Taller de aplicación de funciones de variable real

1. CASO PROBLEMA EJE 3
SITUACIÓN SOCIO DEMOGRÁFICA
Población de un estado 𝑷( 𝒕) =
𝟏𝟎(𝒕−𝟏)
𝟐+( 𝒕−𝟏) 𝟐
+ 𝟐𝟎
1) Significado de las variables:
Variable P: Es la variable dependiente en la función de población. Depende de los que
tome t a lo largo del dominio de los reales. Determina la cantidad de población del estado
en el transcurso de los años t.
Variable t: La variable independiente de la función. Esta toma de manera indiscriminada
valores en el eje de las abscisas, marcando un comportamiento sobre la variable P que
depende del tipo de función
2) Grafica de la función
3) Población Máxima
a) Para encontrar analíticamente la población máxima, derivamos la función.
𝑷′( 𝒕) =
(𝟏𝟎( 𝒕− 𝟏))′( 𝟐 + ( 𝒕 − 𝟏) 𝟐)− (𝟏𝟎(𝒕 − 𝟏))(𝟐 + ( 𝒕 − 𝟏) 𝟐
)′
( 𝟐 + ( 𝒕 − 𝟏) 𝟐) 𝟐

2. 𝑷( 𝒕) =
( 𝟏𝟎)( 𝟐 + ( 𝒕 − 𝟏) 𝟐)− (𝟏𝟎(𝒕 − 𝟏))(𝟐(𝒕− 𝟏))
( 𝟐 + ( 𝒕 − 𝟏) 𝟐) 𝟐
Simplificando obtenemos:
𝑷( 𝒕) =
𝟏𝟎(𝟐 − ( 𝒕 − 𝟏) 𝟐
)
( 𝟐 + ( 𝒕 − 𝟏) 𝟐) 𝟐
Después de esto se iguala la función a 0 para encontrar los puntos donde la pendiente es 0.
𝟎 =
𝟏𝟎(𝟐 − ( 𝒕 − 𝟏) 𝟐
)
( 𝟐 + ( 𝒕 − 𝟏) 𝟐) 𝟐
Despejando la variable t obtenemos:
𝒕 = ±√𝟐 + 𝟏
Seleccionando el valor positivo se tiene:
𝒕 = 𝟐. 𝟒𝟏𝟒𝟐
Es decir, la población máxima se produce reemplazando el valor encontrado de t e la
función, entonces:
𝑷( 𝟐. 𝟒𝟏𝟒𝟐) =
𝟏𝟎( 𝟐. 𝟒𝟏𝟒𝟐 − 𝟏)
𝟐 + ( 𝟐. 𝟒𝟏𝟒𝟐 − 𝟏) 𝟐
+ 𝟐𝟎
𝑷( 𝟐. 𝟒𝟏𝟒𝟐) = 𝟐𝟑. 𝟓𝟑𝟓𝟓
La solución analítica da como resultado que, la población máxima es de p=23.5355 cuando
los años son iguales a t=2.4142.
b) En la gráfica del punto 2) en la parte se observa el zoom de la función y al lado derecho
del eje x se ve el punto máximo que corresponde con la información suministrada por la
solución analítica al valor máximo de la población.
4) Límite:
𝐥𝐢𝐦
𝒕→∞
(𝑷( 𝒕)) = 𝐥𝐢𝐦
𝒕→∞
(
𝟏𝟎( 𝒕 − 𝟏)
𝟐 + ( 𝒕 − 𝟏) 𝟐
+ 𝟐𝟎)
Apelando a los criterios de límite al infinito de funciones racionales, el caso cuando el
polinomio del denominador es de mayor grado que el del numerador, la función tenderá a
0 en elinfinito. Puesto que sesuma 20, eseseráel valor al que converge la función. Entonces
obtenemos que:
𝐥𝐢𝐦
𝒕→∞
(𝑷( 𝒕)) = 𝟐𝟎

3. SITUACIÓN CASERA
Función del volumen en la piscina respecto al tiempo
𝒗( 𝒕) =
√ 𝒕+ 𝟒 − 𝟐
𝒕 − 𝟐
Este tipo de funciones que contienen una asíntota vertical no se puede encontrar el límite.
Se puede observar, tanto gráficamente como por medio de la tabla que los límites laterales
de la función divergen (por la izquierda tiende hacia −∞ y por la derecha hacia ∞).
Por tanto no sepuede determinar según lafunción, cuales el volumen altranscurrir 2 horas,
por que no es una función de variable real, es decir no puede modelar el comportamiento
de un sistema físico.
-17.78 -22.27 -29.76 -44.74 -89.69 Ind 90.10 45.15 30.17 22.68 18.18
1.975 1.98 1.985 1.99 1.995 2 2.005 2.01 2.015 2.02 2.025
( )

4. SITUACIÓN LABORAL
El siguiente ejemplo es una aplicación sencilla de los conceptos de utilidad de un producto
a partir de sus gastos y sus ingresos. Donde la función que describe el costo del producto
que, en este caso son camisetas es:
Costos por camiseta:
𝒈( 𝒘) =
𝟑. 𝟐𝟓𝒘 + 𝟔. 𝟐𝟓
𝒘
Los ingresos a partir de la siguiente:
Ingresos:
𝒊( 𝒘) = 𝟖𝒘
1) La utilidad o beneficio de las camisetas se obtiene de la diferencia entre los ingresos por
la venta de los productos y los costos de la totalidad de los productos. Esto puede ser
descrito por la siguiente ecuación:
Utilidad:
𝑼( 𝒘) = 𝒊( 𝒘)− (𝒘)𝒈(𝒘)
Reemplazando las ecuaciones respectivamente obtenemos:
𝑼( 𝒘) = 𝟖𝒘 − (𝒘)(
𝟑. 𝟐𝟓𝒘 + 𝟔. 𝟐𝟓
𝒘
)
Por tanto, el beneficio por camiseta está determinado a partir de la siguiente ecuación:
𝑼( 𝒘) = 𝟒. 𝟕𝟓𝒘 − 𝟔. 𝟐𝟓
2) Para obtener un beneficio superior a 2.5 dólares, se iguala la ecuación a 2.5
𝟐. 𝟓 = 𝟒. 𝟕𝟓𝒘 − 𝟔. 𝟐𝟓
Solucionando la ecuación se obtiene un valor de w = 1.842. Es decir, el comerciante debe
vender mas 2 de camisetas para obtener beneficios superiores a 2.5 dólares.
3) Para encontrar el valor que cobra el proveedor por 5000 unidades, se debe usar la
ecuación de costos descrita anteriormente, que describe el costo de cada camiseta a partir
del volumen total, multiplicado por la cantidad solicitada. En esta ecuación se iguala w a
5000 y obtenemos:
𝑔(5000) = 3.25(5000)+ 6.25

5. 𝑔(5000) = 16243.75
Es decir, el valor que debe pagar al proveedor por 5000 camisetas es aproximadamente
16244 dólares.
SITUACIÓN CIENTÍFICA
1) Presión atmosférica a nivel del mar:
P(0) = 1.033
La manera a la que la presión aumenta dependiendo de la altura en Km es
0.9 del kilómetro anterior. Siguiendo este comportamiento podemos describir el
comportamiento por la siguiente expresión
La ecuación que describe la presión dependiendo de la altura es:
𝑷( 𝒌𝒎) = ( 𝟏. 𝟎𝟑𝟑)( 𝟎. 𝟗) 𝒌𝒎
Esta ecuación se puede reescribir de la siguiente manera sin alterar su naturaleza:
𝑷( 𝒌𝒎) = 𝟏. 𝟎𝟑𝟑( 𝟏. 𝟏𝟏)−𝒌𝒎
Se observa que el comportamiento es exponencial decreciente.
2) La presión a 5000 m de altura, haciendo la conversión a km da como resultado:
𝑷( 𝟓) = 𝟏. 𝟎𝟑𝟑( 𝟏. 𝟏𝟏)−𝟓
𝑷( 𝟓) = 𝟎. 𝟔𝟏𝟑 𝒌𝒈/𝒄𝒎 𝟐
3) Si la altura empezara a aumentar la presión tiende hacia 0, puesto que es una
exponencial decreciente
4) Si se desciende a una cima de 2000 m, realizando la conversión a km, a presión tenderá
a:
𝑷(−𝟐) = 𝟏. 𝟎𝟑𝟑( 𝟏. 𝟏𝟏) 𝟐
𝑷(−𝟐) = 𝟐. 𝟐𝟗𝟑 𝑲𝒈/𝒄𝒎 𝟐