Apuntes

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones n
u m é r i c a s en l a s q u e u n a o m á s c a n t i d a d e s s o n d e s c o n o c i d
as. Estas cantidades se
llaman VARIABLES, INCÓGNITAS o INDETERMINADAS y se repres
entan porletras.
Una expresión algebraica es una combinación de letra
s y númerosligadas por los signos de las operaciones:
adición, sustracción,multiplicación, división y potenci
ación.
Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo,
hallar áreas yvolúmenes.
Ejemplos de expresiones algebraicas son:
Longitud de la circunferencia: L = 2 r, donde r es el r
adio de lacircunferencia.
2
Área del cuadrado: S = l , donde l es el lado del c
3
uadrado.Volumen del cubo: V = a , donde a es la
arista del cubo.
Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica,
para undeterminado valor, es el número que se obtiene a
l sustituir en ésta elvalor numérico dado y realizar las op
eraciones indicadas.
L(r) = 2 r
r = 5 cm. L (5)= 2 · · 5 = 10 cm
2
S(l) = l
1

2. 2 2
l = 5 cm A(5) = 5 = 25 cm
3
V(a) = a
2

3. 3
a = 5 cm V ( 5 ) =5 = 125 c
3
m
Clasificación de las expresiones algebraicas
Monomio
Un monomio es una expresión algebraica en la que l
as únicasoperaciones que aparecen entre las variables
son el producto y lapotencia de exponente natural.
Binomio
U n b i n o m i o e s u n a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a f o r m a d a p o r do s m
onomios.
Trinomio
Un trinomio es una expresión algebraica formada
por tresmonomios.
Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica formada por
más de unmonomio.
Monomi
os
Un MONOMIO es una expresión algebraica en la que l
as únicasoperaciones que aparecen entre las variables
son el producto y lapotencia de exponente natural.
2 3
2x y z
Partes de un mono
mio
Coeficiente
3

4. 3
a = 5 cm V ( 5 ) =5 = 125 c
3
E l c o e f i c i e nm e d e l m o n o m i o e s e l n ú m e r o q u e a p a r e c e m u l
t
tiplicando alas variables.
4

5. Parte lite
ral
La p a r t e l i t e r a l e s t á c o n s t i t u i d a p o r l a s l e t r a s y s u s e x p o n e
ntes.
Grado
El g r a d o d e u n m o n o m i o e s l a s u m a d e t o d o s l o s e x p o n e n
tes de lasletras o variables.
2 3
El grado de 2x y z es: 2 + 3 + 1 = 6
Monomios semeja
ntes
Dos monomios son semejantes cuando tienen la mi
sma parteliteral.
2 3 2 3
2x y z es semejante a 5x y z
Operaciones con monomios
Suma de Monomi
os
Sólo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene
la mismaparte literal y cuyo coeficiente es la suma de los
coeficientes.
n n n
ax + bx = (a + b)bx
2 3 2 3 2 3
2x y z + 3x y z = 5x y z
Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.
2 3 2 3
2x y + 3x y z
5

6. Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro
monomiosemejante cuyo coeficiente es el producto del c
oeficiente de monomiopor el número.
2 3 2 3
5 · 2x y z = 10x y z
Producto de mono
mios
El producto de monomios es otro monomio que tiene por
coeficienteel producto de los coeficientes y cuya pa
rte literal se obtienemultiplicando entre sí las partes
literales teniendo en cuenta laspropiedades de las pote
ncias.
n m n +m
ax · bx = (a · b)bx
2 3 2 2 2 5 3
5x y z · 2 y z = 10 x y z
Cociente de mono
mios
.
El cociente de monomios es otro monomio que tiene por
coeficienteel cociente de los coeficientes y cuya pa
rte literal se obtienedividiendo entre sí las partes l
iterales teniendo en cuenta laspropiedades de las pot
encias
n m n − m
ax : bx = (a : b)bx
Potencia de un mono
mio
6

7. Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada
elemento deéste, al exponente de la potencia.
7

8. n m m · m
(ax ) a · bx
n
=
3 3 3 3 3 8
(2x ) = 2 (x ) = 8x
2 3 3 3 2 6
( - 3x ) = ( - 3) (x ) = −27x
Concepto de polinomio de una sola variable
Un polinomio de una sola variable es una expresión alge
braica de laforma:
n n - 1 n - 2 1
P(x) = an x + an - 1 x + an - 2 x + ... + a1 x + a0
S i e n d o a n, a n -1 ... a 1 , a o n ú m e r o s , l l a m a d o s c o e f i c i e n t e s .
n un número natural.
x la variable o indetermi
nada.an es el coeficient
e principal.
ao es el término independiente.
Grado de un polino
mio
El g r a d o d e u n p o l i n o m i o P ( x ) e s e l m a y o r e x p o n e n t e
a l q u e s e e n c u e n t r a e l e v a d a l a v a r i a b l e x.
Tipos de polinom
ios
Polinomio nulo
El p o l i n o m i o n u l o t i e n e t o d o s s u s c o e f i c i e n t e s n u l o s .
Polinomio completo
Un polinomio completo tiene todos los términos desd
8

9. n m m
(ax ) a · bx · m
e e l = é r m i n o i nn d e p e n d i e n t e h a s t a e l t é r m i n o d e m a y o r g r a d o .
t
9

10. 3 2
P(x) = 2x + 3x + 5x
- 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo fo
rman estánescritos de mayor a menor grado.
3
P(x) = 2x + 5x - 3
Tipos de polinomios según su grado
Polinomio de grado cero
P(x) = 2
Polinomio de primer grado
P(x) = 3x + 2
Polinomio de segundo grado
2
P(x) = 2x + 3x + 2
Polinomio de tercer grado
3 2
P(x) = x - 2x + 3 x + 2
Polinomio de cuarto grado
4 3 2
P(x) = x + x - 2x + 3 x + 2
Valor numérico de un polinomio
El v a l o r n u m é r i c o d e u n p o l i n o m i o e s e l r e s u l t a d o q u e o
btenemos alsustituir la variable x por un número cualquiera.
3
P(x) = 2x + 5x - 3 ; x = 1
10

11. 3
P ( 1 ) = 2 ·1 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 =
4
Suma de polinom
ios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficien
tes de lostérminos del mismo grado.
3 2 3
P(x) = 2x + 5x - 3 Q ( x ) = 4 x - 3x + 2x
1Ordenamos los polinomios, si no l
3 2
o están.Q(x) = 2x - 3x + 4x
3 3 2
P(x) + Q(x) = (2x + 5x - 3) + (2x - 3x + 4x)
2Agrupamos los monomios del mism
3 3 2
o grado.P(x) + Q(x) = 2x + 2x - 3 x
+ 5x + 4x - 3
3Sumamos los monomios semejantes.
3 2
P ( x ) + Q ( x ) = 4 x - 3x + 9x - 3
Resta de polinom
ios
La resta de polinomios consiste en sumar el opu
esto delsustraendo.
3 3 2
P(x) − Q(x) = (2x + 5x - 3) − (2x - 3x
3 3
+ 4x)P(x) − Q(x) = 2x + 5x - 3 − 2x +
2 3 3 2
3x − 4xP(x) − Q(x) = 2x − 2x + 3x +
5x− 4x - 3
2
P(x) − Q(x) = 3 x + x - 3
11

12. Produc
to
Producto de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polino
mio y comocoeficientes el producto de los coeficientes
del polinomio por elnúmero.
3 2 3 2
3 · ( 2x - 3 x + 4x - 2) = 6x - 9x + 12x - 6
Producto de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los
m o n o m i o s que f o r m a n e l p o l i n o m i o .
2 3 2 5 4 3 2
3 x · (2x - 3x + 4x - 2) = 6x - 9x + 12x - 6x
Producto de polinomios
2 3 2
P(x) = 2x - 3 Q(x) = 2x - 3x + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio po
r todos loselementos segundo polinomio.
2 3 2
P(x) · Q(x) = (2x - 3) · (2x - 3x + 4x) =
5 4 3 3 2
= 4x − 6x + 8x − 6x + 9x − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
5 4 3 2
= 4x − 6x + 2x + 9x − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los
grados delos polinomios que se multiplican.
12

13. Cociente de polinomios
Resolver el cociente:
5 3 2
P(x) = 2x + 2x −x - 8 Q(x) = 3x −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polino
mio n o e s c o m p l e t o d e j a m o s hue c o s e n l o s l u g a r e s q u e c o r r e
spondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Realizamos el cociente entre el primer monomio del
dividendo yel primer monomio del divisor.
5 2 3
x : x = x
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por
el resultadoanterior y lo restamos del polinomio dividend
o:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo ent
re el primermonomio del divisor. Y el resultado lo multipli
camos por el divisor y lorestamos al dividendo.
4 2 2
2x : x = 2 x
13

14. 14

15. Procedemos igual que antes.
3 2
5x : x = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
2 2
8x : x = 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del
divisor ypor tanto no se puede continuar dividiendo.
3 2
x +2x +5x+8 es el cociente.
10

16. Identidades nota
bles
Binomio al cuadrado
2 2 2
( a - b) = a - 2 · a · b + b
2 2 2 2
(x + 3) = x + 2 · x ·3 + 3 = x + 6 x + 9
2 2 2 2
(2x − 3) = (2x) − 2 · 2x · 3 + 3 = 4x − 12 x + 9
Un binomio al cuadrado es igual es igual al cuadrado
del primertérmino más, o menos, el doble producto del p
rimero por el segundomás el cuadrado segundo
Suma por diferencia
Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
2 2
(a + b) · (a − b) = a − b
Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
11

17. 2 2 2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x) − 5 = 4x − 25
Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es el cociente de dos polin
omios y serepresenta por:
P(x) es el numerador y Q(x) el denominador.
Fracciones algebraicas equivalentes
Dos fracciones algebraicas
son equivalentes, y lo representamos por:
si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).
son equivalentes po
rque:(x+2) ·(x+2) = x
2
− 4
Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numer
ador y el
denominador de dicha fracción por un mismo polinomio
distinto decero, la fracción algebraica resultante es equi
valente a la dada. 12

18. Simplificación de fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica se divide el
numerador yel denominador de la fracción por un polinom
io que sea factor comúnde ambos.
13

19. Simplificación de fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica se divide el
numerador yel denominador de la fracción por un polinom
io que sea factor comúnde ambos.
13

20. Simplificación de fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica se divide el
numerador yel denominador de la fracción por un polinom
io que sea factor comúnde ambos.
13