geometria plana 2

1. Desarrollode clase 2
Recordandoladefiniciónde ángulosopuestosporel vértice
Ángulosopuestosporel vértice.- Definición Dosángulosson opuestosporel vértice si losladosde
unoson la prolongación de losladosdel otro.
Teorema:
Ángulos opuestosporel vértice soniguales
Hipótesis:α yβ opuestosporel vértice
Tesis:α = β
Demostración:
α + γ = 180º porser adyacentes.
β + γ = 180º por seradyacentes.
Por consecuenciadel corolariode lapropiedadtransitiva,losprimerostérminosdebenser
igualesentre sí:
α + γ = β + γ
Y dado que γ esigual a sí mismo,restándoloenambosmiembrosde laigualdad:
(α + γ) - γ = (β + γ) - γ
α = β
Corolario:las bisectrices de dosángulosopuestosporel vértice son coloniales
Definición de paralelas:
Partiendo del quinto postulado de Euclides que dice:
Y que si una recta al incidirsobre dos rectas (transversal) hace los ángulosinternosdel mismo
ladomenoresque dosrectos,las dosrectas prolongadasindefinidamente se encontraránenel
lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

2. m + n < 180 °
AB y CD se cortarán
Este postulado es equivalente a la siguiente afirmación:
Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internosdel mismo ladoigual que dos
rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente nunca se encontrarán. Por lo tanto son
paralelas entre sí.
m + n = 180 °
AB y CD no se cortarán, por lo tanto AB y CD paralelas.
Este postulado se conoce como el Postulado de paralelas que generalmente se enuncia de la
siguiente manera:
Si se tiene dos rectas paralelas y una transversal, los ángulos internos de mismo lado de la
transversal son suplementarios, y recíprocamente, si dos rectas de un plano forman con una
transversal, ángulos internos del mismo lado de la transversal suplementarios, las dos rectas
son paralelas.
Ángulosformados por dos paralelas y una transversal
Teorema:
Ángulos alternosinternos,alternosexternosycorrespondientes formadosporunatransversa
con doslíneasparalelas soniguales.
Ejemplode demostración:
Hipótesis:l paralelaam

3. α y β alternosinternos
Tesis:α = β
Demostración:
 = 180 ° por el quinto postulado de Euclides
 = 180 ° por adyacentes
Por lotanto
 =
A doscantidadesigualesse restancantidadesigualesse obtiene otra igualdad(postuladode
lasmatemáticas)
Por lotanto α = β l.q.q.d
Teorema: si dosángulostienensusladosrespectivamente paralelossoncongruenteso
suplementarios.
Dato o hipótesis: OB paralelaYW
OA paraleloXZ
Tesis: < AOB= < XPW
< p´ essuplementode <AOB
Teorema: Si dosángulostienensusladosrespectivamente perpendicularessoniguales(siambos
son agudoso ambossonobtusos) o suplementarios(si unoesagudoyel otro es obtuso).

4. Resolverlos siguientesejercicios
 En las siguientesproposiciones,indicarcuál esla hipótesisycuál eslatesis.
a) Si un númeroterminaencero,entoncesesdivisible por10.
b) Si un númeroesdivisible por10, entoncesterminaencero.
c) Si dos rectas al ser intersectadasporunatransversal producenángulosalternos internos
de igual medida,lasrectassonparalelas.
d) Dados dosángulos,unoagudoy el otro obtuso,si tienensusladosrespectivamente
perpendiculares,sonsuplementarios.
e) En un triángulorectángulo,el cuadradode lahipotenusaesigual alasuma de los
cuadradosde loscatetos.
f) Dadas dosrectas paralelascortadaspor unatransversal,lasbisectricesde dos ángulos
internosdel mismoladode latransversal se intersectanformandoun ángulorecto.
g) Las bisectricesde dosángulosadyacentessuplementariossonperpendiculares.
h) Si desde unpuntofuerade unarecta se trazan oblicuasala recta cuyospies equidistandel
pie de la perpendiculartrazadadesde el mismopunto,lasoblicuas formanángulosde
igual medidaconla perpendicular.
 Los siguientesparesde ángulostienensusladosrespectivamente paralelos.Argumenta
porque entalescasosson igualesosuplementarios
 Demostrarque las bisectricesde dosángulosopuestosporel vértice sonsemirrectas
opuestas,esdecir,son partesde una mismarecta.
- Determine lamedidade x enlafigura,considerandoque L1// L2:

5. - Calcularel valorde x enla siguiente figura,considerandoque ysonparalelasL1 L 2
- L1 // L2, y L4 esbisectrizdel ánguloformadoporlaintersección de
L3 y L2. Determine el valorde “x”:
- Calcularx si:L1//L2
a) 10°
b) 20°
c) 30°
d) 40°
e) 50°
- En la figuraL1//L2 y L3//L4, el valornuméricode 3xº - 12º es:
a) 15°
b)16°
c)17°
d) 18°
e) 19°
- SiendoL1 //L2. Calcule:“x + y”

6. A) 90°
B) 180°
C) 270°
D) 255°
E) 360°
- Encuentre el ángulox enlossiguientesgráficos:

7. Toma de la primeralecciónhastaeste numeral incluidaclase 1

8. Poligonalesypolígonos
Definiciones
Poligonal:esuna líneacontinuaque se obtiene porlauniónde segmentosde rectaque tiene
distintasdirecciones.
Se denominapoligonalabiertacuandoel primerpuntoyúltimonocoincidenypoligonal cerrada
cuandoel primery últimopuntocoinciden.
Polígono.- Esla regiónde planolimitadaporunalíneapoligonal cerrada.
Elementos de un polígono
Lado.- Es cada unode los segmentosque formanlalíneapoligonalque limitaal polígono.
Vértice.- Sonlospuntosdonde se cortanloslados.
Ángulointerno.- Laregiónde planocomprendidaentre dosladosal cortarse enun puntollamado
vértice.
Diagonal.- Sonlossegmentosque unendosvérticesnoconsecutivos.
Anguloexterior.- eslaregiónde planocomprendidaentre laprolongaciónde unode losladosy
otro de losladosno prolongados
Clasificaciónde los polígonos:puedenserconvexosynoconvexosocóncavos.

9. Los polígonosse clasificanpor su número de lados en:
11 ladosendecágono
12 ladosdodecágono
15 pentadecágono
20 isodecágono
Propiedades:(demostrar)
Numéricamente lados,vértices,ángulosinteriores yángulosexteriores soniguales.
A partirde unvértice se puedentrazarn-3 diagonales.
El número total de diagonales que puede trazarse en un polígono es
Al trazar diagonalesde un mismovértice se obtienenn-2triángulos.

10. La sumade las medidasde losángulosinternosde unpolígonode nladosesigual a 2rectos(n-2).
La sumade las medidasde losángulosexternosde unpolígonode nladosesigual a 4rectos.
Ejercicios:
- Calcúlese lasumade lasmedidasde losángulosinternos(enmúltiplosde 180°) de un
polígonode 9 ladosy de unode 32 lados.
- Calcúlese lasumade lasmedidasde losángulosinternosde unpolígonode 32 ladosy
unode 1002.
- Calcúlese el numeróde ladosde un polígonosi lasumade lasmedidasde susángulosson
28 ángulosllanos;20 ángulosrectos;4 500°; 36 000°.
- Calcúlese cadaángulointernode uncuadriláterosi estosrepresentanx +15, 3x + 20, 2x +
45 y 60 – x
- Encontrar el total de diagonalesde lossiguientespolígonos
endecágonoR= ___________
tridecágono (13) lados R = ___________
pentadecágonoR=____________
- Cuál es el polígonoque tiene …………………………….
1) Doble de diagonalesque de lados?R:______
2) Triple de diagonalesque de lados?R:______
3) Cuádruple de diagonalesque de lados?R:______
4) 3 diagonalesmásque lados?R:______
5) 12 diagonalesmásque lados?R:______
6) 25 diagonalesmásque lados?R:______
7) Exactamente 54 diagonalesR:_______
8) Exactamente 14 diagonales?R:______
9) Exactamente 90 diagonales?R:_______

11. - Los ángulosinterioresB,C y D de un pentágonoconvexoABCDEmiden70°,160° y 50°
respectivamente.Lasbisectrices interioresde losángulosBAEy AED,formanun ángulo
que mide:
A) 30° B) 35° C) 40° D) 45° E) 50°
Polígonos regulares: Definición: un polígono es regular si sus lados tienen igual longitud y sus
ángulos igual medida.
Los polígonosregularestienencentro,esdecirunpuntoequidistante de losladosylosvérticesdel
mismo.

12. Ejercicios:
- Es un polígonoregularABCDE...lam ACE =144°. ¿Cuántas diagonalestiene?
A) 100 B) 150 C) 160 D) 170 E) 190
- Las medidasde losángulosinteriores de dospolígonosconvexosregulares se diferencian
en20° y las medidasde losángulosexterioressuman100°. ¿Cuántasdiagonalestienenel
polígonode mayornúmerode lados?
A) 27 B) 18 C) 32 D) 40 E) 52
- Se tienendospolígonosregulares cuyosnúmerosde diagonalesse diferenciasen342 y
cuyas medidas de susángulos,centralesestánen larelaciónde 2 a 3. Hallarla diferencia
de las medidasde sus ángulosinteriores.
A) 5° B) 25° C)10° D) 40° E) 50°
- Calcularel ángulocentral de un polígonoregularendonde al disminuir el númerode lados
en2 máximos númerosde diagonalesdisminuye en 15.
A) 30° B) 45° C)36° D) 70° E) 90°