.variable real entra.
6.- Una vez que el punto pivote es la unidad,6.- Una vez que el punto pivote es la unidad,
mediante operaciones, se convierten todos losmediante operaciones, se convierten todos los
elementos de su columna en “0”elementos de su columna en “0”
7.- Es un método repetitivo, es decir ha de7.- Es un método repetitivo, es decir ha de
repetirse los pasos hasta conseguir que losrepetirse los pasos hasta conseguir que los
coeficientes de las variables reales seancoeficientes de las variables reales sean
cantidades no negativas.cantidades no negativas.

SOLUCIÓN AUTOMATICA:SOLUCIÓN AUTOMATICA:
SOFWARE WIN QSBSOFWARE WIN QSB
 Los programas lineales reales siempre seLos programas lineales reales siempre se
resuelven por computadora. Por loresuelven por computadora. Por lo
general las computadoras utilizan elgeneral las computadoras utilizan el
método simplex para llegar a lasmétodo simplex para llegar a las
soluciones.soluciones.
 Los coeficientes de la función objetivo seLos coeficientes de la función objetivo se
denominan coeficientes de costos,denominan coeficientes de costos,
coeficientes tecnológicos y valores RHS.coeficientes tecnológicos y valores RHS.

SOLUCIÓN AUTOMATICA:SOLUCIÓN AUTOMATICA:
SOFWARE WIN QSBSOFWARE WIN QSB
 Utilizaremos la aplicación LP/LIP (Linear andUtilizaremos la aplicación LP/LIP (Linear and
Integer Programming) del software Win QSBInteger Programming) del software Win QSB
(Sistema de Consulta de Negocios) como(Sistema de Consulta de Negocios) como
herramientas para resolver los problemas aherramientas para resolver los problemas a
fin de ver y comprender todos los conceptosfin de ver y comprender todos los conceptos
teóricos contenidos y aprender a usar eteóricos contenidos y aprender a usar e
interpretar los resultados de los paquetesinterpretar los resultados de los paquetes
del software a fin de resolver problemasdel software a fin de resolver problemas
prácticos de gran tamaño.prácticos de gran tamaño.

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