Matematicas financieras -INGENIERIA ECONOMICA

MATEMATICAS FINANCIERAS
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TABLA DE CONTENIDO

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OBJETIVO
Estudiar y aprender las técnicas usuales de la Matemática Financiera, para aplicarlas a la Administración
Pública.

1. CONCEPTOS
FUNDAMENTALES DE
INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Por. Cesar Aching
Michael Parkin, en su obra Macroeconomía dice: «El dinero, el fuego y la rueda, han estado con nosotros
durante muchos años. Nadie sabe con certeza desde cuándo existe el dinero, ni de cuál es su origen».
En forma similar nos acompaña la matemática financiera, cuya génesis está en el proceso de la
transformación de la mercancía en dinero. Según la teoría del valor: el valor solo existe de forma objetiva en
forma de dinero. Por ello, la riqueza se tiene que seguir produciendo como mercancía, en cualquier sistema
social. Como el sistema financiero está íntimamente ligado a las matemáticas financieras, describiremos
escuetamente su origen.
Por el año 1,368 - 1,399 D.C. aparece el papel moneda convertible, primero en China y luego en la Europa
medieval, donde fue muy extendido por los orfebres y sus clientes. Siendo el oro valioso, los orfebres lo
mantenían a buen recaudo en cajas fuertes. Como estas cajas de seguridad eran amplias los orfebres
alquilaban a los artesanos y a otros espacios para que guardaran su oro; a cambio les giraban un recibo que
daba derecho al depositante para reclamarlo a la vista. Estos recibos comenzaron a circular como medio de
pago para comprar propiedades u otras mercancías, cuyo respaldo era el oro depositado en la caja fuerte del
orfebre. En este proceso el orfebre se dio cuenta que su caja de caudales estaba llena de oro en custodia y le
nace la brillante idea, de prestar a las personas "recibos de depósitos de oro", cobrando por sus servicios un
interés; el oro seguiría en custodia y solo entregaba un papel en que anotaba la cantidad prestada; tomando

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como previsión el no girar recibos que excedieran su capacidad de respaldo. Se dio cuenta de que
intermediando entre los artesanos que tenían capacidad de ahorro en oro y los que lo necesitaban, podía
ganar mucho dinero. Así es la forma en que nació el actual mercado de capitales, sobre la base de un sistema
financiero muy simple, de carácter intermediario.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el
tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos
de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Llamada también análisis de inversiones,
administración de inversiones o ingeniería económica.
Se relaciona multidisciplinariamente, con la contabilidad, por cuanto suministra en momentos precisos o
determinados, información razonada, en base a registros técnicos, de las operaciones realizadas por un ente
privado o público, que permiten tomar la decisión más acertada en el momento de realizar una inversión; con
el derecho, por cuanto las leyes regulan las ventas, los instrumentos financieros, transportes terrestres y
marítimos, seguros, corretaje, garantías y embarque de mercancías, la propiedad de los bienes, la forma en
que se pueden adquirir, los contratos de compra venta, hipotecas, préstamos a interés; con la economía, por
cuanto brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un negocio o empresa, podrían obtener
mayores beneficios económicos; con la ciencia política, por cuanto las ciencias políticas estudian y resuelven
problemas económicos que tienen que ver con la sociedad, donde existen empresas e instituciones en manos
de los gobiernos. Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuento a
inversiones, presupuestos, ajustes económicos y negociaciones que beneficien a toda la población; con la
ingeniería, que controla costos de producción en el proceso fabril, en el cual influye de una manera directa la
determinación del costo y depreciación de los equipos industriales de producción; con la informática, que
permite optimizar procedimientos manuales relacionados con movimientos económicos, inversiones y
negociaciones; con la sociología, la matemática financiera trabaja con inversiones y proporciona a la
sociología las herramientas necesarias para que las empresas produzcan más y mejores beneficios
económicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad y con las finanzas, disciplina que trabaja
con activos financieros o títulos valores e incluyen bonos, acciones y préstamos otorgados por instituciones
financieras, que forman parte de los elementos fundamentales de las matemáticas financieras.
Por ello, las matemáticas financieras son de aplicación eminentemente práctica, su estudio está íntimamente
ligado a la resolución de problemas y ejercicios muy semejantes a los de la vida cotidiana, en el mundo de los
negocios. Dinero y finanzas son indesligables.
EL DINERO
"El dinero es el equivalente general, la mercancía donde el resto de las mercancías expresan su valor, el
espejo donde todas las mercancías reflejan su igualdad y su proporcionalidad cuantitativa".
Según la economía habitual, dinero es cualquier cosa que los miembros de una comunidad estén dispuestos a
aceptar como pago de bienes y deudas, cuya función específica estriba en desempeñar la función de
equivalente general. El dinero surgió espontáneamente en la remota antigüedad, en el proceso de desarrollo
del cambio y de las formas del valor. A diferencia de las otras mercancías, el dinero posee la propiedad de ser
directa y universalmente cambiable por cualquier otra mercancía.

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"Marx procede en este terreno de modo distinto. Cuando analiza el trueque directo de mercancías descubre el
dinero en forma germinal.".
1. Funciones del dinero
Formas concretas en que se manifiesta la esencia del dinero como equivalente general. En la economía
mercantil desarrollada, el dinero cumple las cinco funciones siguientes:
 medida del valor". Con el dinero podemos medir, por ejemplo, el patrimonio que tiene cada ciudadano. Y
también podemos medir el precio de cada hora de trabajo social medio. De manera que si expresamos el
valor del patrimonio personal en dinero, después debemos expresar este dinero en horas de trabajo."
 medio de circulación,
 medio de acumulación o de atesoramiento,
 medio de pago y
 dinero mundial.
Siendo su función elemental la de intermediación en el proceso de cambio. El hecho de que los bienes tengan
un precio proviene de los valores relativos de unos bienes con respecto a otros.
2. Tipos de dinero
 Dinero mercancía: Consiste en la utilización de una mercancía (oro, sal, cueros) como medio para el
intercambio de bienes. La mercancía elegida debe ser: duradera, transportable, divisible, homogénea, de
oferta limitada.
 Dinero signo: Billetes o monedas cuyo valor extrínseco, como medio de pago, es superior al valor
intrínseco. El dinero signo es aceptado como medio de pago por imperio de la ley que determina su
circulación (curso legal). El dinero signo descansa en la confianza que el público tiene en que puede
utilizarse como medio de pago generalmente aceptado.
 Dinero giral: Representado por los depósitos bancarios.
3. La transformación del dinero en capital
"El dinero se transforma en capital cuando con él compramos los factores objetivos y los factores subjetivos
para producir riqueza. Los factores objetivos son los medios de producción y los factores subjetivos son la
fuerza de trabajo. Por lo tanto, el dinero como capital se diferencia del dinero como simple dinero por la clase
peculiar de mercancías que compra: medios de producción y fuerza de trabajo. La economía convencional
sólo capta el dinero como medio de cambio, y el dinero que funciona como capital igualmente lo capta como
medio de cambio. Y es cierto que el dinero que circula como capital funciona como medio de cambio. La
diferencia no estriba, por lo tanto, en la función que desempeña en el mercado, sino en la clase de mercancías
que se compra con él. El dinero como simple dinero se emplea como medio de cambio de medios de consumo
personal, mientras que el dinero como capital se emplea como medio de cambio de medios de producción y
de fuerza de trabajo"...

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4. Sistemas monetarios
Un sistema monetario es un conjunto de disposiciones que reglamentan la circulación de la moneda de un
país.
Tradicionalmente, los países eligieron el oro y la plata como la base de un sistema monetario mono metalista.
Cuando adoptaron ambos metales a la vez, se trataba de un sistema bimetalista. Actualmente todas las
divisas (dólar, Euro, yen, etc.) son dinero fiduciario.
En épocas de inflación, la gente trata de desprenderse inmediatamente del dinero que se desvaloriza y de
retener aquellos bienes que conservan su valor.
5. Los bancos y el dinero bancario
El dinero bancario está constituido por los depósitos en los bancos, cajas de ahorro, compañías financieras o
cajas de crédito.
Los bancos reciben depósitos de sus clientes y conceden préstamos a las familias y a las empresas. El
volumen de los préstamos concedidos es superior al de los depósitos que mantienen sus clientes.
LOS BANCOS
Al parecer, la palabra "banco" procede de los que utilizaban los cambistas para trabajar en las plazas públicas
en las ciudades italianas medievales. El oficio de cambista era entonces una profesión muy especializada que
requería amplios conocimientos ya que las docenas de pequeños Estados existentes entonces mantenían en
circulación centenares de diferentes monedas que eran aceptadas para el comercio, no por su valor facial,
sino por el peso y ley del metal en que se acuñaban y que sólo un experto discernimiento podía establecer.
Evolución histórica. Como señalábamos en la introducción, estas instituciones nacen en la Europa medieval,
en las Repúblicas aristocráticas italianas, Venecia, Génova, Florencia, a mediados del siglo XII con la finalidad
de prestar servicios de depósito. Al multiplicarse los bancos, amplían sus operaciones, agregan la emisión de
certificados, antecedentes de nuestros actuales billetes.
Juan Fugger fue el iniciador en Alemania de una familia de banqueros y comerciantes que unió su destino
empresarial a la corona. Se constituyó en el prestamista de Carlos V. Desde Italia la prominencia comercial y
bancaria pasó a Holanda y al norte de Europa.
En 1605 nace el Banco de Amsterdam, primer banco moderno que no tuvo como todos los bancos italianos
carácter de sociedad familiar o personal. Integrado por comerciantes a causa de la ubicación geográfica de su
ciudad y puerto, fue un factor de primer orden para la economía de Holanda y Alemania.
El Banco de Inglaterra fundado en 1694, como consecuencia de los préstamos que otorga, el gobierno le
autorizó a emitir billetes.

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CLASES DE BANCOS
1. Según el origen del capital
 Bancos públicos: El capital es aportado por el estado.
 Bancos privados: El capital es aportado por accionistas particulares.
 Bancos mixtos o Banca Asociada: Su capital proviene de aportes privados y estatales.
2. Según el tipo de operación
 Bancos corrientes: Los más comunes, sus operaciones habituales incluyen depósitos en cuenta
corriente, caja de ahorro, préstamos, cobranzas, pagos y cobranzas por cuentas de terceros, custodia de
títulos y valores, alquileres de cajas de seguridad, financiación, etc.
 Bancos especializados: Tienen una finalidad crediticia específica (Bancos Hipotecarios, Banco Industrial,
Banco Agrario).
 Bancos de emisión: Actualmente representados por bancos oficiales.
 Bancos Centrales: Son las casas bancarias de categoría superior que autorizan el funcionamiento de
entidades crediticias, las supervisan y controlan.
SISTEMA BANCARIO
1. Banco Central
Es la autoridad monetaria por excelencia en cualquier país que tenga desarrollado su sistema financiero. Es
una institución casi siempre estatal que tiene la función y la obligación de dirigir la política monetaria del
gobierno.
Funciones.
 Emisión de moneda de curso legal con carácter exclusivo.
 Es el «banco de los bancos». Los bancos comerciales tienen una cuenta corriente en el Banco Central de
igual forma que los individuos tienen las suyas en los comerciales.
 Es el asesor financiero del gobierno y mantiene sus principales cuentas.
 Es el encargado de custodiar las reservas de divisas y oro del país.
 Es el prestamista en última instancia de los bancos comerciales.
 Determina la relación de cambio entre la moneda del país y las monedas extranjeras.
 Maneja la deuda pública.
 Ejecuta y controla la política financiera y bancaria del país.
2. Bancos Comerciales
Dedicados al negocio de recibir dinero en depósito, los cuales los presta, sea en forma de mutuo, de
descuento de documentos o de cualquier otra forma. Son considerados además todas las operaciones que
natural y legalmente constituyen el giro bancario.

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Funciones
 Aceptar depósitos.
 Otorgar adelantos y préstamos.
Los depósitos (pasivos) son deudas del banco hacia el público, por las cuales el banco paga un interés. Los
préstamos (activos) son deudas del público al banco, por ellos el banco recibe un interés, la diferencia entre
ambos constituye la ganancia (spread) que les otorga la actividad de intermediarios financieros.
3. Componentes del dinero y creación monetaria
Dinero son los billetes y monedas de circulación legal en un país, en poder del público, más los depósitos
bancarios en cuenta corriente movilizados mediante el cheque.
O sea, el primer componente es el dinero en efectivo, el segundo es el denominado «dinero bancario»
originado en la práctica de los negocios.
Los depósitos en cuenta corriente son denominados «depósitos a la vista» y son los que guardan mayor
relación con el dinero en efectivo. En los países de elevado desarrollo económico-financiero, la masa de
cheques en circulación representa una proporción muy significativa respecto del total monetario.
Los depósitos «a plazo» (cajas de ahorro, cuentas especiales, plazo fijo) poseen distintos grados de
convertibilidad líquida.
Desde el punto de vista de la creación monetaria, existen dos tipos de dinero:
 Base monetaria o dinero primario (emitido por la autoridad financiera).
 Dinero secundario (inyectado por los bancos a través del poder adquisitivo generado por los préstamos).
Las entidades financieras tienen facultad de dar créditos hasta un determinado porcentaje de los depósitos
captados. La autoridad monetaria establece una reserva obligatoria (efectivo mínimo o encaje), el resto puede
ser afectado a operaciones de crédito.
Un cheque no es dinero, sino simplemente una orden a un banco para transferir una determinada cantidad de
dinero, que estaba depositada en él.
Los depósitos no son una forma visible o tangible de dinero, sino que consisten en un asiento contable en las
cuentas de los bancos.
En los países con un sistema financiero desarrollado, los billetes y las monedas representan una pequeña
parte del total de la oferta monetaria.
4. La creación del dinero bancario
El dinero otorga a su poseedor capacidad de compra. Ese dinero puede ser creado de dos maneras:

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 Por emisión, dispuesta por la entidad autorizada en cada país.
 Por los préstamos que otorgan las entidades financieras.
Dado que los depósitos bancarios son convertibles en dinero líquido, los bancos tienen que asegurarse de que
en todas las circunstancias se encuentren en posición de hacer frente a las demandas de liquidez (billetes y
monedas) por parte de sus depositantes.
La práctica bancaria muestra que el uso generalizado de cheques significa que cada día sólo un pequeño
porcentaje de los depósitos bancarios son convertidos en dinero efectivo y esos retiros son compensados con
los ingresos de efectivo que otras personas realizan. De esta forma, los banqueros han comprobado que
pueden crear depósitos bancarios por encima de sus reservas líquidas.
Las reservas líquidas legalmente requeridas o encaje bancario es la fracción de depósitos que los bancos
deben mantener como reservas.
Si en un determinado momento todos los clientes de un banco quisieran a la vez retirar sus depósitos, el
banco no podría atender todas las peticiones.
Activos financieros. Los activos pueden ser:
 Reales: tienen valor por sí mismos (mercaderías, muebles).
 Financieros: tienen valor por lo que representan (billetes, depósitos bancarios).
A. Efectivo: activo financiero líquido por excelencia.
B. Depósitos bancarios: tienen mayor o menor liquidez según sean a la vista o a término.
C. Títulos valores:
 Acciones: títulos emitidos por las sociedades de capital a favor de sus socios, para acreditar su condición
de tales.
 Pagarés: promesas de pago emitidas por una persona (librador) a favor de otra (beneficiario).
 Letras de cambio: órdenes de pago emitidas por un librador a favor de un beneficiario y a cargo de otra
persona.
 Títulos de deuda, públicos y privados: sus titulares pasan a ser acreedores del ente emisor de aquellos.
Reciben una renta fija.
CRÉDITO Y CLASES DE CREDITO
Término utilizado en el comercio y finanzas para referirse a las transacciones que implican una transferencia
de dinero que debe devolverse transcurrido cierto tiempo. Por tanto, el que transfiere el dinero se convierte en
acreedor y el que lo recibe en deudor; los términos crédito y deuda reflejan pues una misma transacción desde
dos puntos de vista contrapuestos. Finalmente, el crédito implica el cambio de riqueza presente por riqueza
futura.

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1. Según el origen:
A. Créditos comerciales, son los que los fabricantes conceden a otros para financiar la producción y
distribución de bienes; créditos a la inversión, demandados por las empresas para financiar la adquisición
de bienes de equipo, las cuales también pueden financiar estas inversiones emitiendo bonos, pagarés de
empresas y otros instrumentos financieros que, por lo tanto, constituyen un crédito que recibe la empresa;
B. Créditos bancarios, son los concedidos por los bancos como préstamos, créditos al consumo o créditos
personales, que permiten a los individuos adquirir bienes y pagarlos a plazos;
C. Créditos hipotecarios, concedidos por los bancos y entidades financieras autorizadas, contra garantía del
bien inmueble adquirido;
D. Créditos contra emisión de deuda pública. Que reciben los gobiernos centrales, regionales o locales al
emitir deuda pública;
E. Créditos internacionales, son los que concede un gobierno a otro, o una institución internacional a un
gobierno, como es el caso de los créditos que concede el Banco Mundial.
2. Según el destino:
 De producción: Crédito aplicado a la agricultura, ganadería, pesca, comercios, industrias y transporte de
las distintas actividades económicas.
 De consumo: Para facilitar la adquisición de bienes personales.
 Hipotecarios, destinados a la compra de bienes inmuebles,
3. Según el plazo:
 A corto y mediano plazo: Otorgados por Bancos a proveedores de materia prima para la producción y
consumo.
 A largo plazo: Para viviendas familiares e inmuebles, equipamientos, maquinarias, etc.
4. Según la garantía:
 Personal. Créditos a sola firma sobre sus antecedentes personales y comerciales.
 Real (hipotecas). Prendarias cuando el acreedor puede garantizar sobre un objeto que afecta en beneficio
del acreedor.
FINALIDAD DE UNA CARTERA DE CRÉDITOS
La cartera de créditos está dividida en: créditos comerciales, créditos a micro empresas (MES), créditos de
consumo y créditos hipotecarios para vivienda. Los créditos comerciales y de micro empresas son otorgados a
personas naturales o personas jurídicas y los créditos de consumo y créditos hipotecarios para vivienda son
sólo destinados a personas naturales. Por lo demás los créditos comerciales, de micro empresas y de
consumo, incluyen los créditos otorgados a las personas jurídicas a través de tarjetas de créditos, operaciones
de arrendamiento financiero o cualquier otra forma de financiamiento que tuvieran fines similares a los de
estas clases de créditos.
 Créditos comerciales: Son aquellos que tienen por finalidad financiar la producción y comercialización de
bienes y servicios en sus diferentes fases.

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 Créditos a las Micro Empresas MES): Son aquellos créditos destinados al financiamiento de actividades
de producción, comercio o prestación de servicios siempre que reúnan éstas dos características:
 Créditos de consumo: Son créditos que tienen como propósito atender el pago de bienes, servicios o
gastos no relacionados con una actividad empresarial.
 Créditos hipotecarios para vivienda: Son aquellos créditos destinados a la adquisición, construcción,
refacción, remodelación, ampliación, mejoramiento y subdivisión de vivienda propia, siempre que tales
créditos sean otorgados amparados con hipotecas debidamente inscritas, pudiendo otorgarse los mismos
por el sistema convencional de préstamo hipotecario, de letras hipotecarias o por cualquier otro sistema
de similares características.
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
Uno de los principios más importantes en todas las finanzas.
El dinero es un activo que cuesta conforme transcurre el tiempo, permite comprar o pagar a tasas de interés
periódicas (diarias, semanales, mensuales, trimestrales, etc.). Es el proceso del interés compuesto, los
intereses pagados periódicamente son transformados automáticamente en capital. El interés compuesto es
fundamental para la comprensión de las matemáticas financieras.
Encontramos los conceptos de valor del dinero en el tiempo agrupados en dos áreas: valor futuro y valor
presente (P). El valor futuro (F) describe el proceso de crecimiento de la inversión a futuro a un interés y
períodos dados. El valor presente describe el proceso de flujos de dinero futuro que a un descuento y períodos
dados representa valores actuales.
PORCENTAJE
La palabra por ciento significa una cierta cantidad de cada ciento de una cantidad cualquiera.
EJEMPLO: 8% = ; significa 8 unidades de cada 100 unidades.
GANANCIAS Y PÉRDIDAS EN TRANSACCIONES COMERCIALES
Las ganancias en las transacciones comerciales pueden expresarse en forma de porcentaje. Las pérdidas
suelen expresarse en forma de un porcentaje del precio de costo, en tanto que las ganancias pueden
expresarse como porcentaje del precio de costo o de venta.
EJEMPLO: Un artículo se compra en $100.000 y se vende en $120.000. La ganancia es de $20.000, que
expresado en porcentaje será:
Datos:
Valor del articulo = $100.000
Valor de la venta = $120.000
Ganancia = $20.000

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Solución:
En este caso se pueden presentar dos situaciones:
compradeValor
100Ganancia
costoalrealcióncongananciadePorcentaje1). *

%20
100.000
10020.000
costoalrealcióncongananciadePorcentaje *

ventadeValor
100Ganancia
ventalaarealcióncongananciadePorcentaje2). *

%67.16
120.000
10020.000
ventalaarealcióncongananciadePorcentaje *

Este resultado significa que la ganancia sobre la inversión ha sido del 20%, o bien que el 16.67% de los
ingresos ha sido ganancia. Así mismo, si el artículo costó $100.000 y por circunstancias del mercado se
vendió en $80.000, se obtuvo una pérdida de $20.000 sobre el costo, que representa:
compradeValor
100Perdida
costoalrealciónconperdidadePorcentaje *

%20
100.000
100000.02
costoalrealciónconperdidadePorcentaje *

Para determinar el precio de venta de un artículo se añade al costo una cantidad suficiente para cubrir los
gastos de operación y obtener una utilidad. Los gastos de operación son aquellos que la empresa invierte en
el proceso de compra y venta del artículo, como por EJEMPLO: salarios, servicios públicos, publicidad, etc. La
cantidad que se le agrega al costo del artículo o servicio para cubrir los gastos de operación y obtener una
ganancia, se llama utilidad bruta. La ganancia, o sea, lo que queda después de cubrir los gastos de
operación se llama utilidad neta.
TALLER 1: PORCENTAJE DE GANANCIAS Y PÉRDIDAS
1. Convierta cada uno de los siguientes porcentajes en números decimales:
A. 10%,
B. 83.54%,
C. 0.56%,
D. 850%,
Precio de venta = costo del artículo + utilidad bruta
Utilidad bruta = gastos de operación + utilidad neta
Precio de venta = costo del artículo + gastos de operación + utilidad neta.

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E. 250%
2. Convierta los siguientes números en porcentajes:
A. 0.25,
B. 0.032,
C. 0.86,
D. 1.50,
E. 0.75
3. Calcular los siguientes porcentajes:
A. 20% de 4.728,
B. 0.32% de 3.280,
C. 3% de 15.600,
D. 5% de 35.000,
E. 12% de 234.890
4. Qué porcentaje de 120.000 es 86.000?
5. El arrendamiento de un edificio aumentó un 12%. Si actualmente se pagan $8.500.000, cuál era el valor
del arrendamiento?
6. En qué porcentaje se debe incrementar un salario de $500.000 para que se convierta en $ 680.000?.
7. Juan David compró una grabadora cuyo precio es de $380.000. Si le hicieron el 15% de descuento, cuánto
pagó?
8. Un comerciante compró un artículo en $200.000. Desea agregarle una utilidad bruta del 40% sobre el
costo, para cubrir los gastos de operación y utilidad neta. A qué precio de bebe vender el artículo?
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
Significa que una cantidad de dinero ubicada en tiempos diferentes tendrá valores diferentes, así: $ 1.000.000
a un año tendrá valores diferentes en cada mes del año, esto debido a los siguientes factores:
 La inflación. Este fenómeno económico hace que el dinero día a día pierda poder adquisitivo, es decir,
que el dinero se desvalorice. Dentro de un año recibirá el mismo $ 1.000.000 pero con menor poder de
compra de bienes y servicios.
 Costo de oportunidad. Si se pierde la oportunidad de invertir el $ 1.000.000 en alguna actividad, logrando
que no sólo se proteja la inflación sino que también produzca una utilidad adicional.
Este cambio de la cantidad de dinero en el tiempo determinado es o que se llama valor en el tiempo y se
manifiesta a través del interés. Una cantidad de dinero en el presente vale más que la misma cantidad en el
futuro.

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INTERÉS
Para compensar el valor del dinero en el tiempo futuro se utiliza el interés. Entonces el interés es la medida o
manifestación del valor del dinero en el tiempo. Si se presta hoy una cantidad de dinero; tiempo presente (P) y
después de un tiempo determinado se recibe una cantidad mayor tiempo futuro (F), la variación del valor del
dinero de P a F se llama valor del dinero en el tiempo, y la diferencia entre F y P es el interés (I). La operación
se representa mediante la siguiente expresión.
EJEMPLO: Si se deposita en una cuenta de ahorros $ 500.000 y después de 6 meses se tiene un saldo de $
580.000, calcular el valor de los intereses.
Datos:
Valor presente P = $ 500.000
Valor futuro F = $580.000
Solución:
I = F – P = $ 580.000 - $ 500.000 = $ 80.000
El valor de los intereses durante los 6 meses es de $ 80.000
TASA DE INTERÉS
La palabra tasa significa medir; la tasa de interés (i) se expresa en forma de porcentaje para un período de
tiempo determinado; la tasa de interés en forma matemática se expresa mediante la siguiente relación:
EJEMPLO: Se deposita en una entidad financiera la suma de $1.000.000 y al cabo de 1 mes se retira
$1.030.000. Calcular el valor de los intereses y la tasa de interés ganada.
Datos:
Valor presente P = $ 1.000.000
Valor futuro F = $ 1.030.000
I = F – P interés
F = P + I valor futuro
P = F – I valor presente
I = P*i

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Solución:
I= F – P = $1.030.000 - $ 1.000.000 = $ 30.000
100*
P
I
i  = 100*
000.000.1
000.30
= 0.03*100 = 3%
El valor de los intereses es de $ 30.000 y la tasa de interés es del 3%
EQUIVALENCIA
Dos cantidades diferentes ubicadas en fechas diferentes son equivalentes: aunque no sean iguales, si
producen el mismo resultado económico. Esto es, $ 100.000 de hoy son equivalentes a $ 140.000 dentro de
un año si la tasa de interés es del 40% anual. Un valor presente (P) es equivalente a un valor futuro (F)
si el valor futuro cubre el valor presente más los intereses a la tasa exigida por los inversionistas.
TALLER 2: INTERESES Y TASAS DE INTERÉS
1. Expresa como número decimal las siguientes tasas de interés: 20% anual, 3% mensual, 18,5% trimestral,
65% semestral, 1% diario, 23.65% anual.
2. Una inversión inicial de $235.000 produce después de 6 meses un resultado de $ 389.560. Calcular: Valor
de los intereses ganados, tasa de interés de la operación.
3. Cuanto se debe invertir hoy para tener dentro de un año $ 10.500.000 y se ganen unos intereses por valor
de $ 250.000?
4. Calcular el valor de los intereses que produce un capital de $ 5.000.000 a las siguientes tasas de interés:
A. 3% mensual,
B. 1.5% quincenal,
C. 18% semestral,
D. 0,25% diario,
E. 25% anual.
FLUJO DE CAJA
Todas las operaciones financieras se caracterizan por tener ingresos y egresos. Estos valores se pueden
registrar sobre una recta horizontal, la cual puede estar dividida en periodos, que mide el tiempo de duración
de la operación financiera. Al registro gráfico de entradas y salidas de dinero durante el tiempo que dura la
operación financiera se conoce como flujo de caja o diagrama de línea de tiempo. Los egresos de dinero se
representa por flechas hacia abajo; los ingresos por su parte se representan por flechas hacia arriba.

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Para resolver los problemas de matemáticas financieras, el primer paso y quizá el más importante es la
construcción correcta del flujo de caja, porque además de mostrar claramente el problema nos indica las
fórmulas que se deben aplicar para la solución.
EJEMPLO: Analizar el siguiente caso, el señor Castro deposita en una entidad financiera el 1º de enero del
2008 la suma de $ 1.000.000 y después de 6 meses retira una cantidad de $ 1.075.000. Construir el flujo de
caja.
Datos:
Deposito el 1º de enero del 2008 la suma de $ 1.000.000 (Valor presente)
Tiempo n = 6 meses
Retira el 1º de julio una cantidad de $ 1.075.000 (Valor futuro)
Solución:
El problema se puede solucionar de desde dos puntos de vista:
 Primero el flujo de caja para el prestamista (señor Castro)
 Segundo para el prestatario (entidad financiera)
1. Punto de vista del prestamista (señor Castro)
Julio/08 $1.075.000
1 Enero/08
$1.000.0000
2. Punto de vista de la entidad financiera (prestatario)

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$1.000.000
1 Enero/08 1 Julio/08
$1.075.000
TALLER 3: CONSTRUYA EL FLUJO DE CAJA
1. El señor Castro compra una casa a una constructora por $ 100.000.000 y se compromete a pagar de la
siguiente manera: cuota inicial de $ 20.000.000 y el saldo en 3 cuotas iguales en los meses 3, 6, 9 por valor
de $30.000.000 cada una. Construir el flujo de caja para el señor Castro.
2. El banco Ganadero le concede al señor Castro un crédito por valor de $10.000.000 con plazo de un año.
Tasa de interés trimestral es de 9%. El banco le exige al señor Castro la restitución del capital al final del
año. Construir el flujo de caja para el señor Castro y la constructora.
3. Considerando el ejercicio anterior pero suponiendo que el banco le exige al señor Castro la restitución del
capital en 4 cuotas trimestrales iguales además del pago de los intereses sobre los saldos. Construir el flujo
de caja para el señor Castro.
4. Usted compra un electrodoméstico que tiene un valor de contado de $ 1.500.000 y lo paga de la siguiente
forma: cuota inicial del 10% y el resto en 6 cuotas mensuales iguales de $ 300.000 cada una, usted puede
decir que pagó por el electrodoméstico realmente $ 1.950.000?.

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2. INTERES SIMPLE
Se llama interés simple aquel en el cual los intereses devengados en un período no ganan intereses en los
períodos siguientes, independientemente de que se paguen o no, únicamente sobre el capital se liquidan los
intereses sin tener en cuenta los intereses precedentes causados. La liquidación de los intereses se hace
sobre el saldo insoluto, es decir, sobre el capital no pagado.
CÁLCULO DE INTERESES
En interés simple, el interés a pagar por una deuda varía en forma directamente proporcional al capital y al
tiempo, es decir, a mayor capital y mayor tiempo es mayor el valor de los intereses; para el cálculo de
intereses se utiliza la siguiente expresión:
Dónde:
P = Valor presente
I = Intereses
i. = Tasa de interés expresada en decimales
n. = Tiempo
Despejando las diferentes variables de la ecuación anterior se obtiene las expresiones siguientes:
I = P*i*n

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Valor presente Tasa de interés Intervalo de tiempo
P =
I
i. n
i =
I
P. n
n =
I
i. P
EJEMPLO. Juan Pedro tiene un capital de $ 2.000.000. Invierte el 60% de este capital a una tasa del 36%
anual simple y el capital restante al 2% mensual. Calcular el valor de los intereses mensuales simple.
Datos:
El 60% de $ 2.000.000 = 0.60*2.000.000 = $ 1.200.000 o sea:
Primer valor presente P = $ 1.200.000 a una tasa del 36% anual simple.
Segundo valor presente P = $ 800.000 a una tasa del 2% mensual simple.
Solución:
1). Cálculo del interés mensual simple de $ 1.200.000
I = P*i*n
000.36$1
12
36.0
1.200.000=I1 
2). Cálculo del interés mensual simple de $ 800.000
I = P*i*n
I2= 800.000*0.02*1 = $16.000
Interés total mensual. I = I1 + I2 = $ 36.000 + $ 16.000 = $ 52.000
INTERÉS COMERCIAL Y REAL
Cuando se realiza cálculos financieros que involucren las variables tiempo (n) y tasa de interés (i), surge la
duda sobre qué números de días se toma para el año, es decir, si se toma 365 o 360 días. Esto da origen a
dos tipos de interés: el interés ordinario o comercial, que es el que se calcula considerando el año de 360 días,
y el interés real o exacto que se calcula considerando el año de 365 días, o 366 si se trata de año bisiesto.
EJEMPLO: Calcular el interés comercial y el interés real o exacto de $1.500.000 a una tasa de interés del
36% anual simple durante 45 días.
Datos:
Valor presente P = $1.500.000
Tasa de interés anua del i = 36%

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Número de días n = 45
Solución:
1. Interés comercial: año 360 días.
500.67$45
360
36.0
1.500.000=niP=I ** 
2. Interés real o exacto: año 365 días.
34.575.66$45
365
36.0
1.500.000=niP=I ** 
El interés comercial es mayor que el interés real o exacto
TALLER 4.
1. Hallar el valor de los intereses y el valor futuro para los siguientes casos:
Valor presenta (P) Tasa de interés (i) Periodos de tiempo (n)
$4.500.000 1.5%mensual 2, 3, 4, 5 y 6 meses
$14.800.000 1.2%, 1.3%, 1.4%, 1.5% mensual 10 meses
$40.500.000 1.4% mensual 1, 1.5, 2, 2.5, 3 años
$15.300.000 1.8% mensual 15, 40, 75, 80 130 días
2. Hallar el valor de los intereses comercial y real, y el valor futuro (F) cuando un capital (P) de $21.000.000
se invierte en una entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 18% anual para un tiempo de:
A. 15 días
B. 50 días
C. 75 días
D. 450 días
E. 720 días
CALCULO DEL NÚMERO DE DIAS ENTRE FECHAS
Al realizar operaciones financieras la variable tiempo no siempre se expresa en número de días, meses o
años, sino que aparece la fecha de iniciación de la operación y la fecha de vencimiento. Para calcular el
número de días transcurridos entre las fechas se manejan dos criterios: el cálculo aproximado que toma en
cuenta el año comercial y el cálculo exacto (días calendario) considerando el año real, que se realiza con
apoyo de las tablas para calcular el número exacto de días o de una calculadora financiera.

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EJEMPLO. Calcular el número de días entre el 12 de enero y el 23 de octubre del 2007. Para el año comercial
y el año real.
Año comercial:
Año Mes Día
Fecha final 2007 10 23
(-)Fecha inicial 2007 01 12
Resultado 0 09 11
Son 9 meses y once días: 9*30 +11 = 270 +11 = 281 días
TABLA PARA CALCULAR EL NÚMERO EXACTO DE DÍAS
Díames Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto
Septiem
.
Octubre Noviem. Diciem.
1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 29 60 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
31 31 90 151 212 243 304 365
366

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Año real: días calendario. Procedimiento con la tabla
Hasta el 23 octubre marca 296 días
(-) 12 de enero 12 días
Resultado 284 días
EJEMPLO: La guerra de los Mil días, denominada también Guerra Magna, se desarrolló entre el 18 de octubre
de 1899 y el 21 de noviembre de 1902. Cuántos días realmente duró la guerra?. Año comercial y año real.
Año comercial
Año Mes Día
Fecha final 1902 11 21
(-)Fecha inicial 1899 10 18
Resultado 03 01 18
Son 3 años, un mes, 3 días: 3*360 + 1*30 + 3 = 1.113 días
Año real o exacto.
18 de octubre a 31 de Diciembre 1899 365 – 291 = 74 días
Días del año 1990 365 días
Días del año 1901 365 días
Del 1 de Enero 1902 a 21 de Noviembre 325 días
Resultado 1129 días
TALLER 5
Siguiendo un proceso ordenado y lógico hallar el tiempo real y comercial para las siguientes fechas
A. Entre el día de hoy y el día de su cumpleaños
B. Entre el día de hoy y el 31 de Diciembre de este año
C. Entre el día de hoy y el 7 de Agosto de este año
D. Entre el día de hoy y el 11 de Noviembre de este año
E. Entre el día de hoy y el 20 de Julio del próximo año
F. Entre el 20 de Julio y el 11 de Noviembre de este año
G. Entre el 6 de Enero y el 31 de Octubre de este año
H. Entre el 20 de Marzo y el 14 de Julio de este año
I. Entre el 11 de Noviembre de este año y el 7 de Agosto del próximo año
J. Entre el 21 de Mayo de este año y el 17 de Diciembre del próximo año
K. Entre el 10 de Noviembre de este año y el 27 de Diciembre del próximo año
L. Entre el 15 de Junio de este año y el 15 de Octubre del próximo año
M. Entre el 1 de Febrero de este año y el 10 de Mayo del próximo año
N. Entre el 2 de mayo del presente año y el 16 de Agosto dentro de tres años
O. Entre el 5 de Abril del presente año y el 20 de Marzo dentro de 4 años

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VALOR FUTURO A INTERÉS SIMPLE
Consiste en calcular el valor futuro F, equivalente a un valor presente P, después de n períodos a una tasa de
interés simple i. El valor futuro es igual al capital prestado más los intereses; su expresión es la siguiente:
Dónde:
P = Valor presente
F = Valor futuro
n. = Tiempo
Una condición importante para utilizar la ecuación anterior, la tasa de interés y el período deben estar
expresados en la misma unidad de tiempo; si esto no sucede hay que hacer transformaciones para que
coincidan las unidades de tiempo. Desventajas del interés simple:
 Su aplicación en el mundo financiero es limitado.
 Desconoce el valor del dinero en el tiempo.
 No capitaliza los intereses no pagados y, por lo tanto, estos pierden poder adquisitivo.
EJEMPLO. Cuál será el valor a cancelar dentro de 10 meses por un préstamo de $ 5.000.000 recibidos en el
día de hoy, si la tasa de interés es del 35% mensual simple.
Datos:
Tasa de interés i = 35%
Numero de meses n = 10
Solución:
F = P + P*i*n
F = 5.000.000 + 5.000.000*0.35*10
F = 5.000.000 + 17.500.000 = 22.500.000
F = $ 22.500.000
El valor que debe cancelar dentro de 10 meses es de $ 22.500.000
F = P + P*i*n = P(1+i*n)

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INTERESES MORATORIOS
Cuando una deuda no se paga en la fecha de vencimiento, comienza a ganar intereses llamados intereses de
mora, los cuales se calculan con base al capital prestado sobre el saldo insoluto por el tiempo que demora el
pago. Por lo general, la tasa de interés moratorio es 1.50 veces la tasa de interés corriente vigente en el
momento de presentarse el incumplimiento, sin que se exceda el límite máximo permitido por la ley.
EJEMPLO. Un pagaré por valor de $ 500.000 devenga intereses del 2% mensual simple y tiene un plazo de
vencimiento de 45 días. Si se cancela 15 días después de su fecha de vencimiento, calcular el interés
moratorio y la cantidad total a pagar. La tasa de interés moratoria es del 3% mensual simple.
Datos:
Valor presente P = $ 500.000
Periodos de tiempo n = 45 días
Solución:
F = P + P*i*n
Si el pagaré se paga en la fecha:
515.000$=15.000+500.00002.0*
30
45
500.000+500.000=F 
F = $ 515.000
Si el pagaré se paga en la fecha de vencimiento, el valor a cancelar es de $ 515.000
Al aplazarse el pago durante 15 días, se generan unos intereses moratorios a una tasa del 3% mensual.
I = P*i*n
Intereses moratorio 7.500$03.0*
30
15
500.000=I 
Cantidad total a pagar = F + intereses moratorios
Cantidad total a pagar = $ 515.000 + $ 7.500 = $ 522.500
La cantidad total a pagar es de $ 522.500
TALLER 6: USO DE LA EXPRESION
I = P*i*n
1. Hallar el valor de los intereses (I) para un capital de $10.000.000 a una tasa de interés mensual del 10%;
para 9 meses de tiempo (n)

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2. Hallar el valor presente (P), cuando el valor de los intereses (I) es de $ 3.000.000, en un período de
tiempo (n) de 15 meses; cuando la tasa de interés (i) es del 2.5%.
3. Hallar la tasa de interés (i) para un capital (P) de $15.000.000 que ha producido unos intereses (I) de $
3.000.000 para un período de tiempo de 18 meses.
4. Calcular el período de tiempo (n) para un capital de $ 12.000.000 que produce unos intereses (I) de $
4.000.000, cuando la tasa de interés toma el valor del 4.0% mensual.
5. Calcular el valor del interés comercial y el interés real o exacto de $ 24.000.000 que sometido a una tasa
de interés del $ 36% anual simple; según los siguientes datos.
A. Se depositó el día de hoy y se retiró el 30 agosto dos años después
B. Se depositó el 9 de abril del 2008 y se retiró el 5 de diciembre tres años después
VALOR PRESENTE A INTERÉS SIMPLE
Consiste en calcular un valor presente P equivalente a un valor futuro F, ubicado n períodos adelante a una
tasa de interés simple i.
F = P(1 + i*n) entonces el valor presente será
Dónde:
F = Valor futuro
n. = Tiempo
EJEMPLO. El señor castro tiene que cancelar dentro de un año y medio un valor de $ 2.500.000: Si la tasa de
interés es del 3% mensual simple. Cuál es el valor inicial de la obligación.
Datos:
Tasa de interés mensual i = 3%
Periodo de tiempo n = 1 año o 18 meses
Solución:
La tasa de interés está en una unidad de tiempo diferente al número de períodos, por lo tanto, al aplicar la
fórmula se deben convertir los años a meses.

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P =
)*1( ni
F

=
)03.0*181(
000.500.2

= $ 1.623.376.62
P = $ 1.623.376.62
La respuesta indica que $ 1.623.376.62 de hoy son equivalentes a $ 2.500.000 dentro de un año y medio, a
una tasa de interés del 3% mensual simple. La diferencia entre estos dos valores pertenece a los intereses.
CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS SIMPLE
Consiste en calcular la tasa de interés simple (i), que produce una inversión inicial (P) y después de (n)
períodos se recibe una cantidad acumulada (F). Despejando (i) de F = P(1 + i*n), se obtiene la expresión
correspondiente
Dónde:
P = Valor presente
F = Valor futuro
n. = Tiempo
EJEMPLO. Un inversionista en el día de hoy invierte en una corporación $ 1.000.000 y después de 6 meses
retira $1.250.000. Calcular la tasa de interés simple ganada.
Datos:
Periodos de tiempo n = 6 meses
Solución:
4.17%=0.0417=1
000.000.1
000.250.1
6
1
1
1













P
F
n
i
i. = 4.17%
La tasa de interés simple es 4.17% mensual

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CÁLCULO DEL TIEMPO DE NEGOCIACIÓN
Consiste en determinar el número de períodos (n), que se requieren para que una inversión inicial (P) a una
tasa de interés simple de (i) produzca un valor futuro (F). Despejando (i) de F = P(1 + in), se obtiene la
expresión correspondiente.
Dónde:
P = Valor presente
F = Valor futuro
i. = Tasa de interés
EJEMPLO. Cuánto tiempo se debe esperar para que un capital de $1.000.000 se convierta en $ 2.500.000, si
la operación se realiza al 4% mensual?.
meses37.5=1
000.000.1
000.500.2
04.0
1
=n. 






n. = 37 meses y 15 días
El tiempo de espera es de 37 meses y 15 días
OPERACIONES DE DESCUENTO
Un descuento es una operación financiera que consiste en cobrar el valor de un título o documento el valor de
los intereses en forma anticipada. Esta operación es frecuente en el mundo de los negocios cuando se tienen
cuentas por cobrar o títulos valores y se necesita hacerlas efectivas antes de su fecha de vencimiento. En
nuestro país esta operación es usual cuando se acude a créditos bancarios de corto plazo. En este caso, en el
mismo momento en que recibe el préstamo se cobran los intereses por anticipado. Estos intereses cobrados
en forma anticipada se llaman descuento y la cantidad de dinero que recibe el tenedor del título, una vez
descontados los intereses, se llama valor efectivo del pagaré. El valor nominal es el monto que aparece en el
pagaré.
Al vender un pagaré antes de la fecha de vencimiento, el comprador aplica una tasa de descuento sobre el
valor nominal del título (valor de vencimiento). Dependiendo de la forma como se aplique la tasa de descuento
sobre el valor nominal, resultan dos tipos de descuento:
 El descuento comercial
 El descuento racional o justo.

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El descuento comercial. En una operación con descuento comercial los intereses simples se calculan sobre
el valor nominal, que corresponde al monto que aparece en el pagaré. Para tal caso se utiliza la siguiente
expresión:
Dónde:
Ve = Valor efectivo
Vn = Valor nominal
n. = Período de tiempo
i.= Tasa de interés
EJEMPLO. Supóngase que se tiene un documento por cobrar dentro de 12 meses por un valor de $1.000.000,
que ya tiene incluido los intereses, y se desea negociar en día de hoy. El intermediario financiero cobra una
tasa de descuento del 2% mensual. Se desea conocer el valor efectivo (Ve) a recibir.
Datos:
Valor nominal Vn = $1.000.000
Tasa de interés i = 2% mensual
Solución:
760.000$=0.761.000.000=0.02)12-(11.000.000=i)n-(1V=V ***ne
El valor efectivo a recibir el día de hoy es $ 760.000
El descuento racional o justo. En una operación con descuento racional los intereses simples se calculan
sobre el valor efectivo. Para tal caso se utiliza la siguiente expresión:
Dónde:
Ve = Valor efectivo
Vn = Valor nominal
n. = Período de tiempo
i.= Tasa de interés
EJEMPLO. Utilizando los datos del EJEMPLO anterior el valor del descuento racional o justo será:

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Datos:
Valor nominal Vn = $1.000.000
Tasa de interés i = 2% mensual
Solución:
806.451.61$
)02.0121(
000.000.1
)1(
=Ve
**



 in
Vn
El valor efectivo a recibir $ 806.451.61
Descuento comercial =$1.000.000 – 760.000 = $ 240.000
Descuento racional=$1.000.000 – 806.451.61 = $ 193.548.39
Se observa que para una misma operación financiera, es mayor el descuento comercial que el descuento
racional.
TALLER 7: USO DE LA EXPRESION
F=P(1+i*n)
1. Hallar el valor futuro (F) que produce un capital (P) de $15.550.000 sometido a una tasa de interés del 5%
mensual; en 16 meses de tiempo (n).
2. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $12.000.000 si la tasa de interés mensual es 8%; en 19 meses
de tiempo (n)
3. Encontrar el valor de un capital (P) que sometido a una tasa de interés (i) del 5% mensual produce una
cantidad de dinero (F) de $ 18.600.000 en un tiempo 14 meses.
4. Hallar el valor presente (P), si se desea obtener un valor futuro (F) $ 36.000.000, en un período de tiempo
(n) de 22 meses; si la tasa de interés (i) asignada es del 2.5% mensual
5. Hallar el valor de la tasa de interés mensual (i) para un capital (P) de $14.000.000 que ha producido un
nuevo capital equivalente de $ 24.250.000 para un período de tiempo de 30 meses
TALLER 8: INTERÉS SIMPLE
1. Por medio de un pagaré nos comprometimos a cancelar después de un año y medio un valor de
$3.285.000. Si la tasa de interés es del 1.5% mensual simple. Hallar el valor inicial de la obligación.
Respuesta: $2.586.614.17
2. Un inversionista estima que un lote de terreno puede ser negociado dentro de 3.5 años por $85.000.000.
Cuánto será lo máximo que él está dispuesto a pagar hoy, si desea obtener un interés del 18% semestral
simple?. Respuesta $ 37.610.619.47

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3. Hallar la tasa de interés mensual simple que obtenemos cuando invertimos $ 210.000.000 y al cabo de 10
meses podemos retirar $ 311.650.000. Respuesta 4.84%
4. Se compra un lote de terreno por valor de $ 9.000.000. Si se espera venderlo dentro de un año en
$12.00.000. Cuál es la tasa de interés mensual simple que rinden los dineros allí invertidos?. Respuesta
2.78%
5. Una caja de ahorros reconoce el 5% trimestral simple. Si hoy deposito $ 250.000. Cuánto tiempo debo
esperar para retirar $ 325.000?. Respuesta 6 trimestres
6. Se invirtieron $ 2.000.000 y después de 3 años se recibieron $ 3.600.000. Qué tasa trimestral simple
produjo la operación financiera?. Respuesta 6.67% trimestral
7. hace 8 meses disponía de $ 2.000.000 y tenía las siguientes alternativas de inversión: a) Comprar un
inventario de ropa por este valor, que a precios de hoy valen $ 3.300.000. b) Invertirlos en una entidad que
me paga el 2.8% mensual simple. Después de consultarlo, me decidí por la primera alternativa. Fue
acertada la decisión?. Respuesta sí; explique.

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3. INTERES COMPUESTO
El interés compuesto (llamado también interés sobre interés), es aquel que al final del período capitaliza los
intereses causados en el período, debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo
capital sobre el cual se calculan los intereses. Capitalización es el proceso mediante el cual los intereses que
se van causando periódicamente se suman al capital anterior. El período de capitalización es período pactado
para convenir el interés.
CARACTERÍSTICAS DEL INTERÉS COMPUESTO
 El capital inicial cambia en cada período porque los intereses que se causan se capitalizan o sea, se
convierten en capital.
 La tasa de interés siempre se aplica a un capital diferente.
 Los intereses periódicos siempre serán mayores.
VALOR FUTURO E INTERÉS COMPUESTO
Consiste en calcular el valor equivalente de una cantidad P, después de estar ganando intereses por (n)
períodos, a una tasa de interés (i). Por lo tanto, el valor futuro equivalente a un valor presente está dado por la
siguiente fórmula:
Dónde:
P = Valor presente
i. =Tasa de interés

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n. = Periodos de tiempo
Esta fórmula es conocida como la fórmula básica de las matemáticas financieras debido a que, la mayoría de
las operaciones financieras se realizan con su aplicación. El factor (1 + i )n se conoce con el nombre de factor
de capitalización en pago único.
VALOR PRESENTE 10.000.000 F = P(1 + I )n INTERESES ACUMULADOS AL
FIN DE CADA MES
Final del primer mes F1 =
Final del segundo mes F2 =
Final del tercer mes F3 =
Final del cuarto mes F4 =
Final del quinto mes F5 =
Final del sexto mes F6 =
Final del séptimo mes F7 =
Final del octavo mes F8 =
Final del noveno mes F9 =
Final del décimo mes F10 =
Final del décimo primer mes F11 =
Final del décimo segundo mes F12 =
TALLER 9.
Se invierten $ 10.000.000 durante 12 meses en una corporación que reconoce una tasa de interés del 3%
mensual compuesta. Se desea saber, cuánto dinero se tendrá acumulado al final de cada mes?.
VALOR PRESENTE CON INTERÉS COMPUESTO
Consiste en calcular el valor P, equivalente hoy a una cantidad futura F, ubicada (n) períodos adelante,
considerando una tasa de interés compuesta i. Esta operación de calcular el valor actual de un capital equivale
a lo pagado en el futuro, se presenta con mucha frecuencia en los negocios y se conoce como el
procedimiento para descontar una deuda.
n
)i+P(1=F 
Dónde:
F = Valor futuro
EJEMPLO. Don Pedro necesita disponer de $3.000.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícula de
hijo. Si una corporación le ofrece el 3.5% mensual, cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo?.

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Datos:
Tasa efectiva de interés i = 3,5%
Solución:
502.440.2
229255326.1
000.000.3
)035.1(
000.000.3
)035.01(
000.000.3
)1( 66




 n
i
F
P
P= $ 2.440.502
Don Pedro deberá depositar hoy $ 2.440.502 para lograr su objetivo
TASA DE INTERÉS COMPUESTA
En algunos casos se conoce la cantidad invertida y la recibida después de un número de períodos
determinado, y se desea conocer la tasa de interés. Cuando sólo existe una única cantidad invertida y una
única recibida, la tasa de interés no se puede calcular por solución directa aplicando la ecuación F = P(1 + i )n;
para este caso la ecuación se transforma en:
Dónde:
F = Valor futuro
P = Valor presente
EJEMPLO. Si el día de hoy se invierten $ 10.000.000 y después de año y medio se tienen acumulados
$30.500.000. Qué tasa de interés produjo la operación?.
Datos:
Valor futuro F = $30.000.000
Tiempo n = 18 meses
Solución:
6.39%=60.06391160=1-61.06391160105.31
000.000.10
000.500.30
1=i. 1818 n
P
F

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i. = 6.39%
La tasa de interés que produjo la operación es de 6.39%
TIEMPO DE NEGOCIACIÓN
Con frecuencia se hace una inversión inicial a una conocida tasa de interés con el propósito de obtener una
cantidad futura determinada, y se desea conocer en cuánto tiempo se obtendrá esta cantidad futura. Desde el
punto de vista matemático, se plantea el problema de la siguiente forma: conocidos el valor presente (P), el
valor futuro (F) y la tasa de interés (i), se desea calcular el número de períodos (n).
n
)i+P(1=F 
Dónde:
F = Valor futuro
P = Valor presente
EJEMPLO. Si se realiza una operación financiera con una tasa de interés del 4% mensual, cuánto tiempo (n)
se debe esperar para que $ 5.000.000 de hoy se conviertan en $ 7.116.560?.
Datos:
Solución:
)04.01(
000.000.5560.116.7
)1( 





Log
LogLog
iLog
LogPLogF
n
0000.9
01733339.0
15330011.0
01733339.0
698970004.6852270115.6



n.= 9 meses
El tiempo espera para que $ 5.000.000 de hoy se conviertan en $ 7.116.560, es de 9 meses
VALOR FUTURO CON TASA VARIABLE
Por lo general la tasa de interés para todos los períodos de cálculo no es siempre la misma. Por EJEMPLO,
las tasas de interés que pagan los bancos por las cuentas de ahorros y los CDT son fluctuantes en períodos

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cortos de tiempo, por lo que los cálculos de rentabilidades realizados con la aplicación de la fórmula básica
F=P(1+i)n resultan irreales. La fórmula para calcular el valor futuro con interés compuesto, cuando la tasa de
interés para cada período proyectado es diferente, queda de la siguiente forma:
Dónde:
P = Valor presente
i1 = Tasa de interés del primer período
i2 = Tasa de interés del segundo período
in = Tasa de interés del período n
EJEMPLO. Blanca Helena desea invertir $ 2.500.000 durante 6 meses. La tasa de interés inicial que le
reconocen es del 1% mensual. Si se espera que cada mes la tasa de interés aumente 0.20%, cuánto recibirá
al final del semestre?
Datos:
P = $ 2.500.000
i1 = 1.0%, i2 = 1.20%, i3= 1.40%, i4=1.60%, i5 = 1.80%, i6 = 2.00%
Solución:
Reemplazando estos valores se obtendrá:
F = 2.500.000(1.010)(1.012)(1.014)(1.160)(1.180)(1.020)= $ 2.733.515.29
Al final del semestre recibirá $ 2.733.515.29
VALOR PRESENTE CON TASA VARIABLE
Al hacer los cálculos del valor presente en la vida práctica las tasas de interés varían período a período lo que
nos indica que la fórmula básica F = P(1 + i )n no es aplicable. Para este nuevo caso la fórmula matemática es:
Dónde:
F = valor futuro
i1 = tasa de interés del primer período

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i2 = tasa de interés del segundo período
i3 = tasa de interés del tercer período
in = Tasa de interés del período n
EJEMPLO. Un padre de familia necesita tener disponibles $ 2.000.000 dentro de 6 meses. Calcular el valor
del depósito inicial si se esperan las siguientes tasas de interés para los próximos 6 meses.
Datos:
Tasa de interés variable 0.50% 0.60% 0.70% 0.80% 0.90% 1.00%
Solución:
Mes Mes1 Mes2 Mes3 Mes4 Mes5 Mes6
Tasa 0.50% 0.60% 0.70% 0.80% 0.90% 1.00%
)1)...(1)(1)(1( 321 niiii
F
P

 =
)01.01)(009.01)(008.01)(007.01)(006.01)(005.01(
000.000.2

=
P = $ 1.912.332.52
El valor del depósito inicial es de $ 1.912.332.52
TALLER 10: INTERÉS COMPUESTO
F=P(1+i)n
1. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $10.000.000 sometido si tasa de interés mensual es el 10%; en
un tiempo (n) de 8 meses
2. Hallar el valor presente (P), cuando el valor futuro (F) es de $ 30.000.000, en un período de tiempo (n) de
15 meses; cuando la tasa de interés (i) toma el valor del 3.0% mensual
3. Hallar la tasa de interés compuesta (i) para un capital (P) de $15.000.000 cando su valor equivalente (F) es
de $ 63.000.000 para el período de tiempo de 46 meses
4. Calcular el período de tiempo (n) para un capital de $ 14.000.000 cuando su valor equivalente (F) es de
$120.000.000, cuando la tasa de interés compuesta toma el valor del 2.5.0% mensual
5. Hallar el valor futuro (F) que produce un capital (P) de $12.550.000 sometido a una tasa de interés
compuesta del 6% mensual en el tiempo (n) 10 años.

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6. Hallar el valor futuro (F) para un capital de $18.000.000 si la tasa de interés mensual es del 9%; en un
intervalo de tiempo (n) de 48 meses
7. Encontrar el valor del capital que sometido a una tasa de interés (i) del 36% anual produce una cantidad de
dinero (F) de $28.600.000 en un tiempo de 26 meses.
8. Hallar el valor presente (P), si se desea obtener un valor futuro (F) $ 38.600.000, en un período de tiempo
(n) de 20 meses; si la tasa de interés (i) es del 2.0% mensual
9. Hallar el valor de la tasa de interés mensual (i) para un capital (P) de $17.000.000 que ha producido un
nuevo capital equivalente (F) de $ 34.250.000 para un tiempo de 30 meses.
Calcular el período de tiempo (n) para un capital (P) de $ 18.000.000; que después de un tiempo el capital10.
equivalente (F) es $ 34.600.000, cuando la tasa de interés compuesta toma el valor del 48% anual.

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4. TASAS DE INTERES
La tasa de interés es el precio del dinero tanto para el que lo necesita porque paga un precio por tenerlo, como
para el que lo tiene porque cobra un precio por prestárselo al que lo requiere. El dinero es una mercancía que
tiene un precio y, como tal, su valor lo fija el mercado como resultado de la interacción entre la oferta y la
demanda. La tasa de interés está presente cuando se abre una cuenta de ahorros, se utiliza una tarjeta de
crédito, o se hace un préstamo de dinero. Su nivel debe ser la preocupación diaria de cualquier persona o
empresa, porque mide el rendimiento como el costo del dinero. El nivel de las tasas de interés está afectado
por diversas variables, a saber: la inflación, la devaluación, la oferta y la demanda y el riesgo
empresarial. Estas variables, en conjunto, o individualmente, determinan en un momento determinado el
costo del dinero.
TASA DE INTERES NOMINAL
Es una tasa de referencia que existe solo de nombre porque no nos determina la verdadera tasa de interés
que se nos cobra en una operación financiera. La tasa nominal se representa por ( j ); el número de veces o
periodos que el interés se convierte en capital se denomina capitalización y se simboliza con (m)
EJEMPLO. Tasa de interés nominal.
INTERES NOMINAL LECTURA CAPITALIZACION
1 J =15% NM Se lee 15% nominal mensual Donde el interés se convierte 12 veces en capital (m=12)
6 J =24% NT Se lee 34% nominal trimestral Donde el interés se convierte 4 veces en capital (m=4)
7 J =24% NB Se lee 24% nominal bimestral Donde el interés se convierte 6 veces en capital (m=6)
8 J =30% ND Se lee 30% nominal diaria Donde el interés se convierte 360 veces en capital (m=360)
9 J =12% NS Se lee 12% nominal semestral Donde el interés se convierte 2 veces en capital (m=2)

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TASA DE INTERES PERIODICA
Es aquella tasa que en realidad se aplica a un capital en un periodo de tiempo que puede ser: un día, una
semana, un mes, un bimestre, un trimestre, un semestre, un año.
EJEMPLO. Tasa de interés periódica efectiva
TASA NOMINAL
MENSUAL
LECTURA
TASA PERIODICA EFECTIVA
MENSUAL
1 J =15% NM La tasa efectiva mensual correspondiente será i = J/m = 15%/12 = 1.25%
TALLER 11:
Hallar la tasa efectiva periódica ( i ) para:
TASA NOMINAL LECTURA TASA PERIODICA EFECTIVA
1 J =12% NS
2 J =24% NT
3 J =24% NB
4 J =30% ND
TASA EFECTIVA
La tasa nominal es la tasa que se pacta, mientras que la tasa efectiva es la que se paga. Esta tasa mide el
costo efectivo de un crédito o la rentabilidad efectiva de una inversión, y resulta de capitalizar o reinvertir los
intereses que se producen cada periodo. Cuando se habla de tasa efectiva se involucra el concepto de interés
compuesto, ya que resulta de la reinversión periódica de los intereses.
La tasa de interés nominal está relacionada con un interés simple, mientras que la tasa de interés efectiva
está relacionada con un interés compuesto.
EJEMPLO. Juan José deposita $10.000.000 en una entidad financiera el día de hoy que reconoce una tasa
de interés del 1,5% mensual. Juan José desea saber cuánto dinero se tendrá acumulado después de un
tiempo de 12 meses, bajo dos aspectos:
a) interés simple,
b) interés compuesto.

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SOLUCION
a) EN INTERÉS SIMPLE: Cuando se habla de interés simple produce un interés nominal iN. Se debe utilizar la
siguiente expresión:
Dónde:
F = Valor futuro
P = Valor presente
Dónde:
i. = Tasa de interés efectiva
Datos:
Tasa de interés mensual i = 1,5% = 0,015, tasa periódica
Tiempo de capitalización n = 12 meses
Valor futuro F= ?
Solución
El valor futuro será:
F = P + P.i.n. o también F = P(1 + in)
Reemplazando los valores se obtiene
F = 10.000.000(1 + 0,015*12)
F = 10.000.000(1,18) = 11.800.000
F = $ 11.800.000
Al final de los 12 meses Juan José recibe $ 11.800.000; pero él desea saber cuál fue el rendimiento anual
(tasa anual nominal), para lo cual se puede calcular de la siguiente forma:
iN =
F
P
− 1
iN =
F
P
− 1
iN = ( + ) − 1

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iN =
11.800.000
10.000.000
− 1 = 1,18 -1 = 0,18
iN = 18%, tasa anual nominal
iN = . = . ∗ = . = 18%
La tasa nominal se simboliza por ( J ), en donde sus componentes son tasa periódica ( i ) y el número de
periodos (m); que se puede escribir de la siguiente manera
J = Tasa periódica (i). Número de periodos (m)
b) PARA INTERÉS COMPUESTO. Cuando se habla de interés compuesto se obtiene un interés efectivo y se
puede hacer sus cálculos con la siguiente expresión:
Dónde:
F = Valor futuro
P = Valor presente
Dónde:
Datos:
Tasa de interés mensual i = 1,5% = 0,015, tasa periódica
Tiempo de capitalización n = 12 meses
Valor futuro F= ?
Solución:
Aplicamos la fórmula:
F = P(1+ i)n
F = 10.000.000(1+ 0,015)
12
F = 10.000.000(1,015)
12
ie =
F
P
− 1
ie = (1+ i)n
− 1

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F = 10.000.000(1,195618171)
F = $11.956.181.71
Al final de los 12 meses Juan José recibirá $ 11.956.181,71; pero si él desea saber cuál fue el rendimiento
efectivo anual, debe calcular de la siguiente forma:
ie = ( 1+ i )n
− , o también
ie =
F
P
− 1
ie =
11.956.181.71
10.000.000
− 1 = 1,1956 -1 = 0,1956
ie = 19,56%, tasa efectiva anual (TEA)
TEA = 19,56%, tasa efectiva anual
ECUACION DE LA TASA EFECTIVA.
Esta ecuación permite calcular las equivalencias entre tasas de interés periódicas; en esta ecuación no
interactúan ni valor presente ni futuro únicamente la tasa periódica (i) y los periodos de capitalización (n) que
es un tiempo, veamos para el caso anterior:
Dónde:
EJEMPLO: Juan José deposita $10.000.000 en una entidad financiera el día de hoy que reconoce una tasa
de interés del 1,5% mensual. Juan José desea saber cuánto dinero se tendrá acumulado después de un
tiempo de 12 meses, bajo dos aspectos:
TE = ( 1+ i )n
− 1 = ( 1+ 0,015 )12
− 1
TE = 1,195618171 − 1 = 0,195618171
TE = 0,195618171 = 19,56%
TE = 19, 56%, tasa efectiva anual
Los valores de la tasa efectiva anual encontrados mediante dos procedimientos son iguales.
La ecuación de la tasa efectiva permite encontrar tasas efectivas de acuerdo a diferentes periodos de
capitalización, pueden ser las siguientes:
A. TEA = Tasa efectiva anual
TE = ( 1+ i )n
−

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B. TES = Tasa efectiva semestral
C. TET = Tasa efectiva trimestral
D. TEB = Tasa efectiva bimensual
E. TEM = Tasa efectiva mensual
F. TED = Tasa efectiva diaria
EJEMPLO. El señor Juan José, presta $10.000.000 a una tasa de interés del 18% Nominal mensual. Calcular.
a) El valor futuro que recibe al final del primer trimestre,
b) Intereses del primer trimestre
c) Tasa de interés efectivo trimestral
Datos:
Tasa de interés i = 18% nominal mensual
SOLUCION
i =
18%
12
= 1,5% = 0,015
a) Valor futuro
F = P( 1+ i )
n
= 10.000.000( 1+ 0,015 )
3
F = 10.000.000( 1,045678375)
F = $10.456.783,75
b) Intereses del primer trimestre
= − = 10.456.783,75=10.000.000= 457.783,75
= $ 457.783,75
c) Tasa de interés efectivo trimestral
ie =
F
P
− 1 =
10.456.783,75
10.000.000
− 1 = 1,045678375 − 1 = 0,045678 = 4,57%
ie = 4,57%
El mismo resultado se puede hallar utilizando la ecuación de la tasa efectiva: Tasa efectiva periódica = i
Las veces que se capitaliza la tasa efectiva periódica n = 3 (trimestre); reemplazando se tiene:
TE = ( 1+ i )n
− = ( 1+0,015 )
3
− 1 = (1,045678375) − 1 = 0,045678375 = 4,5678%
TE = 4,57%

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Los dos valores son equivalentes o iguales.
TALLER 12.
Ahora don Juan José, dese saber si presta $10.000.000 a una tasa de interés del 18% Nominal mensual; las
tasas efectivas para los siguientes casos:
A. TES = Tasa efectiva semestral
B. TET = Tasa efectiva trimestral
C. TEB = Tasa efectiva bimensual
D. TEM = Tasa efectiva mensual
E. TED = Tasa efectiva diaria
Utilizando los dos procedimientos desarrollados anteriormente para hacer sus respectivas comprobaciones.
TASAS EQUIVALENTES
Dos tasas son equivalentes cuando las dos, obrando en condiciones diferentes producen la misma tasa
efectiva anual o el mismo valor futuro. El concepto de operaciones en condiciones diferentes hace referencia a
que ambas capitalizan en períodos diferentes, o que una de ellas es vencida y la otra anticipada: en el
sistema financiero actual se encuentran diferentes casos de tasas equivalentes:
A. De tasa efectiva a tasa efectiva
B. De tasa nominal a tasa efectiva
C. De tasa efectiva a tasa nominal
D. De tasa nominal a tasa nominal
1. DE TASA EFECTIVA A TASA EFECTIVA
En este caso se pueden presentar dos alternativas: tasa efectiva de menor a una tasa efectiva mayor o tasa
efectiva mayor a tasa efectiva menor y se puede calcular mediante:
Dónde:
n1. = Números de periodos de la nueva capitalización
n2 = Números de periodos de capitalizaciones iniciales
i2 = Tasa efectiva inicial (conocida)
i1. = ? Nueva tasa efectiva (desconocida)
EJEMPLO. Hallar la tasa efectiva mensual (TEM) para una tasa del 15% efectiva anual (TEA)

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Datos:
n1 = 12 nuevas capitalizaciones en un año
n2 = 1 capitalización dada en un año
TEA =i2 = 15% = 0.15
i1= ? nueva tasa efectiva
Solución:
Reemplazando y haciendo operaciones se tiene:
TEM =   1TEA1
12
1
 =  115.01
12
1
 = 1.011714917 – 1 = 0.011714917 = 1.17% efectivo mensual
EJEMPLO. Se tiene una tasa del 2.5% efectivo mensual (TEM) y desea convertir en una nueva tasa efectiva
anual (TEA)
Datos:
n1 = 1 nuevo número de capitalizaciones en un año
n2 = 12 número de capitalizaciones dadas por año
TEM = i2 = 2,5% = 0.025
i1. =? nueva tasa efectiva
Solución:
Reemplazando y haciendo operaciones en, se tiene:
  1i1i
1n
2n
21 
  1TEM1i=TEA
1
n
2
n
1 
  1025.01i=TEA
12
1 
  1025.1i=TEA
12
1 
1-1.3449i=TEA 1 
anualefectivo49%34.=0.3449=i=TEA 1
TALLER 13.
1. Hallar la tasa efectiva mensual para los siguientes casos:
A. Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 20% (TEA)
B. Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 22% (TEA)
C. Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 24% (TEA)

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D. Hallar la (TEM) para una tasa efectiva anual 36% (TEA)
2. Se tiene una tasa efectiva anual 42% (TEA) y se desea convertir a las siguientes tasas: (escriba el nombre
de cada tasa encontrada); teniendo en cuenta que:
n1 = Nuevo número de capitalizaciones en un año
n2 = Número de capitalizaciones dadas por año
TEA = Tasa de interés efectiva conocida
i1. = Tasa de interés efectiva desconocida
TEA =   1TEA1
1
2

n
n
=
TES =   1TEA1
1
2

n
n
=
TET =   1TEA1
1
2

n
n
=
TEB =   1TEA1
1
2

n
n
=
TEM =   1TEA1
1
2

n
n
=
TED =   1TEA1
1
2

n
n
=
3. Se tiene una tasa del 2.5% efectivo mensual (TEM), convertir en tasa efectiva: anual, semestral, trimestral,
bimestral y mensual
TEA =   1TEM1
1
2

n
n
=
TES =   1TEM1
1
2

n
n
=
TET =   1TEM1
1
2

n
n
=
TEB =   1TEM1
1
2

n
n
=
TEM =   1TEM1
1
2

n
n
=
2. DE TASA NOMINAL A TASA EFECTIVA
Conocida la tasa nominal del crédito se necesita conocer la tasa efectiva periódica equivalente. Esta situación
se presenta con frecuencia en el sector financiero, debido a que las entidades financieras suelen expresar, por
lo general, las tasas de interés de colocación en forma nominal y el deudor necesita conocer tanto la tasa
efectiva periódica (que es la tasa que determina el valor de los intereses) como la tasa efectiva anual del
crédito.

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Dónde:
n1. = Número de periodos de la nueva capitalización
m = Números de periodos de capitalizaciones iniciales
j. = Tasa nominal (conocida)
i. = ?Nueva tasa efectiva (desconocida)
EJEMPLO. Se tiene una tasa nominal mensual del 36% (NM) y se desea convertir a una tasa efectiva anual
(TEA)
Datos:
n1. = 1 número de periodos de la nueva capitalización
m = 12 número de capitalizaciones dadas en un año
j = 36%NM = 0.36
Solución:
TEA = 1
m
J
1
1n
m






 = 1
12
36.0
1
1
12







TEA = 0.4258 = 42.58 efectivo anual
EJEMPLO. Se tiene una tasa nominal mensual de 36% (NM) y se desea convertir en una tasa efectiva
bimensual (TEB)
Datos:
n1. = 6 números de periodos de la nueva capitalización
j = 36%NM = 0.36
Solución:
TEB = 1
m
J
1
1n
m






 = 1
12
36.0
1
6
12






 = 0.0609 = 6.09% efectivo bimensual

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EJEMPLO. Se tiene una tasa nominal trimestral del 24% (NT) y se desea convertir a una tasa efectiva
mensual (TEM)
Datos:
n1. = 12 números de periodos de la nueva capitalización
j = 24%NM = 0.24
Solución:
TEM. = 1
m
J
1
1n
m






 = 1
4
24.0
1
12
4






 =   106.1
12
4
 = 0.01961 = 1.96% efectiva trimestral
TALLER 14
1. Se tiene una tasa nominal mensual del 36% (NM) y se desea convertir en las siguientes tasas: (escriba el
nombre de cada tasa encontrada)
TEA = 1
m
J
1
1n
m






 =
TES = 1
m
J
1
1n
m






 =
TET = 1
m
J
1
1n
m






 =
TEB = 1
m
J
1
1n
m






 =
TEM = 1
m
J
1
1n
m






 =
2. Se tiene una tasa nominal semestral del 18% (NS) y se desea convertir a una tasa efectiva mensual (TEM)
TEM = 1
m
J
1
1n
m






 =
3. Se tiene una tasa nominal bimestral del 8% (NS) y se desea convertir a una tasa efectiva mensual (TEM)

Página 52 de 170
TEM = 1
m
J
1
1n
m






 =
5. Se tiene una tasa nominal anual del 30% (NA) y se desea convertir en las siguientes tasas (escriba el
nombre de cada tasa encontrada):
TEA = 1
m
J
1
1n
m






 =
TES = 1
m
J
1
1n
m






 =
TET = 1
m
J
1
1n
m






 =
TEB = 1
m
J
1
1n
m






 =
TEM = 1
m
J
1
1n
m






 =
3. DE TASA EFECTIVA A TASA NOMINAL
Conocida una tasa efectiva se puede calcular una tasa nominal equivalente. Para este caso se utiliza la
siguiente expresión.
Dónde:
n. = Número de capitalizaciones dadas
m = Número de capitalizaciones nuevas en un año
i = Tasa efectiva periódica (conocida)
J = ?Tasa nominal a buscar (desconocida)
EJEMPLO. Se tiene una tasa efectiva mensual del 2.5% y se desea convertir en una tasa nominal trimestral
(TNT)
Datos:
n. = 12 números de capitalizaciones dadas en un año

Página 53 de 170
m = 4 números de capitalizaciones nuevas en un año
j = ? tasa nominal
i = 2.5% tasa efectiva periódica = 0.025
Solución:
TNT. =   


  1i1m m
n
=   



 1025.014 4
12
=   1025.14
3
 = 4(0.07689) = 0.3076 = 30.76% nominal
trimestral.
TALLER 15.
1. Se tiene una tasa efectiva mensual del 1.8% y se desea convertir a las siguientes:
Tasa nominal semestral (TNS)
TNS. =   


  1i1m m
n
=
Tasa nominal trimestral (TNT)
TNT. =   


  1i1m m
n
=
Tasa nominal bimestral (TNB)
TNB. =   


  1i1m m
n
=
Tasa nominal anual (TNA)
TNA. =   


  1i1m m
n
=
2. Se tiene una tasa efectiva mensual del 2.5% y se desea convertir a las siguientes:
Tasa nominal semestral (TNS),
TNS =   


  1i1m m
n
=
Tasa nominal trimestral (TNT)
TNT =   


  1i1m m
n
=
Tasa nominal bimestral (TNB)

Página 54 de 170
TNB =   


  1i1m m
n
=
Tasa nominal anual (TNA).
TNA =   


  1i1m m
n
=
3. Una entidad financiera ofrece pagar por los ahorros una tasa de interés del 22% capitalizable
mensualmente, y otra ofrece pagar el 23% capitalizable semestralmente. Qué opción se debe elegir?
4. *A partir de una tasa nominal del 36% (TNA) calcular la:
A. Tasa efectiva mensual
B. Tasa efectiva bimestral
C. Tasa efectiva trimestral
D. Tasa efectiva semestral
E. Tasa efectiva anual
5. *Se desea elegir entre estas dos opciones para aceptar un crédito bancario: 30%MV o 30% TV; realizar su
proceso correspondiente.
4. DE TASA NOMINAL A TASA NOMINAL
Muchas veces se necesita, por razones de liquidez u otra circunstancia, cambiar el período de capitalización
de la tasa de interés nominal con que se pactó una operación financiera. Este caso conduce a calcular una
tasa nominal conocida otra nominal mediante la siguiente expresión:
Dónde:
J1 = tasa nominal a buscar
m1. = nuevos periodos de capitalización
J2 = tasa nominal dada
m2. = periodos de capitalización dados
EJEMPLO. Una entidad financiera aprueba a Don Pepe un crédito a una tasa del 36% con capitalización
mensual (36%TNM), quien solicita quiere que le conviertan esa tasa en una nueva tasa nominal pero
capitalizable trimestralmente. Hallar esta nueva tasa equivalente.

Página 55 de 170
Datos:
J1 = ? tasa nominal a buscar
m1. = 4 nuevos periodos de capitalización en el año
J2 = 36% tasa nominal dada = 0.36
m2. = 12 periodos de capitalización dados
Solución:
Reemplazando en la expresión correspondiente se tiene:
















 1
m
J
1mJ
1
2
m
m
2
2
11














 1
12
36.0
14J
4
12
1
=4   103.01
3
 =4 1092727.1  =
= 4(0.092727)=0.3709=37.09% tasa nominal capitalizable trimestralmente J1 = 37.09% TNT
TALLER 16.
1. Dada una tasa nominal del 30%TNV calcular una tasa nominal TMV
2. Se tiene una tasa del 30% con capitalización mensual (36%TNM), se quiere convertir en una nueva tasa
nominal capitalizable:
A. Bimestral
B. Trimestralmente
C. Semestral
D. Anual
EQUIVALENCIAS ENTRE TASAS ANTICIPADAS Y VENCIDAS
Cuando se cobra la tasa de interés en forma anticipada, primero se cobran los intereses y luego se permite
utilizar el dinero, lo que en realidad significa que se presta una cantidad menor, y esto se traduce en un mayor
costo del crédito. Las tasas anticipadas pueden ser Nominales o periódicas efectivas. Las tasas nominales
son las que se capitalizan más de una vez en el año.
1. CONVERSIÓN DE TASA PERIODICA ANTICIPADA A TASA VENCIDA
Consiste en diseñar una expresión que permita calcular la tasa periódica vencida equivalente a una tasa
periódica anticipada. La ecuación que permite realizar esta operación es la siguiente:

Página 56 de 170
Dónde:
iv = tasa efectiva periódica vencida
ia = tasa efectiva periódica anticipada
EJEMPLO. Le ofrecen un préstamo de $ 100.000 que debe pagar después de un mes pero le cobran
intereses del 5% mensual, pagaderos en forma anticipada. Como usted necesita la totalidad de los $100.000,
le solicita a quien le presta el dinero que le cobre intereses mensuales vencidos, pues si son anticipados sólo
recibirá $ 95.000. Se necesita conocer la tasa mensual vencida equivalente a una tasa del 5% mensual
anticipado.
Datos:
ia. = 0.05
Solución:
%26.5
)05.01(
05.0
)i1(
i
vi 




a
a
iv = 5.26% mensual
Al hacer la operación con esta tasa del 5.26% mensual, usted recibirá los $ 100.000 y al finalizar el mes
entregaría $ 105.260, valor que se descompone en $ 100.000 de capital más $ 5.260 de interés
(100.000*0.0526)
2. CONVERSIÓN DE TASA PERIODICA VENCIDA A TASA ANTICIPADA
Ahora estamos ante una situación contraria a la analizada anteriormente. Al conocerse una tasa periódica
vencida se necesita calcular la tasa periódica anticipada equivalente.
Dónde:
iv = tasa efectiva periódica vencida
ia = tasa efectiva periódica anticipada

Página 57 de 170
Algunos autores simbolizan la tasa periódica vencida como: iv = i
EJEMPLO. Si usted le va a prestar a un cliente una determinada cantidad de dinero al 2% mensual y le exige
el pago de intereses anticipados. Calcular esa tasa de interés.
Datos:
iv = 0.02
Solución:
%96.1019607843.0
)02.01(
02.0
)i1(
i
ai 




v
v
ia = 1.96% anticipados
3. CONVERSIÓN DE TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA EFECTIVA VENCIDA
Dónde:
m. = número de capitalizaciones dadas en un año
n. = número de capitalizaciones nuevas en un año
J = tasa nominal dada
iv = ? tasa efectiva vencida
EJEMPLO. Se tiene una tasa del 30% (TNMA) y se desea pasar a una tasa efectiva anual vencida (TEAV).
Datos:
m. = 12 número de capitalizaciones dadas en un año
n = 1 número de capitalizaciones nuevas en un año
j = 30% TNMA = 0.30
TEAV = ?
Solución:

Página 58 de 170















 1
Jm
m
TEAV
n
m
=















1
30.012
12 1
12
=














1
70.11
12
12
=   1025641020.1
12

TEAV = 0.3550 = 35.50%,
TEAV = 35.50% tasa efectiva anual vencida
EJEMPLO. Se tiene una tasa del 32% TNTA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).
Datos:
m. = 4 número de capitalizaciones dadas en un año
n = 12 número de capitalizaciones nuevas en un año
j = 32% TNTA = 0.32
Solución:















 1
Jm
m
TEMV
n
m
=















1
32.04
4 12
4
=














1
68.3
4 12
4
=   



 1086956522.1 12
4
=0.02818=2.82%,
TEMV = 2.82% tasa efectiva mensual vencida
TALLER 17.
1. Se tiene una tasa del 36% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva semestral vencida (TESV).
2. Se tiene una tasa del 48% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral vencida (TETV).
3. Se tiene una tasa del 18% TNMA y se desea pasar a una tasa efectiva bimestral vencida (TEBV).
4. Se tiene una tasa del 12% TNSA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).
5. Se tiene una tasa del 15% TNBA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).
6. Se tiene una tasa del 12% TNTA y se desea pasar a una tasa efectiva mensual vencida (TEMV).
4. CONVERSIÓN DE TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA NOMINAL VENCIDA
Dónde:
m1. = número de capitalizaciones dadas en un año
m2 = número de capitalizaciones nuevas en un año

Página 59 de 170
j1 = tasa nominal dada
j2. = ? tasa nominal a buscar
EJEMPLO. Se tiene una tasa del 24% NBA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral vencida (TNTV).
Datos:
m1. = 6 números de capitalizaciones dadas en un año
m2 = 4 números de capitalizaciones nuevas en un año
j1 = 24% TNTA = 0.24
j2. = ?
Solución:

















 1
Jm
m
mJ
1
2
m
m
12
1
22 =4















1
24.06
6 4
6
=














1
76.5
6
4
4
6
=4   


  1041666667.1 4
6
=0.2525
J2 = 25.26%, TNTV = 25.26% tasa nominal trimestral vencida
TALLER 18
1. Se tiene una tasa del 12% NBA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral vencida (TNTV).
2. Se tiene una tasa del 18% NTA y se desea pasar a una tasa nominal semestral vencida (TNSV).
3. Se tiene una tasa del 20% NBA y se desea pasar a una tasa nominal semestral vencida (TNSV).
5. CONVERSIÓN DE TASA EFECTIVA VENCIDA A TASA EFECTIVA ANTICIPADA
Dónde:
n1. = número de capitalizaciones dadas en un año
n2 = número de capitalizaciones nuevas en un año
iv= tasa efectiva vencida dada
ia. = ? tasa anticipada a buscar

Página 60 de 170
EJEMPLO. Se tiene una tasa del 35% TEAV y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral anticipada
(TETA).
Datos:
n1. = 1 número de capitalizaciones dadas en un año
n2 = 4 número de capitalizaciones nuevas en un año
TEAV = iv = 35% = 0.35
ia. = ?
Solución:
7.23%=0.07228
)35.1(
1
1
)35.01(
1
1
)TEAV1(
1
1TETA
4
1
4
1
n
n
2
1




































TETA = 7.23%
TETA = ia.= 7.23% tasa efectiva trimestral anticipada
TALLER 19.
1. Se tiene una tasa del 20% TETV y se desea pasar a una tasa efectiva bimestral anticipada (TEBA).
2. Se tiene una tasa del 12% TESV y se desea pasar a una tasa efectiva trimestral anticipada (TETA).
3. Se tiene una tasa del 18% TEAV y se desea pasar a una tasa efectiva semestral anticipada (TESA).
6. CONVERSIÓN TASA NOMINAL ANTICIPADA A TASA NOMINAL ANTICIPADA
Dónde:
m1. = número de capitalizaciones dadas en un año
m2 = número de capitalizaciones nuevas en un año)
j1 = tasa nominal mes anticipada
j2= ? tasa nominal anticipada a buscar
EJEMPLO. Se tiene una tasa del 24% TNMA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral anticipada
(TNTA).

Página 61 de 170
Datos:
m1. = 12 números de capitalizaciones dadas en un año
m2 = 4 números de capitalizaciones nuevas en un año
TNMA =j1 = 24% = 0.24
TNTA = j2= ?
Solución:















 

2
1
m
m
1
11
2
m
Jm
1mTNTA =













 

4
12
12
24.012
14 =















4
12
12
76.11
14 =   941192.014  =  058808.04
=02352=23.52%
TNTA = 23.52% nominal trimestral anticipada
TALLER 20.
1. Se tiene una tasa del 12% TNSA y se desea pasar a una tasa nominal trimestral anticipada (TNTA).
2. Se tiene una tasa del 18% TNTA y se desea pasar a una tasa nominal bimestre anticipada (TNBA).
3. Se tiene una tasa del 28% TNSA y se desea pasar a una tasa nominal mensual anticipada (TNMA).
TALLER 21: FINAL
1. Hallar la tasa trimestral anticipada equivalente a:
A. Al 26% efectiva vencida anual
B. Al 35% efectiva anticipada año
C. Al 34% nominal trimestre vencida
D. Al 4% anticipada de bimestre
E. Al 31% efectivo vencido anual
2. Hallar la tasa efectiva mensual equivalente a:
A. Al 15% efectiva semestral
B. Al 20% nominal bimestral
C. Al 24% nominal trimestral anticipada
D. Al 25% anticipada año
DESCUENTO POR PRONTO PAGO
Los proveedores se constituyen en una importante fuente de financiamiento de corto plazo para cualquier
empresa. Evidentemente, el crédito es un factor de demanda de un producto. Aunque lo ideal para las
empresas comerciales y manufactureras sería vender los productos al contado, ya se ha constituido en una
práctica comercial no exigirles a los compradores que paguen por las mercancías al momento de su entrega,
sino que se les conceden un corto período de aplazamiento para hacerlo.

Página 62 de 170
Los proveedores plantean los descuentos por pronto pago de sus productos indicando los descuentos por
medio de fracciones, cuyo numerador señala el porcentaje de descuento y denominador se refiere al tiempo
dentro del cual el comprador tiene la opción de pagar, para tener derecho al descuento señalado en el
numerador.
EJEMPLO. Un proveedor factura una mercancía por valor de $ 500.000 con el siguiente plan de descuento
por pronto pago: 4/10 neto 30. Calcular el costo para el comprador si se acoge o no al descuento por pronto
pago.
La expresión 4/10 neto 30 significa que si el comprador paga la mercancía dentro de los primeros 10 días
tendrá derecho a un descuento del 4%, de lo contrario pagará a los 30 días el valor neto de la factura.
Descuento = i*500.00 = 0.04*500.000 = $ 20.000
Costo a pagar dentro de los 10 primeros días = 500.000 – 20.000 = $ 480.000
Si no se acoge al descuento pagará a los 30 días el valor neto de la factura $ 500.000

Página 63 de 170
5. ANUALIDADES O SERIES
Una anualidad es un conjunto de pagos iguales (constantes) hechos a intervalos de tiempo. El término
anualidad parece significar que los pagos se hacen anualmente. En el sentido estricto de la expresión, esto no
necesariamente es así. En matemáticas financieras, anualidad significa pagos hechos a intervalos iguales de
tiempo, que pueden ser anuales, trimestrales, mensuales, quincenales, diarios, etc. El estudio de las
anualidades es de mucha importancia en finanzas, entre otras razones, porque es el sistema de amortización
más común en los créditos comerciales, bancarios y de vivienda. Este sistema de pagos permite que el
financiador, cada vez que recibe el pago de la cuota, recupere parte del capital prestado.
Las clases de anualidades más comunes son las siguientes:
 Anualidades vencidas
 Anualidades anticipadas
 Anualidades diferidas
 Anualidades perpetuas
 Anualidad con interés global
1. ANUALIDADES VENCIDAS
Son aquellas cuotas en donde los pagos se hacen al final del período: así, por EJEMPLO, el salario mensual
de un empleado, las cuotas mensuales iguales y vencidas en la compra de vehículos y electrodomésticos, son
casos de anualidades vencidas.
VALOR DE LA CUOTA VENCIDA EN FUNCION DEL VALOR PRESENTE
Para hallar el valor de una anualidad o cuota (A) se utiliza la siguiente fórmula:

Página 64 de 170
Dónde:
Valor presente = P
Valor de la primera cuota = A
Tasa de interés efectiva = i
Numero de cuotas por periodo = n
EJEMPLO. Un lote de terreno que cuesta $20.000.000 se propone comprar con una cuota inicial del 10% y 12
cuotas mensuales con una tasa de interés del 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas y el valor total
pagado.
Datos:
Valor del lote = $20.000.000
Cuota inicial 10% del valor del lote
Numero de cuotas mensuales n = 12
Tasa de interés efectiva i = 2%
Solución:
Valor a financiar = $ 20.000.000 - $ 2.000.000 = $ 18.000.000








1)1(
)1(
P=A n
n
i
ii
= 







1)02.01(
)02.0.1(02.0
18.000.000 12
12
= $ 1.702.072.74
A = $ 1.702.072.74 valor de la cuota mensual.
Total a pagar = (A)*(12)+2.000.000 =
(1.702.072.74)*(12)+2.000.000=20.424.872.88+2.000.000=$22.424.872.88
Total a pagar = $ 22.424.872.88
VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD O CUOTA VENCIDA
El valor presente de una anualidad vencida es equivalente a una serie de pagos iguales y periódicos. Desde el
punto de vista matemático, es la suma de los valores presentes de todos los pagos. Para hallar el valor
presente de una anualidad vencida se utiliza la siguiente expresión:

Página 65 de 170
Dónde:
Valor presente = P
Número de cuotas por periodo = n
EJEMPLO. Se compró un vehículo con una cuota inicial de $1.000.000 y 60 cuotas mensuales iguales
$500.000. La agencia cobra el 2.5% mensual sobre saldos. Calcular el valor del vehículo.
Datos:
Cuota inicial $ 1.000.000
Número total de cuotas mensuales n = 60
Valor de cuota mensual A = $500.000
Tasa efectiva de interés i = 2.5%
Solución:
 








n
n
ii
i
A
)1(
1)1
=P =
 








60
60
)025.01(025.0
1)025.01
000.500 =
 






)399789748.4(025.0
399789748.3
000.500 =
P = $ 15.454.328.24
Valor del vehículo = $15.454.328.24 + $ 1.000.000 = $ 16.454.328.24
VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD O CUOTA VENCIDA
Es valor ubicado en la fecha del último pago, equivalente a toda la serie de pagos iguales y periódicos. En
forma matemática, es el valor final que resulta de sumar todos los valores llevados al futuro. Su fórmula para
este caso es:
Dónde:
Valor futuro = F

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EJEMPLO. Catalina deposita $ 400.000 cada fin de mes, durante 2 años, en una entidad financiera que paga
una tasa de interés del 4% mensual. Cuánto dinero tendrá acumulado al final de este tiempo?.
Datos:
Cuota mensual $400.000
Numero de cuotas mensuales n = 24
Tasa efectiva de interés i = 4%
Solución:





 
i
i n
1)1(
A=F = 




 
04.0
1)04.01(
400.000
24
= ,6515.633.041$=
04.0
)563304165.1(
400.000 



F = $ 15.633041.65
Al final de los dos años Catalina tendrá acumulada $ 15.633.041,65.
VALOR DE LA CUOTA VENCIDA EN FUNCIÓN DEL VALOR FUTURO
Conocidos el valor futuro equivalente de una serie de pagos iguales (F), la tasa de interés efectivo periódico (i)
y el número de pagos (n), se desea calcular el valor de la cuota igual y periódica. Su fórmula es la siguiente:
Dónde:
Valor futuro = F
EJEMPLO. Dayana desea saber, cuánto debe depositar al final de cada mes, durante dos años, en una
entidad financiera que reconoce una tasa de interés del 10% mensual para reunir la suma de $17.000.000?
Datos:
Tasa efectiva de interés mensual i = 10%
Numero cuotas mensuales n = 24

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Solución:





















)849732676.8(
1.0
000.000.17
1)1.01(
1.0
000.000.17
1)1( 24n
i
i
FA
A= $192.096.20
Dayana debe depositar al final de cada mes $192.096.20
NUMERO DE PAGOS O DE UNA ANUALIDAD VENCIDA EN FUNCION DEL (F)
Es el número de cuotas necesarias para amortizar una obligación. Para las anualidades vencidas, el tiempo de
la operación, medido en número de períodos, algunas veces coincide con el número de pagos, lo cual no
siempre se cumple. El número de cuotas o tiempo de negociación la podemos calcular a partir de la fórmula
de valor presente o de la fórmula del valor futuro, dependiendo de qué valor de ellos se conocen en la
operación. La fórmula es la siguiente:
Dónde:
Valor futuro = F
EJEMPLO. Cuántos depósitos mensuales vencidos de $560.000 se deben hacer en una institución financiera
que paga el 12% mensual, para tener un valor acumulado de $ 15.000.000
Datos
Cuota mensual A = $560.000
Tasa efectiva de interés n = 12%
Solución
)1(
)(
=n. *
iLog
LogAAiFLog


=
)12.01(
)000.560()000.56012.0000.000.15( *


Log
LogLog
=
)12.1(
)000.560()000.360.2(
Log
LogLog 
 =
049218022.0
748188027.5372912003.6 
= 612.6929921=
049218022.0
624723975.0
n. = 12.69299216 = 13 pagos mensuales.

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NUMERO DE PAGOS O DE UNA ANUALIDAD VENCIDA EN FUNCION DE (P)
Teniendo en cuenta el conocimiento del valor presente (P), las cuotas o anualidades (A) y la tasa de interés,
además de un modelo matemático tal como:
 








n
n
ii
i
)1(
1)1
A=P
A partir de esta expresión utilizando las propiedades de los logaritmos se puede calcular una nueva expresión
fórmula matemática que permita calcular el número de cuotas, que es la siguiente:
Dónde:
Valor presente =P
EJEMPLO. A Juan José el día de hoy le hacen un préstamo de $90.000.000 y se compromete a pagar cuotas
de $5.000.000 mensuales; la entidad financiera reconoce una tasa de interés de 1.5% mensual. Se desea
conocer el número de cuotas
Datos
P = $90.000.000
A = $5.000.000
i.= 1.5% mensual
Solución




)1(Log
P)i-A(LogA)(Log
n *
i )015.01(Log
)90.000.0000.015-000.000.5(Log)000.000.5(Log *


)015.1(Log
)000.650.3(Log)000.000.5(Log
n


22490.00646604
56292864.646.69897000
n


13768109,21
422490.00644660
90.13667713
n 
Aproximadamente 21.13768109 cuotas mensuales.

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