INGENERIA

1. Prof: Nancy Andrades
Integrales dobles

2. Cálculo III (A, C y E)
Repaso de la situación en una variable
Sea f, función continua y no negativa sobre [a,b] que se divide
en n subintervalos de igual longitud x. Si xj es el extremo
izquierdo del j-esimo subintervalo entonces, la integral de f en
[a,b] se define:
Gráficamente representa el área bajo la gráfica de f en [a,b]
F(a)
-
F(b)
dx
x
n
)
f(x
lim
b
a
f(x)
1
j
j
n


 



Δ
a b
xj xj+1

3. Cálculo III (A, C y E)
La integral doble
Sea f, continua en una región R del plano xy . Usando líneas
paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n
rectángulos de área A. Sea (xj,yj) un pto del j-esimo
rectángulo, entonces la integral doble de f sobre R es:
 




R
ΔA
n
lim
1
j
)
j
y
,
j
f(x
n
y)dA
f(x,
( xJ, xj+1)

4. Cálculo III (A, C y E)
Interpretación gráfica
La integral doble de una función no negativa en dos
variables se interpreta como el volumen bajo la superficie
z = f(x,y) y sobre la región R del plano xy.
Región R
z = f(x,y)

5. Cálculo III (A, C y E)
La integral doble de f sobre la región R, está dada por el
valor común de las dos integrales iteradas.
Donde a, b, c y d son los límites de integración de la región
R.
Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable
y se integra con respecto a la otra variable.
Cálculo de integrales dobles
 
 
 

b
a
d
c
d
c
b
a
R
y)dydx
f(x,
y)dxdy
f(x,
y)dA
f(x,

6. Cálculo III (A, C y E)
Propiedades

 
R
R
y)dA
f(x,
K
y)dA
K.f(x,
a)
 
 



1 2
R R
R
y)dA
f(x,
y)dA
f(x,
y)dA
f(x,
sobreponen
se
no
2
R
y
1
R
donde
,
2
R
1
R
R
Si
d)
 
 
 
R R
R
y)dA
g(x,
y)dA
f(x,
y)dA
g(x,
y)
f(x,
b)
 



R
0
y)dA
f(x,
R
y)
(x,
0,
y)
f(x,
Si
c) ,

7. Cálculo III (A, C y E)
Límites de integración
Secciones transversales verticales: La región R está limitada
por las gráficas de g1 y g2 en el intervalo [a, b]. Si R es
descrita por
R: a  x  b , g1(x)  y  g2(x)
y = g1(x)
y = g2(x)
a b
R
 
 
b
a
(x)
g
(x)
g
R
2
1
y)dydx
f(x,
y)dA
f(x,

8. Cálculo III (A, C y E)
Límites de integración
Secciones transversales horizontales: La región R está
limitada por las gráficas de h1 y h2 en el intervalo [c, d]. Si R
es descrita por
R: c  y  d , h1(y)  x  h2(y)
x = h1(x)
x = h2(x)
c
d
R
 
 
d
c
(y)
h
(y)
h
R
2
1
y)dxdy
f(x,
y)dA
f(x,