LA geometria como parte de la vida diaria

1. Juan Serrano, MA
www.profjserrano.wordpress.com

2. 1.1 Puntos líneas, planos y ángulos
EXAMEN (1)
1.2 Curvas, polígonos y círculos
1.3 Perímetro, área y circunferencia
EXAMEN (2 - 3)
1.4 Geometría de los triángulos
I. Congruencia
II. Similitud
III. Teorema de Pitágoras
1.5 Figuras en el espacio
I. Volumen
II. Área superficial
EXAMEN (4 – 5) 2

3. Puntos, líneas y planos
 Hay ciertas conversiones y símbolos aceptados universalmente que se
emplea para representar un puntos, líneas, planos y ángulos. Por lo
general, una letra mayúscula representa un punto. Una línea se denota
con dos letras mayúsculas de modo que representan los puntos que
quedan sobre ella o con una sola letra (minúscula, en general) como l .
• Por ejemplo l1 y l2 representan dos líneas distintas. Un plano se denota
con tres letras mayúsculas que representan pun tos que se ubican sobre
el o con una letra griega del alfabeto como ∝ 𝑎𝑙𝑓𝑎 , 𝛽 𝑏𝑒𝑡𝑎 , 𝛾 gama .
3

4. 4
∝
. 𝐴
l
. 𝐸
. 𝐷
Plano
Figura 1
Media Línea
Media Línea
A
Figura 2
A
A B
Segmento de línea AB
A B
Rayos AB
Rayo BA B
Figura 3
Ejemplos:

5. 5

6. 6

7. ANGULOS
7

8. C DO
A
B
ANGULO.Es la abertura formado por dos rayos
divergentes que tienen un extremo común que se
denomina vértice.
ELEMENTOS DE UN ANGULO:
8

9. A
Mayor que 0, pero menor
de 180 grados.
Mayor que 0, pero
menor de 90 grados.B
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
a) ÁNGULO CONVEXO
1) ÁNGULO AGUDO
9

10. Angulo de 90 grados
B
Mayor de 90 grados. Pero
meno de 180 grados.
A
2) ÁNGULO RECTO
3) ÁNGULO OBTUSO
10

11. 11
PARE
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
B
AO
C
F
G
H
20
120
140
m BOC
m FOG
m GOH
m COF
m GOB
m HOA
m GOC
m GOF
Solución:
= 70
= 50
= 10
= 30
= 150
= 180
= 80
= 50
I. Resuelve. Halla la medida de cada ángulo:

12. PARE
II. Resuelve. Halla la medida de cada ángulo.
50
B
F
O
C
A
E
D
Solución:







FODm7)
AOFm6)
COFm5)
AOEm4)
AOCm3)
DOCm2)
FOBm1) 50
180
90
50
40
130
140
12

13. PRÁCTICA ADÍCIONAL: (RELACIÓN DE
ÁNGULOS):
`125
x
yz
Solución:
X = 125
Y = 55
Z = 55
Opuestos por el vértice.
Par lineal con 125 o con x.
Opuesto por el vértice o par lineal.
13

14. RELACIÓN ENTRE
ÁNGULOS
14

15. A  B = 90º
C + D = 180º
DC
A
B
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
15

16. A
B A B
C
A B
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN
a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Son congruentes
Puede formar más ángulosUn lado común
16

17. Transportador: instrumento que se utiliza para medir ángulos.
17

18. EJEMPLO 1:
HALLA EL VALOR DE X Y LA MEDIDA DEL
ÁNGULO
 16 20x 
 13 7x 
   16 20 13 7x x  
Son congruentes
18

19. EJEMPLO 2:
HALLA EL VALOR DE X Y LA MEDIDA DEL
ÁNGULO:
1 2
Si la medida del <1 = 2x – 40, y la m<2 es 40 entonces <1 es?
Son suplementarios
19

20. I. es la bisectriz del y es la
bisectriz del . Calcula la medida de cada
ángulo.
CF ECA CD
ECB
1)
2)
3)
4)
5)
Halla la si
4 2 3, 90m x m ECA  
3 5 10, 135m x m ACD  
90 , 160m FCD x m ACD  
140, 4 10 10m FCB m x  
4 9 9 , 3 9 2, 2 5 2.m x m x m x     
,m DCA 120 .m DCA x 
20
1
D
C
E
A
G
23
4
5
F

21. II. EN CADA UNA DE LAS SIGUIENTES SITUACIONES HALLA
EL VALOR DE LA VARIABLE Y LA MEDIDA DE CADA ÁNGULO.
5x
x + 16
1)
2)
(7x + 10) 3x
3)
(4x + 3)
(x – 8)
4)
26
64
4x
Opuestos por el vértice
Suplementarios
Complementarios
Opuestos por el vértice
21

22. III. EN CADA UNA DE LAS SIGUIENTES SITUACIONES HALLA
LA MEDIDA DE CADA ÁNGULO.
(5x + 10)
(7x + 20)
(3x + 18)
1)
2)
A
B
C
D
(5y + 5)
(7x – 11)
(6x – 3)
Para hallar X; suplementarios
Para hallar X
Para hallar Y
complementarios
Opuesto por el
vértice
Para hallar la segunda X; sustituir
22

23. PRÁCTICA ADICIONAL:
IV. En cada una de las siguientes situaciones halla la medida de
cada ángulo.
X
85
1) 2)
2X
3X
X
3)
100
xy
z
Complementarios Suplementarios Opuestos por el vértice
4)
145 k + 5
Suplementarios
5)
135
2x – 5
Opuestos por el vértice
X
6)
4x – 10
Complementarios
O
Suplementarios
23

24. Examen
24

25. TEMA:
RECTAS PARALELAS &
TRANSVERSALES
25

26. INTRODUCCIÓN
Cuando dos planos no se intersecan, reciben el nombre
planos paralelos. De la misma manera son paralelas las
rectas en un mismo plano que no se intersecan. Pero
cuando estas no están en el mismo plano y no se
intersecan reciben el nombre de rectas alabeadas o rectas
oblicuas. Una recta que interseca dos o más rectas en un
mismo plano y en puntos distintos recibe el nombre de
transversal.
26

27. Son dos rectas o segmentos que no se intersecan. Estos van en
la misma dirección.
Ejemplo: dos rectas paralelas
n
m A B
C D
E F
G H
Ejemplo: planos paralelos
Utilizar plasticina y los segmentos dados para construir cada figura.
Se recomienda que cada segmento tenga la misma medida. Esto
para construir un cuadrado.
27

28. RECTAS OBLICUAS
Ejemplo:
A B
C D
E F
G H
28

29. 01. Ángulos alternos internos:
m 3 = m 5; m 4 = m 6
02. Ángulos alternos externos:
m 1 = m 7; m 2 = m 8
03. Ángulos internos consecutivos:
m 3+m 6=180
m 4+m 5=180°
04. Ángulos NO definidos:
m 1+m 8=180 m 2+m 5=180
m 2+m 7=180 m 2+m 7=180
m 2+m 5=180 m 1+m 6=180
m 3+m 8=180 m 4+m 7=180
05. Ángulos correspondientes:
m 1 = m 5; m 4 = m 8
m 2 = m 6; m 3 = m 7
DOS RECTAS PARALELAS
CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL
1 2
34
5 6
78
Construir con segmentos
29

30. M
N
P Q
O
R
Ejemplo 1: Identifica los planos y rectas paralelas
Contesta las siguientes preguntas:
Construir la figura utilizando plasticina
1) Identifica dos pares de segmentos paralelos.
2) Identifica dos transversales de las rectas NO y PQ.
3) Identifica un segmento paralelo al plano MRQO.
4) Identifica un par de planos paralelos.
5) Menciona todos los planos paralelos posibles.
30

31. A B
F G
E C
D J H
I
Contesta las siguientes preguntas:
1) Identifica TODOS los segmentos paralelos posibles.
2) Qué segmento es paralelo con BG.
3) Que segmento es paralelo con GH.
4) Identifica un plano paralelo con el plano FGHJI.
31

32. EJEMPLO 2:
RECTAS PARALELAS Y
TRANSVERSALES
1 2
3 4 5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
15 16
Suplementarios
Opuestos por el vértice
Correspondientes
Correspondientes
Internos consecutivos
Angulos Alternos Externos
Relación de ángulos:
1) <1 y <2
2) <2 y < 3
3) <9 y <13
4) <2 y <6
5) <2 y <5
6) <1 y <8
7) <9 y <16
8) <12 y <15
Alternos Externos
Internos consecutivos
32

33.  Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal entonces los siguientes
pares de ángulos son congruentes.
33

34. RELACION SEGUN SU
MEDIDA
(CONGRUENCIA)
 Ángulos que tienen la misma medida:
 Ángulos alternos internos
 Ángulos alternos externos
 Ángulos correspondientes
 Ángulos opuestos por el vértice
34

35. RELACION SEGUN SU
MEDIDA
(SUPLEMENTARIOS)
 Ángulos que la suma de sus medidas es 180:
 Par lineal
 Internos consecutivos
 Ángulos NO Definidos
35

36. EJERCICIO DE PRÁCTICA: EN LA FIGURA, N ES
PARALELO CON O. HALLA LA MEDIDA DE CADA ÁNGULO:
o
n
t
1 8
2 7
3 6
4 5
Resuelve:
1) Si la m<7 = 100, halla la m<3.
2) Si la m<7 = 95, halla la m<6.
3) Si la m<1 = 120, halla la m<5.
4) Si la m<4 = 20, halla la m<7.
5) Si la m<3 = 140, halla la m<8.
6) Si la m<4 = 30, halla la m<1.
7) Si la m<4 = 40, halla la m<2.
8) Si la m<7 = 125, halla la m<4.
9) Si la m<1 + m<3 = 230, halla
la m<6.
Alternos Internos
Consecutivos
Alterno Externos
No Definidos
No Definidos
No Definidos
Correspondientes
No definidos
Par lineal o Suplementario
36

37. 115
1
2
3
4
32
1) M<1 =
2) M<2 =
3) M<3 =
4) M<4 =
s
t
Alternos Internos
Opuestos por el vértice
Internos consecutivos
Opuestos por el vértice
115
115
148
148
37

38. HALLA LA RELACIÓN DE
ÁNGULOS
1 2 3 4
8 7 6 5
15 16 9 10
14 13 11 12
1) Angulos Alternos Externos
2) Angulos Internos Consecutivos
3) Angulos Alternos Internos
4) Angulos Correspondientes
r
s
l m
Opcional:
3 y 12; 4 y 11; 1 y 13; 2 y 14;
8 y 15; 7 y 16; 6 y 9; 5 y 10; 7 y 6; 16 y 9; 2 y 3; 13 y 11
8 y 16; 7 y 15; 6 y 10; 5 y 9
1 y 15; 8 y 14; 2 y 16; 7 y 13; 3 y 9; 6 y 11; 4 y 10; 5 y 12
1 y 3; 2 y 4; 8 y 6; 7 y 5; 15 y 9; 16 y 10; 14 y 11; 13 y 12 38

39. Halla el valor de la variable:
r
s
(3x – 15)
(2x + 7)
Paso 1: Establecer relación de ángulos.
Angulos correspondientes
Paso 2: Establecer la ecuación algebraica.
3x – 15 = 2x + 7
Paso 3: Resolver para hallar x:
OBSERVAR PROCESO EN LA PIZARRA PARA
HALLAR EL VALOR DE LA VARIABLE
Ejemplo1:
39

40. EJERCICIO DE
PRACTICA: (1)
1)
120 x
(3y + 6)
2)
4z 2x
H T 72
(5y + 2) K
M (3w + 20)
(2w + 40)
3)
40

41. EJERCICIO DE PRACTICA:
(2)
(4x – 10)
(2x + 20)
1) 2) 2x
(3x + 40)
3)
(5x – 10)
(8x – 5)
4)
(½ x + 40)
5)
(4x)
100
41

42. EJERCICIO DE
PRACTICA: (3)
(3x + 5)
(x – 5)
1)
Opcional
2) 105
k
42