Matemáticas aplicadas a la ingeniería Petrolera

Matemáticas aplicadas a
la ingeniería petrolera
Jetzabeth Ramírez Sabag

Título de la obra original
Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera
D.R. © Jetzabeth Ramírez Sabag
D.R. © Reverté Ediciones S.A. de C.V. Río Pánuco 141, Col. Cuauhtémoc,
Del. Cuauhtémoc, C.P. 06500 México D.F.
ISBN México: 978-607-7815-09-9
ISBN España: 978-84-291-7914-9
Primera edición 2013
Reimpresión digital 2014
DISEÑO DE CUBIERTA: SANTIAGO ROBLES
DISEÑO Y FORMACIÓN DE INTERIORES: VÍCTOR M. MONTALVO
CORRECCIÓN DE ESTILO: ARADAI PARDO MARTÍNEZ
Reservados todos los derechos. No se permite la reproducción, total o
parcial, de este libro, ni el almacenamiento en un sistema informático, ni
la transmisión de cualquier forma o cualquier medio, electrónico,
mecánico, fotocopia, registro u otros medios sin el permiso previo y por
escrito de los titulares del copyright.
Impreso en España - Printed in Spain
DL B 12027-2014
Impreso por Arvato Services Iberia, S. A.
# 1389

Índice
Prólogo XIX
Capítulo 1. Planteamiento matemático de problemas 1
1.1 Introducción al planteamiento matemático de problemas 2
1.1.1 Ejemplo 1. Cálculo de un tiempo determinado a partir 4
del cambio de temperatura de un cuerpo inerte
1.1.2 Ejemplo 2. Problema de decaimiento radioactivo 6
1.2 Introducción a los modelos matemáticos 7
1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 7
1.4 Ejemplos de planteamiento de un modelo matemático 8
1.4.1 Ejemplo 3. Problema de calentamiento de una esfera
de hielo 8
1.4.2 Ejemplo 4. Determinación de la temperatura de un objeto 10
sometido a una fuente de calor en un momento determinado
1.4.3 Ejemplo 5. Planteamiento de un problema cotidiano
de un objeto sometido a una fuente de calor 11
1.5 Modelado de problemas por medio de ecuaciones diferenciales 12
1.5.1 Ejemplo 6. Cálculo de la concentración de sal en un
tanque con entrada y salida de salmuera 12
1.5.2 Ejemplo 7. Modelado del flujo de calor en una barra por
medio de una ecuación diferencial parcial de un objeto sometido
a una fuente de calor 14
1.5.3 Modelado matemático de un experimento de flujo de calor 16
1.6 Esquema general del planteamiento matemático de un
problema físico 19
1.7 Categorías de modelos matemáticos 20
1.8 Modelo conceptual: de la realidad a la idealidad 20

VI
1.9 Modelado matemático de yacimientos 23
1.9.1 Procedimiento general del modelado matemático
de problemas de ingeniería petrolera 24
Capítulo 2. Principios de los fenómenos de transporte 25
2.1 Conceptos fundamentales 26
2.1.1 Tendencias de estudio: molecular y del medio continuo 26
2.1.2 Sistemas termodinámicos 27
2.1.3 Tipos de procesos 31
2.2 Transporte de cantidad de movimiento (momentum) 32
2.2.1 Ley de Newton de la viscosidad 33
2.3 Transporte de calor 39
2.3.1 Principios básicos de termodinámica 40
2.3.2 Leyes fundamentales de la termodinámica 46
2.3.3 Transferencia de calor por conducción 51
2.3.4 Ejemplo 1. Flujo de calor a través de una tubería de acero 55
2.3.5 Ejemplo 2. Cálculo de la densidad de flujo de calor en un
cilindro conductivo 57
2.4 Transporte de masa 58
2.4.1 Definiciones de concentraciones, velocidades y densidades
de flujo de materia 59
2.4.2 Ley de Fick de difusión 62
2.4.3 Analogía entre los diferentes mecanismos de transporte 63
2.4.4 Ecuación de balance de materia 64
2.4.5 Ejemplo 3. Proceso de evaporación de agua en régimen
permanente 68
2.4.6 Ejemplo 4. Determinación del coeficiente de
difusión binario 73
2.5 Ecuaciones generales de conservación 74
2.5.1 Leyes fundamentales de conservación 75
2.5.2 Ecuación de continuidad (conservación de masa) 80
2.5.3 Ecuación generalizada de transporte de cantidad
de movimiento 83
2.6 Ecuaciones de cambio para sistemas no isotérmicos 87
2.6.1 Ecuación general de la energía térmica 87

VII
Índice
Capítulo 3. Preliminares de las ecuaciones
diferenciales parciales 93
3.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias 94
3.1.1 Ecuaciones lineales homogéneas 96
3.1.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 97
3.1.3 Ejemplo 1. Solución de una ecuación diferencial
homogénea 97
3.1.4 Ecuaciones diferenciales de segundo orden 98
3.1.5 Principio de superposición 98
3.1.6 Coeficientes constantes 101
3.1.7 Ecuación de Cauchy-Euler 103
3.1.8 Otras ecuaciones diferenciales homogéneas 105
3.1.9 Ecuaciones diferenciales no homogéneas 107
3.1.10 Variación de parámetros 108
3.1.11 Ejemplo 2. Solución de una ecuación
diferencial homogénea 111
3.1.12 Ejemplo 3. Solución de una ecuación diferencial
no homogénea
3.2 Ecuaciones diferenciales parciales 114
3.2.1 Ecuación diferencial parcial de primer orden 115
3.2.2 Uso de un cambio de variable para reducir una ecuación
diferencial parcial a una ecuación diferencial ordinaria. 117
3.2.3 Solución e interpretación de una ecuación
diferencial parcial 118
3.2.4 Ecuaciones diferenciales parciales en física e ingeniería 122
3.2.5 Clasificación de las ecuaciones diferenciales parciales 124
3.3 Problemas de valores en la frontera 126
3.4 Problemas de valores iniciales y de frontera adimensionales 127
3.4.1 Ejemplo 4. Transformación del problema de difusión a
su forma adimensional 128
3.4.2 Ejemplo 5. Transformación de un problema
hiperbólico a su forma adimensional 132
3.5 Ecuaciones y funciones especiales 134
3.5.1 Ecuaciones y funciones Bessel 134
3.5.2 Series de Fourier 140

VIII
Capítulo 4. Desarrollo de las ecuaciones diferenciales
parciales que gobiernan el ﬂujo de ﬂuidos en los yacimientos
petroleros 155
4.1 Introducción 156
4.2 Principios fundamentales del flujo del agua en medios porosos 157
4.3 La Ley de Darcy y el potencial de Hubbert 163
4.4 Experimento de Darcy 167
4.5 Ley de Darcy para medios porosos anisotrópicos 170
4.6 Derivación en coordenadas cartesianas de la ecuación de
difusividad para el flujo de un fluido de una sola fase 172
4.6.1 Ecuación de continuidad 173
4.6.2 Ecuación de movimiento 178
4.6.3 Ecuación de estado para un fluido ligeramente
incompresible 179
4.7 Ecuación de difusividad para gases 183
4.8 Derivación de la ecuación de Hagen-Poiseville para flujo
a través de un tubo circular 187
4.9 Cálculo de parámetros importantes 192
4.10 Derivación de la ecuación de Hagen-Poiseville para flujo
a través de una tubería horizontal, considerando un factor de
resbalamiento ߚ ͳͻ͵
4.11 Flujo multifásico en yacimientos 199
4.11.1 Fundamentos de las fuerzas superficiales y capilares 200
4.12 Principales ecuaciones de flujo multifásico en yacimientos 204
4.13 Desplazamiento miscible ideal 211
4.13.1 Dispersión en medios porosos 212
4.13.2 Mecanismos de dispersión 214
4.13.3 Flujo de trazadores en yacimientos 214
4.13.4 Desarrollo de la ecuación fundamental de dispersión 216
4.14 Balance general de energía 220
4.14.1 Ecuación de energía para flujo en una fase 221
4.14.2 Ecuación de energía para flujo multifásico 224
4.14.3 Ecuaciones de transporte 225
4.14.4 Componentes de cada fase 227

IX
Índice
4.15 Introducción a la simulación numérica de yacimientos 228
4.15.1 Tipos de simuladores numéricos de yacimientos 229
4.15.2 Ecuaciones básicas del modelo de simulación
numérica de yacimientos de tipo composicional 232
4.15.3 Análisis del problema 236
4.15.4 Ecuaciones básicas del modelo de simulación
numérica de yacimientos tipo aceite negro 237
Capítulo 5. Aplicación del método de separación de variables 243
5.1 Introducción 244
5.2 Solución de ecuaciones diferenciales parciales con el
método de separación de variables 245
5.2.1 Problema de conducción de calor en una varilla con
temperatura de cero grados centígrados en los extremos 245
5.2.2 Valores y funciones característicos 249
5.2.3 El producto de soluciones, el principio de
superposición y la ortogonalidad 256
5.2.4 Ejemplo 1. Formulación, solución e interpretación 262
5.2.5 Problema de conducción del calor en una varilla
con extremos aislados 267
5.3 Aplicación del método de separación de variables a un problema
de valores iniciales y de frontera de flujo de aceite hacia un pozo 269
5.3.1 Planteamiento físico del problema 269
5.4 Aplicación al problema de flujo lineal de un fluido ligeramente
compresible y de viscosidad constante en un medio poroso homogéneo 277
5.4.1 Descripción física del problema de aplicación 277
5.4.2 Uso de variables adimensionales para evitar el problema
de condiciones inhomogéneas 279
5.4.3 Aplicación del método 281
5.5 Aplicación del método de separación de variables a
problemas de flujo con condiciones de frontera no homogéneas 289
5.5.1 Aplicación 1. Aplicación al problema de flujo lineal de
un fluido ligeramente compresible con viscosidad constante
en un medio poroso, con condiciones iniciales y de frontera
no homogéneas. 290

X
5.5.2 Aplicación 2. Flujo lineal de un fluido ligeramente
compresible con viscosidad constante en un medio poroso,
con condiciones iniciales y de frontera no homogéneas,
tipo Neumann 295
5.5.3 Aplicación 3. Problema de distribución de presión para
un sistema lineal cerrado 300
5.5.4 Problema de flujo de fluidos en un medio semiinfinito 303
5.6 Problemas de valores característicos, problemas de Sturn-Liouville 306
5.6.1 Introducción 306
5.6.2 Clasificación general 307
5.6.3 Problema Sturn-Liouville 308
5.7 Procedimiento general del método de separación de variables 309
5.8 Condición de frontera del tercer tipo (técnica gráfica) 310
5.8.1 Ejemplo 2. Solución de la función dependiente de x
para los problemas de flujo de calor y cuerda vibrante 311
5.8.2 Ejemplo3. Problema de transferencia de calor con una
condición de frontera del tercer tipo 315
5.9 Modelado de la ecuación de onda 320
5.9.1 Movimiento de una cuerda con extremos fijos 320
5.9.2 Ejemplo 3. Movimiento de una cuerda con extremos fijos 324
Capítulo 6. Aplicación del método de transformada de Laplace 327
6.1 Conceptos fundamentales y propiedades de la transformada
de Laplace 328
6.1.1 Definición de la transformada de Laplace 329
6.1.2 La existencia de la transformada de Laplace 333
6.1.3 La transformación de Laplace como operador lineal 340
6.1.4 La transformada inversa de Laplace 343
6.1.5 La existencia y unicidad de la transformada inversa
de Laplace, L−1
346
6.1.6 Teorema de Lerch 348
6.1.7 Propiedades de las transformaciones L y L−1
348
6.1.8 Teorema de traslación en el dominio de Laplace s 349
6.1.9 Teorema de traslaciónen el dominio del tiempo t 351
6.1.10 Transformación de derivadas 353

XI
Índice
6.1.11 Teorema de convolución 355
6.1.12 La transformada de Laplace y las ecuaciones diferenciales 357
6.1.13 La transformada de Laplace de una derivada parcial y
las ecuaciones diferenciales 359
6.1.14 Ejemplo de aplicación: flujo de calor en un contenedor 361
6.1.15 Resumen del método y algunas observaciones 366
6.2 Aplicación del método de la transformada de Laplace al
problema de flujo de un fluido incompresible hacia un pozo
fluyendo a presión constante 368
6.2.1 Planteamiento del problema físico por resolver 369
6.2.2 Desarrollo de la ecuación de difusividad para flujo radial
en variables adimensionales 370
6.2.3 Desarrollo de la ecuación de difusividad adimensional
para flujo radial 372
6.2.4 Variables adimensionales utilizadas 380
6.2.5 Problema línea fuente 382
6.2.6 Solución línea fuente por medio de la transformación
de Boltzman 383
6.2.7 Aplicación 1. Pozo que produce a gasto constante en
un yacimiento infinito. Solución línea fuente 388
6.2.8 Aplicación 2. Pozo que produce a gasto constante en
un yacimiento infinito. Solución fuente cilíndrica 404
6.29 Aplicación 3. Pozo que produce a gasto constante en
un yacimiento finito 408
6.3 Aplicación del método de transformada de Laplace al problema
de flujo de trazadores a través de yacimientos petroleros 426
6.3.1 Aplicaciones de los trazadores a la industria petrolera 427
6.3.2 Modelos matemáticos 428
6.3.3 Aplicación 4. Flujo lineal unidimensional de trazadores
a través de yacimientos homogéneos 430
6.3.4 Aplicación 5. Flujo lineal unidimensional de trazadores
a través de yacimientos homogéneos con condiciones mixtas 435
Capítulo 7. Aplicación del método de funciones de Green 443
7.1 Introducción a las funciones de Green 444

XII
7.2 Operador diferencial adjunto ‫ܮ‬‫כ‬
448
7.3 Método de la expansión de las eigenfunciones para las
funciones de Green 450
7.3.1 Ejemplo 1. Solución de la función dependiente de x del
problema de flujo hacia unidimensional 452
7.4 La función delta de Dirac y su relación con las funciones
de Green 453
7.5 Reciprocidad de Maxwell 457
7.6 Aplicación del método de las funciones de Green al problema
de flujo unidimensional en régimen permanente 458
7.6.1 Ejemplo 2. Planteamiento del problema adjunto 460
7.6.2 Caso 1. Problema tipo Dirichlet 463
7.6.3 Caso 2. Problema tipo Neumann 465
7.7 Resumen del método de las funciones de Green 468
7.8 Introducción al método de las funciones de Green
para ecuaciones diferenciales parciales 469
7.9 Aplicación del método de las funciones de Green a problemas
bidimensionales en régimen permanente 473
7.10 Aplicación del método de las funciones de Green a problemas
de flujo tridimensionales en régimen transitorio 483
Capítulo 8. Problema inverso 491
Por Oscar C. Valdiviezo Mijangos
8.1 Introducción al problema inverso 492
8.2 Problema inverso 493
8.3 Problema mal condicionado 495
8.4 Planteamientos de la función objetivo 498
8.5 Problema inverso lineal 499
8.6 Problema directo 501
8.6.1 Transporte de trazadores en medios porosos 501
8.6.2 Modelo de línea fuente para pruebas de presión 504
8.7 Métodos de optimización no lineal 507
8.8 Aplicaciones 514
8.8.1 Pruebas de presión 514
8.8.2 Pruebas de trazadores 516

XIII
Índice
Apéndice A. Preliminares de ingeniería petrolera 521
A.1 Introducción a la productividad de pozos 522
A.1.1 Sistema integral de producción 522
A.1.2 Flujo del yacimiento al pozo 525
A.1.3 Flujo en tuberías 528
A.1.4 Flujo en estranguladores 535
A.2 Conceptos básicos y propiedades relacionadas 537
A.2.1 Tendencia del medio continuo en ingeniería petrolera 537
A.2.2 Porosidad, una propiedad petrofísica estática 539
A.2.3 Permeabilidad, una propiedad de flujo de un medio 541
A.3 Conceptos relacionados con el flujo multifásico 549
A.3.1 Saturación de fluidos 549
A.3.2 Permeabilidades efectivas y relativas 552
A.3.3 Solubilidad del gas 557
A.3.4 Factor de volumen de formación del aceite, Bo 559
A.3.5 Relación agua-aceite instantánea 560
A.3.6 Densidad relativa y grados API 561
A.3.7 Relación gas-aceite y gas-agua instantánea 562
A.3.8 Flujo másico para cada fase 564
A.4 Propiedades del gas 566
A.4.1 Ley de los gases reales 567
A.4.2 Densidad relativa del gas 568
A.4.3 Densidad del gas 570
A.4.4 Factor de compresibilidad del gas 570
A.4.5 Viscosidad del gas 571
A.4.6 Factor de volumen del gas 572
A.4.7 Compresibilidad del gas 572
A.4.8 Ejemplo de aplicación 575
A.5 Comportamiento de las fases de fluidos del yacimiento
y superficiales 576
A.5.1 Diagrama de fases 577
A.5.2 Clasificación de los yacimientos de acuerdo con el
diagrama de fases 578
A.6 Mecanismos de flujo y de desplazamiento en
yacimientos petroleros 583

XIV
A.6.1 Mecanismos de flujo a través de yacimientos 583
A.6.2 Mecanismos de desplazamiento 589
A.7 Comportamiento de afluencia 593
A.7.1 Ecuación de afluencia 594
A.7.2 Geometrías de flujo 595
A.7.3 Regímenes de flujo 603
A.8 Procesos de recuperación adicional 616
A.8.1 Métodos térmicos 618
A.8.2 Métodos químicos 623
A.8.3 Desplazamiento miscible 625
Apéndice B. Flujo radial de trazadores a través de un
yacimiento estratiﬁcado 629
B.1 Desarrollo de las ecuaciones fundamentales de flujo 630
B.1.1 Ecuación de flujo en la fractura o región móvil 630
B.1.2 Ecuación de flujo para la región inmóvil, estancada
o matriz 634
B.2 Solución del modelo matemático de flujo radial con fractura
horizontal 636
B.2.1 Modelo matemático expresado en variables
adimensionales 636
B.2.2 Solución de la ecuación para la región inmóvil
B.2.3 Solución de la ecuación fundamental para la región móvil 639
Apéndice C. Tabla de las transformadas de Laplace utilizadas 645
Notación 649
Unidades 659
Bibliografía 675

Prólogo
El objetivo principal de esta obra es ofrecer un documento que sirva como
libro de texto para el curso de Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrole-
ra y que también pueda ser consultado como material de apoyo en diversas
asignaturas de la carrera de ingeniería petrolera por aquellos que requieran
conocer la aplicación de las ecuaciones diferenciales en el planteamiento y
la solución de problemas relacionados con los fenómenos de transporte.
Otro objetivo es familiarizar a los lectores de otras áreas con algunos de los
fundamentos teóricos y prácticos del quehacer de los ingenieros petroleros.
Cabe destacar que este libro no está dirigido a los matemáticos, sino a
los ingenieros petroleros y a los estudiantes y profesionistas de otras áreas
donde se privilegia la intuición física sobre el rigor matemático. Al examinar
en retrospectiva los conocimientos adquiridos en un primer curso de mate-
máticas sustentado en escasos y simples principios físicos, muchos alumnos
que estudian temas perceptibles del mundo físico y que emplean recur-
sos matemáticos repetitivos que rayan en la monotonía, consideran que no
siempre tienen la oportunidad de obtener una comprensión suficiente de
varios de los conceptos como para llevar a cabo —con ciertas probabilida-
des de éxito— la solución de algunos problemas reales y prácticos con los
métodos aprendidos.
Esta problemática se debe, en gran medida, al rigor y a la extrema pre-
cisión con que debe definirse y tratarse cada uno de los conceptos básicos,
a falta de una imagen física lo suficientemente gráfica o tangible, y al hecho
de que la metodología recurre, con frecuencia, a restricciones que reducen la
complejidad de los fenómenos naturales y que suelen requerir cierto grado
de conocimiento físico que, desafortunadamente, los alumnos no obtendrán
hasta cursar materias de años superiores en los distintos planes de estudios.

XX
El presente texto es, por lo tanto, el resultado de un esfuerzo encamina-
do, esencialmente, a subsanar los aspectos principales de esta problemática.
Los temas aquí expuestos buscan estimular el pensamiento intuitivo en tor-
no a temas físicos, cuidando de no perder demasiada precisión matemática
pues la combinación de temas de un alto nivel matemático con los fenó-
menos que ocurren en la naturaleza pueden ocasionar, al final, una com-
prensión parcial o incompleta por parte de muchos estudiantes de pregrado
e, incluso, llegar a un punto donde ni al estudiante ni al profesor les sea
factible el tratamiento matemático del problema. Es por ello que se ha in-
tentado alcanzar un equilibrio entre estos dos extremos al describir, en pri-
mer término, la situación física del problema y, posteriormente, mediante
la presentación de las herramientas matemáticas necesarias, algunas técnicas
para plantear, formular y resolver el problema en cuestión, privilegiando
siempre, como se ha mencionado, los aspectos físicos.
La génesis de este libro emana de la necesidad de responder adecua-
damente a los múltiples comentarios de mis alumnos, quienes, cada ge-
neración y de manera sistemática, solicitan referencias sobre los tópicos
cubiertos en el curso. Esta insistente solicitud deriva del hecho de que
prácticamente no existe una bibliografía que integre la física de los proble-
mas de ingeniería petrolera con las técnicas matemáticas mínimas reque-
ridas para resolverlo. Es decir, por un lado, se dispone de la bibliografía
clásica sobre ecuaciones diferenciales destinada a científicos e ingenieros,
en donde se revisan los métodos de solución aplicados a la transferencia de
calor y a problemas de vibraciones de cuerda (ecuación de onda) y, por el
otro, las referencias puramente técnicas de la industria petrolera, las cuales
consisten en una serie de artículos que revisan los métodos tradicionales
de solución de ecuaciones diferenciales pero que, no obstante, carecen ge-
neralmente de los detalles necesarios para que los estudiantes de pregrado
los comprendan.
Fue así como surgió el reto de satisfacer esta carencia intelectual por medio
de un libro con las características del que aquí se presenta; esto es, enfocado
al planteamiento y la solución de problemas de valores iniciales y de frontera
de ingeniería petrolera, en el que se guarde un equilibrio entre la física del
problema y las técnicas matemáticas necesarias para su solución analítica.
La premisa básica de esta obra es unir la intuición del estudiante de aspectos

XXI
Prólogo
físicos con los métodos matemáticos, lo cual se aspira lograr por medio de
la derivación del modelo matemático para un problema determinado, el uso
del razonamiento físico en el desarrollo matemático y la interpretación de
los resultados matemáticos en términos físicos; es por ello que los modelos
matemáticos se formulan aquí por medio del i) desarrollo de las ecuaciones
que gobiernan los procesos físicos y ii) el planteamiento de las condiciones
de frontera posibles en los problemas de interés. Esto abarca el conocimiento
físico del problema, las leyes físicas que lo rigen y el planteamiento matemá-
tico que lo representa. En servicio de lo anterior, se discuten con detalle estos
temas en el capítulo IV; en los capítulos posteriores se revisan las posibles
condiciones de frontera y se incluye el planteamiento completo de un modelo
matemático y su solución aplicados a los problemas de estudio.
Cabe señalar que tanto los lectores no relacionados con el área como los
estudiantes de la carrera requieren una base apropiada de conocimientos
tanto de temas de la física involucrada en los problemas de estudio como de
algunos elementos matemáticos, además de los tópicos propios de la inge-
niería petrolera, por lo que se han incluido los primeros tres capítulos y el
apéndice A, que abarcan los siguientes temas: planteamiento matemático de
problemas físicos, principios de fenómenos de transporte, preliminares de
ecuaciones diferenciales parciales y preliminares de ingeniería petrolera. La
finalidad de estos capítulos es ofrecer una base para la comprensión óptima
de los capítulos dedicados a los métodos clásicos de solución de ecuaciones
diferenciales parciales y las aplicaciones que se discuten en este texto: separa-
ción de variables, transformada de Laplace y funciones de Green, así como
la solución del problema inverso de dos aplicaciones importantes dentro de
la ingeniería petrolera: el análisis de pruebas de variación de presión y las
pruebas de trazadores, temas presentados en los capítulos V al VIII. El lec-
tor notará que el método de transformada de Laplace recibe mayor atención
ya que su uso es el más frecuente en el área.
Los capítulos V, VI y VII tienen esta estructura: i) explicación básica
de los métodos de solución, ii) aplicación del método en algún ejemplo de
transferencia de calor (con la intención de que el lector pueda consultar una
referencia análoga en caso de así requerirlo) y iii) aplicación del método de
solución a problemas específicos, como el flujo de fluidos hacia un pozo en
un yacimiento petrolero.

XXII
Este prólogo no estaría completo si no expresara mi profundo agradeci-
miento a todos aquellos que contribuyeron, de una u otra manera, a la rea-
lización de este libro; desde la motivación para aceptar el reto de elaborarlo
(aproximadamente hace cinco años) hasta el cierre de esta tarea. He recibido
comentarios y sugerencias muy valiosas de parte de colegas y amigos; sin
embargo, no me es posible mencionarlos a todos como me gustaría hacerlo.
En particular, agradezco a las ingenieras Martha Argüelles y Jimena Gonzá-
lez, a la licenciada Guadalupe Castro y a los maestros en ingeniería Mónica
Meraz, Marisol Rojas, Abraham Ramírez y José Trejo por su colaboración
en la edición de esta obra. Estoy en deuda con la Facultad de Ingeniería de
la UNAM y, en específico, con el Departamento de Ingeniería Petrolera,
porque me han conferido el honor de ser la profesora de este curso por más
de quince años; igualmente, reconozco la enorme deuda que tengo con
todos mis alumnos dado que de ellos deriva la formidable oportunidad de
escribir este documento.
Agradezco de forma especial al Dr. Oscar Valdiviezo Mijangos, autor del
capítulo VIII, Problema inverso, por su interesante aportación a este texto.
Hago un reconocimiento especial a la maestra en ingeniería María Cristina
Avilés Alcántara, así como a la maestra y trabajadora social Blanca Estela Ran-
gel Colchado, por el apoyo brindado para la publicación del presente libro.
No olvido agradecer a la editorial Reverté por el interés mostrado en la
edición de esta obra, en particular a las maestras Jimena Lascurain y Aradai
Pardo por la inestimable colaboración recibida.
Finalmente, señalo con mucho orgullo que parte intangible de este texto
es mi familia, gracias al soporte y comprensión brindados durante el desa-
rrollo del mismo.
Apreciaré mucho cualquier sugerencia proveniente de estudiantes, pro-
fesores o colegas, así como de cualquier persona interesada en mejorar este
libro. Favor de hacerlas llegar al siguiente correo electrónico:
jetzabethramirez@ai.org.mx.
Jetzabeth Ramírez Sabag
México D.F. a 26 de agosto de 2012

Capítulo 1
Planteamiento matemático de problemas
El enfoque que busca resolver problemas del mundo real con herramientas
matemáticas es frecuentemente llamado modelado matemático o matemá-
ticas aplicadas. Este enfoque o modelado consta de los siguientes pasos:
1. Identificar un problema procedente de un fenómeno del mundo real.
De los fenómenos complicados del mundo real, hay que identificar y
extraer sólo el problema físico que se desea estudiar y entender por com-
pleto la naturaleza del problema elegido. Se recomienda realizar esque-
mas con figuras.
2. Hacer la formulación matemática del problema:
q Determinar un conjunto apropiado de variables e incógnitas relacio-
nadas con el problema.
q Especificar las leyes físicas y/o geométricas involucradas en el problema.
3. Establecer el modelo matemático. Derivar las ecuaciones que gobier-
nan el problema y determinar las condiciones adicionales con base en
las leyes físicas o las restricciones geométricas. Este proceso conduce al
llamado modelo matemático.
4. Realizar el análisis matemático.
5. Realizar la interpretación física de los resultados matemáticos. Discutir
el comportamiento de la solución matemática, realizar esquemas con
figuras y hacer su interpretación física.
6. Regresar al problema original del fenómeno del mundo real. Compa-
rar los resultados de la solución matemática con experimentos físicos,
encontrar los defectos del modelo matemático y modificar el modelo, y
comenzar de nuevo el proceso.

2
Capítulo 1
En este capítulo se presentan, primero de forma intuitiva, los pasos a seguir
en el planteamiento matemático de un problema físico, para lo cual se des-
criben algunos problemas específicos muy sencillos. Después se incrementa
gradualmente la dificultad de los problemas físicos hasta llegar, al final del
capítulo, a la formulación de ecuaciones diferenciales parciales a partir de
la descripción de un problema de transferencia de calor.
Objetivo
Mostrar cómo los problemas físicos y sus variaciones pueden ser
explicados (modelados matemáticamente) por medio de un pro-
cedimiento basado en la identiﬁcación, formulación, solución e
interpretación del problema.
1.1 Introducción al planteamiento matemático de problemas
En esta sección se discute la solución de algunos problemas elementales
característicos de los diversos campos de la ciencia y de la ingeniería, que
comprenden ecuaciones diferenciales parciales. Una ecuación diferencial par-
cial, o EDP, es una ecuación que contiene derivadas parciales; por ejemplo:
‫ݐݑ‬ൌߙʹ‫ݔݔݑ‬
En este caso, el estudio debería comenzar con la determinación de las fun-
ciones u(x,t) que satisfacen la ecuación anterior; sin embargo, dos razones
llevan a considerar más conveniente empezar por investigar el problema
físico: la primera es que se estima que el interés del lector por las ecua-
ciones diferenciales será mayor si comprende que estos métodos analizan
problemas físicos. La segunda es el hecho de que las consideraciones físicas
motivan muchos de los desarrollos matemáticos presentados en este texto.
Muchos de los problemas de la ingeniería y las ciencias físicas son domina-
dos por el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales. Algunas de las
áreas que dependen en alto grado del estudio de las ecuaciones diferenciales
parciales son la acústica, la aerodinámica, la elasticidad, la electrodinámi-

3
ca, la dinámica de fluidos, la geofísica (propagación de onda), la transfe-
rencia de calor, la transferencia de masa, la meteorología, la oceanografía,
la óptica, la física de plasmas (ionización de líquidos y gases), la mecánica
cuántica y la ingeniería petrolera, objeto del presente libro.
En este texto se sigue una filosofía de la aplicación de las matemáticas
que analiza los problemas en tres etapas principales:
1. Formulación del problema.
2. Solución.
3. Interpretación o análisis de la solución.
A continuación se presentan problemas específicos sencillos para ilus-
trar el planteamiento matemático de un problema físico.
Para resolver el primer problema es importante hacer una introducción a los
procesos de transferencia de calor por medio de una ecuación empírica que
relacione la temperatura de enfriamiento de una cantidad de sustancia con
el medio. Esta ecuación se conoce como Ley de enfriamiento de Newton y
dice que la temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad proporcional
a la diferencia de las temperaturas entre el medio externo y el cuerpo. Supo-
niendo que la constante de proporcionalidad sea la misma independiente-
mente de que la temperatura aumente o disminuya, la ecuación diferencial
de la ley de enfriamiento será:
Donde ܶ: Temperatura de un cuerpo
‫:ݐ‬ Tiempo
ܶ݉
: Temperatura del medio ambiente
Se soluciona la ecuación y se separan las variables:
݀ܶ ൌെ݇݀‫ݐ‬

4
Capítulo 1
Después, se integra cada miembro de la ecuación anterior:
Y se obtiene:
Pero ݁ܿ
ൌ‫,ܥ‬ por lo que finalmente se obtiene:
Ec.1.1
Si se define que ܶሺͲሻ ൌܶͲ
ฺ ‫ܥ‬ ൌ ܶͲ
െ ܶ݉
, entonces queda:
Ec. 1.2
1.1.1 Ejemplo 1. Cálculo de un tiempo determinado a partir del cambio
de temperatura de un cuerpo inerte
Se requiere conocer la hora de deceso de una persona de edad muy avanza-
da cuyo cuerpo fue encontrado sin vida a las doce del día.
1. Identificación del problema
q La persona murió en su casa en algún momento antes del medio día.
q Al medio día, el cuerpo fue encontrado a una temperatura de 21.1 °C.
q El cuerpo se enfrió otros 2.8 °C en las dos horas posteriores al medio día.
q Se asume que la habitación se encontraba a una temperatura con
tante de 15.5 °C.
2. Formulación matemática del problema

5
q Introducción del conjunto de variables e incógnitas relacionadas
con el problema. Se toma el medio día como ‫ݐ‬ ൌ Ͳ, se tiene que
ܶͲ
=21.1 Ԩ, ܶ‫ݏ‬
=15.5 Ԩ y ܶ2
(‫ݐ‬ = 2 horas) =18.3 °C.
q Ley o leyes físicas que gobiernan el cambio de temperatura. La ley
que rige este problema es la Ley de enfriamiento de Newton; enton-
ces, aplicando la ecuación 1.2 a ‫ݐ‬ = 2 horas se tiene que:
ܶʹ
ൌܶ݉
൅ሺܶͲ
െܶ݉
ሻ݁െ݇‫ݐ‬ʹ
De donde se obtiene lo siguiente:
18.3−15.5=5.6݁−2݇
Ec. 1.3
De esta ecuación se obtiene que:
݇ ൌ ݈݊ (2)/2
Para determinar el momento del deceso se utiliza la ecuación 1.3 con
la temperatura corporal humana normal de 37 °C y se plantea la siguiente
ecuación:
37 − 15.5 = 5.6݁െ݇‫ݐ‬
Esta ecuación se resuelve para ‫ݐ‬ y, finalmente, se encuentra el tiempo buscado:
‫݇/38.3݈݊−=ݐ‬ = −2݈݊3.83݈݊2 Ec. 1.4
‫ݐ‬ = −3.90 horas
Por lo que se concluye que el deceso ocurrió a las 12:00 menos tres
horas 54 minutos; esto es, a las 8:06 a.m.

6
Capítulo 1
1.1.2 Ejemplo 2. Problema de decaimiento radioactivo
Una sustancia radioactiva decae a un ritmo proporcional a la cantidad de la
sustancia presente. Si ‫ݔ‬ es la cantidad al tiempo ‫,ݐ‬ se tiene:
Ec. 1.5
Donde ݇ es una constante. La solución de la ED es:
Ec. 1.6
Si ‫ܥ‬ es la vida media de la sustancia radioactiva, se tiene por definición:
Donde ‫ܮ‬ ൌ ݈݊ሺ‫ݖ‬ሻȀ‫.ܥ‬
Cabe señalar que la relación del radioisótopo y el átomo normal 12
‫ܥ‬ es, y
ha sido durante toda la historia del planeta, siempre la misma para toda
criatura viviente y en la atmósfera, y que cuando los organismos mueren y
cesa su metabolismo, inicia el proceso de decaimiento radioactivo de 14
‫.ܥ‬
A partir de los datos experimentales del isótopo 14
‫ܥ‬ y ݇=0.0001216/año,
se puede determinar el momento en que un organismo murió al medir la
concentración de 14
‫ܥ‬ en un fósil y compararla con un organismo actual-
mente en vida. Esta técnica se llama datado con radiocarbono. Por ejemplo,
asuma que:
Se tiene que:

7
1.2 Introducción a los modelos matemáticos
La mayoría de los sistemas o fenómenos físicos estudiados en las ciencias
físicas y en las ingenierías se describen por medio de ecuaciones diferenciales.
Esta descripción considera los cambios progresivos, tanto temporales como
espaciales, de los sistemas o fenómenos físicos bajo observación.
La relación entre las matemáticas y el mundo real se representa por medio
de expresiones cuantitativas que constituyen leyes fenomenológicas. Dichas
expresiones se conocen, generalmente, como ecuaciones diferenciales. Se
considera que las ecuaciones diferenciales gobiernan el comportamiento
de ciertos sistemas o fenómenos y, al ser resueltas, proporcionan una gran
cantidad de información que permite conocer y analizar la historia, el pre-
sente y el futuro de los parámetros involucrados en los objetos de estudio. Es
justamente este conocimiento sobre los parámetros lo que permite predecir el
comportamiento de los fenómenos estudiados y lo que hace sustantivas a las
ecuaciones diferenciales y a los métodos o técnicas que sirven para resolverlas.
Estimar el comportamiento es difícil, especialmente cuando se trata de
predicciones. Las metas generales del modelado matemático son:
q La comprensión. Obtener una idea general de cómo ocurre un fenó-
meno, cuáles son sus causas y cómo se relaciona con otras partes del
sistema natural al que pertenece.
q La explicación. Intentar ir más allá al explicar por qué el fenómeno
o el proceso en cuestión sucede de una manera u otra.
q La predicción. Ser específico al establecer lo que le sucederá a un
sistema bien definido en el futuro si se cumplen ciertas condiciones.
q La retrodicción. En algunas áreas de la ingeniería se obtiene una
“predicción del pasado” cuando se extraen conclusiones relativas a la
historia todavía inexplorada de un proceso o fenómeno.
1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos
El modelo matemático es la ecuación o el conjunto de ecuaciones, usual-
mente en derivadas parciales, donde se plasma la teoría del modelo con-

8
Capítulo 1
ceptual. Dentro de la computadora, el modelo matemático constituye la
entidad abstracta que sustenta numéricamente al comportamiento idea-
lizado del sistema real, y si bien todo modelo es perfectible y su grado de
dificultad puede elevarse teóricamente hasta el infinito, esa complejidad
puede ser bloqueada en la práctica por la carencia de datos medidos y
por las capacidades siempre limitadas de las computadoras, aun las más
poderosas.
Cabe señalar que las ecuaciones del modelo matemático son suposiciones
en tanto que definen el comportamiento supuesto de un continuo ideal.
Aunque matemáticamente toda hipótesis constitutiva presentada en forma
de ecuación es una definición, en realidad se llega a ella por medio de eviden-
cias físicas fortalecidas con mediciones experimentales. Es por esto que a las
ecuaciones constitutivas del modelo se les considera leyes fenomenológicas,
las cuales abarcan procesos de excitación y respuesta del sistema natural. Es
importante indicar que es muy escasa la probabilidad de determinar todos
los aspectos de alguna teoría sin recurrir a la praxis de la física.
Como ya se mencionó, la formulación de un modelo matemático im-
plica, en términos generales, tanto identificar los parámetros o variables de
cambio en un sistema como establecer el conjunto de hipótesis razonables
acerca del sistema en cuestión. Dichas hipótesis suelen consideran el ritmo
del cambio de uno o más de los parámetros involucrados. El enunciado
matemático de esas hipótesis lo constituyen una o más ecuaciones donde
intervienen derivadas; es decir, ecuaciones diferenciales.
El proceso de modelado sigue, en esencia, el siguiente orden:
1. Identificación de variables. Establecer la notación matemática.
2. Determinación de las leyes empíricas que se pueden aplicar. Establecer
las hipótesis del sistema estudiado.
3. Planteamiento de las ecuaciones.
1.4 Ejemplos de planteamiento de un modelo matemático
1.4.1 Ejemplo 3. Problema de calentamiento de una esfera de hielo
Considere una esfera de hielo que se derrite a un ritmo proporcional al área

9
de su superficie. Hay que encontrar una expresión para el volumen de la
esfera en cualquier unidad de tiempo.
1. Identificación de las variables:
q Incógnita: volumen (eficacia del tiempo).
q Notación matemática.
2. Las leyes empíricas que se pueden aplicar:
q En los datos se indica que la esfera se derrite a un ritmo proporcional
al área de su superficie; es decir, el volumen de la esfera cambia a un
ritmo proporcional al área de su superficie.
q El ritmo de cambio del volumen es la derivada de ܸ con respecto al
tiempo:
q La expresión de la ley en notación matemática: es el
radio de la esfera, ‫ݎ‬ = constante.
3. Planteamiento de la ecuación con la incógnita ܸ. Se sabe que el volu-
men de la esfera es:
Entonces, resolver para ‫:ݎ‬
Y al sustituir ‫ݎ‬ en la derivada:
Esta es la expresión que proporciona el cambio del volumen con res-
pecto al tiempo; es decir, la ecuación diferencial que gobierna el compor-
tamiento de la esfera y su reducción de volumen a un ritmo proporcional
a su superficie.
Durante el proceso de modelado se presentan frecuentemente condi-
ciones adicionales que se deben añadir al problema planteado. El problema
presentado a continuación ejemplifica dicha situación.

10
Capítulo 1
1.4.2 Ejemplo 4. Determinación de la temperatura de un objeto some-
tido a una fuente de calor en un momento determinado
Un termómetro marca la temperatura de un sistema en 80 °C; se mide tam-
bién la temperatura del medio, la cual es de 20 °C. El sistema se empieza a
enfriar y, tres minutos después, se encuentra que el termómetro marca 75
°C. Se desea predecir la lectura del termómetro para varios tiempos poste-
riores y, por lo tanto, se requiere determinar la ecuación del enfriamiento
en función de los valores dados.
1. Identificación del problema: ܶ ι‫.ܥ‬ representa la temperatura marcada
por el termómetro, los datos indican que cuando ‫ݐ‬ = 0.0, ܶ = 80.0, y
cuando ‫ݐ‬ = 3.0 min, ܶ = 75 °C.
2. Leyes empíricas que gobiernan el problema. De acuerdo con la ecuación
de la Ley de enfriamiento de Newton, la velocidad de variación de la
temperatura con el tiempo es directamente proporcional a la diferencia
de las temperaturas,
3. Notación matemática: ݀ܶȀ݀‫ݐ‬ es proporcional a la diferencia de tempe-
raturas (ܶ − 20.0). Puesto que la temperatura que marca el termómetro
está decreciendo, entonces (−݇) resulta la constante de proporcionali-
dad. Así, ܶ debe ser determinada a partir de la ecuación diferencial y,
por lo tanto, necesitamos conocer las lecturas del termómetro en dos
tiempos diferentes, dado que hay dos constantes a determinar: ݇ de la
ecuación de enfriamiento de Newton y la constante de integración que
se encuentra en la solución de la misma.
4. Condiciones adicionales.
Y transcurrido cierto tiempo de enfriamiento,
Debido a que la temperatura ambiente es igual a 20 °C, de la ecuación
1.1 se sigue que:

11
Entonces, la condición indica que 80 = 20 + ‫ܥ‬ y, por lo tanto, la cons-
tante de integración es ‫ܥ‬ = 60, de modo que la ecuación anterior resulta:

El valor de ݇ será determinado ahora usando la condición: para ‫ݐ‬ = 3.0,
ܶ = 75 °C, por lo que, con la ecuación anterior, se obtiene:
De esta ecuación se obtiene que ݇ ൌ െ ͳȀ͵ ݈݊ ͲǤͻͳ͹Ǥ Por consiguiente:
Entonces, sustituyendo ݇ se obtiene la siguiente expresión:
Ecuación con la que se puede determinar la temperatura en un momen-
to dado y, por consiguiente, al conocer la temperatura, también permite
hallar el tiempo de enfriamiento transcurrido.
1.4.3 Ejemplo 5. Planteamiento de un problema cotidiano de un objeto
sometido a una fuente de calor
Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 148 °C. Tres minutos
después, su temperatura es de 93 °C. Se requiere conocer la temperatura
del pastel a un tiempo determinado. Considere una temperatura ambiente
de 21 °C.
1. Identificación de las variables: temperatura en función del tiempo.
2. Ley empírica: la ley de enfriamiento de Newton que señala que la ve-

12
Capítulo 1
locidad con que la temperatura cambia es proporcional a la diferencia
entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante del medio
que lo rodea.
3. Notación matemática: ݀ܶȀ݀‫ݐ‬ൌ݇ሺܶെʹͲሻ
4. Condiciones adicionales: ܶሺͲሻ ൌ ͵ͲͲǢ ܶሺ͵ሻ ൌ ʹͲͲ
1.5 Modelado de problemas por medio de ecuaciones diferenciales
En esta sección se presenta una introducción a la deducción de las ecuacio-
nes diferenciales a partir de algunas situaciones físicas de sistemas o fenó-
menos físicos. Además, se revisan los pasos del modelado matemático para
hacer un planteamiento matemático y obtener su solución, así como para
realizar la interpretación física del resultado. Esta sección se orienta al mo-
delado de problemas que conducen a ecuaciones diferenciales.
1.5.1 Ejemplo 6. Cálculo de la concentración de sal en un tanque con
entrada y salida de salmuera
Un tanque se está llenando con salmuera a un ritmo de ܽ unidades de
volumen por segundo; al mismo tiempo, ܾ unidades por segundo son bom-
beadas fuera del tanque. Se supone que la concentración de salmuera es ܿ
unidades de masa por unidad de volumen.
A un tiempo ‫ݐ‬ൌ‫ݐ‬Ͳ
, el volumen de salmuera del tanque es ܸͲ
y contiene ܺͲ
unidades de masa de sal. ¿Cuál es la cantidad de sal en el tanque en un tiempo
determinado ‫,ݐ‬ asumiendo que el contenido del tanque esté bien mezclado?
1. Definición de la notación:
q Sea ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ la cantidad de sal en un tiempo determinado ‫.ݐ‬
q Sea ܸሺ‫ݐ‬ሻ el volumen de salmuera en un tiempo determinado ‫.ݐ‬
2. Las leyes físicas que gobiernan el problema:
q Conservación de volumen de salmuera.
q Conservación de masa de sal.
3. El balance de masa de sal en el tanque:
q La sal que se tire por segundo: ac (unidades de masa unidades de
tiempo).

13
q La sal que contendrá el tanque será:
q La conservación del volumen de salmuera:
q La conservación de masa de sal. El cambio de la cantidad de sal con
respecto al tiempo:
Al sustituir ‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ en la ecuación anterior, se obtiene la siguiente ecuación
lineal:
Ec. 1.a
En el caso particular de que el ritmo de entrada de salmuera por segundo
fuera igual al ritmo de volumen de fluido de salida, ܽൌܾ, la solución sería:
Ec. 1.b
La ecuación 1.a representa el modelo matemático del problema físico
del tanque llenado con salmuera con una extracción determinada, mientras
que la ecuación 1.b representa un caso particular del problema. Como un
ejemplo numérico se tiene que si ܸͲ
ൌͳͲͲͲ l, entonces ‫ݔ‬Ͳ
ൌ Ͳ ‫ݕ‬ ‫ݐ‬Ͳ
ൌ Ͳ.
Ec. 1.c
Ahora bien, si después de 100 minutos suponemos que del tanque se
empieza a fugar un litro de salmuera adicional por minuto, determinemos
cuánta sal permanecerá en el tanque doce horas después del inicio de la fuga.
Se tiene que resolver una ecuación diferencial diferente, ahora con los
parámetros ܾൌʹǡ ܽൌܿൌͳǡ ܸͲ
ൌͳͲͲͲǡ ‫ݐ‬Ͳ
ൌͳͲͲ:

14
Capítulo 1
Ec. 1.d
Y como se tiene ‫ݐ‬ ൌͳͲͲ como condición inicial, se sustituye en la ecua-
ción 1.c:
Ec. 1.e
La solución general de la nueva ecuación es:
Con la condición inicial C.I, ‫ݔ‬ሺͳͲͲሻൌͻͷǤͳ͸ se obtiene la constante ‫:ܥ‬
Y después de doce horas, ‫ݐ‬ ൌͺʹͲ minutos.
La solución se representa con una parábola con un máximo ‫ݐ‬ ൌ ‫ݐ‬‫כ‬
ൌ
ͷ͵͹Ǥ͵ͻ ‫ݔ‬ሺͲሻ ൌെͻͶǤͺ › ‫ݕ‬ሺͳͳͲͲሻ ൌ Ͳ. Cuando ‫ݐ‬ ൌ ͳͳͲͲ, el tanque está
vacío y la ecuación diferencial no constituye una descripción válida del
proceso físico. La concentración en un tiempo ͳͲͲ ൏ ‫ݐ‬ ൏ ͳͳͲͲ es:
La cual converge a 1 conforme ‫ݐ‬ ՜ ͳͳͲͲ.
1.5.2 Ejemplo 7. Modelado del ﬂujo de calor en una barra por medio
de una ecuación diferencial parcial de un objeto sometido a una fuente
de calor
Considere que se tiene un experimento dividido en los siguientes pasos:

15
1. Se inicia con una barra de cobre de una longitud razonable (‫ܮ‬ ൌʹ )
de 2 cm de diámetro, cuyos lados laterales (pero no los extremos) están
cubiertos con material aislante. En otras palabras, el flujo de calor puede
entrar y salir de la barra por los extremos, pero no por la superficie lateral.
2. La barra se encuentra en un ambiente con una temperatura fija ܶͲ
(en
°C) durante un tiempo suficientemente largo para que el comporta-
miento de la temperatura esté en un régimen permanente similar al
ambiente. Por simplicidad, sea la temperatura del ambiente ܶͲ
=10 °C.
3. Se toma la barra y se coloca fuera del ambiente a un tiempo ‫ݐ‬ = 0 y se
adhieren dos elementos de temperatura (termostatos) en los extremos de
la barra. El propósito de estos elementos es mantener los extremos de la
barra a temperaturas específicas ܶͳ
y ܶʹ
(sea ܶͳ
= 0 °C y ܶʹ
= 50 °C). En
otras palabras, los termostatos monitorean constantemente la tempera-
tura en los extremos de la barra y aseguran los valores de temperatura
asignados en los extremos. El experimento se ilustra en la figura 1.1.
4. Se monitorea el perfil de temperatura de la barra en algún tipo de display.
Figura 1.1 Diagrama esquemático del experimento
T1 T2
T1
T0
T2
L
u
Estado estacionario
Elemento que asegura
la temperatura en el
extremo izquierdo
Elemento que asegura
la temperatura en el
extremo derecho

16
Capítulo 1
1.5.3 Modelado matemático de un experimento de ﬂujo de calor
La descripción de este problema físico requiere tres tipos de ecuaciones:
1. Una ecuación diferencial parcial que describa el fenómeno físico del
flujo de calor; esto es, la Ley de Fourier de flujo de calor por conducción.
2. Las condiciones de frontera que describan la naturaleza física del proble-
ma en los extremos.
3. La condición inicial que describa el fenómeno físico al inicio del experi-
mento.
La ecuación básica en una dimensión que describe el flujo de calor a través
de la barra es:
Ec. 1.f
La cual relaciona las cantidades presentadas a continuación.
‫ݑ‬‫ݐ‬
: Ritmo de cambio de la temperatura con respecto al tiempo, medido
en grados/seg.
‫ݑ‬‫ݔݔ‬
: Concavidad del perfil de temperatura ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ǡ‫ݐ‬ሻ, la cual compara,
esencialmente, la temperatura en un punto con la temperatura en los
puntos vecinos.
La derivación de esta ecuación se presentará en el capítulo II. Esta
ecuación indica simplemente que la temperatura, ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ǡ‫ݐ‬ሻ, en algún punto
de la barra ‫ݔ‬ y ܽ en algún momento ‫ݐ‬ se incrementa ‫ݑ‬‫ݐ‬
≥ 0 o disminuye
‫ݑ‬‫ݐ‬
≤ 0 de acuerdo con el valor, positivo o negativo, de la parcial ‫ݑ‬‫ݔݔ‬
. La
figura 1.2 ilustra el cambio de temperatura a diferentes puntos a lo largo
de la barra.

17
Figura 1.2 Cambio de temperatura de acuerdo con ‫ݑ‬–
ൌ ߙʹ
‫ݑ‬xx
Para ver como ‫ݑ‬‫ݔݔ‬
puede interpretarse para medir el flujo de calor, se
supone una aproximación de ‫ݑ‬‫ݔݔ‬
por la diferencia del cociente:
Ec. 1.g
Se tiene la siguiente interpretación de ‫ݑ‬‫ݔݔ‬
:
1. Si la temperatura ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ǡ‫ݐ‬ሻ < que el promedio de la temperatura de dos
puntos vecinos, entonces ‫ݑ‬‫ݔݔ‬
> 0. Aquí el flujo neto de calor en ‫ݔ‬ es
positivo.
2. Si la temperatura ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ǡ‫ݐ‬ሻ es igual al promedio de dos temperaturas co-
rrespondientes a puntos vecinos, entonces ‫ݑ‬‫ݔݔ‬
= 0. En este caso, el flujo
de calor en ‫ݔ‬ es igual a cero.
3. Si la temperatura ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ǡ‫ݐ‬ሻ > que el promedio de las temperaturas de dos
puntos vecinos, entonces ‫ݑ‬‫ݔݔ‬
< 0. En este caso, el flujo neto de calor en
‫ݔ‬ es negativo. Esto se ilustra en la figura 1.2.
u(x- )x,t
u(x+ )x,t
u(x- x,t)+u(x+ x,t) Promedio de temperatura
de 2 puntos vecinos
u
x
2
u(x,t)
Perfil de Temperatura
al tiempo t

18
Capítulo 1
Es decir, si la temperatura en un punto ‫ݔ‬ > que el promedio de la tem-
peratura en dos puntos vecinos ‫ݔ‬ െ ο‫ݔ‬ › ‫ݔ‬ ൅ ο‫,ݔ‬ entonces la temperatura
en ‫ݔ‬ decrecerá. Además, el ritmo exacto del decremento ‫ݐݑ‬ es proporcional
a esta diferencia. La constante de proporcionalidad ߙʹ
es una propiedad del
material que no se discutirá en este texto.
En cuanto al tipo de ecuaciones llamadas condiciones de frontera, se
puede decir que todos los problemas físicos tienen condiciones de frontera
de algún tipo. Se tiene que describir matemáticamente lo que existe en los
extremos para describir adecuadamente el problema físico.
En el experimento referido, las condiciones de frontera, CFI y CFE, se
pueden deducir fácilmente a partir de las temperaturas que quedaron fijas
para todo ‫ݐ‬ ൐ Ͳ en ܶͳ
y ܶʹ
en los dos extremos ‫ݔ‬ ൌ Ͳ y ‫ݔ‬ ൌ ‫;ܮ‬ por lo que
se puede escribir,
Ec. 1.h
Con relación a las condiciones iniciales, también se puede mencionar
que todos los problemas físicos deben iniciar en un valor de tiempo, gene-
ralmente llamado tiempo inicial, ‫ݐ‬ ൌ Ͳ. Es en este tiempo donde se tiene
que especificar el problema físico. En el caso del experimento en cuestión,
se inicia el monitoreo de la temperatura justo en el tiempo en el que la barra
pierde su temperatura constante de ܶͲ
. Entonces se puede escribir:
Ec. 1.i
Ahora está descrito matemáticamente el experimento. Si se escriben las
ecuaciones juntas, se tiene un problema de valores iniciales y de frontera,
PVIF; es decir:

19
El conjunto de las cuatro ecuaciones (la ecuación que gobierna el flujo
de calor, en este caso, las dos condiciones de frontera y la condición ini-
cial) constituye la formulación matemática o planteamiento matemático
del experimento y se le conoce como el problema de valores iniciales y de
frontera, o PVIF, del experimento.
Cabe señalar que sólo existe una función ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ǡ‫ݐ‬ሻ que satisface el pro-
blema 1.5.2 y que esta función describe la temperatura de la barra. El pro-
blema después será encontrar la solución única ‫ݑ‬ሺ‫ݔ‬ǡ‫ݐ‬ሻ. En los siguientes
capítulos se revisarán los elementos necesarios para encontrar la solución
única a este problema y a otros similares.
1.6 Esquema general del planteamiento matemático de un problema
físico
Con la finalidad de ilustrar
de forma sencilla los pasos
a seguir en el planteamien-
to matemático de un pro-
blema del mundo real, a
continuación se presenta
un diagrama de bloques
que representa el procedi-
miento de modelado ma-
temático.
Figura 1.3 Diagrama de
bloques del procedimiento
de modelado matemático
Concebir la forma
İƐŝĐĂ ĚĞů ƉƌŽďůĞŵĂ
ƐƚĂďůĞĐĞƌ ƐƵƉŽƐŝĐŝŽŶĞƐ͘
ŽŵƉŝůĂĐŝſŶ ĚĞů
ƚƌĂƚĂŵŝĞŶƚŽ ĚĞů
ƉƌŽďůĞŵĂ
ŽƌŵƵůĂƌ
ŵĂƚĞŵĄƟĐĂŵĞŶƚĞ
Ğů ƉƌŽďůĞŵĂ
ZĞƐŽůǀĞƌ ŵĂƚĞŵĄƟĐĂŵĞŶƚĞ
Ğů ƉƌŽďůĞŵĂ
La
ƐŽůƵĐŝſŶ
ĞƐ
ǀĄůŝĚĂ͍
ƉƌĞŶĚĞƌ ĚĞ ůĂ
ƐŽůƵĐŝſŶ
ŶĄůŝƐŝƐ ĚĞů ĐŽŵƉŽƌƚĂŵŝĞŶƚŽ
ďĂũŽ ĚŝĨĞƌĞŶƚĞƐ ĐŽŶĚŝĐŝŽŶĞƐ
ĞƐĂƌƌŽůůŽ ĚĞ ŵĠƚŽĚŽƐ
ĚĞƌŝǀĂĚŽƐ ĚĞ ůĂ ƐŽůƵĐŝſŶ
NO
SÍ

20
Capítulo 1
1.7 Categorías de modelos matemáticos
Los modelos matemáticos pueden clasificarse de acuerdo con sus formas
matemáticas, como sigue:
q Modelos determinísticos y modelos estocásticos, dependiendo de la
aleatoriedad de las variables que aparezcan en el modelo.
q Modelos lineales y modelos no lineales, dependiendo del tipo de las
ecuaciones del modelo.
q Modelos estacionarios y modelos dinámicos, dependiendo de la inclu-
sión de la variable tiempo.
q Modelos de parámetros concentrados (condensados) y modelos de pará-
metros distribuidos, dependiendo de la inclusión de las variables espa-
ciales.
En ingeniería de yacimientos es preferible el modelado de parámetros
distribuidos porque este tipo de modelos es más general, más aproximado
y más adecuado para los propósitos de planeación y administración de la
explotación de los yacimientos. Un modelo de parámetros distribuidos se
describe con una ecuación diferencial parcial o con un conjunto de ecua-
ciones diferenciales parciales. Por ejemplo, se puede tener un modelo deter-
minístico, no lineal y transitorio.
1.8 Modelo conceptual: de la realidad a la idealidad
Dada la complejidad de muchos de los sistemas naturales que se requieren
representar por medio de un modelo, en aquellos cuyo tratamiento matemá-
tico exacto es prácticamente imposible, surge la necesidad de introducir la
noción de modelo conceptual, que es el enfoque más poderoso para abstraer
y simplificar los fenómenos naturales. En esta categoría, el sistema natural
original se reemplaza con un sistema ficticio más simple o esquema, que
puede ser representado por medio de un conjunto de ecuaciones integro-
diferenciales definidas en un espacio matemático que representa virtualmente
el espacio real en donde ocurre el fenómeno a modelar.
Una vez que el modelo conceptual ha sido establecido, los principios
básicos de la física y los procedimientos matemáticos que se apliquen con-

21
ducirán directamente a una teoría que describa el fenómeno investigado
de manera aproximada. El sistema natural debe obedecer las leyes físi-
cas y químicas, y estas también deben regir el comportamiento químico,
mecánico y termodinámico del sistema esquematizado. Dichas leyes y su
expresión en ecuaciones contienen varios parámetros, por ejemplo, en el
caso de los yacimientos petroleros están la porosidad, la permeabilidad, la
conductividad térmica y la compresibilidad, todas ellas relacionadas con las
propiedades del sistema real.
Otro concepto clave en el arte de modelar es la noción de escala, la cual
interviene en el grado de simplificación del modelo. Siempre hay un punto
en el cual debe detenerse el detalle del modelado. No es posible estudiar
la termodinámica de un fluido a partir de las interacciones cuánticas entre
las partículas elementales que forman sus moléculas o calcular la deforma-
ción de una roca describiendo los quarks de sus átomos. De ser factible su
elaboración, tal modelo sería inimaginable y, por tanto, inútil. Al resultado
final proveniente de esquematizar, escalar y simplificar las características
y el comportamiento del sistema real se le denomina modelo conceptual.
Toda teoría para modelar un sistema determinado tiene que especificar
los siguientes puntos:
q Dominio y validez. ¿Dónde se aplica?
q Precisión. ¿Qué tan bien reproduce lo observado?
q Complejidad. ¿Cuántas ecuaciones y procesos abarca?
El aspecto más práctico del modelo conceptual es su grado de compleji-
dad, el cual se refiere al número de postulados, relaciones y parámetros que
necesitan especificarse a priori para obtener respuestas únicas y predecibles
del modelo. Cuando no se pueden determinar todos los parámetros, ni
siquiera de manera aproximada, la estrategia consiste en reducir la com-
plejidad, aun a costa de una precisión y un campo de aplicación reducidos.
Aquí interviene otra vez la noción de escala.
A continuación se resumen las características básicas de un buen mo-
delo conceptual:
q La complejidad del modelo conceptual debe ser directamente propor-
cional a la cantidad de datos disponibles. Se debe escoger el modelo más
simple que reproduzca toda la información medida.

22
Capítulo 1
q No se deben introducir complejidades teóricas para las cuales no se ten-
gan datos medidos. La aparición posterior de información nueva indica
en qué dirección es conveniente refinar o elaborar más el modelo.
q La simplificación no debe ser exagerada, ni debe llegarse al punto de eli-
minar las características fundamentales. Un modelo demasiado simple
sólo proporcionará análisis igualmente simplistas.
q El modelo no debe tener tendencias; por ejemplo, no debe reproducir
un tipo de datos a expensas de otro.
q El modelo debe reproducir con el mismo rango de precisión todos los
grupos de datos disponibles. Un modelo que calibra con precisión sólo
cierto tipo de información, sólo está validado parcialmente.
q El modelo debe verificar y reproducir primero los datos observados y
medidos, hasta donde sea posible. La información medida o calculada
debe calibrarse con el modelo en un segundo paso con el fin de evitar
que se filtren tendencias al incorporar los datos interpretados usualmen-
te con otros modelos. Incluso el suavizar los datos medidos puede borrar
información relevante.
En general, modelar es comprender. A mejores y más representativos
modelos matemáticos corresponde una comprensión más completa del fe-
nómeno estudiado. Del conocimiento sobre el sistema, procedente de la
observación y de la medición, sólo puede abstraerse la parte de su compor-
tamiento susceptible de ser modelada con una teoría aceptada. La actividad
de modelar se refiere a la formalización de un procedimiento; sin embargo,
esta formalización no es única, pues depende inevitablemente de las teo-
rías que la sustentan y de la información disponible. Todo modelo tiene
limitaciones inherentes y debe verificarse con la realidad física observable.
Dependiendo de qué tan adecuadas resulten sus predicciones de esa reali-
dad, se hablará de la precisión del modelo y del rango de su aplicación. El
mejor modelo será aquel que, para el mismo dominio simulado, prediga la
conducta del sistema con más precisión dentro del rango de incertidumbre
de los datos medidos. Es por esto que, aplicado a mediciones imprecisas e
incorrectas, el tipo de modelo no tiene ninguna importancia.

23
1.9 Modelado matemático de yacimientos
El estudio y la comprensión de los procesos de transporte que ocurren en
sistemas naturales fracturados, tales como acuíferos, yacimientos petroleros
y geotérmicos, es relativamente reciente. Desde hace aproximadamente 40
años se han desarrollado métodos de investigación basados tanto en modelos
matemáticos-analíticos y numéricos como experimentales para tratar de com-
prender los complicados mecanismos de flujo presentes en tales escenarios.
En este tipo de sistemas, el problema principal radica en la dificultad
para representar con precisión las dimensiones y la distribución espacial de
propiedades del medio como la permeabilidad, la porosidad, el fractura-
miento, etc. La comprensión cabal de estas propiedades requeriría conocer
la forma en la que fueron creadas por procesos geológicos y tectónicos de
naturaleza aleatoria. En el comportamiento de los yacimientos, tanto el
transporte de masa, de cantidad de movimiento y de energía, como la dis-
tribución de los parámetros petrofísicos, juegan un papel de gran relevan-
cia. Es por ello que en este texto se consideró necesario dedicar los capítulos
4 y 5 a revisar conceptos indispensables para la formulación de problemas
de flujo en yacimiento. En el capítulo 4 se revisan los conceptos básicos de
los fenómenos de transporte mientras que en el capítulo 5 se revisan los
preliminares de la ingeniería petrolera junto con los conceptos necesarios
para la comprensión de la fenomenología de un problema de flujo de fluidos
en yacimientos.
La limitante más importante en el desarrollo científico general de la in-
geniería de yacimientos es la escasez de datos en unas áreas y su abundancia
en otras. En esta disciplina siempre se trabaja con información incompleta
y con incertidumbre. Tampoco es posible elaborar maquetas físicas que
representen globalmente el yacimiento. Se tienen dudas incluso sobre cómo
ligar los datos obtenidos en la medición directa en los núcleos de la forma-
ción con las propiedades del yacimiento mismo. Existen técnicas, como las
pruebas de variación de presión y las pruebas de trazadores, que propor-
cionan información a nivel megascópico que resultan más confiables pues
analizan el yacimiento de manera global en vez de en fragmentos pequeños.
Lo mismo puede decirse de la simulación numérica de yacimientos, con
la cual se puede obtener la descripción integral detallada del yacimiento,

24
Capítulo 1
reproduciendo los datos conocidos. Una vez lograda la aproximación de-
tallada del yacimiento, se puede extrapolar la información y predecir el
futuro del comportamiento del sistema, sujetos a diferentes condiciones o
escenarios de explotación, bajo distintos procesos, riesgos y grados de incer-
tidumbre. Los avances logrados en estos aspectos son la base de la ingenie-
ría de yacimientos petroleros. A continuación se presenta el procedimiento
general del modelado de problemas en ingeniería petrolera.
1.9.1 Procedimiento general del modelado matemático de problemas
de ingeniería petrolera
1. Enfoque del problema:
q Reconocimiento de las variables (presión, temperatura, gasto, etc.).
2. Simplificación del problema:
q Régimen estacionario, fluido ligeramente compresible, presión cons-
tante, gasto constante.
3. Formulación del problema:
q Dependencia de una variable con respecto a otra.
4. Solución (No. de incógnitas = No. de ecuaciones):
q Método analítico.
q Métodos numéricos.
5. Validación de la solución.
6. Utilizar la solución.
7. Desarrollar procedimientos de caracterización del sistema.
Puesto que el enfoque principal de este texto es el planteamiento mate-
mático y la solución analítica de problemas valores iniciales y de frontera de
ingeniería petrolera, los capítulos a continuación se limitan a desarrollar los
primeros cuatro pasos del procedimiento anterior, considerando exclusiva-
mente los métodos de solución analítica.

Capítulo 2
Principios de los fenómenos de transporte
En este capítulo se presenta una breve introducción al campo de los fenó-
menos de transporte en el que se revisan tres mecanismos principales:
transporte de cantidad de movimiento (flujo viscoso), transporte de calor
(sólo conducción) y transporte de masa (difusión). El medio a través del
cual se transportan estos fenómenos es un medio continuo. La finalidad de
esta sección es presentar los conceptos de los mecanismos de transporte y
las leyes fundamentales que rigen cada uno de los procesos, para garantizar,
así, la comprensión cabal del lector necesaria para el desarrollo de las ecua-
ciones de flujo en medios porosos de los capítulos subsecuentes. Por ejem-
plo, para el desarrollo de la ecuación conocida como ecuación de difusivi-
dad se requiere la ecuación de transporte de cantidad de movimiento, o
bien, para la derivación de la ecuación de flujo másico de un trazador en un
medio poroso se requiere la ecuación de continuidad y la de transporte de
masa por difusión. Lo anterior es una muestra de que el entendimiento de
los conceptos y principios básicos de las tres formas de transferencia es,
definitivamente, muy importante.
En este capítulo también se presentan los principios fundamentales de
los mecanismos de transporte de cantidad de movimiento (momentum),
calor y masa. En primer término, se revisan algunos conceptos fundamen-
tales, como la definición de fluido, y se presenta una sucinta discusión sobre
las tendencias moleculares y del medio continuo; luego se describe el estado
de deformación de los fluidos. Una vez revisados los conceptos fundamen-
tales, se describen los mecanismos de transporte a nivel molecular de las
tres formas de transferencia.

26
Capítulo 2
Objetivo
Presentar los elementos preliminares de los mecanismos de
transporte necesarios para comprender el desarrollo de las ecua-
ciones que gobiernan el ﬂujo de ﬂuidos en yacimientos petroleros
presentadas en los siguientes capítulos. Para alcanzar este objeti-
vo, es necesario utilizar las ecuaciones de conservación, como la
de continuidad y la de movimiento, entre otras. En este capítulo
sólo se revisan los principios básicos de los tres tipos de transfe-
rencia de manera resumida y se presenta una analogía entre ellas.
2.1 Conceptos fundamentales
El contenido de este capítulo se enfoca en el movimiento de los fluidos
viscosos. La propiedad física que caracteriza la resistencia de un fluido a
fluir es la viscosidad y esta, a su vez, está definida por la ley de Newton de
la viscosidad, la cual será revisada más adelante. Partiendo de lo anterior,
presentaremos primero la definición de fluido y, posteriormente, las dos
tendencias de estudio de este libro: molecular y continuo.
Fluido. Es aquella sustancia que se deforma continuamente bajo la acción
de un esfuerzo; es decir, que fluye. Existen dos tipos de fluidos: los líquidos y
los gases.
Figura 2.1 Deformación continua de un fluido
bajo la acción de un esfuerzo
2.1.1 Tendencias de estudio: molecular y del medio continuo
El estudio de la transferencia de cantidad de movimiento atañe tanto a
los fluidos en movimiento como a las fuerzas responsables de este movi-
miento. En este estudio existen dos formas de analizar los problemas:
t1
t2F Flujo
Fluido

27
q Tendencia molecular. Los fluidos, al igual que todas las sustancias en la
naturaleza, están compuestos por moléculas que, en cantidades muy
altas forman grupos que, a su vez, dan origen a los diferentes elementos
y compuestos presentes en el medio ambiente. Así, por ejemplo, tan sólo
en una pulgada cúbica de aire a condiciones ambiente se estima que
existen alrededor de 1020
moléculas, con lo cual resulta evidente la im-
posibilidad de describir y predecir los movimientos individuales de las
diferentes moléculas que componen un fluido. Incluso en la teoría ciné-
tica de los gases y en la mecánica estadística, los movimientos molecu-
lares se describen en términos de agrupamientos estadísticos, más que
en términos de moléculas individuales.
q Tendencia del medio continuo. En este caso, el fluido se trata como un
cuerpo en el que existe una distribución continua de materia (conti-
nuum). Se considera que el volumen de control más pequeño que pueda
tomarse del fluido contendrá un número suficiente de moléculas como
para que cualquier promedio estadístico tomado en él sea válido; así, las
propiedades macroscópicas de un medio continuo variarán ligeramente
y de forma continua de un punto a otro del fluido. Este concepto no
sería válido si en un volumen lo suficiente pequeño el número de molé-
culas por unidad de volumen contenidas fuera dependiente del tiempo,
aun cuando a nivel macroscópico el número de moléculas contenido en
un volumen mayor resultara constante.
En este texto se utiliza la tendencia del medio continuo ya que es la de
interés inmediato para resolver el tipo de problemas que aquí se tratan; sin
embargo, es necesario enfatizar que ambas tendencias son necesarias para
completar el estudio de los mecanismos de transporte y para describir las
propiedades de los fluidos, así como para el estudio de los diferentes pro-
blemas que aquí se tratan.
2.1.2 Sistemas termodinámicos
Existe una serie de conceptos de uso común en termodinámica que será de
gran utilidad al estudiar los procesos de transferencia. A continuación se
presenta un breve repaso.

28
Capítulo 2
Sistema. Es la parte del universo que se aísla para estudiar un proceso de
interés.
Contorno o límites. Son las superficies que separan al sistema de sus
alrededores. Pueden ser superficies físicas o matemáticas. Cabe mencionar
que el contorno o los límites de un sistema pueden ser superficies reales o
imaginarias. Normalmente, el contorno queda definido mediante la sus-
pensión de la continuidad de una propiedad del sistema.
Alrededores. Es el mundo físico que no está comprendido ni en el siste-
ma ni en el contorno.
Se puede establecer una primera clasificación de los sistemas a partir de
sus alrededores:
q Sistema completamente aislado. Se obtiene cuando no existe transferen-
cia de masa ni de ninguna forma de energía entre el sistema y sus alre-
dedores.
q Sistema térmicamente aislado. Puede existir intercambio de masa u otra
forma de energía, mientras no sea térmica, con los alrededores.
q Sistema mecánicamente aislado. Tiene contornos rígidos y de volumen
constante. No puede dar ni recibir trabajo.
q Sistema cerrado. No existe transferencia de masa con los alrededores.
q Sistema abierto. Existe intercambio tanto de masa como de energía en-
tre el sistema y sus alrededores.
Estado de un sistema. El estado de un sistema queda definido por la
magnitud de sus propiedades y por la condición que guardan en un mo-
mento dado; así, quedará definido por ciertas magnitudes medibles como
masa, volumen, presión y temperatura.
Por estado de equilibrio de un sistema se entiende la invariabilidad de
las propiedades del sistema con respecto al tiempo. Las variables que go-
biernan un proceso determinado están ligadas por medio de una interrela-
ción que se denominará ecuación de estado, la cual puede definirse como la
relación matemática que existe entre las propiedades puntuales del sistema
en estado de equilibrio.
Las propiedades puntuales del sistema poseen las siguientes caracte-
rísticas:

29
q El cambio en estas propiedades puede expresarse mediante una diferen-
cial total.
q La diferencial total debe ser una diferencial exacta y se define así:
Sea una función ݂ ሺ‫ݔ‬ǡ‫ݕ‬ሻ, entonces su diferencial será:
Ec. 2.1
Por otra parte, se tiene:
Ec. 2.2
Donde debe cumplirse la condición:
Ec. 2.3
Al expresarse una variable (propiedad) del sistema en función de las
restantes, tendremos lo que se denominan grados de libertad del sistema. Si
la propiedad del sistema que nos ocupa en un momento dado cumple con
las condiciones de las ecuaciones 2.2 y 2.3, la forma en la que pase de un
estado inicial a uno final es intrascendente; es decir, es independiente del
camino seguido.
Las propiedades de un sistema pueden dividirse en dos clases:
q Propiedades intensivas. Son aquellas propiedades independientes de la
cantidad de materia contenida dentro del sistema; por ejemplo: tempe-
ratura, presión y densidad.
q Propiedades extensivas. Son aquellas cuyos valores son directamente
proporcionales a la masa del sistema. Así, el volumen total de un siste-
ma es una propiedad extensiva; otros ejemplos son la masa y el núme-
ro de moles. En general, al dividir una propiedad extensiva por la
masa, se convierte en una propiedad intensiva; por ejemplo, el volu-
men específico.

Capítulo 3
Preliminares de las ecuaciones diferenciales parciales
Este capítulo revisa los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales.
En primer término se presentan los conceptos relacionados con las ecua-
ciones diferenciales ordinarias, EDO, y, en segundo, los conceptos de las
ecuaciones diferenciales parciales, EDP. Cabe señalar que sólo se incluyen
los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales que la autora conside-
ra necesarios para la comprensión de los capítulos subsecuentes. Este ma-
terial pertenece a un curso elemental de ecuaciones diferenciales y es estric-
tamente opcional.
Las dos secciones de este capítulo están dedicadas a la introducción tanto
de las EDO como de las EDP, ecuaciones de primer y segundo orden, prin-
cipalmente. Se introducen conceptos como linealidad y superposición, así
como los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales, tanto homogé-
neas como no homogéneas, y algunas técnicas de las ecuaciones y problemas
de valores en la frontera. Se derivan también, a manera de ejemplo, algunas
formas de equilibrio de ecuaciones bien conocidas, como la ecuación de ca-
lor. La finalidad de los ejemplos es presentar algunas aplicaciones sencillas
antes de entrar de lleno a las aplicaciones objeto de este libro, los problemas
de valores iniciales y de frontera frecuentes en la ingeniería petrolera; es decir,
esencialmente problemas de flujo de fluidos en tuberías y medios porosos,
cuyas ecuaciones fundamentales corresponden a EDP de segundo orden.
Es por lo anterior que en la primera sección se presentan los conceptos
de las EDO con base en las definiciones respectivas, en tanto que la presen-
tación de los preliminares de las EDP aparece en la segunda parte y con
ejemplos de aplicación.

94
Capítulo 3
Objetivo
Resumir los preliminares matemáticos necesarios requeridos
para la comprensión de los siguientes capítulos. A manera de
introducción se presentan los conceptos teóricos y las principa-
les técnicas de las ecuaciones diferenciales parciales y de pro-
blemas de valores en la frontera, los cuales son de vital impor-
tancia para los temas centrales del libro.
3.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias
Este texto se enfoca en las ecuaciones diferenciales parciales: su significado
físico, los problemas en los cuales aparecen y sus soluciones. Una de las
principales técnicas de solución consiste en separar el problema de las
ecuaciones diferenciales parciales en problemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias. Por lo tanto, es necesario revisar algunos aspectos de las ecua-
ciones diferenciales ordinarias y sus soluciones.
La siguiente ecuación es una ecuación diferencial ordinaria, EDO, sobre
el intervalo ܽ൑‫ݔ‬൑ܾ:
Ec. 3.1
Y está sujeta a ciertas condiciones de frontera, donde ‫ܮ‬ es el operador
diferencial lineal de enésimo orden, por lo que cumple con la siguiente
igualdad (requisito de linealidad).
Ec. 3.2
Donde ߙ ‫ݕ‬ ߚ son constantes arbitrarias y ‫ݑ‬ ‫ݕ‬ ‫ݒ‬ son cualesquiera fun-
ciones diferenciables, al menos para ‫ݑܮ‬ ‫ݕ‬ ‫.ݒܮ‬
Por lo tanto, ‫ܮ‬ es de la forma:
Ec. 3.3

95
Se puede verificar que la ecuación 3.3 satisface, en efecto, el requeri-
miento de linealidad de la ecuación 3.2.
Un ejemplo de un operador diferencial no lineal es:
Donde se denota, por abreviar:
Aplicando a ‫ܯ‬ una combinación lineal arbitraria ߙ‫ݑ‬൅ߚ‫ݒ‬ se obtiene:
Aquí se observa claramente que lo que encierran los corchetes no es
idénticamente igual a cero para cualesquiera valores de ߙǡ‫ݑ‬ ‫ݕ‬ ‫ݒ‬Ԣǡ por lo que
‫ܯ‬ no satisface el requerimiento de linealidad de la ecuación 3.2. Por lo
tanto, el operador ‫ܯ‬ no es lineal. Esto, por supuesto, no es una sorpresa,
ya que ‫݊ݔ‬ claramente no tiene la forma de la ecuación 3.3.
Ahora, si se consideran condiciones de frontera asociadas con la ecua-
ción 3.1, como ‫ܮ‬ es de enésimo orden, se requieren ݊ condiciones de fron-
tera. De forma general se puede escribir:
Ec. 3.4
Donde ‫ܥ‬݆
son constantes y ߚ݆
pueden ser funciones de las incógnitas ‫;ݑ‬
es decir, ݂ሺ‫ݔ‬ሻ. El conjunto de todos los valores de ‫ݔ‬ para cada ‫ܥ‬ se define
sobre el intervalo ܽǡܾ de un eje ‫.ݔ‬ La función ݂ asigna un valor numérico
݂ሺ‫ݔ‬ሻ a un punto en el eje ݂ሺ‫ݔ‬ሻ. La totalidad de los puntos de ݂ሺ‫ݔ‬ሻ se co-
noce como rango de ݂.

96
Capítulo 3
Para añadir precisión, el interés principal está en las ߚ݆
, las cuales son
combinaciones lineales de ‫ݑ‬ y sus derivadas de orden ݊−1 en los extremos
o en las fronteras del dominio ܽǡܾ.
Por ejemplo, si ݊ = 2, se tiene:
Se dice que ߚͳ
y ߚʹ
son funcionales lineales porque cumplen con el re-
querimiento de linealidad de la ecuación 3.2; es decir:
Para cualesquiera constantes y funciones arbitrarias ߙǡ ߚǡ ‫ݑ‬ › ‫.ݒ‬
Cabe notar que el término operador diferencial se refiere sólo a ‫ܮ‬ y que
el término operador diferencial total, denotado por Ȧ, incluye tanto al
operador lineal, ‫,ܮ‬ como a las condiciones de frontera ‫,݆ܤ‬ por lo que am-
bos tienen que ser lineales.
3.1.1 Ecuaciones lineales homogéneas
El interés principal lo constituyen las ecuaciones diferenciales de primer
y segundo orden. Se presentan las siguientes ecuaciones:
Ec. 3.5
Ec. 3.6

97
Si ݂ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳ en cualquiera de las dos ecuaciones, la ecuación diferencial
es homogénea. Otra prueba consiste en determinar si la función constante
‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ‫0ؠ‬ es una solución; en ese caso, la ecuación es homogénea. Es decir
que se requiere que la ecuación sea igual a cero para ser homogénea.
En las siguientes secciones se revisan las ecuaciones lineales homogéneas.
3.1.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden
La forma general de la mayoría de las ecuaciones lineales homogéneas
de primer orden es:
Ec. 3.7
Esta ecuación puede resolverse al separar ‫ݑ‬ de un lado de la ecuación e
integrando:
Ec. 3.8
Es sencillo verificar que la expresión de la ecuación 3.8 es una solución
de la ecuación diferencial para cualquier valor de ‫;ܥ‬ esto es, ‫ܥ‬ es una cons-
tante arbitraria y puede usarse para satisfacer la condición inicial, en el caso
que se especifique.
3.1.3 Ejemplo 1. Solución de una ecuación diferencial homogénea
Resolver la ecuación diferencial homogénea:
Con base en el procedimiento anterior, la solución general es:

98
Capítulo 3
Para cualquier ‫.ܥ‬ Si se especifica una condición inicial, por ejemplo
‫ݑ‬ሺͲሻ = 5, entonces ‫ܥ‬ debe ser tal que satisfaga la solución ‫ܥ‬ = 5.
El caso más común de esta ecuación diferencial tiene ݇ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ݇ constan-
te. La ecuación diferencial y su solución son:
Si ݇ es negativo, entonces ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ se aproxima a cero conforme ‫ݐ‬ se incre-
menta. Si ݇ es positivo, entonces ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ se incrementa rápidamente en mag-
nitud de acuerdo a ‫.ݐ‬
3.1.4 Ecuaciones diferenciales de segundo orden
No es posible dar un método de solución general para una ecuación
diferencial lineal homogénea de segundo orden como la siguiente:
Ec. 3.9
No obstante, se pueden resolver algunos casos importantes detallados a
continuación. El punto más significativo en la teoría general es el principio
de superposición.
3.1.5 Principio de superposición
Si ‫ݑ‬1
(‫ݐ‬ሻ y ‫ݑ‬2
(‫ݐ‬ሻ son soluciones de la misma ecuación diferencial lineal
homogénea de la ecuación 3.6, entonces cualquier combinación lineal de
las soluciones también será una solución de la ecuación diferencial. Esto es:
Ec. 3.10

99
Este teorema es muy sencillo de probar y merece ser considerado como
un principio porque se aplica, con sólo algunos cambios, a muchas otras
ecuaciones lineales homogéneas. Más adelante se utilizará de nuevo para
las ecuaciones diferenciales parciales.
Para satisfacer una condición inicial se requieren dos soluciones lineal-
mente independientes de una ecuación de segundo orden. Dos soluciones
son linealmente independientes sobre un intervalo únicamente si la com-
binación lineal de ellas (con coeficientes constantes), que es idéntica a cero,
corresponde a la combinación con cero para sus coeficientes.
Existe una prueba alternativa: dos soluciones de la misma ecuación di-
ferencial homogénea del tipo de la ecuación 3.10 son independientes si y
sólo si su wronskiano, ܹ, es distinto a cero en ese intervalo. El wronskiano
se define como:
Ec. 3.11
Si se tienen dos soluciones linealmente independientes ‫ݑ‬ͳ
ሺ‫ݐ‬ሻ y ‫ݑ‬ʹ
ሺ‫ݐ‬ሻ de
una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, entonces la
combinación lineal de ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻൌ‫ܥ‬ͳ
‫ݑ‬ͳ
ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ‫ܥ‬ʹ
‫ݑ‬ʹ
ሺ‫ݐ‬ሻ es una solución general
de la ecuación 3.9, dadas cualesquiera condiciones iniciales ‫ܥ‬ͳ
y ‫ܥ‬ʹ
que
‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ satisfaga.
Un ejemplo del principio de superposición es el siguiente. Se tiene una
ecuación diferencial lineal de segundo orden y sus respectivas condiciones
de frontera como en la ecuación 3.12
Ec. 3.12
La ecuación 3.12 se puede reescribir sobre el intervalo 0≤ ‫ݔ‬ ≤1 con la
forma de las ecuaciones 3.1 y 3.11:
Ec. 3.12 a

Capítulo 4
Desarrollo de las ecuaciones básicas de transporte
en yacimientos petroleros
El propósito de este capítulo es revisar las matemáticas del flujo de fluidos,
limitándose a los aspectos básicos de las principales ecuaciones de flujo en
tuberías y medios porosos. En este capítulo se muestra cómo formular un
problema de flujo de fluidos en yacimientos y se revisa el uso del análisis
matemático en el planteamiento y la resolución de problemas de flujo tran-
sitorio. Este procedimiento es común en muchas otras disciplinas como la
conducción de calor en sólidos, la hidrología subterránea, el transporte de
masa, etc.
Las ecuaciones diferenciales aquí presentadas se obtienen combinando
la Ley de Darcy con una sencilla ecuación de balance de materia para cada
fase. En este capítulo se derivan, primero, las ecuaciones más simples, aque-
llas que describen el flujo monofásico y, después, paso a paso, las ecuaciones
diferenciales parciales, aquellas que describen casos más complicados, como
los multidimensionales, los multicomposicionales y los multifásicos. Cabe
resaltar que las soluciones analíticas obtenidas con las técnicas clásicas de
solución de ecuaciones diferenciales parciales se limitan al caso más sencillo:
un yacimiento homogéneo con condiciones de frontera muy regulares
(como fronteras circulares y un sólo pozo en el centro). Para casos más com-
plejos se plantea un sistema de ecuaciones lineales y no lineales que se re-
suelven numéricamente por medio del modelado numérico.
Un modelado numérico de un yacimiento es un programa de cómputo
que usa métodos numéricos para obtener una solución aproximada del mo-
delo matemático. Cabe señalar que el modelado numérico sale de los obje-
tivos de este texto y al lector interesado se le recomienda consultar alguna

156
Capítulo 4
referencia especializada en el tema, por ejemplo, Azis y Zettari (1979). Sin
embargo, dada la importancia de la simulación numérica de los yacimien-
tos, al final de capítulo se trata el tema de manera introductoria. Se presen-
ta una breve descripción de los objetivos generales de la simulación numé-
rica de los yacimientos, así como las ecuaciones que conforman la base del
modelo matemático de dos tipos de simuladores. La penúltima sección
abarca las ecuaciones desarrolladas en los apartados previos para formular el
problema de flujo composicional y multifásico. En la sección final se realiza
la simplificación del caso general a un modelo de aceite negro. Cabe señalar
que los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales parciales que
describen casos muy sencillos de flujo de fluidos en yacimientos petroleros
se presentan en los capítulos siguientes.
Objetivo
La ﬁnalidad de este capítulo es introducir las ecuaciones funda-
mentales de ﬂujo a través de yacimientos petroleros que se utili-
zan en los ejemplos de aplicaciones de los métodos de solución
de ecuaciones diferenciales parciales presentados en los capítu-
los siguientes; adicionalmente, se pretende dirigir al lector inte-
resado hacia las referencias relevantes sobre el tema.
4.1 Introducción
En la ingeniería petrolera es muy importante inferir el comportamiento de
un yacimiento real a partir de su representación en un modelo. El modelo
del yacimiento puede ser físico, como un modelo a escala de laboratorio, o
matemático. Para propósitos de este texto, se define un modelo matemático
como el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales aunado al conjunto
de condiciones de frontera apropiadas que, se considera, describen adecua-
damente los procesos físicos más significativos del sistema real en cuestión.
Los procesos que ocurren en los yacimientos petroleros son, básicamente, el
de la cantidad de movimiento, debido al flujo de fluidos y a los efectos vis-

157
cosos, y el de transferencia de masa; además, en ciertos casos se presenta el
transporte de energía. Hasta tres fases (conocidas en ingeniería petrolera
como agua, aceite y gas) fluyen simultáneamente en los yacimientos, en
tanto que la transferencia de masa ocurre entre las fases (principalmente
entre las fases de gas y aceite). La fuerza de gravedad, la capilaridad y la
viscosidad juegan un papel muy importante en el flujo de fluidos.
Para introducir estas ecuaciones es necesario conocer algunos conceptos
básicos de mecánica de yacimientos. Para un tratamiento más completo se
recomienda consultar Collins (1961) y Craft y Hawkins (1956). Al recurrir
a las ecuaciones diferenciales para predecir el comportamiento de un yaci-
miento es necesario plantear el problema de valores iniciales y de frontera,
consistente en la ecuación diferencial parcial que gobierna el problema y las
condiciones iniciales y de frontera correspondientes; una vez planteada la
ecuación, ésta se resuelve con alguno de los métodos de solución de las
ecuaciones diferenciales. Cabe resaltar que las soluciones analíticas alcanza-
das por medio de las técnicas clásicas de solución de ecuaciones diferenciales
parciales sólo pueden ser obtenidas para el caso más sencillo, es decir, un
yacimiento homogéneo con condiciones de frontera regulares.
Se revisan los principios fundamentales de flujo, se discute el desarrollo
de la ecuación de Darcy, se compara con la de Navier-Stokes y se hace hin-
capié en las condiciones de su aplicación. También se revisan algunas ecua-
ciones fundamentales de flujo, como la ecuación de continuidad, basada en
el principio de conservación de masa, y la ecuación de movimiento, utiliza-
da frecuentemente para describir el flujo de fluidos en medios porosos. Fi-
nalmente, se discute la construcción de la ecuación de difusividad, notoria
en el ámbito de la ingeniería petrolera, la cual gobierna el flujo de un fluido
ligeramente compresible en una sola fase en un medio poroso homogéneo.
Asimismo, se revisan las ecuaciones fundamentales de flujo para el caso más
complejo, el flujo multifásico composicional, el cual sólo puede resolverse
con métodos numéricos, mediante la simulación numérica de yacimientos.
4.2 Principios fundamentales del ﬂujo del agua en medios porosos
La Ley de Darcy describe, a partir de experimentos de laboratorio, las carac-
terísticas del movimiento del agua a través de un medio poroso. La Ley de

158
Capítulo 4
Darcy de flujo laminar de fluidos homogéneos en medios porosos homogé-
neos puede ser derivada a partir del equilibrio de las fuerzas actuantes sobre
el fluido que fluye dentro de un volumen elemental macroscópico. El mo-
vimiento del agua en el medio poroso va de un nivel alto a un nivel menor
de energía, lo cual se debe, principalmente, a la elevación y a la presión.
Cabe notar que la energía cinética, proporcional a la raíz cuadrada de la
velocidad, se desprecia porque las velocidades en el medio poroso son muy
bajas, al menos para flujo laminar. Mientras el agua fluye, experimenta una
pérdida de energía debida a la fricción contra las paredes del medio granular
a lo largo de su recorrido; esta pérdida de energía por unidad de longitud de
distancia recorrida, o gradiente hidráulico, es directamente proporcional a
la velocidad del agua en flujo laminar en medios porosos. La proporciona-
lidad entre el gradiente hidráulico y la velocidad del agua en el medio se
expresa matemáticamente con una ecuación conocida como Ley de Darcy,
una ley del flujo lineal a través de un medio poroso.
La similitud entre el flujo del agua en un medio poroso y el flujo laminar
a través de las tuberías fue reconocida por Darcy (1856) y por Dupuit
(1863). Tanto Hagen en 1839 como Poiseville en 1841 realizaron experi-
mentos con flujo en tuberías; fue a Poiseville a quien, más tarde, se le atri-
buiría la ley de flujo laminar en tuberías. Darcy también se dedicó al traba-
jo experimental y, en particular, al factor fricción de las fórmulas de flujo en
tuberías. En 1856, Darcy realizó un experimento en una tubería vertical de
área de sección transversal, ‫,ܣ‬ llena de arena (ver experimento de Darcy,
presentado en la sección 4.4). Derivado de sus investigaciones sobre el flujo
a través de camas de arena estratificadas, Darcy concluyó que el ritmo de
flujo, ܳ, era proporcional a la pérdida de energía, inversamente proporcio-
nal a la longitud de la ruta de flujo y proporcional al coeficiente ‫,ܭ‬ depen-
diente de la naturaleza de la arena.
Cabe señalar que tanto Darcy como Dupuit fallaron al reconocer el
hecho de que ‫ܭ‬ depende de las propiedades del fluido y de las caracte-
rísticas del medio. La Ley de Darcy puede expresarse matemáticamente
como:
Ec. 4.1

159
Los subíndices de la ecuación 4.1 se refieren al valor de h correspon-
diente a las elevaciones ‫ݖ‬ͳ
y ‫ݖ‬ʹ
, y ‫ܭ‬ es la conductividad hidráulica. Donde
h se define como:
Ec. 4.2
Ec. 4.3
En estas ecuaciones, h es la energía por unidad de peso de fluido o altura
hidráulica; en el caso del agua, ‫ݖ‬ es la elevación arriba de un plano arbitra-
rio, ‫,݌‬ es la presión sostenida por el fluido en los poros del medio, ߛ es el
peso específico del fluido, ߤ es la viscosidad dinámica del fluido y ݇ es la
permeabilidad intrínseca del medio. Cuando el fluido es agua, el gradiente
hidráulico, ॅ, se define como:
Ec. 4.4
El flujo de fluidos en un medio poroso podría ser tratado microscópica-
mente por las leyes hidrodinámicas si el esqueleto granular del medio fuera
un simple montaje geométrico de tubos prismáticos. Sin embargo, los cana-
les que conducen el fluido, lejos de ser prismáticos, son tortuosos, están
ramificados y tienen múltiples afluentes. En su forma original, la Ley de
Darcy evita las insuperables dificultades de la imagen microscópica de la
hidrodinámica mediante la introducción de un doble concepto de prome-
dio macroscópico:
q Considera una velocidad de flujo ficticia, la velocidad de Darcy, o el gas-
to específico, ‫,ݍ‬ a través de una sección transversal de un medio poroso,
en lugar de la velocidad verdadera entre los granos, como se aprecia en
la ecuación 4.5:
Ec. 4.5
q Considera un valor del promedio hidráulico en lugar de un valor hidro-
dinámico local de esta velocidad.

160
Capítulo 4
Estos sencillos conceptos fueron introducidos por la naturaleza misma
del experimento de Darcy, que sólo permitía medir valores hidráulicos pro-
medio en el tubo cilíndrico lleno de arena.
A partir de la ecuación 4.5, Dupuit derivó, en 1857, la ecuación para
flujo uniforme en canales abiertos:
Ec. 4.6
Donde ॅ es el gradiente hidráulico, ܳ es la velocidad promedio, ܲ es el
perímetro mojado del área de la sección transversal y ‫ܣ‬ǡߙ y ߚ son coeficien-
tes constantes. Dupuit asumió que el canal estaba lleno de arena y que, por
lo tanto, el agua fluiría mucho más lentamente que en un canal abierto
común. El hecho es que el agua fluye a través de los granos intersticiales
como si fluyera a través de un número infinito de tubos paralelos muy pe-
queños. Y si la arena fuera homogénea, la ecuación 4.6 debería ser aplicable
con , constante característica del medio. Además, el término ܳʹ
debe despreciarse porque las velocidades son mucho muy pequeñas. De esta
forma, Dupuit llegó a la ecuación 4.5 y describió el experimento de Darcy
del año previo para establecer su fórmula; Dupuit declaró que la ecuación
fundamental ‫ݍ‬ ൌ െ‫ॅܭ‬ puede ser considerada, por lo tanto, como un resul-
tado experimental.
La Ley de Darcy puede escribirse en forma vectorial como:
Ec. 4.7
Si K es una constante, es decir, si el medio es homogéneo e isotrópico,
y si el fluido tiene una densidad y una viscosidad constantes, entonces la
ecuación 4.7 se puede escribir como:
Ec. 4.8
En la cual:
Ec. 4.9

161
Donde Ȱ se conoce como el potencial de velocidad y tiene dimensiones
de . Se conoce que ʣ puede ser combinado con la función corriente ߖ
para formar la función de potencial complejo ܹൌ ʣ ൅݅ ߖ. En problemas
de dos dimensiones, acuíferos y medios porosos de espesor unitario (per-
pendicular al plano del papel), los cuales son muy comunes, ߖ puede ser
expresado en unidades de gasto por unidad de espesor unitario.
El concepto de velocidad de potencial suele usarse con frecuencia en la
solución de problemas en los que ‫,ܭ‬ como una primera aproximación, es
tratada como una constante, como es en el caso de las aplicaciones de
ingeniería petrolera más simples. Su uso recurrente puede justificarse in-
cluso por esta única razón. En general, sin embargo, la teoría de flujo en
medios porosos es más completa cuando el gasto específico se deriva vía
el gradiente de una fuerza de potencial, como se muestra más adelante.
Otra vez, se enfatiza que la ecuación 4.8 es válida para los casos en los que
‫ܭ‬ es constante y, por lo tanto, la equivalencia con la Ley de Darcy no es
siempre válida.
La Ley de Darcy establece que, macroscópicamente, la velocidad Darcy
o específicamente el gasto, ‫,ݍ‬ es igual al negativo del gradiente de ‫݄ܭ‬ cuan-
do ‫ܭ‬ es constante. La velocidad verdadera en los poros del medio, o veloci-
dad intersticial, es , donde ߶ es la porosidad del medio. Varios investiga-
dores, como Hubbert (1956), han derivado la forma general de la ecuación
de Navier-Stokes; estas derivaciones provienen, invariablemente, de consi-
deraciones estadísticas y simplificaciones del complicado flujo microscópi-
co. Aunque lo anterior no contribuye a la formulación de una nueva ley, sí
confirma las creencias tempranas de que la Ley de Darcy es el equivalente
empírico de las ecuaciones de Navier-Stokes (véase el capítulo II). A conti-
nuación se demuestra este postulado de forma sencilla.
Considere las ecuaciones de Navier- Stokes en dos dimensiones:
Ec. 4.10
Y
Ec 4.11

162
Capítulo 4
En las ecuaciones 4.10 y 4.11, y son los componentes de la verdadera
velocidad, o velocidad intersticial, . El promedio estadístico de las ve-
locidades puede expresarse, esencialmente, con las siguientes suposiciones
dimensionalmente correctas:
Ec 4.12
Donde ‫ܮ‬ puede ser concebida como la longitud característica, por ejem-
plo, el tamaño de poro, ݀, del medio, y c es un parámetro adimensional.
Si se supone que:
Ec. 4.13
Las ecuaciones de Navier-Stokes pueden escribirse como:
Ec 4.14
Si ߤ y ߩ son constantes, ambas ecuaciones pueden integrarse directa-
mente y sus integrales deben ser las mismas; es decir:
Ec 4.15
Para flujo estacionario, siempre que los términos inerciales aquí repre-
sentados por la energía cinética del líquido puedan ser despreciables, la
ecuación 4.15 se reduce a:
Ec. 4.16
Donde

Capítulo 5
Aplicación del método de separación de variables
El método de separación de variables es una de las técnicas más antiguas
para resolver problemas de valores iniciales y de frontera y se usa para ecua-
ciones diferenciales, parciales, lineales y homogéneas (con coeficientes no
necesariamente constantes) y con condiciones de frontera homogéneas. Es-
te método se puede aplicar a un gran número de ecuaciones en derivadas
parciales, EDP, y consiste en suponer que la solución de la EDP con dos
variables independientes puede factorizarse en el producto de dos funcio-
nes, cada una de las cuales depende sólo de una de las variables indepen-
dientes; es decir, el problema se reduce a resolver dos ecuaciones diferencia-
les ordinarias. La cuestión es encontrar las funciones cuyo producto satisfa-
ga la ecuación original. Es importante señalar que, matemáticamente, el
método plantea tres soluciones para la EDP; sin embargo, el caso del pro-
blema físico modelado por la ecuación original con condiciones iniciales y
de frontera, sólo permite una solución y es la física del problema modelado
la que permite discernir entre estas soluciones matemáticas.
Inicialmente, se desarrolla el método por medio de su aplicación a un
problema típico de conducción de calor que involucra ecuaciones diferen-
ciales parciales. El procedimiento se presenta a detalle, y paso por paso, a
partir del problema físico. Posteriormente se presentan algunos problemas
de valores de frontera de ingeniería petrolera resueltos con el método de
separación de variables. En este capítulo también se incluyen soluciones a
algunas ecuaciones diferenciales conocidas, como la ecuación de onda y el
problema de Sturn-Liouville.

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