Capitulo 1

Capitulo 1. Investigación de operaciones y modelos. 1
Capítulo 1
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y MODELOS
1.1 Introducción. Orígenes de la investigación de operaciones
Desde el advenimiento de la revolución industrial, el mundo ha sido testigo de un
crecimiento importante del tamaño y la complejidad de las organizaciones. Los
pequeños talleres artesanales de épocas anteriores se convirtieron en las corporaciones
actuales de miles de millones de dólares. Una parte integral de este cambio
revolucionario fue el gran aumento de la división del trabajo y de la separación de las
responsabilidades administrativas en estas organizaciones. Los resultados han sido
espectaculares. Sin embargo, junto con los beneficios, el aumento del grado de
especialización trajo consigo problemas nuevos que aún existen en numerosas
organizaciones. Uno de éstos es la tendencia de algunos componentes de una
organización a convertirse en imperios con autonomía relativa, con sus propias metas y
sistemas de valores; de esta manera pierden de vista cómo sus actividades y objetivos se
acoplan a los de toda la organización. Un problema relacionado es que, en la medida
que aumentan la complejidad y la especialización, es más difícil asignar los recursos
disponibles a las diferentes actividades de la manera más eficaz para la organización
como un todo. Este tipo de problema y la necesidad de encontrar la mejor forma de
resolverlos crearon el ambiente propicio para el surgimiento de la investigación de
operaciones (a la que también se le hace referencia como IO).
Las raíces de la IO pueden encontrarse muchas décadas atrás, cuando se hicieron los
primeros intentos por emplear el método científico en la administración de una empresa.
Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones es atribuible
a ciertos servicios militares prestados al inicio de la Segunda Guerra Mundial. Debido a
los esfuerzos bélicos, existía la urgente necesidad de asignar recursos escasos a las
distintas maniobras militares y a las actividades que componían cada operación de la
manera más eficaz. Por esto, las administraciones militares estadounidense y británica
llamaron a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste
y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, les fue solicitado que hicieran
investigación sobre operaciones __militares__. Estos grupos de científicos fueron los
primeros equipos de IO. Debido al desarrollo de métodos eficaces para utilizar la nueva
herramienta que representaba el radar, los científicos contribuyeron al triunfo en la
batalla aérea que libró Gran Bretaña. Sus investigaciones para mejorar el manejo de las
operaciones antisubmarinas y de protección, también tuvieron un papel importante en
la victoria de la campaña del Atlántico Norte. Esfuerzos similares fueron de gran ayuda
en la campaña del pacifico.
Al terminar la guerra, el éxito de la IO en las actividades bélicas generó gran interés por
sus aplicaciones en un ámbito distinto al militar. Entonces comenzó a ser evidente para
un gran número de personas, entre ellas los consultores industriales que habían
trabajado con o para los equipos de IO durante la guerra, que estos problemas eran en
esencia los mismos que los que debían enfrentar los militares pero en un contexto
diferente. Al inicio de la década de los cincuenta, estos visionarios introdujeron el uso

de la investigación de operaciones en una serie de organizaciones industriales, de
negocios y del gobierno. Desde entonces, se ha desarrollado con rapidez.
Los administradores de la industria reconocieron el valor de aplicar técnicas similares a
sus complejos problemas de decisión. Los primeros esfuerzos se dedicaron a desarrollar
modelos apropiados y procedimientos correspondientes para solucionar problemas que
surgían en aéreas tales como la programación de refinerías de petróleo, la distribución
de productos, la planeación de producción, el estudio de mercados y la planeación de
inversiones. Estos procedimientos de soluciones se hicieron posibles con el
advenimiento de computadoras de alta velocidad, porque la resolución del típico
problema de investigación de operaciones requiere demasiados cálculos para ser
realizados a mano.
1.2. Naturaleza de la investigación de operaciones
Como su nombre lo indica, el objetivo de esta disciplina implica “investigar sobre las
operaciones”. El trabajo es aplicado a la problemática relacionada con la conducción y
la coordinación de actividades en una organización. En esencia, la naturaleza de la
organización no es material, por lo cual la IO ha sido aplicada de manera extensa en
áreas tan diversas como manufacturas, transporte, construcción, telecomunicaciones,
planeación financiera, cuidado de la salud, fuerzas armadas y servicios públicos, por
nombrar sólo unas cuantas.
La IO incluye el termino investigación en el nombre porque utiliza un enfoque similar al
aplicado en las áreas científicas establecidas. El método científico es usado para
explorar los diversos problemas que deben ser enfrentados _en ocasiones se usa el
término management science o ciencia de la administración como sinónimo de
investigación de operaciones_. El proceso comienza por la observación cuidadosa y la
formulación del problema, incluyendo la recolección de los datos pertinentes. El
siguiente paso es la construcción de un modelo científico (generalmente matemático)
con el cual se intenta abstraer la esencia del problema real. En esta etapa se propone la
hipótesis de que el modelo será una representación tan precisa de las características
esenciales de la situación, que permitirá que las conclusiones (soluciones) obtenidas
sean válidas también para el problema real. Después se llevan a cabo los experimentos
adecuados para probar esta hipótesis, para modificarla si es necesario y para verificarla
en determinado momento_ este paso se conoce como validación del modelo_. En este
sentido, la IO involucra la investigación científica creativa de las propiedades
fundamentales de las operaciones. Sin embargo, es más que esto. La IO se ocupa
también de la administración práctica de la organización. Por lo tanto, para tener éxito,
también debe proporcionar conclusiones claras que el tomador de decisiones pueda usar
cuando sea necesario.
1.3. Metodología de la investigación de operaciones
El uso de métodos cuantitativos para solucionar problemas, generalmente implica a
mucha gente de toda la organización. Los individuos de un equipo de proyectos
proporcionan información de sus áreas respectivas respecto a diversos aspectos del
problema. El proceso de aplicar métodos cuantitativos requiere una sucesión sistemática

de pasos ilustrados en la figura 1.1. Cada uno de estos pasos se describe con detalle en
esta sección.
NO
Figura 1.1. La metodología de la investigación de operaciones.
1.3.1. Definición del problema
El primer paso es identificar, comprender y describir, en términos precisos, el problema
que la organización enfrenta. En algunos casos, el problema está bien definido y es
claro.
Por ejemplo, considere el problema enfrentado por Mark, graduado de la maestría de
Administración de empresas, quien recientemente obtuvo un puesto como analista
financiero en una compañía de Wall Street. Uno de los beneficios adicionales es un plan
de retiro en el que el empleado pone 5% de su ingreso mensual. La compañía iguala esta
cantidad. El dinero de este plan es entonces invertido en dos fondos: un fondo de
acciones y un fondo de bonos. El Departamento de Beneficios le ha pedido a Mark que
especifique la fracción de este dinero de retiro que habría que invertir en cada fondo.
Mark ha analizado el rendimiento anterior de estos fondos y se ha enterado de que el
fondo de acciones ha crecido a una tasa anual promedio de 10%, mientras que el fondo
de bonos, más conservador, ha promediado una retribución anual de 6%. Para
diversificar su cartera y para controlar el riesgo, no desea poner todos los huevos en una
sola canasta, ha identificado dos pautas:
DEFINICION
DEL PROBLEMA
DESARROLLO DE UN MODELO
MATEMATICO Y RECOLECCIÓN
DE DATOS
RESOLUCCIÓN
DEL MODELO
MATEMATICO
SOLUCIÓN
¿ES
VÁLIDA LA
SOLUCIÓN?
MODELO
MODIFICADO
IMPLEMENTACIÓN
No

1. Ninguno de los dos fondos debe tener más de 75% de la inversión total.
2. La cantidad invertida en el fondo de acciones no debe exceder del doble invertido en
el fondo de bonos
En este caso, el problema que Mark enfrenta está bastante bien definido. Se conoce el
objetivo global, como son las limitaciones (en términos de pautas de inversión) que
deben considerarse para llegar a la decisión. Mark también ha determinado las
retribuciones básicas de los dos fondos.
En otras situaciones, el problema puede no estar tan bien definido y puede requerir
bastantes discusiones y consenso entre los miembros del equipo de proyectos. Por
ejemplo, puede haber varios objetivos que entren en conflicto. Tal vez usted desee
maximizar la satisfacción del cliente y, sin embargo, también minimizar los costos
totales. Es improbable que pueda lograr ambas metas. Se tendrán que tomar decisiones
corporativas respecto a un objetivo global. Algunas veces la cuantificación del objetivo
mismo es difícil. Por ejemplo, ¿Cómo se mide la “satisfacción del cliente”? Todas estas
cuestiones deben resolverse y clarificarse por consenso del equipo de proyectos durante
la fase de definición del problema.
1.3.2. Desarrollo de un modelo matemático y recolección de datos
Después de que el problema está claramente definido y comprendido, el siguiente paso
es expresar el problema en una forma matemática, esto es, formular un modelo
matemático. Una vez construido el modelo, existen muchas técnicas matemáticas
disponibles para obtener la mejor solución, a pesar del vasto número de alternativas y/o
de la complejidad implicada. Para ilustrar este proceso de formulación para el problema
determinístico1, de Mark, recordemos que él desea determinar la fracción de su dinero
de retiro que invertirá en cada uno de los fondos de acciones y bonos. Para establecer el
problema matemáticamente, comencemos por definir dos variables de decisión, a
menudo simplemente llamadas variables (cuyos valores todavía no se conocen), de la
siguiente manera:
S = la fracción por invertir en el fondo de acciones
B= la fracción por invertir en el fondo de bonos
Estas variables de decisión también se denominan variables controlables porque se
tiene cierto control sobre sus valores. En cuanto a este problema, se desean escoger
valores para estas variables que:
1. Maximicen la retribución anual esperada.
2. Satisfagan todas las pautas de inversión.
Para los valores específicos de S y B, se puede expresar la retribución anual esperada en
una fórmula matemática. Recuerde que se espera que cada dólar invertido en el fondo
de acciones tenga un rendimiento de $0.10 y que cada dólar invertido en el fondo de
bonos tenga un rendimiento de $0.06. Por tanto, se espera que una fracción S de un
1 Problema determinístico. Un problema en el que toda la información necesaria para obtener una solución se conoce
con certeza.

dólar invertido en el fondo de acciones tenga una retribución de 0.10*S, y se espera que
una fracción B de un dólar invertido en el fondo de bonos tenga una retribución de
0.06*B. por tanto, la función objetivo, es decir, el objetivo global expresado en forma
matemática, debe elegir valores de S y B para:
Maximizar 0.10S + 0.06B
Debido a las pautas de inversión, no se pueden elegir valores “arbitrarios” para estas
variables. Cada pauta origina una limitación que también se puede describir mediante
una fórmula matemática. La primera pauta requiere que ningún fondo tenga más de 75%
de la cantidad total invertida. Por lo tanto, las fracciones S y B deben ser cada una
menores o iguales a 0.75. Así, los límites superiores sobre estas dos fracciones se
expresan matemáticamente como las siguientes dos limitaciones (restricciones):
S ≤ 0.75 (límite superior en el fondo de acciones)
B ≤ 0.75 (límite superior en el fondo de bonos)
También se requiere otra limitación para la segunda pauta de inversiones. La fracción S
invertida en el fondo de acciones no debe exceder del doble de la fracción B invertida
en el fondo de bonos. La limitación matemática correspondiente es:
S ≤ 2B
o
S – 2B ≤ 0 (limitación de mezcla de cartera)
Finalmente, cada fracción debe ser no negativa. Esta limitación implícita se hace
explicita en el modelo matemático escribiendo:
S, B ≥ 0
Juntando todas las piezas, el modelo matemático desarrollado hasta ahora para este
problema debe elegir valores de las variables S y B para
Condicionado por
S, B ≥ 0
Observe que la función objetiva y las limitaciones están expresadas en términos de las
variables de decisión y otra información conocida. Esta “otra información conocida” se
denomina datos. En este caso, los datos consisten en las retribuciones anuales conocidas
de los dos fondos y los límites superior e inferior sobre las cantidades a invertir en cada
fondo. A diferencia de las variables de decisión, cuyos valores se pueden controlar, los
valores de los datos no se pueden controlar. Por esta razón, los datos son a menudo
llamados parámetros incontrolables.

1.3.3. Resolución del modelo matemático
Una vez formulado un modelo matemático, el siguiente paso es resolver el modelo, es
decir, obtener valores numéricos para la variable de decisión. Para el ejemplo de las
inversiones, esto significa obtener los mejores valores para S y B. La forma en que se
obtengan estos valores depende de la forma o tipo especifico del modelo matemático. Es
decir, una vez que identifique el tipo de modelo que tiene, podrá elegir una técnica de
administración apropiada para resolverlo. Estas técnicas pertenecen a una de dos
categorías.
1. Métodos óptimos, que producen los mejores valores para las variables de
decisión, es decir, aquellos valores que satisfacen simultáneamente todas las
limitaciones y proporcionan el mejor valor para la función objetiva.
2. Métodos heurísticos, que producen valores para las variables que satisfacen
todas las limitaciones. Aunque no necesariamente óptimos, estos valores
proporcionan un valor aceptable para la función objetiva.
En contraste con los métodos óptimos, los métodos heurísticos son computacionalmente
más eficientes y, por tanto, se usan cuando la obtención de soluciones óptimas lleva
demasiado tiempo o es imposible porque el modelo es demasiado complejo.
De hecho, usando el procedimiento discutido en el capítulo 2 (programación lineal), la
solución al modelo de inversión de Mark de la sección 1.3.2 es:
S = 0.75
B= 0.75
que lleva a una retribución anual esperada de 0.10S + 0.06B = 0.10x0.75 + 0.06 x0.75 =
0.12. Es decir, se espera que cada dólar invertido tenga una utilidad de $0.12. Sin
embargo, se puede ver que esta solución no tiene sentido porque es imposible invertir
75% en los dos fondos. La fuente de este error se identifica y corrige en la siguiente
sección.
1.3.4. Validación, instrumentación y control de la solución
Después de resolver el modelo matemático, es extremadamente importante validar la
solución, es decir, revisar la solución cuidadosamente para ver que los valores tienen
sentido y que las decisiones resultantes puedan llevarse a cabo. Algunas de las razones
para hacer esto son:
1. El modelo matemático puede no haber captado todas las limitaciones del problema
real.
2. Ciertos aspectos del problema pueden haberse pasado por alto, omitido
deliberadamente o simplificado.
3. Los datos pueden haberse estimado o registrado incorrectamente, tal vez al
introducirlos a la computadora.
Por ejemplo, al validar la solución de S = 0.75 y B = 0.75 para el modelo de inversión
de Mark, se puede ver que estos valores no tienen sentido. Él no puede invertir 75% en

ambos fondos. En este caso, el error es ocasionado por la omisión de una limitación
para asegurar que las fracciones S y B sumen 1, esto es:
S + B = 1.0
Esta limitación significa simplemente que la cantidad invertida en acciones y la cantidad
invertida en bonos debe totalizar la cantidad total invertida. En general, si la solución no
puede llevarse a cabo, hay que modificar el modelo para reflejar más exactamente las
limitaciones del problema real (y obtener una nueva solución) o tiene que usar su
experiencia y juicio para modificar la solución proporcionada por el modelo.
También es importante darse cuenta que aun cuando el modelo y la solución pueden ser
válidos, tal vez no sea factible llevar a cabo una decisión basándose en esos resultados.
Puede haber implicaciones conductuales o políticas que no pueden incluirse en modelo.
Por ejemplo, el resultado de un modelo puede indicar que es más eficiente en cuanto a
costos transferir algunos trabajadores del turno de día al de noche. Sin embargo, tal
cambio puede enfrentar resistencia de los empleados por razones personales, políticas o
de otra índole. Una forma de evitar este tipo de dificultades es incluir representantes de
todos los grupos potencialmente afectados como parte del equipo de proyectos.
1.3.5. Modificación del modelo
Si durante el paso de validación se encuentra que la solución no puede llevarse a cabo,
se pueden identificar las limitaciones que fueron omitidas durante la formulación del
problema original o puede uno darse cuenta de que algunas de las limitaciones
originales eran incorrectas y necesitan modificarse. En estos casos, debe regresarse a la
etapa de formulación del problema y hacer cuidadosamente las modificaciones
apropiadas para reflejar con más exactitud el problema real. Por ejemplo, si agregamos
la limitación de que la suma de las fracciones sea de 1 a los resultados del modelo de
inversión original de Mark, tenemos el siguiente modelo revisado:
Condicionado por
S + B = 1 (limitación de suma de fracciones)
S, B ≥ 0
La solución a este nuevo modelo (obtenida mediante programación lineal) es:
S = 0.6667
B= 0.3333
En otras palabras, es óptimo que Mark invierta dos terceras partes de su dinero en los
fondos de acciones y una tercera parte en el fondo de bonos, lo que llevaría a una
retribución esperada de 0.10S + 0.06B = 0.10x0.6667 + 0.06 x0.3333 = 0.08667. Es
decir, se espera que cada dólar invertido tenga una utilidad de $0.08667.

Este proceso de modificación de un modelo, obteniendo la nueva solución y
validándola, puede tener que repetirse varias veces antes de encontrar una solución
aceptable y factible (véase la figura 1.1).
1.4. Usos y ventajas de los modelos de investigación de operaciones
Hemos visto cómo un modelo matemático ayudo a Mark a llegar a una decisión. En
general, los modelos matemáticos ayudan a tomar dos tipos de decisiones: estratégicas y
operacionales.
Las decisiones estratégicas, generalmente decisiones de una sola vez que involucra
políticas con consecuencias o efectos a largo plazo para la organización. Considere las
siguientes decisiones que probablemente tuviera que tomar como administrador:
 ¿Debería reemplazarse un sistema existente con un nuevo sistema recién
propuesto? Por ejemplo, ¿debería convertir una de tres casetas de peaje en un
carril expreso para carros de dos o más pasajeros? Otro ejemplo, ¿debería abrir
una nueva instalación de producción?
 ¿Debería cambiar su política de administración? Por ejemplo, ¿debería reordenar
inventarios a intervalos de tiempo regulares en lugar de cada vez que el nivel
caiga por debajo de alguna cantidad especificada?
Como los modelos que construye para llegar a decisiones estratégicas generalmente se
usan únicamente para hacer una determinación a largo plazo, no debe preocuparse
demasiado por la cantidad de esfuerzo computacional requerido para obtener la
solución. Es muy probable que las decisiones estratégicas tengan un impacto importante
en la organización, así que debe dedicar la mayor parte de sus esfuerzos a asegurar que
el modelo sea válido, que incluya todos los aspectos importantes del problema y que los
datos sean lo más exactos posibles.
Las decisiones operacionales, decisiones que implican cuestiones de planeación a
corto plazo que deben hacerse repetidamente. Considere las siguientes decisiones
operacionales que tal vez tenga que tomar regularmente:
 ¿Cómo puede la empresa programar de la manera más eficiente la fuerza de
trabajo semanalmente?
 ¿Cuál es el plan de producción mensual óptimo?
 ¿Cuál es el plan de embarque más efectivo en costos para distribuir productos
desde las plantas hasta los mercados al por menor?
A diferencia de los modelos para planificación estratégica, los modelos para decisiones
operacionales se usan repetidamente. Por tanto, vale la pena gastar tiempo y esfuerzo
extras en identificar o desarrollar los procedimientos de solución más eficientes, ya que
hacerlo puede redituar ahorros significativos en costos computacionales con el tiempo.
Sin importar si se requiere de una decisión estratégica u operacional, los modelos
matemáticos proporcionan los siguientes beneficios:

1. Un método de determinación de la mejor manera de lograr un objetivo, como
asignar recursos escasos.
2. Una forma de evaluar el impacto de un cambio propuesto o un nuevo sistema sin
el costo y tiempo de llevarlo a cabo primero.
3. Una forma de evaluar la fortaleza de la solución óptima al hacer preguntas de
sensibilidad de la forma “Qué sucedería si…” Por ejemplo, ¿qué le sucedería al
plan de inversión óptima y retribución anual si se esperara que el fondo de
acciones produjera sólo 8% (en vez de del 10% original))?
4. Un procedimiento para lograr un objetivo que beneficie a la organización global
al incluir en el modelo consideraciones correspondientes a muchas otras partes
de la organización.
1.5. Pasos generales y técnicas de la construcción de modelos matemáticos.
En la sección 1.3 se aprendió que entre los pasos más importantes en la resolución de
problemas está el identificar y después formular el problema de decisión en un marco
matemático. La construcción de modelos es un arte que mejora con la práctica. En esta
sección se proporcionan pasos y técnicas sistemáticas que se puede aplicar al formular
nuestros propios modelos determinísticos.
Después de formular correctamente un modelo matemático, se deseará resolverlo, es
decir, obtener una solución. Como el procedimiento de solución depende de las
características matemáticas especificadas de un modelo, la elección de la técnica
apropiada significa que debe identificar las características que su modelo posee. Esta
sección nos ayudará a identificar estas características matemáticas y cómo se utilizan
para clasificar modelos. En los capítulos posteriores de la asignatura se tratan algunos
procedimientos de solución, las clases de problemas a los que se puede aplicar, y la
forma de interpretar e implantar las soluciones obtenidas de una computadora.
Para ilustrar, considere el problema enfrentado por la gerencia de producción de Case
Chemicals.
Ejemplo 1.1. El Problema de planeación de producción de Case Chemicals.
Case Chemicals produce dos solventes, CS-01 y CS-02, en su planta de Cleveland. Las
empresas que compran estos solventes los usan para disolver ciertas sustancias tóxicas
que se producen durante procesos de fabricación particulares. La planta opera 40 horas a
la semana y emplea a cinco trabajadores de tiempo completo y a dos de tiempo parcial,
que trabajan 15 horas a la semana. Estas personas operan las siete máquinas que
mezclan ciertos químicos para producir cada solvente. Los productos salen del
departamento de mezclado para ser refinados en el departamento de purificación, que
actualmente tiene siete purificadores y emplea a seis trabajadores de tiempo completo y
a uno de tiempo parcial, que trabaja 10 horas a la semana.
Case Chemicals tiene una provisión casi ilimitada de la materia prima que necesita para
producir los dos solventes. Case Chemicals puede vender cualquier cantidad de CS-01,
pero la demanda del producto más especializado, CS-02, está limitada a lo más a
120 000 galones por semana. Como gerente de producción, usted desea determinar el
plan de producción semanal óptimo para Case Chemicals. ¿Qué cantidad de cada
solvente debe producir Case Chemicals para maximizar la ganancia?

El objetivo ahora es convertir esta descripción cualitativa del problema a una forma
matemática que pueda resolverse. Este proceso es llamado formulación del problema
y generalmente implica cuatro pasos, cada uno de los cuales es descrito en las siguientes
secciones:
1.5.1. Identificación de las variables de decisión.
El primer paso en la formulación del problema es identificar las variables de decisión, a
menudo simplemente llamadas variables. Los valores de estas variables, una vez
determinados, proporcionan la solución al problema. Para el ejemplo 1.1, se puede
identificar las variables de decisión preguntándose qué información necesita
proporcionar al personal de producción, los departamentos de mezclado y purificación,
para que sepan cómo proceder. Su respuesta a esta pregunta debería ser:
1. El número de miles de galones de CS-01 por producir semanalmente.
2. El número de miles de galones de CS-02 por producir semanalmente.
Como los valores de estos elementos no se conocen todavía, a cada variable de decisión
se le da un nombre simbólico. Podemos elegir el nombre simbólico que queramos, y
que nos permita fácilmente recordar la cantidad que la variable de decisión representa.
Para el ejemplo que estamos viendo, podríamos crear las siguientes variables,
correspondientes a los dos elementos identificados anteriormente:
CS1 = El número de miles de galones de CS-01 por producir semanalmente.
Observe que estas descripciones son precisas. Incluyen las unidades asociadas con las
cantidades que las variables representan (miles de galones, en este caso).
La necesidad de identificar las variables de decisión correctamente es vital. De otra
manera, la formulación de un modelo válido que capte todos los aspectos del problema
es imposible. La elección de estas variables no es única, y no existen reglas fijas. Sin
embargo, las siguientes pautas son útiles en la identificación de un conjunto adecuado
de variables de decisión para virtualmente cualquier problema.
CARACTERÍSTICAS CLAVE
Pautas generales para identificar variables de decisión
 ¿Qué elementos afectan los costos y/o ganancias (o, en general, el objetivo global)?
 ¿Qué elementos puede elegir y/o controlar libremente?
 ¿Qué decisiones tiene que tomar?
 ¿Qué valores, una vez determinados, constituyen una solución para el problema?
Póngase en la posición de alguien que tiene que implantar su solución, y luego
pregúntese qué información se requiere.

Para el ejemplo 1.1, las respuestas a todas estas preguntas son iguales y lo llevan a
identificar las variables de decisión como el número de miles de galones de CS-01 y
CS-02 por producir semanalmente.
1.5.2. Identificación de los datos del problema.
La finalidad de resolver un problema es proporcionar los valores reales para las
variables de decisión que ha identificado. Se requiere conocer cierta información para
ayudar a determinar esos valores. Por ejemplo, para determinar las cantidades reales de
los dos solventes a producir para maximizar las ganancias corporativas, se necesitará
saber:
1. El número de horas de trabajo disponibles en el departamento de mezclado.
2. El número de horas de trabajo disponibles en el departamento de purificación.
3. la cantidad de ganancias obtenidas al producir y vender cada tipo de solvente.
Estas cantidades constituyen los datos del problema. En problemas determinísticos, se
requiere conocer u obtener estos valores en el momento de formular el problema. Para
el caso Chemicals:
1. Como se estableció en la descripción del problema, el departamento de mezclado
tiene cinco trabajadores de tiempo completo (40 horas cada uno) y dos
trabajadores de tiempo parcial (15 horas cada uno). Esto da un total de 230 horas
de trabajo a la semana en el departamento de mezclado.
2. De manera similar, los seis trabajadores de tiempo completo (40 horas cada uno) y
el trabajador de tiempo parcial (10 horas) representan un total de 250 horas de
trabajo a la semana en el departamento de purificación.
3. El departamento de contabilidad estima un margen de ganancias de $0.30 por
galón de CS-01 y de $0.50 por galón de CS-02, esto es, $300 por mil galones de
CS-01 y $500 por mil galones de CS-02.
A diferencia de las variables de decisión, cuyos valores se puede controlar, no podemos
controlar directamente los valores de los datos.
La necesidad de que algunos de los datos del problema pueden aclararse cuando
especifica el problema. Otros datos pueden hacerse necesarios al desarrollar el modelo
matemático y descubrir que se requiere información adicional para ayudar a
determinar los valores de las variables de decisión.

1.5.3. Identificación de la función objetivo.
El siguiente paso en la formulación del problema es expresar el objetivo organizacional
global en forma matemática usando las variables de decisión y los datos conocidos del
problema. Esta expresión, la función objetivo, generalmente se crea en tres etapas.
1. Establecer el objetivo en forma verbal. Para el ejemplo 1.1, este objetivo es:
Maximizar la ganancia semanal total de la producción de CS-01 y CS-02
2. Donde sea adecuado, descomponer el objetivo en una suma, diferencia o
producto de cantidades individuales. Para el ejemplo 1.1, la ganancia total puede
calcularse como la suma de la ganancia de CS-01 y CS-02:
Maximizar ganancia = ganancia de CS-01 + ganancia de CS-02
3. Expresar las cantidades individuales matemáticamente usando las variables de
decisión y otros datos conocidos en el problema.
Para lograr la tarea en la tercera etapa, a menudo es útil elegir algunos valores
específicos para las variables de decisión y luego usar esos valores para determinar la
forma en que se calcula la función objetivo. Se hace referencia a esta técnica como
trabajo a través de un ejemplo especifico. En el ejemplo 1.1, supongamos que se
producen 10 mil galones de CS-01 y 20 mil galones de CS-02 (así que CS 1 = 10 y
CS 2 = 20). El departamento de contabilidad le ha dicho que cada mil galones de CS-01
contribuye con $300 a la ganancia y que cada mil galones de CS-02 contribuye con
$500.
Se puede escribir:
Ganancia de CS-01 = 300(10) = $ 3000
+ Ganancia de CS-02 = 500(20) = $ 10000
--------------------------------------------------------
Ganancia total = $ 13 000
Sin embargo, el propósito de usar valores específicos para las variables no es obtener la
ganancia total de estos valores, sino más bien ayudar a determinar cómo calcular el
objetivo cuando los valores de las variables no se conocen explícitamente. En este
problema, se puede ver fácilmente de los cálculos anteriores que si CS 1 es el número no
especificado de miles de galones de CS-01 y CS 2 es el número no especificado de miles
de galones de CS-02 por producir, entonces la ganancia es:
Ganancia de CS-01 = 300 xCS 1
+ Ganancia de CS-02 = 500 xCS 2
--------------------------------------------------------
Ganancia total = 300 x CS 1 + 500 xCS 2
Por lo tanto, la función objetiva matemática expresada en términos de las variables de
decisión y de los datos del problema es:
Maximizar 300 x CS 1 + 500 xCS 2

Este problema ilustra las siguientes características clave:
 Creación de la función objetivo mediante:
a. Enunciado del objetivo de manera verbal.
b. Cuando sea apropiado, descomponer el objetivo en una suma, diferencia, y/o
producto de términos individuales.
c. Expresar los términos individuales en (b) usando las variables de decisión y otros
datos de problemas conocidos.
 Trabajar con un ejemplo específico para determinar cómo se expresa la función
objetivo en una forma matemática, eligiendo valores específicos para las variables de
decisión y realizando los cálculos necesarios.
1.5.4. Identificación de las restricciones.
Su objetivo es maximizar las ganancias. La función objetivo le dice que mientras más
grande sea el valor de las variables, más grande será la ganancia. Pero el mundo real
pone un límite en los valores que puede asignar a estas variables. En el ejemplo 1.1, los
departamentos de mezclado y purificación tienen ciertas restricciones físicas: un número
limitado de horas de trabajo disponible cada uno. Estas limitaciones, así como otras
consideraciones que imponen restricciones sobre los valores de las variables, son las
restricciones. El paso final en la formulación del problema es identificar estas
restricciones y escribirlas en forma matemática.
Las restricciones son condiciones que las variables de decisión deben satisfacer para
construir una solución “aceptable”. Estas restricciones por lo general surgen de:
1. Limitaciones físicas (el número limitado de horas de trabajo en los
departamentos de mezclado y purificación, por ejemplo)
2. Restricciones impuestas por la administración (por ejemplo, ésta pudo haber
prometido una cierta cantidad de un producto a un cliente estimado).
3. Restricciones externas (por ejemplo, Case Chemicals no puede vender más de
120 mil galones de CS-02 a la semana, y no hay razón para producir más que la
cantidad demandada).
4. Relaciones lógicas sobre variables individuales (por ejemplo, el número de
carros producidos debe ser un número entero, y Case Chemicals no puede
producir una cantidad negativa de solventes).

Después de identificar estas restricciones, debe expresarlas en forma matemática
usando las variables de decisión y otros del problema. Este proceso es idéntico al usado
para especificar la función objetivo.
 Expresar las restricciones en forma verbal.
 Cuando es apropiado, descomponer la restricción en una suma, diferencia y/o
producto de cantidades individuales.
 Trabajar con un ejemplo específico para expresar las cantidades individuales en una
forma matemática, usando las variables de decisión y otros datos conocidos del
problema.
Considere las restricciones del ejemplo 1.1.
RESTRICCIÓNDE TRABAJOEN ELDEPARTAMENTODE MEZCLADO(LIMITACION FÍSICA)
Forma verbal: Horas totales usadas en el mezclado no pueden exceder de 230
Descomposición: + no pueden exceder de 230
Matemáticas: para expresar las horas usadas para CS-01 y CS-02 en el departamento de
mezclado, trate de trabajar con un ejemplo específico. Por ejemplo, suponga que
CS 1 = 15 mil y CS 2 = 10 mil galones. ¿Cómo calcula el número de horas usadas en el
departamento de mezclado? Estos valores son datos del problema (además de los datos
ya identificados en la sección 1.5.2) que debemos obtener. Supongamos que llamamos
al departamento de procesos y se recogemos los siguientes datos para los departamentos
de mezclado y purificación:
HORAS POR MILESDE GALONESDE
CS-01 CS-02
Mezclado
Purificación
2
1
1
2
Resulta entonces fácil calcular las horas usadas en el departamento de mezclado
trabajando con valores específicos de CS 1 = 15 y CS2 = 10:
Horas para 15 mil galones de CS-01 = 2(15) = 30
+ Horas para 10 mil galones de CS-02 = 1(10) = 10
------------------------------------------------------------------------------
Total de horas en el mezclado = 2(15) + 1(10) = 40
Horas
usadas
para CS-01
Horas
usadas
para CS-02

El propósito de usar este ejemplo numérico específico es ayudarle a escribir una
restricción matemática general cuando los valores de las variables (CS 1 y CS 2 en este
caso) no se conocen. De los cálculos anteriores, obtenemos la siguiente restricción
matemática general:
2CS1 + 1CS2 ≤ 230
RESTRICCIÓN DE TRABAJO EN EL DEPARTAMENTO DE PURIFICACIÓN
(LIMITACION FÍSICA)
Forma verbal: Horas totales usadas en la purificación no pueden exceder de 250
Descomposición: + no pueden exceder de 250
Matemáticas: 1CS1 + 2CS2 ≤ 250
RESTRICCIÓN DE LÍMITE (LÍMITE EXTERNA)
La limitación de que a lo más pueden venderse 120 mil galones de CS 2 da pie a la
siguiente restricción sobre el valor de CS 2:
CS2 ≤ 120
RESTRICCIÓN DE NO NEGATIVIDAD (LÍMITACIONES LÓGICAS)
Claro está que sabemos que los valores de estas variables de decisión deben ser no
negativos, es decir, cero o positivos. Tales restricciones implícitas de las que estamos
consciente deben hacerse explicitas en la formulación matemática. Para este problema,
se debe incluir las siguientes restricciones:
CS1 ≥ 0 y CS2 ≥ 0 o CS1, CS2 ≥ 0
Juntando todas las piezas de los pasos anteriores, la formulación matemática completa
del problema de planeación de producción de Case Chemicals es la siguiente:
FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA DE CASE CHEMICALS
Maximizar 300 CS1 + 500CS 2 (ganancia)
Condicionado por: 2CS 1 + 1CS 2 ≤ 230 (mezclado)
1CS 1 + 2CS2 ≤ 250 (purificación)
CS2 ≤ 120 (limitado en CS-02)
CS1 , CS2 ≥ 0
donde:
Horas
Usadas
para CS-01
Horas
usadas
para CS-02

En el capítulo 2 se aprenderá el procedimiento de solución para este tipo de problema.
La aplicación de ese procedimiento da por resultado la solución óptima:
CS1 = 70
CS2 = 90
Es decir, el plan de producción óptima es de 70 000 galones de CS-01 y de 90 000
galones de CS-02, lo que representa una ganancia semanal de $66 000.
En esta sección, hemos aprendido los pasos a tomar en la formulación de problemas
identificando (1) las variables de decisión, (2) los datos del problema, (3) la función
objetivo y (4) las restricciones. Para escribir la función objetiva y las restricciones en
una forma matemática, usemos las variables junto con los datos del problema que
tenemos al formular el modelo. Es posible que no se conozca todos los datos necesarios
al definir por primera vez el problema. La necesidad de datos adicionales puede
descubrirse cuando se proceda con la formulación del problema. Estos valores de datos
deben obtenerse de fuentes apropiadas dentro de la organización.
1.6. Ejemplos adicionales de la formulación de problemas.
Los pasos de formulación visto anteriormente, se aplican a problemas de complejidad
variable. Una de las nuevas técnicas útiles en la identificación de las variables, los
datos, la función objetivo y las restricciones, consiste en dibujar un diagrama
esquemático para representar los diversos componentes del problema. Una ventaja de
hacer esto es que el aspecto más importante de estos problemas puede ser transmitido
con una sola imagen. Una clase de problemas en que los diagramas esquemáticos son
particularmente útiles se denominan problemas de redes2, que pueden incluir la
distribución de bienes, como se ilustra en la sección 1.6.1.
1.6.1. Ejemplo de problemas de redes: El problema de la transportación.
Entre los muchos problemas que enfrenta un negocio de producción está el determinar
el mejor plan de embarque para distribuir bienes terminados desde las instalaciones de
producción (fábricas y plantas) hasta los mercados de distribución (clientes y tiendas
detallistas). Por ejemplo, ¿cómo traslada una compañía petrolera la gasolina de sus
refinerías a sus gasolineras de la mejor manera? Los negocios deben desarrollar un plan
de embarque (o un programa de distribución) en el que se establezca el número (o
cantidad) de productos terminados por embarcar desde cada instalación de producción
hasta cada mercado de distribución. Estos embarques no pueden exceder las
capacidades disponibles o suministros de las instalaciones de producción y además
deben satisfacer todas las demandas de los clientes. Con frecuencia, el mejor programa
2 Problema de redes. Un problema que puede representarse mediante círculos y flechas que los conectan.

minimiza los costos totales de transportación. El desarrollo de este programa se
denomina el problema de transportación3.
Es necesario identificar cierta información, datos del problema, para desarrollar el
programa:
1. demanda de los clientes
2. capacidades de la planta
3. costos de embarque desde cada planta hasta cada cliente
Considere el siguiente problema enfrentado por CCC, Cosmic Computer Company.
Ejemplo 1.2. El problema de distribución de Cosmic Computer Company.
CCC tiene tres plantas de ensamblaje de microcomputadoras en San Francisco, Los
Ángeles y Phoenix. La planta de Los Ángeles tiene una capacidad de producción
mensual de 2000 unidades. Cada una de las plantas de San Francisco y Phoenix puede
producir un máximo de 1700 unidades al mes. Las microcomputadoras de CCC se
venden a través de cuatro tiendas detallistas localizadas en San Diego, Barstow, Tucson
y Dallas. Los pedidos mensuales de los vendedores al menudeo son de 1700 unidades
en San Diego, 1000 en Barstow, 1500 en Tucson y 1200 en Dallas. La tabla 1.1 contiene
el costo de embarque de una microcomputadora desde cada planta de ensamblaje hasta
cada una de las distintas tiendas minoristas. Su trabajo es formular un modelo
matemático para encontrar el programa de embarque de mínimo costo.
Tabla 1.1. Costos de embarque ($/unidad)
PLANTAS
TIENDAS
SAN DIEGO BARSTOW TUCSON DALLAS
San Francisco
Los Ángeles
Phoenix
5
4
6
3
7
5
2
8
3
6
10
8
Antes de formular este problema matemáticamente, es posible dibujar un diagrama de
redes esquemático para representar los diversos componentes del problema, como se
ilustra en la figura 1.2. Los siete círculos, o nodos, representan las tres plantas y las
cuatro tiendas al menudeo. Cada arco indica que las computadoras pueden embarcarse
desde la planta hasta la tienda minorista asociada.
Nodo. Un círculo en un diagrama de redes que representa un aspecto importante de un problema,
como la fuente y destinación de bienes en un problema de transportación.
Arco. Una línea que conecta dos nodos en un diagrama esquemático que representa una relación entre
estos dos nodos, como podría ser una posible ruta para el embarque de bienes en un problema
de transportación.
3 Problema de transportación. Elproblema de determinar el plan de mínimos costos para embarcar bienes desde las
instalaciones de producción hasta los mercados de distribución.

Plantas Tiendas detallistas
Figura 1.2. La red de distribución de CCC.
Además de los nodos y arcos, el diagrama de redes incluye los datos del problema. En
este caso, los números que están juntos a los nodos correspondientes a las tiendas al
menudeo indican el número de computadoras solicitadas allí. Finalmente, los números
que están junto a cada arco representan el costo de embarque de una computadora de la
planta correspondiente a la tienda asociada. Todos los aspectos importantes de este
problema se incluyen en este diagrama de redes, y como veremos, el diagrama
simplifica la formulación matemática posterior.
Paso 1. Identificación de las variables de decisión.
Después de los pasos de la formulación del problema, su primera tarea es identificar las
variables de decisión. Para hacerlo, hágase las siguientes preguntas:
1. ¿Qué elementos afectan los costos y/o ganancias?
2. ¿Qué elementos puede escoger y/o controlar libremente?
S1
S2
S3
San Francisco
Los Ángeles
Francisco
Phoenix
D1
San Diego
D2
D3
D4
5
4
6
3
7
5
2
8
3
6
10
8
Barstow
Tucson
Dallas
1700
2000
1700
1700
1000
1500
0
1200

3. ¿Qué decisiones tiene que tomar?
4. ¿Cuáles son los elementos cuyos valores, cuando se conocen, constituyen una
solución (en este caso, un programa de embarque)? En otras palabras, ¿qué
información tendría que proporcionar a las plantas de ensamblaje para que ellos
supieran cómo distribuir sus productos?
Las respuestas a todas estas preguntas pueden conducirlo a identificar doce variables de
decisión, correspondientes al número de microcomputadoras por embarcar desde cada
una de las tres plantas de ensamblaje hasta cada una de las cuatro tiendas minoristas.
Podría referirse a ellas con nombres simbólicos x 1, x 2,…, x 12. Pero recordemos que al
trabajar con variables, es útil usar un nombre simbólico que en cierta manera nos
recuerde la cantidad representada. Por ejemplo, podríamos definir:
San/Tuc = el número de microcomputadoras por embarcar de la planta de
ensamblaje en San Francisco a la tienda detallista en Tucson.
o
x13 = el número de microcomputadoras por embarcar de la planta de
ensamblaje #1 (San Francisco) a la tienda detallista #3 (Tucson).
o
xST = el número de microcomputadoras por embarcar de la planta de
ensamblaje en San Francisco a la tienda detallista en Tucson.
Para este ejemplo, se utiliza la última notación. Los doce nombres simbólicos se
resumen en la tabla 1.2.
Tabla 1.2. Variables de decisión para el ejemplo 1.2.
PLANTAS
TIENDAS
San Francisco
Los Ángeles
Phoenix
xSS
xLS
xPS
xSB
xLB
xPB
xST
xLT
xPT
xSD
xLD
xPD
En términos del diagrama de redes de la 1.2, cada una de estas variables de decisión
denota el número de computadoras por embarcar junto al arco correspondiente, como se
ilustra en la figura 1.3.

Plantas Tiendas detallistas
Figura 1.3. Variables de decisión para el problema de distribución de CCC.
Paso 2. Identificación de la función objetivo.
Si recordamos el procedimiento usado en la sección 1.5, podemos especificar la función
objetiva de la manera siguiente:
Forma verbal: Minimizar costos de embarque desde todas las plantas a todas las tiendas
Descomposición: Minimizar + +
Ejemplo especifico. Para obtener una expresión matemática de cada uno de estos tres
costos de embarque, trabajemos con un ejemplo específico. Supongamos que la planta
de San Francisco embarca 500 microcomputadoras a San Diego, 200 a Barstow, 400 a
Tucson y 300 a Dallas. Es decir, xSS = 500, xSB = 200, xST = 400, xSD = 300. Recordemos
los costos de transportación por unidad dados en la tabla 1.1,
S1
S2
S3
San Francisco
Los Ángeles
Francisco
Phoenix
D1
San Diego
D2
D3
D4
x SS
Tucson
Dallas
1700
2000
1700
1700
1000
1500
0
1200
x LS x PS
x SB
x LB
x PB
x ST
x LT
x PT
x SD
x LD
x PD
Costo de
embarque
desde SF
Costo de
embarque
desde Phoenix
Costo de
embarque
desde LA
Barstow

Costo de embarque desde SF = 5(500) + 3(200) + 2(400) + 6(300) = 5700
En general, cuando las unidades xSS,, xSB , xST y xSD son enviados desde San Francisco,
Costo de embarque desde SF = 5xSS + 3 xSB + 2 xST + 6 xSD
Procediendo de manera similar para el costo de transportación desde Los Ángeles y
desde Phoenix, llegamos al siguiente costo de transportación total:
MATEMÁTICAS
Minimizar (5xSS + 3 xSB + 2xST + 6xSD) + (4xLS + 7 xLB + 8xLT + 10 xLD) +
(6xPS + 5 xPB + 3xPT + 8xPD)
Paso 3. Identificación de las restricciones.
Para identificar las restricciones, hágase las siguientes preguntas:
1. ¿Qué le impide elegir valores arbitrarios para las variables? (Analizando la función
objetiva dada, usted puede minimizar el costo estableciendo cada variable en cero. ¿Qué
le impide hacer esto?)
2. ¿Qué limitaciones físicas o lógicas se requieren para que los valores de las variables
constituyan una solución aceptable?
Para contestar ambas preguntas, observe la figura 1.3, que le debe llevar a identificar los
siguientes grupos de restricciones:
1. El embarque total de cada planta no debe exceder su capacidad. Estas limitaciones están
asociadas con cada nodo correspondiente a la planta de la figura 1.3.
2. El embarque total recibido por cada tienda al por menor debe satisfacer su demanda.
Estas restricciones están asociadas con cada nodo correspondiente a una tienda
detallista y a su demanda en la figura 1.3. En este ejemplo, “satisfacer” significa “ser
exactamente igual a”. Sin embargo, en algunas situaciones, puede significar “al menos
igual a”. Siempre que surjan tales ambigüedades, asegúrese de aclararlas antes de
formular el problema.
3. El embarque desde cada planta hasta cada tienda detallista debe ser un número completo
no negativo, a menudo denominado entero no negativo, porque no puede enviar parte
de una computadora.
Observe que los dos primeros grupos de restricciones son limitaciones físicas y que el
tercero es una limitación lógica.
Lo que resta es convertir estas restricciones de su descripción verbal a matemáticas,
usando variables de decisión y datos del problema. Para hacerlo, observe que existe una
restricción de capacidad asociada con cada uno de los tres nodos de la figura 1.3
correspondiente a estas tres plantas. Por ejemplo, el número de unidades embarcadas
desde la planta de San Francisco no puede exceder su capacidad de 1700. Ahora bien,
use la técnica de descomposición para expresar el número de unidades embarcadas
desde San Francisco como una suma de términos individuales. De la figura 1.3, los
cuatro arcos que salen del nodo correspondiente a la planta de San Francisco
proporcionan la siguiente descomposición:

= + +
+
Por lo tanto, la restricción de capacidad correspondiente a este nodo es:
xSS + xSB + xST + xSD ≤ 1700
Un proceso similar, con referencia al diagrama de redes de la figura 1.3, conduce al
siguiente grupo de restricciones de capacidad:
xSS + xSB + xST + xSD ≤ 1700 (San Francisco)
xLS + xLB + xLT + xLD ≤ 2000 (Los Ángeles)
xPS + xPB + xPT + xPD ≤ 1700 (Phoenix)
Para identificar las restricciones de demanda, observe que existe una de tales
restricciones asociadas con cada uno de los cuatro nodos de la figura 1.3,
correspondiente a las cuatro tiendas al detalle. Por ejemplo, el número de unidades
enviadas a la tienda detallista de San Diego debe ser exactamente 1700. Ahora use la
técnica de descomposición para expresar el número de unidades embarcadas a San
Diego como una suma de términos individuales. De la figura 1.3, los tres arcos que
entran al nodo correspondiente a la tienda detallista de San Diego proporcionan la
siguiente descomposición:
= + +
Por tanto, la restricción de demanda correspondiente a este nodo es:
xSS + xLS + xPS = 1700
Un proceso similar, nuevamente con referencia al diagrama de redes de la figura 3.1,
conduce al siguiente grupo de restricciones de demanda:
Número de unidades
embarcadas desde
San Francisco
Número de unidades
embarcadas hacia
San Diego
Número de unidades
embarcadas hacia
Barstow
Número de unidades
embarcadas hacia
Tucson
Número de unidades
embarcadas hacia
Dallas
Número de unidades
embarcadas hacia
San Diego
Número de unidades
embarcadas desde
San Francisco
Número de unidades
embarcadas desde
Los Ángeles
Número de unidades
embarcadas desde
Phoenix

xSS + xLS + xPS = 1700 (San Diego)
xSB + xLB + xPB = 1000 (Barstow)
xST + xLT + xPT = 1500 (Tucson)
xSD + xLD + xPD = 1200 (Dallas)
Finalmente, cada embarque (variable de decisión) debe ser no negativo y entero:
xSS, xSB, xST, xSD, xLS, xLB, xLT, xLD, xPS, xPB, xPT, xPD ≥ 0 y entero
Si juntamos todas las piezas, el modelo matemático completo es el siguiente:
FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA DE TRANSPORTACIÓN DE
CCC.
Minimizar (5xSS + 3xSB + 2 xST + 6xSD) + (4xLS + 7xLB + 8xLT + 10xLD) +
(6xPS + 5xPB + 3xPT + 8xPD)
Condicionado por:
RESTRICCIONES DE CAPACIDAD
xSS + xSB + xST + xSD ≤ 1700 (San Francisco)
xLS + xLB + xLT + xLD ≤ 2000 (Los Ángeles)
xPS + xPB + xPT + xPD ≤ 1700 (Phoenix)
RESTRICCIONES DE DEMANDA
xSS + xLS + xPS = 1700 (San Diego)
xSB + xLB + xPB = 1000 (Barstow)
xST + xLT + xPT = 1500 (Tucson)
xSD + xLD + xPD = 1200 (Dallas)
RESTRICCIONES LÓGICAS
xSS, xSB, xST, xSD, xLS, xLB, xLT, xLD, xPS, xPB, xPT, xPD ≥ 0 y entero
Aplicando el método para resolver este tipo de problemas de transporte y de asignación,
se llega al siguiente plan de embarque óptimo para CCC.
PLANTAS
TIENDAS
San Francisco
Los Ángeles
Phoenix
0
1700
0
800
0
200
0
0
1500
900
300
0
El costo de embarque total asociado con esta solución óptima es $23100.

El problema de CCC ilustra los siguientes puntos clave además de las técnicas de
formulación de problemas previamente cubiertas.
 El uso de un diagrama esquemático, tanto para ilustrar el problema como para
ayudar a su formulación matemática.
 La necesidad de resolver ambigüedades que surgen con respecto a la interpretación
de las restricciones objetivas impuestas sobre el problema. Por ejemplo, “satisfacer la
demanda” puede significar exactamente igual a o al menos.
 La técnica de agrupamiento, que es la identificación de grupos de restricciones
similares, cada una de las cuales pertenece a un aspecto particular del problema,
como la satisfacción de demandas. La ventaja de agrupar es que, después de formular
la restricción de demanda de un detallista, se le facilitará formular todas las
restricciones de ese grupo porque todas tienen la misma estructura matemática.
1.6.2. Ejemplo de problemas de redes: El problema del flujo máximo.
Para ilustrar nuevamente el uso de un diagrama de redes, considere el problema
enfrentado por la administración de la Hexxon Oil Company.
Ejemplo 1.3. El problema del flujo máximo de la Hexxon Oil Company.
Hexxon Oil Company tiene gran refinería localizada en Newark, New Jersey. La
gasolina refinada es enviada de allí a tanques de almacenamiento en Filadelfia a través
de una red de oleoductos con estaciones de bombeo en Sayerville, Easton, Trenton,
Bridgewater y Allentown. El oleoducto está construido en segmentos que conectan
parejas de estas ciudades. A lo largo de cada segmento existe un número máximo
conocido de galones por hora que pueden enviarse. Esos segmentos y sus respectivas
capacidades en galones por hora son
DE A CAPACIDAD
Newark
Sayerville
Trenton
Newark
Sayerville
Bridgewater
Easton
Easton
Allentown
Sayerville
Trenton
Filadelfía
Bridgewater
Bridgewater
Easton
Allentown
Trenton
Filadelfía
150 000
125 000
130 000
80 000
60 000
100 000
75 000
50 000
90 000
En la región de Filadelfia se espera un aumento en la conducción en los próximos meses
de verano. ¿Tendrá Hexxon suficiente gasolina para satisfacer la mayor demanda en las
estaciones de servicio? Antes de incrementar la tasa de producción de refinería, la
administración de Hexxon desea conocer el número máximo de galones de gasolina por
hora que pueden enviarse a través de la red de oleoductos a los tanques de
almacenamiento de Filadelfia.

Antes de formular este problema matemáticamente, considere el dibujo de un diagrama
de redes que le ayude a visualizar la información y los datos del problema. Primero
identifique ciertos nodos y arcos. En este problema, cada lista de ciudades puede
representarse mediante un nodo. Para conectar esas ciudades para las que existe un
segmento de la red de oleoductos se utiliza un arco, como se ve en la figura 1.4. Allí
también puede ver la capacidad de cada segmento escrita junto al arco correspondiente.
Figura 1.4. Representación de red del problema de flujo máximo: problema de flujo de
Hexxon Oil Company.
El primer paso en la formulación es identificar las variables de decisión. Pregúntese lo
que puede controlar con libertad y lo que constituye una solución a este problema. La
respuesta es que debe determinar el número de galones de gasolina que se pueden enviar
por hora a lo largo de cada segmento del oleoducto. Puede definir:
xNS = el número de galones de gasolina por hora que se enviarán a lo largo del
segmento Newark a Sayerville
Se requiere de una variable similar para cada uno de los otros ocho arcos del diagrama
de redes de la figura 1.4. En la figura 1.5 se escriben estas nueve variables junto a los
arcos.
Sayerville Trenton
n
S
N
T
B E A
P
Newark
Filadelfia
Bridgewater
e
Easton Allentown
ville
[80]
[150]
[125]
[130]
[60] [50]
[100] [75]
[90]

Figura 1.5. Variables de decisión para el problema de flujo de Hexxon Oil Company.
Paso 2. Identificación de la función objetivo.
El siguiente paso en el proceso de formulación es la identificación de la función
objetivo, que en este caso es:
Maximizar el número de galones de gasolina por hora enviada a Filadelfia
Examinando el diagrama de redes de la figura 1.5 y aplicando la técnica de
descomposición, podemos ver que:
= +
En términos de las variables de decisión, entonces, la función objetivo es:
Maximizar xAP + xTP
Paso 3. Identificación de las restricciones.
La técnica de agrupamiento puede usarse para identificar los siguientes tres grupos de
restricciones:
1. Restricciones de límite, especificando que la tasa de embarque de cada segmento
del oleoducto no debe exceder su capacidad. Al usar las variables y las
capacidades dadas en la figura 1.5, estas restricciones son:
Sayerville Trenton
n
S
N
T
B E A
P
Newark
Filadelfia
Bridgewater
e
Easton Allentown
ville
[80]
[150]
[125]
[130]
[60] [50]
[100] [75]
[90]
XST
XTPXNS
XSB
XNB
XBE XEA
XAP
XET
Número de galones por
hora a Filadelfia
hora desde Allentown
hora desde Trenton

xNS ≤ 150 000
xNB ≤ 80 000
xSB ≤ 60 000
xST ≤ 125 000
xBE ≤ 100 000
xEA ≤ 75 000
xET ≤ 50 000
xAP ≤ 90 000
xTP ≤ 130 000
2. Restricciones de equilibrio, especificando que en cada estación de bombeo, la
cantidad de gasolina por hora enviada debe ser precisamente igual a la cantidad
recibida. Por ejemplo, si observamos el nodo de la figura 1.5 correspondiente a
la estación de bombeo de Bridgewater, podemos ver que:
=
= xBE
= +
= xNB + xSB
Si igualamos estas dos cantidades obtenemos la siguiente restricción de balance
para la estación de bombeo de Bridgewater:
xBE = xNB + xSB
o
xBE - xNB - xSB = 0 (balance en Bridgewater)
Procediendo de manera similar para cada estación de bombeo se obtienen las
siguientes cuatro restricciones de balance adicionales:
xST + xSB - xNS = 0 (balance en Sayerville)
xEA + xET - xBE = 0 (balance en Easton)
xTP - xST - xET = 0 (balance en Trenton)
xAP - xEA = 0 (balance en Allentown)
3. Restricciones de lógicas, especificando que la cantidad enviada en cada
segmento sea no negativa.
Juntando todas las piezas, la formulación matemática del problema de la Hexxon Oil
Company es la siguiente:
Cantidad enviada
desde Bridgewater
Cantidad enviada de
Bridgewater a Easton
Cantidad recibida
en Bridgewater
Cantidad recibida en
Bridgewater desde
Newark
Cantidad recibida en
Bridgewater desde
Sayerville

FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA DE FLUJO DE LA HEXXON OIL COMPANY
Maximizar xAP + xTP
Condicionado por:
RESTRICCIONES DE FRONTERA
xNS ≤ 150 000
xNB ≤ 80 000
xSB ≤ 60 000
xST ≤ 125 000
xBE ≤ 100 000
xEA ≤ 75 000
xET ≤ 50 000
xAP ≤ 90 000
xTP ≤ 130 000
RESTRICCIONES DE BALANCE
xBE - xNB - xSB = 0 (balance en Bridgewater)
xST + xSB - xNS = 0 (balance en Sayerville)
xEA + xET - xBE = 0 (balance en Easton)
xTP - xST - xET = 0 (balance en Trenton)
xAP - xEA = 0 (balance en Allentown)
Todas las variables son no negativas
Aplicando el procedimiento de solución apropiado se obtienen los flujos óptimos
mostrados en la figura 1.6.
Figura 1.6. Una solución óptima para el problema de flujo de Hexxon Oil Company.
Sayerville Trenton
n
S
N
T
B E A
P
Newark
Filadelfia
Bridgewater
e
Easton Allentown
ville
[80]
[150]
[125]
[130]
[60] [50]
[100] [75]
[90]
[110]
[130][150]
[40]
[55]
[95] [75]
[75]
[20]
Flow =205

Esta solución resulta en un flujo máximo de 205 000 galones de petróleo por hora desde
la refinería de Newark a los tanques de almacenamiento de Filadelfia.
La administración no sabe cuánta gasolina puede bombear la compañía a Filadelfia.
Esta información también es importante al tomar la decisión respecto a cuál debería ser
la tasa de producción en la refinería de Newark. De hecho, el flujo máximo hacia
Filadelfia pone un límite superior sobre cuánta gasolina debe fluir desde Newark.
1.6.3. Administración de cartera de valores: El uso de variables enteras 0-1
En muchos problemas, los administradores deben tomar ciertas decisiones estratégicas,
como:
1. ¿Deben construirse una nueva planta o almacén?
2. ¿Debe emprenderse un proyecto particular?
3. ¿Debe comprarse cierta seguridad?
4. ¿Debe comprarse una nueva pieza de equipo?
Estas cuatro preguntas abordan problemas que son distintos en naturaleza del problema
de transportación y del problema de flujo máximo. Al desarrollar el programa de
embarque y el flujo de gasolina, usted buscaba una respuesta cuantitativa: ¿cuánto?
Las cuatro preguntas estratégicas anteriores son cualitativas: Sus respuestas serán “no”
o “sí”.
Las decisiones cualitativas desconocidas, _ la respuesta de sí o no a estas preguntas_,
son los elementos que puede controlar con libertad y de esta manera se incorporan a un
modelo matemático como variables de decisión. Al formular un modelo, estas variables
de decisión están restringidas a valores de 0 (para “no”) y 1 (para “sí”) y son entonces
llamadas variables enteras 0-1. El siguiente ejemplo ilustra cómo se usan estas
variables en el desarrollo de modelos.
Ejemplo 1.4. El problema de administración de cartera de HIGH TECH.
Los socios generales de High Tech, una compañía de inversión de capital de riesgo,
están considerando invertir en una o más propuestas que han recibido de varios
negocios empresariales. El departamento de investigación ha examinado cada
propuesta, y cuatro de los empresarios cumplen con el requerimiento de High Tech de
lograr un rendimiento lo suficientemente alto para el riesgo asociado. Estas compañías
son Bio-Tech, Tele-Comm, Laser-Optics y Compu-Ware. El departamento de
investigación de High Tech también ha estimado el rendimiento total de estos negocios
en dólares actuales, dado en la última columna de la tabla 1.3.
Cada uno de los cuatro proyectos requiere inversiones de una cantidad conocida al
principio de cada uno de los siguientes cuatro años, como se muestra en la tabla 1.3. El
departamento de contabilidad de High Tech ha preparado una estimación de los fondos
totales que High Tech tiene para invertir a principios de cada uno de los siguientes
cuatro años, que se da en la última fila de la tabla 1.3. Observe que los fondos no usados
de cualquier año no están disponibles para su inversión en los años posteriores.

Como uno de los socios generales de High Tech, se le ha pedido hacer recomendaciones
respecto a cuáles de estos proyectos elegir, si acaso, para invertir y lograr el más alto
Rendimiento total en dólares actuales. Usted y los otros socios han acordado que High
Tech, en un esfuerzo por diversificarse, no invertir conjuntamente en Tele-Comm y
Laser-Optics, que están desarrollando el mismo tipo de tecnología.
Tabla 1.3. Datos de inversión para High Tech ($ miles).
PROYECTOS AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 AÑO 4 DEVOLUCIÓN
Bio-Tech
Tele-Comm
Laser-Optics
Compu-Ware
60
35
10
15
10
35
50
10
10
35
50
10
10
35
10
40
250
375
275
140
Fondos para inversión 90 80 80 50
Pregúntese qué puede controlar libremente en este problema y se dará cuenta de que
puede elegir aceptar o rechazar cada una de las cuatro propuestas. Debe reconocer que
estas decisiones implican una decisión “no” o “sí”. Parece razonable entonces crear una
variable entera para cada proyecto, de la manera siguiente:




Tech-BioeninvertirdebenoTechHighsi,0
Tech-BioeninvertirdebeTechHighsi,1
B




Comm-TeleeninvertirdebenoTechHighsi,0
Comm-TeleeninvertirdebeTechHighsi,1
T




OPTICS-LasereninvertirdebenoTechHighsi,0
Optics-LasereninvertirdebeTechHighsi,1
L




Ware-CompueninvertirdebenoTechHighsi,0
Ware-CompueninvertirdebeTechHighsi,1
C
La elección de 1 para “sí” y 0 para “no” es completamente arbitraria. También habría
podido elegir 1 para “no” y 0 para “sí”. Sin embargo, una vez que ha elegido debe usar
esta elección consistentemente en toda la formulación. En algunos casos, una elección
particular simplifica la formulación subsecuente.
Paso 2. Identificación de la función objetivo
En este caso, el objetivo es maximizar el rendimiento total de las inversiones en dólares
actuales. El rendimiento total puede descomponerse en la suma de las utilidades para
cada uno de los cuatro proyectos, como sigue:

Rendimiento total = rendimiento de Bio-Tech + rendimiento de Tele-Comm +
rendimiento de Laser-Optics + rendimiento de Compu-Ware
Trabaje con un ejemplo específico. El rendimiento de Bio-Tech es de $250 000, como
se muestra en la tabla 1.3. Sin embargo, recibirá este rendimiento sólo si decide invertir
en Bio-Tech, esto es, si B = 1. De otra manera, es decir, si B = 0, el rendimiento de Bio-
Tech es 0. Estas dos posibilidades pueden combinarse en la siguiente expresión
matemática:
Rendimiento de Bio-Tech = 250B
Si la decisión es no invertir, es decir, B = 0, entonces 250 B = 0. De otra manera, cuando
la decisión es invertir, esto es, B = 1, entonces 250B= 250.
De manera similar, el rendimiento de cada uno de los restantes tres proyectos se obtiene
multiplicando el rendimiento de la tabla 1.3 con la variable de decisión 0-1
correspondiente a ese proyecto. En resumen, la función objetivo para este problema es
maximizar:
Rendimiento total = rendimiento de Bio-Tech + rendimiento de Tele-Comm +
rendimiento de Laser-Optics + rendimiento de Compu-Ware
= 250B + 375T + 275L + 140C
Paso 3. Identificación de las restricciones
Comience usando la técnica de agrupamiento para identificar los siguientes grupos de
restricciones: (1) flujo de efectivo anual, (2) una pauta para reflejar que High Tech no
desea invertir en Tele-Comm y en Laser-Optics a la vez, y (3) restricciones lógicas.
RESTRICCIONES DE FLUJO DE EFECTIVO ANUAL
Pregúntese qué le impide invertir en los cuatro proyectos. Una restricción es la cantidad
limitada de fondos disponibles para inversión durante cada uno de los cuatro años
(véase la tabla 1.3). En particular, se requiere de una restricción de presupuesto para
cada uno de los cuatro años para asegurar que los fondos totales invertidos en proyectos
seleccionados no excedan la cantidad de fondos para inversión disponibles ese año. Por
ejemplo, para el primer año:
Fondos totales invertidos en proyectos seleccionados ≤ 90
Usando la técnica de descomposición, los fondos totales invertidos en proyectos
seleccionados es la suma de las cantidades invertidas en cada uno de los cuatro
proyectos, esto es:
Fondos totales invertidos = (cantidad invertida en Bio-Tech) +
(cantidad invertida en Tele-Comm) +
(cantidad invertida en Laser-Optics) +
(cantidad invertida en Compu-Ware)

Se requiere una expresión matemática para cada una de estas cantidades en términos de
las variables de decisión y otros datos del problema. Use nuevamente la
descomposición, y trabaje con un ejemplo específico. La cantidad invertida en cada
proyecto es la cantidad requerida para ese proyecto durante el primer año (véase la tabla
1.3) multiplicada por la variable 0-1 correspondiente. Por tanto, la restricción de
presupuesto para el primer año se convierte en:
60B + 35T + 10L + 15C ≤ 90 (presupuesto para el año 1)
Se requiere de una restricción similar para cada uno de los restantes tres años. Usando
los datos de la tabla 1.3, esas restricciones son:
RESTRICCIONES DE PAUTA DE INVERSION
Recuerde que la administración ha decidido no invertir en Tele-Comm y laser-Optics a
la vez. ¿Puede usar las variables T y L para escribir una restricción matemática
apropiada?
Se necesita una restricción para asegurar que si T es 1, entonces L es 0, y que si L es 1,
entonces T es 0 (o, de manera equivalente, que ambas variables no pueden tener un
valor de 1). Una forma de lograr esto es requerir que el producto de estas dos variables
sea 0.
L*T = 0
Si una de las variables es positiva, la otra debe ser 0. Pensándolo un poco, puede darse
cuenta de que la siguiente restricción logra el mismo objetivo:
L + T ≤ 1
En la última restricción, si T es 1, L no puede ser también 1 y satisfacer la desigualdad
(y viceversa). Cualquiera de estas dos restricciones es aceptable. La opción debería
basarse finalmente en su capacidad de encontrar un método para resolver la formulación
resultante. En este caso, la segunda restricción proporciona un modelo que es más fácil
de resolver, como se aprenderá en los siguientes capítulos sobre técnicas de solución.
Como se especifica en las definiciones, cada variable debe tener un valor de 0 o 1. Esta
restricción implícita se hace explícita de la siguiente manera:
B, T, L y C = 0 o 1
De manera alternativa, podría escribir estas restricciones lógicas como:

0 ≤ B ≤ 1 y B entera
0 ≤ T ≤ 1 y T entera
0 ≤ L ≤ 1 y L entera
0 ≤ C ≤ 1 y C entera
Juntando las piezas, el modelo matemático completo es el siguiente:
FORMULACIÓN MATEMÁTICA PARA EL PROBLEMA DE INVERSION DE HIGH TECH
Maximizar 250 B + 375 T + 275L + 140C
Condicionado por:
60B + 35T + 10 L + 15 C ≤ 90 (año 1)
10B + 35T + 50 L + 10 C ≤ 80 (año 2)
10B + 35T + 50 L + 10 C ≤ 80 (año 3)
10B + 35T + 10 L + 40 C ≤ 50 (año 4)
T + L ≤ 1
B, T, L, C = 0 o 1
Ejercicio. Con respecto al ejemplo anterior, usando una formulación alternativa, pero
equivalente, puede obtenerse definiendo cada variable de decisión para que tenga un
valor de 1 para “no”, significando que no invertirá en el proyecto asociado, y de 0 para
“sí”, significando que sí invertirá. Se le pide desarrollar el modelo correspondiente. Esto
mostrará que no existe una formulación única de un problema.
De cualquier modo, se aprenderá el procedimiento de solución para este tipo de
problema en el capitulo: Programación entera lineal. La aplicación de ese
procedimiento da por resultado en la recomendación de invertir sólo en los proyectos de
Bio-Tech y Laser-Optics, con un rendimiento esperado de 525 mil dólares.
Este problema ilustra las siguientes características clave, además de las técnicas de
formulación de problemas que ya conoce.
 El uso de variables entera (0-1), para incorporar decisiones no/sí.
 El uso de variables enteras (0-1), para modelar restricciones alternativas al requerir
que la suma de dos de estas variables no exceda de 1.
 La posibilidad de distintas expresiones matemáticas para la misma restricción.
 La posibilidad de distintas modelos, dependiendo de la elección y definición de las
variables de decisión.

1.6.4. Un problema de ubicación
Muchos problemas de la industria implican la elección de un lugar para instalaciones,
por ejemplo, plantas y almacenes. La ubicación de instalaciones puede influir en gran
medida en los costos de transportación. Por ejemplo, si las plantas de ensamblaje de la
Cosmic Computer Company, en el ejemplo 1.2 de la sección 1.6.1, estuvieran ubicadas
en distintas ciudades, los costos de embarque de las computadoras a las tiendas
detallistas cambiarían. Las decisiones de ubicación también pueden afectar la
satisfacción del cliente. ¿Es conveniente y accesible una tienda? La ubicación puede ser
crítica para el éxito del negocio. La pregunta a contestar es dónde ubicar “mejor” las
instalaciones para lograr un objetivo organizacional global, como se ilustra en el
siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.5. El problema de la ubicación del banco de sangre.
Suponga que la ciudad de Nueva York tiene cinco hospitales en Manhattan. El
departamento de salud desea construir un banco central de sangre para proporcionar
suministros diarios de sangre a cada hospital. Los hospitales 2 y 4 requieren entregas
matutinas y vespertinas. Los restantes tres hospitales requieren sólo una entrega al día.
Como administrador del departamento, se le ha pedido hacer una recomendación
respecto a la ubicación ideal de este banco de sangre, ya sea que ese lugar esté
realmente disponible para su adquisición o no.
Paso 1. Identificación de las variables de decisión
¿Qué podemos controlar libremente en este problema? Es claro que nosotros
controlamos la ubicación del banco de sangre. La cuestión real es cómo especificamos
esa ubicación. La forma obvia de hacerlo es definiendo una variable simple, digamos, x,
cuyo valor es la dirección del banco de sangre. Pero, pensemos cuidadosamente
respecto a lo que vamos a hacer con esa variable en la formulación del problema. Si la
dirección conocida de un hospital es y, por ejemplo, no podríamos utilizar x junto, con y
para desarrollar una expresión matemática para la distancia entre el banco de sangre y el
hospital, porque las direcciones solas no contienen suficiente información.
Se requiere de un conjunto de variables más preciso. Una forma de definir un lugar en
un mapa (como en la figura 1.7) es describiendo cada punto en relación con un punto
fijo, llamado el origen. Cada punto del mapa consta de dos coordenadas, digamos (a, b).
La primera coordenada, a, representa la distancia Este-Oeste (digamos, en millas) desde
el origen, y la segunda coordenada, b, representa la distancia Norte-Sur (en millas). No
importa el punto que elijamos como origen, siempre y cuando exprese todas las
coordenadas con relación a ese punto.
En este ejemplo, el Ayuntamiento de la figura 1.7 se ha elegido como el origen. Sus
coordenadas son (0, 0). Cualquier otro punto en el mapa consiste entonces de dos
coordenadas (a, b), en las que un valor positivo de a representa la distancia al Este
(derecha). De manera similar, un valor negativo de b representa la distancia desde el
Ayuntamiento hasta el Sur (abajo) y un valor positivo representa la distancia al Norte
(arriba). Con este entendido, podemos escribir las coordenadas conocidas de los cinco
hospitales en la figura 1.7 relativas al Ayuntamiento de la siguiente manera:

Ubicación del hospital 1 = (a1, b1)
Regresando a la cuestión de identificar las variables de decisión, nosotros podemos
elegir con libertad la ubicación del banco de sangre, esto es, su distancia Este-Oeste y
Norte-Sur en millas desde el Ayuntamiento. En consecuencia, es razonable definir dos
variables, una para cada coordenada de la ubicación del banco de sangre.
x = la distancia Este-Oeste en millas desde el Ayuntamiento
y = la distancia Norte-Sur en millas desde el Ayuntamiento
Figura 1.7. Ubicación de hospitales en la ciudad de Nueva York.
Paso 2. Identificación de la función objetivo
¿Cuál es el objetivo de este problema? Si releemos el enunciado del problema,
descubriremos que el objetivo no se especifica de manera precisa. En términos
generales, se le ha pedido hacer una recomendación respecto a una ubicación “ideal”
para el banco de sangre. Así que la primera cuestión que debe abordarse es cómo medir
lo “bueno” de una ubicación particular. Por ejemplo, ¿sería “mejor” un banco de sangre
ubicado en las coordenadas (s, t) que uno ubicado en las coordenadas (x, y)? Se requiere
de cierta medida de comparación para determinar la ubicación “mejor”. Para desarrollar
Norte
Oeste Este
Sur
(a 5, b 5) ●
●
(a 1, b 1)
●
●
●
(a 4, b 4)
●
(a 2, b 2)
Ayuntamiento
(a 3, b 3)
●
●

esta medida, comience por preguntar lo que constituye una buena ubicación. Algunas
respuestas posibles son la mejor ubicación.
1. Minimiza la suma de las distancias desde el banco de sangre a cada uno de los
cinco hospitales.
2. Minimiza la distancia al hospital más lejano.
3. Minimiza la distancia total viajada al hacer las entregas durante el día.
La elección de un objetivo corresponde a los tomadores de decisiones de la
organización. En este problema, suponga que se seleccionó el tercer criterio.
La siguiente cuestión es cómo expresar este objetivo en términos de las variables y otros
datos del problema. Usando la técnica de descomposición, podemos expresar la función
objetivo de la manera siguiente:
Minimizar la distancia total de viaje =
2* (distancia desde el banco de sangre hasta el hospital 1)*
(número de entregas al día al hospital 1) +
(número de entregas al día al hospital 5)
El valor de 2 en cada término surge porque cada entrega es un viaje redondo.
Ahora es necesario expresar cada término individual usando variables y otros datos del
problema. ¿Puede hacer esto para la distancia desde el banco de sangre hasta el hospital
1 de la figura 1.7? Una dificultad que podemos encontrar es que no es claramente
preciso qué se entiende por “distancia”. Por ejemplo, si las entregas se hacen por aire
(digamos, en helicóptero), la distancia no es la misma que si las entregas se hicieran por
tierra. Supongamos que las entregas se hacen por aire. En este caso, recordemos la
fórmula para calcular una distancia en línea recta. La distancia desde el banco de sangre,
ubicado en las coordenadas desconocidas (x, y), al hospital 1, ubicado en (a1, b 1), es:
2
1
2
1 )()(Distancia byax 
Porque cada entrega requiere un viaje redondo,
2
1
2
1 )()(2redondoviajeDistancia byax 
Usemos la misma fórmula para cada uno de los cuatro hospitales restantes, y
multipliquemos cada distancia por el número de viajes diarios dados en la descripción
del problema. La función objetivo global es:

Minimizar  2
2
2
2
2
1
2
1 )()(4)()(2 byaxbyax
 2
4
2
4
2
3
2
3 )()(4)()(2 byaxbyax
2
5
2
5 )()(2 byax 
Paso 3. Identificación de las restricciones
Para identificar las restricciones, preguntémonos lo que nos impide elegir valores
arbitrarios para las variables x e y. A primera vista, podría sentir que se requieren ciertas
limitaciones sobre estas variables para asegurar que representan una ubicación válida
sobre el mapa. No desearíamos que el banco de sangre estuviera ubicado en Filadelfia.
Aun cuando podríamos incluir tales restricciones, no se requiere hacer eso en este
problema. La razón es que la función objetivo restringe los valores para x e y. Cuando la
función objetivo se minimiza de hecho, los valores para x e y automáticamente estarán
cerca de los cinco hospitales.
Existen otras muchas consideraciones prácticas respecto a la ubicación real del banco de
sangre, pero no se incluyen como restricciones en este modelo porque el objetivo es
determinar la ubicación ideal.
Adicionalmente observemos que no existen restricciones de no negatividad. La razón es
que está permitido que las variables x e y tengan valores negativos así como positivos.
De hecho, este problema no tiene restricción alguna y por lo tanto, se denomina
problema de optimización irrestricta. La formulación final es la siguiente:
FORMULACIÓN MATEMÁTICA DEL PROBLEMA DE UBICACIÓN DEL BANCO DE
SANGRE
Minimizar
 2
2
2
2
2
1
2
1 )()(4)()(2 byaxbyax
 2
4
2
4
2
3
2
3 )()(4)()(2 byaxbyax
2
5
2
5 )()(2 byax 
Resolver este problema requiere la obtención de valores específicos para los datos que
representan la ubicación (coordenadas) de los cinco hospitales.
Este problema ilustra las siguientes características clave más allá de las técnicas de
formulación de problemas enseñadas:
 La necesidad de aclarar ciertos aspectos del problema (como el concepto de
“distancia”) antes de intentar formular el problema.
 La posibilidad de especificar la función objetivo de manera diferente, basándose en
criterios distintos, como los conceptos alternativos de una ubicación ideal. En tales
casos, elija el criterio que sea más consistente con el plan estratégico global de la
organización.

 La capacidad para formular un problema usando nombres simbólicos para
representar los datos (por ejemplo, (a1, b1) para representar la ubicación de un
hospital). Sin embargo, para resolver una solución, requerirá reemplazar los nombres
simbólicos con los valores de datos. El usar nombres simbólicos en vez de datos
específicos le permite:
a. Formular un problema sin esperar la recolección de los valores de datos y
b. Usar el mismo modelo para problemas similares teniendo distintos valores de
datos. Por ejemplo, el modelo de banco de sangre, con diferentes ubicaciones de
hospitales, puede ser usado también por el condado de los Ángeles.
 La posibilidad de tener variables irrestrictas, esto es, variables cuyos valores
pueden ser tanto negativos como positivos.
 La posibilidad de omitir ciertas restricciones que, por la naturaleza de la función
objetiva, se satisfacen automáticamente. Algunas veces, puede omitir una restricción
porque esa restricción es impuesta automáticamente por alguna otra restricción del
modelo.
1.7. Clasificación de Modelos Matemáticos.
Ahora que hemos visto cómo formular un problema matemáticamente, el siguiente paso
es resolver ese problema, esto es, encontrar valores para las variables de decisión que
satisfagan todas las restricciones y que, al mismo tiempo, proporcionen el mejor valor
posible de la función objetivo. Esta tarea se logra usando procedimientos sistemáticos,
paso a paso, llamados algoritmos4. Finalmente, una computadora efectúa estos
algoritmos. Los algoritmos que resuelven un modelo matemático pueden o no resolver
otro. Los distintos algoritmos han sido diseñados para resolver distintos tipos de
problemas. La pregunta natural a cuestionarse es, después de formular un modelo
matemático particular, ¿cómo elijo el algoritmo correcto para resolver ese problema?
La respuesta a esta pregunta es identificar la clase de modelos matemáticos a la que
pertenece su problema particular. Existe uno o más algoritmos para resolver todos los
problemas de esa clase. Una vez que sabe la clase a la que pertenece su problema, podrá
seleccionar un algoritmo asociado para resolver ese problema.
En esta sección, se aprenderá a identificar algunas de esas distintas clases de modelos,
de acuerdo con las propiedades matemáticas que comparten todos los problemas de esa
clase. También se aprenderá como determinar la clase a la que pertenece su problema
examinando sus propiedades matemáticas. Las ventajas y desventajas de los algoritmos
asociados con cada clase se analizaran brevemente aquí y en todo lo que resta de la
asignatura. Los detalles de cómo usar los diversos algoritmos de estas clases y cómo
interpretar los resultados obtenidos a partir del software de la computadora también se
presentan en los capítulos subsecuentes.
4 Algoritmos. Un procedimiento sistemático paso a paso usado para resolver un modelo matemático.

1.7.1. Clasificaciones basadas en datos de problemas
Como se vio al inicio de este capítulo, los problemas en los que todos los datos son
conocidos con certeza, como los ejemplo de este capítulo, son determinísticos. En los
problemas estocásticos (cómo se verá en la asignatura de teoría de decisión y en la
asignatura Investigación de operaciones II - capítulos de modelos de inventarios, de
cola, de simulación), algunos (o todos) datos del problema no se conocen con certeza.
Lo que resta de esta sección está dedicado a la clasificación de problemas
determinísticos basados en ciertas propiedades matemáticas.
1.7.2. Clasificaciones basadas en las restricciones
En los problemas determinísticos se clasifican primero sobre la base de la existencia de
restricciones. Esto da pie a las siguientes dos clases:
1. Problemas irrestrictos son aquellos que tienen una función objetivo pero que
carecen de restricciones.
2. Problemas restringidos son aquellos que tienen una o más restricciones.
El problema de ubicación del banco de sangre del ejemplo 1.5, en la sección 1.6, es un
problema irrestricto. Todos los demás ejemplos de la sección 1.6 son problemas
restringidos.
Los problemas restringidos se clasifican entonces sobre la base de las propiedades
matemáticas que las restricciones satisfacen. Una de las dos propiedades matemáticas
fundamentales de las restricciones es la aditividad, en la que la contribución de cada
variable a la función de restricción se suma (o sustrae) a la de cada una de las otras
variables de la restricción.
Para ilustrar la propiedad de aditividad, recordemos la siguiente restricción de mano de
obra del departamento de mezclado del problema 1.1 (de Case Chemicals) de la sección
1.5, en el que CS1 es el número de miles de galones de CS-01 por producir y CS2 es el
número de miles de galones de CS-02 por producir:
2CS1 + CS2 ≤ 230 (1)
Esta restricción satisface aditividad porque la contribución de CS1 a la restricción (a
saber, 2CS2). De manera similar, considere la siguiente restricción de equilibrio para la
estación de bombeo de Allentown en el problema del flujo máximo de Hexxon Oil
Company en el ejemplo 1.3:
x AP - xEA = 0 (2)
Esta restricción satisface la propiedad de aditividad porque la contribución de x EA se
sustrae de la de x AP.
En contraste considere la siguiente restricción:
L*W*H ≥ 12 000

Esta restricción no satisface la aditividad porque las contribuciones de L, W y H no se
suman unas a otras. Más bien, esos valores se multiplican entre sí.
La segunda propiedad matemática de una restricción es la de la proporcionalidad: si el
valor de una variable se multiplica por cualquier constante, la contribución de la
variable a la restricción se multiplica por esa misma constante. La restricción de la
expresión (1) sí satisface la proporcionalidad. Suponga que CS1 tiene un valor de 5. En
este caso:
Contribución de CS1 = 2CS1 = 2(5) = 10
Si el valor de CS1 = 5 se multiplica por cualquier constante, digamos, c, entonces:
Contribución de CS1 = 2CS1 = 2(5c) = 10c
Como podemos ver, si el valor de CS1 se multiplica por cualquier constante c, la
contribución de CS1 a la restricción también se multiplica por c. Como esta misma
propiedad es cierta para CS2, esta restricción:
2CS1 + CS2 ≤ 230
satisface la proporcionalidad.
En contraste, considere la restricción:
102 2
2
1  xx (4)
La restricción de la expresión (4) no satisface la proporcionalidad. Para ver por qué,
suponga que x1 tiene un valor de 5:
Contribución de x1 = 25)5( 22
1 x
Si el valor de x1 = 5 se multiplica por una constante, digamos, 2, entonces:
Contribución de x1 = 25*4)5(*)2()5*2( 2222
1 x
Como podemos ver, si el valor de x1 se multiplica por 2, la contribución de x1 a la
restricción se multiplica por 4. La proporcionalidad no se mantiene.
Sobre la base de las propiedades de aditividad y proporcionalidad, existen dos
clasificaciones de problemas restringidos:
1. Restricciones lineales, en las que todas las restricciones satisfacen tanto la
aditividad como la proporcionalidad.
2. Restricciones no lineales, en las que alguna restricción no satisface al menos
una de las propiedades de aditividad y proporcionalidad.

Para reconocer si una restricción es lineal o no es viendo su forma. Una restricción es
lineal si, en términos de las variables de decisión x1, x2,…, xn (o cualquier nombre
simbólico), puede escribirse como:
nn xaxaxa  2211 ≤ (≥, =) b
en donde cada una de las a1,…, an y b es un número real conocido. Por ejemplo las
restricciones (1) y (2) son lineales. En contraste, las restricciones (3) y (4) no son
lineales.
1.7.3. Clasificaciones basadas en la función objetivo
La siguiente clasificación de modelos determinísticos se basa en las propiedades
matemáticas de la función objetivo. Como sucede con las funciones restringidas, la
función objetivo puede ser lineal o no lineal, dando pie a las siguientes dos clases:
1. Objetivo lineal, en la que la función objetivo es lineal.
2. Objetivo no lineal, en la que la función objetivo es no lineal.
Por ejemplo, la siguiente función objetivo del problema de planeación de producción de
Case Chemicals es lineal:
Maximizar 300 CS1 + 500 CS2
En contraste, la siguiente función objetivo es no lineal:
Minimizar (0.004*L*W) + (0.004*L*H) + (0.004*H*W)
1.7.3. Clasificaciones basadas en las variables
La clasificación final de los problemas determinísticos se basa en la propiedad
matemática de las variables. Esa propiedad se denomina divisibilidad, lo que significa
que una variable de decisión puede, en teoría, asumir cualquier valor, fraccional u otro,
dentro de cierto intervalo. Por ejemplo, las variables CS1 y CS2 del ejemplo de Case
Chemicals representan el número de miles de galones de los solventes a producir. Como
en teoría es posible producir 5.132 mil galones, estas variables son divisibles. En
contraste, todas las variables del problema de transportación de CCC, en el ejemplo 1.2,
de la sección 1.6 representan el número de microcomputadoras a ser enviadas. Estas
variables no son divisibles porque no es posible enviar 1.3 microcomputadoras, esto es,
a estas variables se les deben asignar valores enteros. La propiedad de divisibilidad da
pie a las dos clases siguientes:
1. La clase de modelos de variable continua, en la que todas las variables
satisfacen la divisibilidad.
2. La clase de modelos de variable entera (o directa), en la que una o más
variables deben tener valores enteros.
Como se mencionó anteriormente, después de la formulación de un modelo, debe
determinar a qué clase pertenece, para que pueda elegir un algoritmo apropiado para
solucionar el problema.

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