Ie 440-cap6

Notas del Curso

IE-440-01, Capitulo 6

Dr. José Luis Vázquez González

Depto. de Ing. Electrónica UDLA-P

Lugar Geométrico de las raíces
El lugar geométrico de las raíces (root locus, por su nombre en inglés), es una
representación gráfica de los polos de lazo cerrado cuando varía un parámetro
en el sistema, es un poderoso método de análisis y diseño para estabilidad y
respuesta transitoria. El lugar geométrico de las raíces se puede utilizar para
describir cualitativamente la operación de un sistema cuando se cambian varios
parámetros. Por ejemplo, el efecto de variar la ganancia en el sobrepaso
máximo, en el tiempo de asentamiento, y en el tiempo pico.
El método consiste en realizar una búsqueda exhaustiva en el plano S de todos
los puntos que satisfacen la ecuación característica de un sistema de control de
lazo cerrado.

C ( s) kG ( s )
R(s) C(s) =
k G(s)
R ( s ) 1 + kG ( s ) H ( s )

1 + kG ( s ) H ( s ) = 0
H(s)

30/08/2007 ® Dr. José Luis Vázquez González UDLA-P 2

Evaluación de una función compleja por medio de
vectores
Problema: Dada la siguiente función de transferencia,
s +1
F (s) =
s ( s + 2)
Encuentre F(s) en el punto s=-3+j4.

l1
nz
l3
θ3
l2
θ2 θ1
Πl
i =1
i
l2
F ( s ) s = −3+ 4 j = =
X O X np (l1 )(l3 )
Πl
i =1
i

nz np
< F ( s ) s = −3+ 4 j = ∑θ − ∑θ
i =1
i
i =1
i = θ 2 − (θ1 + θ 3 )


Lugar Geométrico de las raíces
Considere el sistema de la figura. Determine la posible ubicación de los polos de lazo
cerrado del sistema cuando el valor de K varía de cero a infinito.

R(s ) K C (s )
+
- s ( s + 5)

La función de transferencia de lazo cerrado del sistema será:

C ( s) G ( s) K
= = 2
R ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) s + 5s + K
La ecuación característica del sistema nos da la ubicación de los polos de lazo cerrado:

1 + G ( s ) H ( s ) = s 2 + 5s + K = 0


Gráfica RL

X X


Determinando el valor de k
El punto de intersección de una de las ramas del lugar de las raíces con la línea
que representa un ángulo de 45° es: s=-2.5+2.5j el cuál se puede comprobar
mediante la condición de ángulo que efectivamente es un polo de lazo cerrado.

1
< G ( s ) H ( s ) s = −2.5+ 2.5 j = = −(135° + 45°) = −180°
s ( s + 5) s = −2.5+ 2.5 j

La condición de magnitud nos permite determinar el valor de k para el cuál se
obtiene el coeficiente de amortiguamiento deseado.

kG ( s ) H ( s ) s = −2.5+ 2.5 j = 1
1 1 1
G ( s ) H ( s ) s = −2.5+ 2.5 j = = =
l1l2 12.5 12.5 12.5
1
k= = 12.5
G ( s ) H ( s ) s = −2.5+ 2.5 j


Respuesta al escalón


Ejercicio:
Considere el sistema de la figura. Determine el valor de k que permite al sistema mostrar
una respuesta al escalón con un Máximo Sobre impulso del 16.3%

R(s ) k C (s )
+
- s ( s + 1)( s + 2)

Recordemos que un sistema de orden superior puede ser aproximado por un sistema de
segundo orden aprovechando la aproximación de polos dominantes, pensando en esto y
recordando que el Máximo sobre impulso de un sistema solo depende del coeficiente de
amortiguamiento, entonces obtengamos que valor de coeficiente de amortiguamiento nos
piden para este ejercicio.
πζ
−
1−ζ 2
Mp =e
Obtengamos ahora la
− ln (M p ) gráfica del lugar
ζ = = 0.5
π + [ln (M p )]
geométrico de las raíces.
2 2


Lugar de las raíces cuando el parámetro no aparece como factor multiplicativo
Considere el sistema de la figura. Determine el valor de a tal que el factor de
amortiguamiento, ζ, de los polos dominantes en lazo cerrado sea 0.5.

R(s )
+
s+a 2 C (s )
-
s ( s + 1)( s + 3)

La ecuación característica del sistema será:

2( s + a )
1 + G (s) H (s) = 1 + =0
s ( s + 1)( s + 3)
Esta ecuación característica puede rescribirse como:

s ( s + 1)( s + 3) + 2( s + a ) s 3 + 4 s 2 + 5s + 2a
= =0
s ( s + 1)( s + 3) s ( s + 1)( s + 3)


Por lo que es posible utilizar factorización para obtener una ecuación característica
equivalente de la siguiente forma:

2a k
1+ 3 = 1+ =0
s + 4 s + 5s
2
s ( s + 4s + 5)
2

La gráfica del Lugar Geométrico de las raíces para este sistema será:


Para obtener el valor de a que permita obtener polos dominantes de lazo cerrado con
coeficiente de amortiguamiento de 0.5, utilizamos MATLAB.

» sgrid(0.5,[])
» [k,polos]=rlocfind(num,den)
Select a point in the graphics window
selected_point =
-0.6303 + 1.0575i
k=
4.1715
polos =
-2.7276
-0.6362 + 1.0605i
-0.6362 - 1.0605i

»
k 4.18
a= = = 2.09
2 2

Ahora comprobemos la respuesta al escalón del sistema con el valor de a obtenido
mediante el proceso anterior, recordemos que la función de transferencia de lazo cerrado
será:
2( s + 2.09)
C (s) s ( s + 1)( s + 3) 2( s + 2.09)
= =
R( s) 1 + 2( s + 2.09) s ( s + 1)( s + 3) + 2( s + 2.09)
s ( s + 1)( s + 3)
2 s + 4.18
= 3
s + 4 s 2 + 5s + 4.18


Con ayuda de MATLAB obtenemos la respuesta al escalón de esta función.

» num=[2 4.18];
» den=[1 4 5 4.18];
» step(num,den)


Diseño de control Proporcional Derivativo
Considere el sistema de la figura. Diseñe el controlador Proporcional Derivativo de tal
forma que el sistema presente una respuesta al escalón unitario con un factor de
amortiguamiento, ζ, de los polos dominantes en lazo cerrado de 0.5 y una frecuencia
natural no amortiguada, ωn,de 4 rad/seg.

R(s ) 1 C ( s)
+ k p + kD s
- s ( s + 2)

La ecuación característica del sistema sin considerar al controlador será:
1
1 + G (s) H (s) = 1 +
s ( s + 2)
Así mismo, la función de transferencia del controlador se puede escribir como:

⎛ kp ⎞
Gc ( s ) = k p + k D s = k D ⎜ s + ⎟
⎜
⎝ kD ⎟
⎠


El objetivo del diseñador es encontrar los valores de kp y kD que permitan cumplir las
especificaciones de diseño, por otro lado las especificaciones de diseño nos dicen donde
deben estar ubicados los polos de lazo cerrado del sistema.
El primer paso será entonces obtener la Gráfica del Lugar de las raíces del sistema
original y la ubicación de los polos deseados:
Recordemos que:

cos θ = ζ

Mientras que ωn es la distancia que existe entre los polos de lazo cerrado y el origen en el
plano S
Para obtener la ubicación exacta podemos utilizar la instrucción sgrid en MATLAB en la
siguiente forma:
>>sgrid(0.5,4);

Y la intersección entre la línea de 60° y la circunferencia de radio 4, nos da que la
ubicación deseada es s=-2±j2√3.


X


Al evaluar el ángulo de la función de transferencia del sistema en el punto de diseño
obtenemos:
1
G ( s ) H ( s ) s = −2± j 2 = = −210°
3
s ( s + 2) s = −2+ j 2 3

Lo cual nos indica que el cero del controlador debe contribuir en 30° para que las ramas del
lugar de las raíces pasen por el punto de diseño solicitado. Esto se logra con ubicar al cero
en s=-8 y se puede comprobar utilizando MATLAB.

Por último, solo nos resta determinar para que valor de kD, los polos de lazo cerrado del
sistema cumplen las especificaciones de diseño y eso lo podemos determinar utilizando
MATLAB. Con lo cuál obtenemos tanto la función de transferencia del controlador PD como
la función de transferencia de lazo cerrado del sistema con compensador:

Gc ( s ) = 1.85( s + 8) = 14.8 + 1.85s C (s) 1.85( s + 8)
= 2
R ( s ) s + 3.85s + 14.8


X


selected_point =
-2.0184 + 3.2749i
k=
1.8474
polos =
-1.9237 + 3.3285i
-1.9237 - 3.3285i


Diseño de un compensador de adelanto mediante la cancelación de polo
En el ejemplo anterior la desventaja de utilizar un control PD es que su función de
transferencia tiene un cero y no tiene polos, es decir la función de transferencia es no
propia lo que implica que no existe un sistema físico que nos de tal función de transferencia
por lo que debemos buscar otra alternativa.
Una posible opción para resolver el problema anterior es utilizar un compensador de
adelanto. La función de transferencia del compensador de adelanto es:

k ( s + a)
Gc ( s ) =
( s + b)

La cual como podrá notarse tiene un polo en s=–b y un cero en s=–a ademas de un factor
de ganancia ajustable k. Existen dos formas de diseñar el compensador, la primera de ellas
es utilizando la técnica de cancelación de polos para lo cuál el cero debe ubicarse en el
mismo lugar que uno de los polos de la Función de transferencia del sistema, en este caso
a=2 y el polo se debe ubicar de forma tal que permita a las ramas del lugar de las raíces
pasar por el punto donde se deben ubicar los polos de lazo cerrado, en este caso b=4 y por
último, se obtiene el valor de la ganancia mediante el proceso ya conocido.
Observemos como hacer el diseño con la ayuda de MATLAB.


num=[1 2];
» den=conv([1 2 0],[1 4]);
» rlocus(num,den)
» grid
» sgrid(0.5,4)
selected_point =
-2.0000 + 3.4152i
k=
15.6636
polos =
-2.0000 + 3.4152i
-2.0000 - 3.4152i
-2.0000


Es decir la ganancia debe ser de 16, puede comprobarse determinando el valor de
ganancia mediante el método de fasores, recuerde que el punto elegido sobre la gráfica
solo es aproximado. La Función de transferencia del compensador es:

16( s + 2)
Gc ( s ) =
( s + 4)

La función de transferencia de lazo cerrado del sistema con compensador será:

C (s) 16
= 2
R ( s ) s + 4 s + 16

Obviamente hacer el diseño del compensador de adelanto por este método no es lo más
recomendable ya que nos exponemos a que la cancelación del polo no sea exacta y por lo
tanto tengamos problemas de otra índole. Por lo que expondremos otra posible forma de
diseñar este compensador a continuación.


Diseño del compensador de adelanto sin utilizar la cancelación de polos.
Considere el sistema con realimentación unitaria y F.T. directa:
1
G (s) =
s ( s + 2)

Se desean modificar los polos de lazo cerrado de modo que se obtenga ζ=0.5 y ωn=4.

Como primer paso, ubicamos la posición de los polos de lazo cerrado, los cuales en este caso
deben ser en: s = −2 ± j 2 3

A continuación con la ayuda de MATLAB y la función rlocus trazamos el LGR para el sistema sin
compensar. Observando la Gráfica del LGR es fácil determinar que un solo ajuste de ganancia no
es necesario por lo tanto utilizaremos un compensador de adelanto.
En este sistema el ángulo de G(s) en el polo de lazo cerrado deseado es:

1
= −210°
s ( s + 2) s = −2+ j 2 3

Así es que el compensador debe contribuir con φ=30° en este punto.


15°
15°


El polo del compensador deberá ubicarse en -5.4 mientras que el cero deberá ubicarse en -2.9.
La función de transferencia del sistema compensado será por lo tanto

s + 2 .9 1 k ( s + 2.9)
Gc ( s )G ( s ) = k =
( s + 5.4) s ( s + 2) s ( s + 2)( s + 5.4)
considerando la condición de magnitud la ganancia k puede ser evaluada como:

k ( s + 2 .9 )
=1
s ( s + 2)( s + 5.4) s = −2+ j 2 3

Lo cual da k=18.7 y por lo tanto la función de transferencia del compensador en
adelanto será:
0.345 s + 1
Gc ( s ) = 2.51
0.185 s + 1
Mientras que la función de transferencia de lazo cerrada es:

C (s) 18.7( s + 2.9)
= 3
R ( s ) s + 7.4 s 2 + 29.5s + 54.23

Para finalizar hagamos una comparación de los tres diseños mediante las curvas de
respuesta al escalón de cada uno de ellos.


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