1. LECTURA: EL PE SAMIE TO TÉC ICAS PARA CO TAR
MATEMÁTICO DE LOS IÑOS*
Contar oralmente ¿implica aptitudes
PRESE TACIÓ numéricas? ¿Qué técnicas de contar se
suelen desarrollar durante los años
De acuerdo con Baroody, el hecho de que el preescolares? ¿Podemos suponer que
niño sepa contar oralmente no garantiza los niños de educación especial
que pueda dar una respuesta satisfactoria adquirirán técnicas básicas para contar
cuando se le presenta un conjunto de de una manera informal? ¿Qué técnicas
elementos (por ejemplo ocho) y se le suelen requerir instrucción durante los
pregunta “¿Cuántos...hay?” De igual forma primeros cursos escolares?
si se le presentan dos conjuntos (8 y 9) se
muestra incapaz para identificar ¿Dónde a) El desarrollo de técnicas para
hay más? contar
Para que el niño pueda comparar dos
conjuntos (determinar, por ejemplo si un El caso de Alexi
conjunto de nueve elementos es “más” o
“menos” que otro conjunto de ocho) es
necesaria la integración de cuatro técnicas Hacia los veintiséis meses de edad,
de conteo que, según Baroody, se Alexi podía contar de palabra del 1 al
desarrollan jerárquicamente. 10 y había empezado a experimentar
con los números hasta el 20. Cuando se
- Serie numérica oral. Genera
le pidió que contara los tres puntos de
sistemáticamente el nombre de los
una formación triangular, Alexi señaló
números en un orden adecuado.
los puntos y soltó a toda prisa “1, 2, 3,
Enumerar o acción de contar
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Cuándo se le pidió
objetos. Las palabras (etiquetas) de
que contara tres puntos en fila, señaló al
la serie numérica deben aplicarse
azar y varias veces el conjunto mientras
una por una a cada objeto de un
decía “8, 9, 10”. Aun después de poder
conjunto. Regla del valor cardinal.
contar con exactitud conjuntos de hasta
La última etiqueta numérica
cinco objetos, Alexi se desconcertaba
representa el número total y
cuando se le preguntaba cuántos había
también es un número para contar.
contado. Si se le enseñaban dos
En las implicaciones educativas,
conjuntos (por ejemplo una tarjeta con
Baroody señala algunas dificultades
nueve puntos y otra con ocho) también
que tienen los niños para contar y
le sorprendía que se le pidiera que
ofrece sus posibles soluciones.
señalara la tarjeta que tenía más.
Finalmente propone una serie de
La técnica de Alexi para contar
juegos didácticos susceptibles de
oralmente no garantizaba una capacidad
ser empleados en el aula que
para contar con exactitud conjuntos de
permiten desarrollar las técnicas
para contar. objetos o para el empleo de otras
técnicas numéricas. Sin embargo, hacia
los cinco años de edad** los niños no
**
Las conductas que se describen más adelante
*
Arthur Baroody. “Técnicas para contar”, en: El se basan en las normas de la prueba Early
pensamiento matemático de los niños. Madrid, Mathematical Ability (Ginsburg y Baroody,
Ed. Visor, 1988. pp. 87-105. 1983) y representan la capacidad “media” de
un niño de 4 años y 11 meses.
100

2. sólo pueden contar de palabra casi hasta nombres de los números en el orden
29, sino que inmediatamente adecuado. A los dos años de edad,
determinan que °°° y *** son “tres”. Alexi ya había empezado a dominar la
Además para un niño típico de cinco serie numérica oral y, a veces, podía
años es vidente cómo se debe resolver el contar hasta 10 de uno en uno. Sin
problema de determinar cuál e dos embargo cuando se le pedía que contara
conjuntos (por ejemplo uno de nueve y objetos, aún no podía decir los números
otro de ocho) tiene más elementos: sólo en el orden correcto de forma coherente.
hay que contar cada conjunto y Por ejemplo a veces no empezaba a
comparar las cantidades resultantes. contar desde “uno”. Hacia los tres años
Después de contar cada conjunto de de edad, los niños suelen empezar a
puntos, la solución del problema contar un conjunto a partir de “uno” y al
también es fácilmente visible para los empezar párvulos ya pueden usar la
niños de cinco años: “El conjunto con 9 secuencia correcta para contar conjuntos
es más”. Por tanto, en cuestión de pocos de 10 elementos como mínimo (Fuson,
años los niños aprenden una variedad de Richards y Briars, 1982).
técnicas para contar y muchas maneras En segundo lugar las palabras
de aplicarlas (Fuson y Hall, 1983). Lo (etiquetas) de la secuencia numérica
complicado que pueda ser este deben aplicarse una por una a cada
desarrollo o en qué medida llegan a objeto de un conjunto. La acción de
darlo por sentado los adultos, queda contar objetos se denomina
revelado por un examen detallado de las enumeración. Aunque Alexi podía
técnicas mencionadas en el párrafo generar la serie numérica hasta 10
anterior. correctamente, no podía enumerar un
conjunto de nueve elementos, y ni
Una jerarquía de técnicas siquiera de tres, porque todavía no había
aprendido que debe aplicarse una, y
En su mayor parte, la capacidad de solo una, etiqueta a cada elemento de un
contar se desarrolla jerárquicamente conjunto. La enumeración es una
(Klahr y Wallace, 1973). Con la técnica complicada porque el niño debe
práctica, las técnicas para contar se van coordinar la verbalización de la serie
haciendo más automáticas y su numérica con el señalamiento de cada
ejecución requiere menos atención. elemento de una colección para crear
Cuando una técnica ya puede ejecutarse una correspondencia biunívoca entre las
con eficiencia, puede procesarse etiquetas y los objetos. Como los niños
simultáneamente o integrarse con otras de cinco años pueden generar
técnicas en la memoria de trabajo (a correctamente la serie numérica y
corto plazo) para formar una técnica aun señalar una vez cada uno de los
más compleja (por ejemplo Schaeffer, elementos de una colección, pueden
Eggleston y Scott, 1974). coordinar con eficacia las dos técnicas
Consideremos qué se necesita para para ejecutar el acto complejo de la
realizar la tarea aparentemente sencilla enumeración (al menos con conjuntos
de determinar si un conjunto de nueve de hasta 10 elementos).
puntos es “más” o “menos” que otro de En tercer lugar, para hacer una
ocho. Realizar esta comparación entre comparación, un niño necesita una
magnitudes numéricas requiere la manera conveniente de representar los
integración de cuatro técnicas. elementos que contiene cada conjunto.
En primer lugar la técnica más básica Esto se consigue mediante la regla del
es generar sistemáticamente los valor cardinal: la última etiqueta
101

3. numérica expresada durante el proceso y estarán listos para enfrentarse a
de enumeración representa el número nuevos desafíos.
total de elementos en el conjunto. En Algunos de ellos --sobre todo los que
otras palabras. Un niño de cinco años proceden de entornos con carencias, los
puede resumir la serie: 1, 2. 3..., 9”, con que tienen lesiones cerebrales o los
“nueve” y la serie “1, 2, 3..., 8” con mentalmente atrasados-- pueden no
“ocho”. Como Alexi no podía ni haber llegado a dominar estas técnicas
enumerar conjuntos, no había básicas y necesitarán una atención
descubierto que la última etiqueta de especial. En lo que resta de capítulo se
este proceso tiene un significado describirán con mayor detalle las cuatro
especial. A sus dos años de edad, Alexi técnicas básicas para contar y otras
todavía no asociaba la serie numérica técnicas más elaboradas que se
con la definición de la cantidad de un desarrollan durante las primeras etapas
conjunto. de la escolarización.
En cuarto lugar, las tres técnicas Contar oralmente
acabadas de describir son
indispensables para comprender que la Serie numérica. A una edad tan corta
posición en la secuencia define la como los dieciocho meses, los niños
magnitud. A los dos años de edad, los empiezan a contar oralmente de uno en
números no definían tamaños relativos uno (“1, 2, 3”). La mayoría de los niños
para Alexi. Sin embargo los niños de dos años pueden contar “1, 2” pero
pequeños llegan a aprender, tarde o luego empiezan a omitir términos
temprano, que la serie numérica se (Fuson et al, 1982). Al principio los
asocia a una magnitud relativa. Aun los niños pueden aprender partes de la serie
niños muy pequeños pueden realizar numérica hasta 10 para unirlas más
comparaciones gruesas entre adelante. Por ejemplo Alexi (hacia los
magnitudes como “10 es más grande veinte meses de edad) empezó a usar, de
que 1”, quizá porque saben que el 10 una manera regular la serie “8, 9, 10”.
viene mucho más tarde en la secuencia Más adelante añadió “2, 3, 4” para
de enumeración. Hacia los cinco años hacer “2, 3, 4, 8, 9, 10”.
los niños pueden llegar a hacer con Después añadió el 5 y el 6 y,
rapidez comparaciones precisas entre finalmente, el 1 y el 7 para completar la
magnitudes de números seguidos como serie hasta 10. A los veintiséis meses
el 8 y el 9 porque están muy Alexi añadió los números de dos cifras
familiarizados con las relaciones de 19 y 20 y, muy poco después, insertaba
sucesión numérica (“cuando me pongo la ristra “11, 12, 13” entre el 10 y el 19.
a contar, el 9 viene después del 8, así Contar oralmente suele equipararse
que el 9 es más grande”). con “contar de Memoria”. Como ilustra
Por tanto contar para determinar que el caso de Alexi, contar de memoria es
un conjunto de nueve puntos es más que una buena descripción de las primeras
un conjunto de ocho no es, técnicas orales que emplean los niños
cognoscitivamente hablando, un acto para contar. Su manera de contar era,
trivial. Aunque los adultos pueden dar simplemente, una cantinela verbal sin
por sentadas las cuatro técnicas sentido. La serie numérica inicial de
implicadas, éstas constituyen un reto Alexi parecía no ser más que una
intelectual imponente para los niños de cadena de asociaciones aprendidas de
dos años de edad. Cuando lleguen a los memoria y enlazadas gradualmente
cinco años la mayoría de los niños entre sí. Sin embargo contar de
habrán dominado estas técnicas básicas memoria es una descripción menos
102

4. adecuada de los posteriores intentos de términos como “diecicinco” por 14,
contar. Con demasiada frecuencia este “diecidiez” por 20, o “veintidiez,
término se emplea para indicar que los veintionce” para 30 y 21 (Baroody y
niños aprenden toda la serie numérica Ginsburg 1984; Baroody y Snyder,
por memorización. Aunque la 1983; Ginsburg, 1982 b). Estos errores
memorización indican claramente que los niños no se
desempeña un papel determinado, sobre limitan a imitar a los adultos, sino que
todo durante las etapas iniciales, el tratan de construir sus propios sistemas
aprendizaje regido por reglas tiene una de reglas (Baroody y Ginsburg, 1982).
importancia fundamental para ampliar Se trata de errores razonables porque
esta serie. son ampliaciones lógicas, aunque
incorrectas, de las pautas de la serie
numérica que el niño ha abstraído. Así,
Aunque es probable que los términos aun los niños mentalmente atrasados
hasta el 15** se aprendan de memoria, la parecen ser capaces de ver, emplear y, a
mayor parte de la serie numérica veces, aplicar mal las pautas de la serie
posterior puede generarse mediante numérica.
reglas (Ginsburg, 1982). Los restantes Aunque la mayoría de los niños que
números hasta el 20 pueden generarse se acaban de incorporar a la escuela ya
continuando con la secuencia original hacen progresos con la parte de la serie
(6, 7, 8, 9) y anteponiendo el “10 y” numérica regida por reglas, muchos no
(por ejemplo “dieciséis, diecisiete...”). se dan cuenta de que las decenas (“10,
Los números de la segunda decena (21, 20, 30..., 90) siguen una pauta paralela a
22, 23..., 29) se pueden generar la secuencia de las unidades (Fuson et
mediante la regla de anteponer “20” a al, 1982). Aún no se sabe con certeza
cada una de las unidades (del 1 al 9) por cómo llegan los niños a resolver el
una. En realidad para contar de uno en “problema de las decenas”, es decir su
uno hasta 99 el niño sólo tiene que orden correcto para contar hasta 100 de
aprender esta regla y el orden de las uno en uno. Una hipótesis es que los
decenas (10, 20, 30..., 90). niños aprenden las decenas de memoria
Los errores que cometen los niños al en forma de extremos finales de cada
contar son una buena señal de que serie (por ejemplo el niño forma la
existen reglas que subyacen a su cuenta asociación entre “29-30” ó “39-40”).
oral, sobre todo de 20 para arriba. Hay algunos datos que respaldan esta
Muchos niños —incluyendo los que conjetura. Algunos niños no pueden
presentan retraso mental-- se inventan contar por decenas pero pueden contar
hasta 30 ó 39 porque parecen haber
aprendido que 30 va después de 29,
**
En el original se hace referencia al número 13. pero no han aprendido qué va después
Debido a las características que presentan los de 39 (Baroody y Ginsburg, 1984). Otra
nombres de los números 11 a 19 en inglés, se hipótesis
ha optado por adaptar la traducción a las es que los niños aprenden las decenas
características de los nombres de estos (contar de diez en diez) de memoria y
números en castellano. Véase también la nota emplean este conocimiento para rellenar
número 12 (N. del T.). la secuencia de contar de uno en uno.
Otra hipótesis, completamente distinta
es que los niños aprenden las decenas
como una versión modificada de la
secuencia del 1 al 9 y emplean esta
103

5. pauta (repetir la secuencia de las De no ser así, Alison no lo podía
unidades y añadir-enta) para rellenar la hacer o sólo lo hacia a veces:
cuenta de uno en uno. Un ejemplo de
esta última hipótesis es el caso de Teri, MADRE: ¿Qué número va después
una niña levemente atrasada que cuando del ocho?
llegaba al final de una decena (por ALISON: El ocho
ejemplo “. . . 58, 59”) se ponía a contar MADRE: ¿Y después del dos?
para sí para averiguar la siguiente ALISON: El nueve
decena (por ejemplo “1, 2, 3, 4, 5, 6, -- MADRE: ¿Y después del seis?
ah..., sesenta”) (Baroody y Ginsburg, ALISON: (No responde)
1984). Luego iba repitiendo este MADRE: (Un poco más tarde): ¿Qué
procedimiento hasta llegar a 100. va después del ocho?
En realidad la mayoría de los niños ALISON: Nueve, diez
pueden aprender de memoria algunas MADRE: ¿Y después del dos?
decenas (hipótesis 1 y 2) y emplear ALISON: El cuatro
reglas para generar el resto (hipótesis
3). Esto tiene sentido porque la mayoría Hacia los cuatro o cinco años de
de las decenas sigue una pauta y sería edad, los niños ya no necesitan empezar
ineficaz aprenderlas todas de memoria. desde el 1 para responder de manera
Sin embargo se puede tener que coherente y automática preguntas
aprender de memoria la primera parte, relativas a números seguidos, al menos
incluyendo quizá algunos casos hasta cerca de 28 (Fuson et al., 1982;
regulares como 40, antes de descubrirse Ginsburg y Baroody, 1983). Uno de los
la pauta. Por tanto aprender las decenas desarrollos que pueden producirse un
(contar de diez en diez) puede ser algo poco más tarde es la capacidad de citar
parecido a aprender a contar de uno en el número anterior.
uno: al principio los niños adquieren Cuando los niños captan las relaciones
una parte por memorización y luego entre un número dado y el anterior, ya
emplean una pauta para ampliar la está preparado el terreno para contar
secuencia. progresivamente. Además los niños de
Elaboraciones de la serie numérica. edad escolar aprenden gradualmente a
Con la experiencia, los niños aprenden a contar por grupos. Entre las más
usar su representación mental de la serie precoces de estas nuevas pautas se
numérica con más elaboración y encuentran contar por parejas, de cinco
flexibilidad (Fuson et al., 1982). A en cinco y de diez en diez.
medida que se van familiarizando más y
más con la serie numérica correcta, los umeración
niños pueden citar automáticamente el
número siguiente a un número dado. A Enumeración. Los niños deben
los veintiséis meses, Alison ya podía aprender que contar objetos implica
“hacerlo si se le “daba el pie”. algo más que agitar un dedo señalando
un conjunto o deslizarlo por encima de
MADRE: Alison, ¿qué número va otro mientras pronuncian con rapidez la
después del 9? serie numérica. Aunque los niños
ALISON: (No responde) pequeños aprenden con rapidez al
MADRE: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y… menos la parte memorística de la serie
ALISON: 10 numérica (véase, por ejemplo, Fuson y
Hall, 1983) y no tienen problemas para
señalar los objetos de uno en uno
104

6. (Beckwith y Restle, 1966), coordinar contar, alzó los hombros y volvió a
estas dos técnicas para enumerar un enumerarlas otra vez. Como la
conjunto no es una tarea fácil. En enumeración se contempla como un fin
realidad la enumeración --sobre todo de en sí mismo y no como un medio para
conjuntos con más de cuatro elementos- llegar a un fin, los niños muy pequeños
- sólo llega a hacerse automática de una pueden no llegar a comprender el
manera gradual (Beckwith y Restle, sentido de preguntas como “¿Cuántos
1966; Gelman y Gallistel, 1978, y hay? ni preocuparse de recordar los
Schaeffer et at., 1974). Con colecciones resultados de lo que han contado.
grandes y, sobre todo, desordenadas, los Cuando tienen cerca de dos años,
niños tienen que aprender estrategias muchos niños desarrollan una
para llevar la cuenta de los elementos conciencia primitiva de que contar es un
que han contado y los que no. Cuando procedimiento empleado para asignar
los elementos se ponen en fila, hace números a colecciones (para responder
falta poco esfuerzo para no perder la a preguntas del tipo “¿cuántos hay?”).
cuenta si se empieza desde uno de los Ahora ya realizan el intento de recordar
extremos. Si la colección está colocada lo que han contado. Sin embargo como
en círculo, el niño sólo necesita recordar no se dan cuenta de que el proceso de
el elemento por el que ha empezado a enumeración se puede resumir,
contar. Con distribuciones responden a este tipo de preguntas,
desordenadas, el niño debe recordar qué repitiendo la serie numérica. Después de
elementos ha etiquetado y cuáles “soltar” varios términos (“7, 8, 9”) o de
quedan por etiquetar. Esto se ve repetir el mismo (“9, 9, 9”) ante un
facilitado por el empleo de un método conjunto de tres objetos, un niño de dos
sistemático (por ejemplo contar de años puede designar este conjunto
izquierda a derecha y de arriba abajo) o volviendo a contar (por ejemplo”7, 8,
separando los elementos etiquetados de 9” ó “9, 9, 9”) (Wagner y Walters,
los no etiquetados. Fuson (en prensa) 1982). Aun después de haber aprendido
encontró que muchos de sus sujetos de a enumerar correctamente, los niños
párvulos no empleaban la estrategia de pueden no darse cuenta de que es
crear un montón aparte con los innecesario recitar otra vez toda la
elementos ya contados. secuencia cuando se les pregunta por
Regla del valor cardinal. Al una cantidad. Por ejemplo después de
principio los niños pueden no darse enumerar cuatro estrellas que había en
cuenta de que la enumeración sirve para una tarjeta, George (sin volver a mirar
enumerar. la tarjeta) respondió a la pregunta
Cuando se les pide que cuenten un “¿cuántas estrellas hay?” con: “Pues
conjunto, los niños se limitan a hay 1, 2, 3, y 4 estrellas”. Sin embargo a
enumerarlo y esperan que esto, en sí una edad tan corta como los dos años y
mismo, satisfaga al adulto (cosa que medio de edad, algunos niños descubren
ocurre a veces). Si se les pregunta el “atajo” consistente en recitar la
cuántos objetos acaban de contar, última etiqueta del proceso de
vuelven a enumerar todos los elementos enumeración para indicar la cantidad.
del conjunto. Por ejemplo Ida, una niña En el fondo la regla del valor cardinal
de tres años de edad, enumeró cuatro traduce el término aplicado a un
estrellas (“1, 2, 3, 4”) sin hacer ningún elemento determinado de un conjunto
intento serio de emplear o recordar la (el último) al término cardinal que
información. Cuando se le preguntó representa el conjunto entero.
cuántas estrellas había acabado de Regla de la cuenta cardinal
105

7. La regla inversa a la del valor una razón para tomar nota del objetivo
cardinal es la regla de la cuenta en la memoria de trabajo y constituye la
cardinal. Esta regla específica que un base para detener el proceso de
término cardinal como “5” es la etiqueta enumeración (Baroody y Mason, 1984).
asignada al último elemento cuando se Por ejemplo, si se pide que separe tres
enumera un conjunto de cinco objetos lápices tiene que darse cuenta de que
(Fuson y Hall, 1983). Parece que los para realizar la tarea es importante
niños tienen que aprender que un recordar “tres” y que debe parar de
término como cinco es al mismo tiempo contar lápices cuando llegue a la
el nombre de un conjunto (número etiqueta “tres”.
cardinal) y un número para contar. Comparación de magnitudes
Consideremos el caso de un niño al que
se da un conjunto de cinco canicas junto Cuando tiene unos tres años de edad,
con la consigna: “Aquí hay cinco los niños descubren que los términos
canicas; pon cinco canicas en la taza”. para contar más altos se asocian a
El niño que no aprecia la regla de la magnitudes superiores (Wagner y
cuenta cardinal tiene que ponerse a Walters, 1982). Así se dan cuenta de
contar las canicas a medida que las va que “dos” no sólo sigue a “uno” sino
soltando en la taza. que también representa una cantidad
Este niño no puede prever que la mayor. Hacia los tres años y medio, los
etiqueta cinco empleada para designar niños suelen apreciar que “tres” es
el conjunto es la misma que se debe mayor que “dos” (Schaeffer et al.,
aplicar al resultado de contar el 1974). Partiendo de estos datos, los
conjunto. En cambio el niño que da por niños de cerca de cuatro años de edad
sentada la regla de la cuenta cardinal se parecen descubrir una regla general: el
limita a colocar todo el conjunto en la término numérico que viene después en
taza sin contar. la secuencia significa “más” que el
Separación. Contar (separar) un término de un número anterior. Aún
numero concreto de objetos es una antes de entrar en la escuela, los niños
técnica que empleamos a diario (por parecen usar su representación mental
ejemplo “Dame tres lápices”, “Me de la serie numérica para hacer
quedaré con cuatro camisas”, “Toma comparaciones toscas, pero eficaces,
chico clavos”). Sin embargo no se trata entre magnitudes, es decir, para
de una tarea cognoscitiva sencilla comparar con rapidez y exactitud dos
porque implica: números bastante separados entre sí
a) observar y recordar el número de dentro de la secuencia (por ejemplo el 3
elementos solicitado (el objetivo); y el 9, ó el 2 y el 8) (Resnick, 1983). A
b) etiquetar cada elemento separado medida que la relación “el siguiente de”
con una etiqueta numérica, y c) se va haciendo automática, los niños
controlar y detener el proceso de pueden llegar a ser capaces de hacer
separación. En otras palabras se comparaciones entre magnitudes más
requiere almacenar el objetivo en la próximas (entre números seguidos). En
memoria de trabajo, un proceso de realidad, cuando la mayoría de los niños
enumeración y, al mismo tiempo, ir empiezan a asistir al parvulario ya
comparando los números del proceso de pueden realizar con bastante precisión
enumeración con el número almacenado comparaciones entre números
y detener este proceso cuando se llegan adyacentes hasta el 5 e incluso hasta el
a igualar (Resnick y Ford, 1981). La 10.
regla de la cuenta cardinal ofrece al niño
106

8. b) Implicaciones educativas: sustituir 30 por “veintidiez”. Se trata de
Dificultades para contar y soluciones una señal prometedora porque indica el
reconocimiento de una pauta numérica
Contar oralmente y constituye un intento activo, por parte
del niño, de tratar con lo desconocido en
Serie numérica. La mayoría de los función de las reglas o de la
niños, incluyendo los que pertenecen a comprensión que ya tiene. Cuando un
minorías y a clases sociales niño comete un error al aplicar una
desfavorecidas, reciben una exposición regla, el maestro puede aprovechar el
intensa a la primera parte --la conocimiento que ya tiene diciéndole,
memorística-- de la serie numérica por por ejemplo: “Otro nombre para
parte de familiares, amigos, personal de veintidiez es 30”. Se trata de una
guardería, la televisión, etc., antes de manera constructiva de corregir al niño
llegar a la escuela. Si un niño que acaba porque el maestro aprecia su capacidad
de incorporarse al jardín de infancia para pensar sin dejar de ofrecerle el
manifiesta incapacidad para generar la feedback necesario para su desarrollo
secuencia memorística hasta un mínimo posterior.
de 10, puede dar señal de un problema
grave y de la necesidad de una Ejemplo 6.1. Empleo de pautas par
intervención de apoyo inmediata e enseñar las decenas
intensiva (Baroody y Ginsburg, 1982 b).
Aunque se dan grandes diferencias Aún los niños algo retrasados pueden
individuales el dominio de la parte beneficiarse de la instrucción que
memorística de la serie numérica no explota las pautas subyacentes a la serie
debería darse por sentado en niños numérica. Tomemos el caso de Mike,
atrasados del ciclo medio (Baroody y un hombre de veinte años de edad con
Ginsburg, 1984). La mayoría de los un CI de 40. Mike trataba de aprender
niños de cuatro y medio a seis años de cómo decir la hora ajustándola a los
edad pueden llegar a contar hasta 29 ó cinco minutos más próximos, pero
30. Sin embargo, y dado que todavía no como no conocía las decenas superiores
han resuelto el problema de las decenas, a 30 no podía pasar de 35. Después de
muchos de ellos son incapaces de 35 se limitaba a repetir expresiones
ampliar la parte regida por reglas más usadas previamente (por ejemplo 5, 10,
allá de estas cifras. Muchos niños 15, 20, 25, 30, 35, 30). Para establece
pequeños con retraso mental necesitarán una conexión entre la secuencia de las
ayuda para llegar a dominar incluso la unidades y las decenas, la educadora de
primera parte de la secuencia regida por Mike escribió los números del 1 al 6 en
reglas (del 16 al 19 y del 20 al 29). una tarjeta. Debajo de cada cifra
A partir del 15, aproximadamente, la escribió la decena correspondiente y le
enseñanza de la serie numérica no explicó que podía usar los primeros
debería insistir en la memorización. En números que empleaba para contar para
cambio se debería animar a los niños a averiguar las decenas. “¿Ves?” El 1 es
buscar y discutir las pautas subyacentes como el 10, el 2 corno el 20, el 3 como
a la serie numérica. En algunos casos el el 30, el 4 como el 40, el 5 como el 50 y
maestro puede tener que dar “pistas” o el 6 como el 60”. Mike usó la lista
ayudar a que las pautas se hagan numérica de esta tarjeta para contar de
explícitas. (Véase el ejemplo 6.1). cinco en cinco y al ver que con ella
Además, es positivo que los niños podía expresar todas las horas del reloj
cometan errores al aplicar reglas como se puso tan contento que pidió más
107

9. copias de la tarjeta para usarlas en clase deben operar sobre la serie numérica en
y en casa. Los siguientes pasos se dirección opuesta la seguida durante su
encaminaron a hacer que Mike aprendizaje. Además pues que el
determinara la siguiente decena usando concepto de anterior sea más difícil de
mentalmente la secuencia para contar y comprender que el de siguiente. Por
a que practicara contando de diez en tanto, al principio lo mejor sería
diez y de cinco en cinco hasta que estas concentrar la enseñanza de apoyo en el
técnicas se hicieran automáticas. Al número siguiente. Esta enseñanza
final Mike decía en seguida la hora sin debería empezar con la parte más
necesitar la tarjeta. familiar de la secuencia numérica (del 1
La educación de Mike y la recopilación al 4 ó al 5).
del caso se deben Cathy A. Mason. Además si el niño puede leer las cifras
Los obstáculos más frecuentes para los se puede empezar con actividades en las
niños, sea cual sea su capacidad mental, que intervenga una representación
son los nombres irregulares de los concreta de la serie numérica (una lista
números 14 y 15 y de las decenas*** numérica).
(por ejemplo Baroody y Sidney, 1983 y Una vez que el niño ha comprendido la
Fuson et al., 1982). Como 14 y 15 son cuestión relativa al número siguiente
una excepción en la pauta de (anterior) y puede da respuestas con
elaboración, es frecuente que sean los facilidad mediante el empleo de una
últimos números que se aprenden hasta lista numérica, puede pasar a
el 19. Algunos niños simplemente se los actividades sin lista numérica que le
saltan (“...13, 16,.....) o los cambian por exijan determinar mentalmente la
otro (“...13, 16, 16, 16...”). respuesta.
Un diagnóstico expeditivo, el empleo Contar regresivamente desde 10
de modelos y la práctica pueden depende del conocimiento de las
establecer la secuencia adecuada como relaciones existentes entre un número y
un hábito antes de que se instaure una su anterior, y es una técnica oral
secuencia incompleta o incorrecta. relativamente difícil. Con todo, suele
Elaboración de la serie numérica. ser dominada por los niños cuando
Cuando están en párvulos, los niños no llegan a primer curso (Fuson et al.,
deberían tener problemas para citar el 1982; Ginsburg y Baroody, 1983).
número siguiente a otro, y ni siquiera el Contar regresivamente desde 20 es una
anterior, al menos hasta el 10 (Fuson et técnica especialmente difícil y no suele
al., 1982; Ginsburg y Baroody, 1983). dominarse hasta poco antes del tercer
Los niños de bajo rendimiento y con curso. Los maestros de educación
retraso mental puede que no sean especial deben esperar muchas
capaces de citar el número siguiente y dificultades con las dos técnicas. La
quizá deban empezar a contar desde el 1 enseñanza de apoyo puede empezar
o hacer conjeturas. Es probable que haciendo que el niño lea una lista
citar el número anterior sea numérica hacia atrás (de derecha a
relativamente difícil porque los niños izquierda). Con los niños que dominan
o han dominado el número siguiente, se
puede tapar la lista numérica dejando a
***
la vista el número de partida. Entonces,
Se ha hecho una adaptación al castellano de a medida que el niño va contando hacia
las dificultades que, en el original, se refieren al atrás, se pueden ir destapando
nombre de ciertos números en inglés. Véase sucesivamente los números menores.
también la nota número 12. (N. de T.). Este procedimiento confirma las
108

10. respuestas correctas y ofrece un contando los discos de uno en uno.
feedback corrector para las respuestas Comprobó el resultado de contar la
incorrectas. primera pila de uno en uno con el
Para contar a intervalos de cinco número de la primera tarjeta y encontró
como mínimo, puede animarse a los que, en ambos casos, e1 resultado era
niños a que empleen la secuencia “5”. Al continuar contando de uno en
familiar de contar de uno en uno, pero uno la segunda pila, encontró que el
susurrando los números intermedios y resultado coincidía con el número de la
destacando los que forman la pauta. Por segunda tarjeta (10), y así
ejemplo, para aprender a contar de dos sucesivamente. Mientras Josh iba
en dos, puede decirse al niño que cuenta contando de uno en uno, la educadora
así: “uno (en voz baja), dos (en voz recalcaba el número final de cada grupo
alta), tres (en voz baja, cuatro (en voz (5, 10, 15, etc.) diciéndolo en voz alta
alta)”. Si hace falta puede empezarse con él. Luego Josh se inventó un juego
con una lista numérica para aligerar el de adivinar en el que se tapaba los ojos,
esfuerzo de expresar el término correcto la educadora tomaba una tarjeta (por
y permitir que el niño se concentre en la ejemplo la del 15) y Josh tenía que
pauta. En el ejemplo 6.2 se muestra adivinar de qué número se trataba.
otro método para contar a intervalos a Hacia la cuarta sesión ya podía contar
partir de la secuencia familiar para hasta 30 de cinco en cinco y sin ayuda.
contar de uno en uno. El uso de objetos reales y la secuencia
Ejemplo 6.2. Enseñanza de contar a para contar de uno en uno hicieron que
intervalos contar a intervalos fuera, para Josh, algo
Se puede hacer que contar a comprensible e interesante.
intervalos tenga significado para los La educación de Josh y la recopilación
niños relacionándolo con el del caso se deben a Cathy A. Mason.
procedimiento familiar de contar
objetos reales de uno en uno. Josh, un umeración
adolescente con retraso moderado,
estaba aprendiendo a contar de cinco en Enumeración. Cuando los niños
cinco. Su educadora le había dicho que llegan al jardín infancia suelen ser
colocara unos discos de plástico de bastante competentes para contar
color que le gustaban mucho en pilas de conjuntos de uno a cinco objetos, y la
a cinco y después le ayudó a contarlos mayor de los niños de cinco años
de cinco en cinco. Luego hizo que Josh enumera con exactitud hasta 20 objetos
los desparramara y los contara de uno (Fuson, en prensa). Por tanto, un niño
en uno. Josh se quedó muy sorprendido que empieza el curso de párvulos
al ver que obtenía el, mismo resultado. presenta dificultades con conjuntos de
Luego comprobó la validez general de uno a cinco elementos, es que necesita
este descubrimiento con distintos de inmediato una atención individual. El
números de pilas. En la sesión siguiente, niño que no haga ningún intento de
Josh insistía en repetir el experimento etiquetar cada objeto de un conjunto,
por su cuenta. por pequeño que éste sea, con una
Durante la tercera sesión, Josh pidió palabra para contar (soltando al azar
tarjetas con números (5, 10, 15, 20, 25, palabras para contar mientras desliza el
etc.) y la emparejó con sus pilas. A dedo por encima de los objetos) ni de
continuación añadió una nueva etapa a llevarla cuenta de los objetos contados y
su proceso de comprobación: leer los sin contar (etiquetando los objetos del
números de las tarjetas a medida que iba conjunto de una manera totalmente
109

11. asistemática) presenta graves problemas de enumeración de los alumnos que
(Baroody y Ginsburg, 1982 b). tengan alguna dificultad.
Como la enumeración requiere la
coordinación de dos subtécnicas, los Si un niño tiene problemas para
errores pueden deberse a tres causas: ejecutar con eficacia alguna de estas
a) generar una serie numérica subtécnicas, es probable que se den
incorrecta (errores de secuencia); b) errores de coordinación. Por ejemplo un
llevar un control inexacto de los niño que tiene que detenerse y pensar
elementos contados y no contados qué viene después del 3 cuando cuenta
(errores de partición), y c) no coordinar un conjunto de cinco elementos, puede
la elaboración de la serie numérica y el olvidar por dónde iba: 1 (señala el
proceso de control de los elementos primer elemento), 2 (señala el segundo),
contados y no contados (errores de 3 (señala el tercero), a ver, a ver, 4
coordinación) (Gelman y Gallistel, (señala el quinto elemento). Igualmente
1978). si un niño tiene que dedicar mucha
En la figura 6.1 se muestran algunos atención para no perderse, puede
ejemplos de cada tipo de error. En equivocarse (por ejemplo saltarse un
ocasiones los niños pueden tener un número). Fuson y Mierkiewicz (1980)
desliz al generar una serie numérica, encontraron que los niños pequeños
pero si los errores de secuencia son tendían a cometer errores de
sistemáticos (por ejemplo etiquetar coordinación a medio contar.
sistemáticamente conjuntos de 13 y 14 Los errores de coordinación también
elementos con 13) es señalar de que pueden darse al principio o al final del
hace falta una enseñanza de apoyo proceso de enumeración (Gelman y
orientada a reforzar la técnica necesaria Gallistel, 1978). Algunos niños tienen
para contar oralmente. El niño que dificultades para empezar las dos
comete con regularidad errores de subtécnicas al mismo tiempo. En
partición como pasar algún elemento consecuencia señalan el primer
por alto o contarlo más de una vez, debe elemento, pero no lo etiquetan o
aprender estrategias de control más empiezan a etiquetar demasiado pronto
eficaces. (por ejemplo dicen «1» sin señalar el
En la figura 6.1 se puede observar que primer elemento, que a continuación
hay tipos de errores muy distintos que recibe la etiqueta «2»). A veces los
pueden producir las mismas respuestas. niños tienen dificultades para acabar
Por ejemplo el doble etiquetado (señalar con las dos técnicas coordinadas y
un objeto una vez y asignarle dos señalan, pero no etiquetan, el último
etiquetas), al igual que contar un mismo elemento o continúan etiquetando
objeto más de una vez, aumenta en una después de haber señalado el último
unidad el número de elementos de un elemento. Los niños mentalmente
conjunto. Sin embargo el doble retrasados parecen ser propensos a
etiquetado es un error de coordinación y cometer errores de coordinación
no de partición. En realidad se pueden (Baroody y Ginsburg, 1984).
combinar varios errores para producir El <frenesí> y <pasar de largo> son
una respuesta correcta. Como las dos graves errores de enumeración. En
respuestas incorrectas pueden el primero el niño empieza con una
producirse de varias maneras y corno, correspondencia biunívoca, pero no la
matemáticamente, dos errores no mantiene hasta el final, y en el segundo
equivalen a un acierto, es importan de no intenta establecer la correspondencia
que los maestros observen la actividad al empezar o acabar el proceso de
110

12. enumeración (Fuson y Hall. 1983). El contado». Si un niño repite toda la serie
frenesí puede darse como resultado de numérica empleada en el proceso de
no controlar los elementos etiquetados y enumeración, se le puede decir que
no etiquetados (error de partición), no existe un atajo: <Deja que te enseñe una
coordinar la cuenta oral y la acción de manera más fácil. Después de contar me
señalar (error de coordinación) o ambos vuelves a decir el último número que
a la vez. (Véase la figura 6.1). Pasar por hayas dicho y así sabré cuántas cosas
alto comporta no hacer ningún intento has contado>. A veces es útil que el
de controlar o coordinar la serie maestro demuestre el proceso mientras
numérica con la acción de señalar cada <piensa en voz alta>:
elemento. < ¿Cuántos dedos tengo levantados?
Con los niños que «pasan por alto» Voy a contarlos, a ver. Uno, dos, tres,
algún elemento, la enseñanza de la cuatro. Vaya, el último número que he
enumeración debe destacar: a) contar dicho es cuatro, así que tengo cuatro
despacio y con atención; b) aplicar una dedos levantados>.
etiqueta a cada elemento; c) señalar Regla de la cuenta cardinal.
cada elemento una vez y sólo una, y d) Los niños que empiezan la escuela
contar organizadamente para ahorrar suelen dar por sentada esta noción más
esfuerzo en el control. Con elementos avanzada del valor cardinal; muchos
fijos, el control de los objetos contados niños de educación especial no lo hacen
y los que quedan por contar se puede así. (Baroody y Mason, 1984). Esta
facilitar con estrategias de aprendizaje regla puede enseñarse mediante un
como empezar por un lugar bien procedimiento de dos etapas concebido
definido y continuar sistemáticamente por Secada, Fuson y Hall (1983).
en una dirección (por ejemplo de (Véase la figura 6.2.). La primera etapa
izquierda a derecha). Una estrategia consiste en presentar un conjunto al
adecuada para contar elementos móviles niño e indicar (verbalmente y mediante
es separar claramente los elementos un número escrito) la designación
contados de los que quedan por contar. cardinal del conjunto. El maestro pide al
Regla del valor cardinal. Cuando niño que cuente el conjunto y observe
llegan a párvulos los niños aplican que el resultado de contarlo coincide
rutinariamente la regla del valor con la designación cardinal. Para la
cardinal a conjuntos aún mayores segunda etapa, el maestro presenta otro
(Fuson, Pergament, Lyons y Hall, conjunto.
1985). Si un niño de esta edad no lo Se le vuelve a dar al niño la
puede hacer es señal de que tiene graves designación cardinal y se le pide que
problemas. cuente los elementos del conjunto. Sin
Aunque muchos niños mentalmente embargo antes de que acabe de contar el
retrasados pueden aprender maestro le pide al niño que prediga el
espontáneamente la regla del valor resultado.
cardinal, otros necesitan una enseñanza Separación. Los niños suelen llegar a
explícita. Si un niño simplemente párvulos pudiendo separar con precisión
adivina el valor cardinal de un conjunto al menos conjuntos de pequeño tamaño.
que acaba de contar o vuelve a Si un niño es incapaz de separar hasta
enumerar el conjunto, se le puede cinco objetos cuando se le pide, es que
explicar la regla del valor cardinal de la necesita una enseñanza de apoyo
siguiente manera: «Cuando cuentes, intensiva. Muchos niños con
recuerda el último número que dices deficiencias mentales tienen dificultades
porque así sabrás cuántas cosas has con esta tarea (Baroody y Ginsburg,
111

13. 1984; Baroody y Snyder 1983; Spradlin. 1982) y algunos niños deficiente
Cotter Stevens y Friedman, 1974) y mentales (Baroody y Ginsburg, 1984)
necesitan una enseñanza especial. tienen problemas con esta tarea aun
Uno de los errores más comunes cuando parecen recordar el objetivo. Por
cuando se retiran objetos de un conjunto ejemplo cuando se pidió a un niño,
es «no pararse», es decir, no detener el Fred, que quitara tres objetos de un
proceso de contar cuando se ha llegado montón de cinco, se limitó a contarlos
al objetivo. A Matt, un niño deficiente todos: «1, 3, 4, 6, 11 (y después,
mental, se le enseñaron ocho lápices y volviendo a señalar el último elemento),
se le pidió: «Toma cinco para dárselos 3> pareciendo que había recordado el
al maestro; recuerda, saca sólo cinco». objetivo. Este niño deficiente había
Sin embargo se limitó a contar los ocho vuelto a etiquetar el último elemento
lápices. Cabe atribuir este tipo de con la palabra «tres».
errores a un fallo de memoria (por Cuando se le pidió que retirara cinco
ejemplo véase Resnick y Ford, 1981). elementos de un total de nueve volvió a
Según una de las hipótesis que cometer el error de no detenerse, pero
atribuyen el error a un fallo de memoria, acabó la cuenta con la etiqueta correcta:
los niños no mantienen el objetivo en la <1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 5>. Aunque no se
memoria de trabajo, es decir, no toman detuvo cuando se encontró por primera
nota de la cantidad solicitada. Otra vez con la etiqueta buscada, Fred
propuesta es que, al estar tan ocupados parecía recordarla e hizo que el último
con el proceso de contar, se olvidan del elemento tuviera la etiqueta apropiada.
objetivo. Por ejemplo cuando se le Este error de (finalizar con el
preguntó a Matt cuántos lápices debía objetivo) puede explicarse mediante
tomar, respondió: “No sé”. Como no otra hipótesis referida a la memoria.
recordaba el objetivo o no lo tenía en su Aunque algunos niños guardan el
memoria de trabajo, Matt se limitó a objetivo y lo pueden recordar más tarde,
contar todos los lápices que tenía el proceso de contar objetos absorbe
delante. tanto su atención que no pueden
comparar la serie numérica del proceso
Al igual que muchos otros niños de separación con el objetivo.
(véase Flavell, 1970), es posible que Como la memoria de trabajo de Fred
Matt supiera que hace falta un esfuerzo estaba tan copada por el proceso de
especial para memorizar información, separación quizá no fue capaz de
es decir, que a veces necesitamos atender simultáneamente a los procesos
ensayar o repetir una información para de contar y de comparar. Una vez
facilitar el recuerdo. Para este niño la liberada su atención del proceso de
enseñanza de apoyo debe recalcar la contar, Fred pudo recordar el objetivo y
importancia de recordar el objetivo de la enmendar su conducta.
tarea y, de ser necesario, debe también Cuando un niño no tiene problemas
enseñarle cómo recordarlo. Se debe para recordar el objetivo, la enseñanza
estimular al niño a ensayar (repetir) el de apoyo debe centrarse en el proceso
objetivo para que quede grabado de comparación. Primero, se debe hacer
firmemente en su memoria de trabajo que el niño anote el objetivo. A
antes de contar los objetos. Si hace continuación sacamos nosotros el
falta, se le puede instar a que anote el primer elemento (o dejamos que lo haga
número antes de empezar a contar. el niño). Luego le preguntamos
Los niños que tienen la edad de (señalando el número anotado si es
empezar a andar (Wagner y Walters,
112

14. necesario): < ¿Es la cantidad correcta? objetos concretos y números familiares
¿Hay que pararse aquí?> que sean manifiestamente diferentes en
Continuamos así hasta llegar a la cuanto a magnitud (comparar 1, 2 ó 3
cantidad solicitada. Debemos explicar con números mayores como 9 ó 10;
claramente por que se ha detenido el comparar números seguidos como 1 y 2
proceso de contar: <Nos hemos parado ó 2 y 3).
en N (decir el número deseado) porque Pueden conseguirse varios juegos en
N (señalar el objetivo) es la cantidad los que intervienen modelos concretos
que necesitamos>. Sobre todo al (Véase el ejemplo 6.3). En el juego
principio se debe ayudar a niño a Invasores de la luna, por ejemplo, los
encontrar la manera más fácil posible de jugadores comparan la longitud o la
ejecutar el proceso de contar. Por altura de dos conjuntos de cubos que
ejemplo se puede simplificar el proceso encajan entre sí. De esta manera la
de controlar los elementos que se han comparación de números se conecta con
contado y los que no, apartando los indicios perceptivos claros y queda
primeros en un montón claramente reforzada por ellos: <Tú tienes ocho
separado. naves espaciales en la luna y yo tengo
Hay otra explicación para este tipo de dos. Mira qué larga es la fila de naves
errores y es que los niños muy pequeños que tienes: Ocho naves es más que
y algunos escolares con deficiencias dos>. Gradualmente el niño irá
mentales no poseen la base conceptual aprendiendo la idea de que los números
para comprender la tarea. Quizá los se asocian con la magnitud y que los
niños que no comprenden la noción de números que vienen después en la serie
la cuenta cardinal no se dan cuenta de numérica son mayores. Una vez hayan
que deben comparar lo que cuentan con arraigado estas ideas básicas, el niño
el objetivo. deberá ser apartado de actividades con
Así pues, cuando un maestro desea objetos concretos y se le pedirá que
subsanar las dificultades que tiene un resuelva los problemas mentalmente.
niño con la separación, primero deberá
comprobar que posea la técnica Ejemplo 6.3. Juegos de comparación
necesaria para la cuenta cardinal entre números concretos
(Baroody y Mason, 1984).
Comparación entre magnitudes INVASORES DE LA LUNA
Cuando llegan al curso de párvulos, Objetivo:
casi todos los niños pueden realizar Comparaciones entre números de 1 al
comparaciones entre números separados 10 separados o seguidos.
y entre números seguidos pequeños (del Material:
1 al 5), y la gran mayoría ya habrá 1) Varias lunas (círculos de papel)
llegado a dominar estas últimas con los de distinto color.
números del 1 al 10. Los niños de 2) Dos conjuntos de cubos
educación especial durante la primera encajables de distinto color.
enseñanza y muchos niños deficientes 3) Una peonza con los números del
de nivel intermedio pueden llegar a 1 al 10 (para comparaciones
tener problemas con las comparaciones entre números separados) o un
entre números separados y entre conjunto de tarjetas en las que se
números seguidos pequeños. La listen comparaciones especificas
educación de apoyo deberá empezar con para cada objetivo
113

15. Instrucciones: básicas para saber el número «que viene
después». Explicar, por ejemplo: <Para
Esparcir los círculos por la mesa. Dar saber qué número es mayor, contemos a
un conjunto de cubos a cada uno de los ver que número viene después. Para los
dos jugadores. Explicar que los círculos números 3 y 4 contamos «1, 2, 3» y
son lunas y que los cubos son naves como después del 3 viene el 4, el 4 es
espaciales. El jugador que haga mayor>.
<alunizar> más naves en una luna se También puede ser útil demostrar el
queda con ella y el que conquiste más procedimiento para el niño y emplear
lunas gana la partida. Usar la peonza o una lista numérica o bloques encajables
las tarjetas para determinar la cantidad para contar. Llegado el momento, el
de naves que puede hacer alunizar, cada procedimiento de contar se puede
jugador. Preguntar a uno de los niños interrumpir para preguntar al niño:
qué jugador ha hecho alunizar más, por < ¿Qué es más, 4 o 3? ¿Qué número
ejemplo: <Tú tienes cinco naves y Billy viene después cuando contamos?>.
tiene tres. ¿Cuánto es más, cinco o Otra manera de hacer explícita la
tres?>. conexión entre la comparación y la
De ser necesario señalar las distintas técnica del número <que viene
longitudes (o alturas) de los dos después> es continuar las preguntas
conjuntos de cubos encajables. sobre el número «que viene después»
con preguntas del tipo «cuál es mayor».
DOMINÓ MÁS (MENOS) UNO Por ejemplo se puede preguntar:
< ¿Qué viene justo después del 3
Objetivo: cuando contamos? Decimos 3, ¿Y
Comparar números seguidos (más o luego>.
menos uno) del 1 al 10 Una vez que haya respondido el niño,
Material: preguntarle: < ¿Y cuál es más, 3 ó 4?>
Fichas de dominó (nótese que para forzar al niño a pensar
Instrucciones: realmente en la comparación, el número
mayor se menciona en primer lugar o
Este juego, basado en uno propuesto en <sin seguir el orden usual> la mitad de
el currículo de Wynroth (1969-1980) se las veces, aproximadamente).
juega como el dominó normal pero con
una excepción. En vez de emparejar
conjuntos numéricamente equivalentes c) Implicaciones educativas: la
para ir añadiendo fichas, las fichas que enseñanza de técnicas para contar
se añaden deben tener un conjunto de
puntos mayores (o menor) en una A continuación se resumen algunas
unidad al conjunto de la ficha del directrices generales para la enseñanza
extremo de la hilera. La figura que sigue 1. Los niños deben dominar cada
ilustra un caso de <Dominó menos técnica para contar hasta que llegue
uno>. Un jugador va a añadir una ficha a ser automática. Esto es esencial
con <8> al extremo que tiene <9>. porque las técnicas para contar se
(Dominó, ejemplo al final del libro) basan la una en la otra y sirven de
Con los niños de educación especial base para técnicas más complejas
puede ser muy útil indicar la estrategia como hacer sumas o devolver
para contar que puede usarse para cambios. Si las técnicas básicas no
comparar números seguidos y cómo se son eficaces, no pueden integrarse
relaciona esta estrategia con las técnicas bien con otras técnicas para la
114

16. ejecución de funciones más Juegos y actividades
complejas.
2. La enseñanza de apoyo debe ESTRELLAS ESCONDIDAS
basarse en experiencias concretas.
Para que la enseñanza de una Objetivo:
técnica básica para contar sea 1) Enumerar
significativa, deberá basarse en 2) Regla del valor cardinal
actividades concretas. Además y Materiales:
sobre todo con poblaciones de Tarjetas con estrellas u otros objetos
educación especial, puede ser dibujados (de 1 a 5 para principiantes).
importante enlazar explícitamente Instrucciones:
actividades concretas con la técnica Explicar: <Vamos a jugar al juego de
que se enseña. las estrellas escondidas. Te voy a
3. La enseñanza de apoyo debe enseñar una carta con estrellas y cuentas
ofrecer, durante un largo periodo de cuántas hay.
tiempo, un ejercicio regular con Cuando hayas acabado de contar
actividades de interés para el niño. esconderé las estrellas y, si me dices
Normalmente el dominio incompleto de cuántas estoy escondiendo, habrás
las técnicas básicas para contar suele ganado un punto>. Levantar la primera
atribuirse a una falta de experiencia o tarjeta y hacer que el niño cuente las
interés. Si los ejercicios no son estrellas.
interesantes, algunos niños no se Taparlas con la mano o un trozo de
sentirán comprometidos con ellos y no cartulina y preguntarle: < ¿Cuántas
alcanzarán la experiencia necesaria para estrellas estoy escondiendo?> El niño
el dominio de la técnica. Por ejemplo deberá responder citando únicamente el
los niños se cansan en seguida de los valor cardinal del conjunto. Si el niño
ejercicios de repetición oral para empieza a contar desde 1, preguntarle si
aprender a contar. hay alguna otra manera más fácil para
Los niños se sienten más dispuestos a indicar las estrellas que se han contado.
generar la serie numérica en el contexto Si es necesario enseñar al niño
de enumerar objetos porque trata de una directamente la regla del valor cardinal
actividad que tiene más sentido para demostrando la tarea y <pensando en
ellos (Fuson et al. 1982). La forma voz alta> (describiendo el
concreta que deberá tener el ejercicio procedimiento y el razonamiento en que
dependerá del niño. Muchos niños se basa).
responderán con entusiasmo a distintos
tipos de juegos que se basan en contar; PREDECIR LA CANTIDAD
otros preferirán jugar con un títere de
“Barrio Sésamo” y otros podrán Objetivos:
disfrutar con el contacto de un tutor, sea Concepto de cuenta cardinal
niño o adulto, interesado y entusiasta. Materiales:
Lo esencial es que el ejercicio no Objetos pequeños que se puedan contar
necesita --es más, no debe-- carecer de como bloques o fichas
interés para el niño. Instrucciones:
A continuación se presentan otros Dar al niño un conjunto de bloques
juegos y actividades para enseñar a (por ejemplo cinco) y decirle: <Toma
contar de palabra, a numerar y a cinco bloques. ¿Cuántos habría si los
comparar magnitudes. contaras?> Después hacer que el niño
cuente el conjunto para que compruebe
115

17. su respuesta. También puede hacerse Instrucciones:
con un dado. Después de una tirada, no Dar a cada niño un tablero o una pista
permitir que el niño cuente de carreras. Decir; <Vamos a ver quién
inmediatamente los puntos y seguir, en rellena primero su tablero (pista de
cambio, el procedimiento descrito carreras)>. Hacer que cada niño, por
anteriormente. turnos, levante una carta de la baraja y
cuente los puntos para determinar
CARRERA DE COCHES cuántas fichas debe tomar. Decirle al
niño que tome esta cantidad. Hacer que
Objetivos: el niño separe las fichas que le han
1) Enumerar tocado en una bandeja pequeña (este
2) Separar procedimiento hace que la corrección de
Materiales: los errores de separación sea menos
1) Un tablero con pista de carreras confusa). Si se comete un error, vaciar
(una hilera de casillas en la bandeja. Hacer que el niño lo vuelva
espiral). a intentar o, si es necesario, ayudarle a
2) Un dado (con 0 a 5 puntos al extraer el número correcto. Una vez
principio; 5 al 10 para niños más extraído el número correcto, hacer que
avanzados). el niño coloque las fichas en su tablero.
3) Coches en miniatura Gana el niño que llena antes su tablero.
Instrucciones:
Hacer que los niños escojan los EL NÚMERO TAPADO
coches que más les gusten. Colocar los
coches al principio de la pista. Tirar el Objetivos:
dado por turnos y hacer avanzar los Determinar el número anterior o
coches el número correspondiente de posterior a un número dado (del 1 al 9)
casillas. Materiales;
Hacer que los jugadores cuenten los Tarjetas numeradas del 1 al 9
puntos del dado (enumeración) y las Instrucciones:
casillas cuando avanzan los coches La versión básica de este juego se
(separación). Estas técnicas también describe con más detalle en Bley y
pueden practicarse con otros juegos de Thompson (1981) junto con otros
tablero básicos de temática diversa, de juegos como Walk on. (<Sigue
acuerdo con los intereses de los niños. andando>) y Peek (<Echa una ojeada>)
que son útiles para enseñar números
RELLENAR posteriores a otro dado. Para la versión
básica de El número tapado, extender
Objetivos: las tarjetas numeradas, boca arriba y por
1) Enumerar orden, encima de la mesa. Decir al niño
2) Separar que cierre los ojos, poner una carta boca
Materiales: abajo y decir al niño que ya puede mirar
1) Tableros de juegos o pistas de para averiguar qué carta es la que se ha
carreras individuales puesto boca abajo.
2) Fichas Señalar la carta anterior (posterior) a la
3) Baraja de cartas con puntos (1 al carta tapada y decir, por ejemplo: <
5 para principiantes; 6 al 10 ¿Qué carta es ésta? ¿Qué viene justo
para niños más avanzados después [antes] del 6?>. Continuar hasta
4) Bandejas pequeñas (por ejemplo que se haya tapado cada número una
tapas de plástico) vez. La versión básica es especialmente
116

18. útil para los niños que no pueden es necesario corregir al niño
responder a esta pregunta empezando a enseñándole sobre la lista de números
contar desde el 1 y para los que que un número mayor implica recorrer
confunden el número anterior con el más casillas.
posterior. Una versión más avanzada
comporta eliminar los indicios visibles Figura 6.3. “Pista” de la Carrera de
de la serie numérica y requiere que el números.
niño resuelva el problema mentalmente.
Para ello no hay más que colocar todas
las tarjetas boca abajo y levantar una de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ellas, pidiéndole al niño que diga qué
número va antes o después del
levantado.
JUEGO DE PERSECUCIÓN
CARRERA DE NÚMEROS
Objetivos:
Objetivos: Comparación entre números seguidos
Comparaciones entre números Materiales:
separados del 1 al 10. 1. Tablero con casillas en espiral
Materiales: 2. Dos fichas
1. Una hilera de casillas (de 15 x 75cm 3. Tarjetas con diferentes
aproximadamente) con los números del comparaciones (del al 5 para
1 al 10 (véase la figura 6.3) principiantes; números mayores para
2. Coches en miniatura niños más adelantados)
Instrucciones: Instrucciones:
Hacer que cada jugador escoja el coche Decirle al niño que nuestra ficha va a
que guste. Colocar los coches en la línea perseguir a la suya por el tablero de
de salida (unos 15 cm a la izquierda de juego. Sacar una tarjeta y leer los dos
la casilla con el número “1”). Decir a números escritos en ella. Decirle al niño
los niños que sus coches van a echar que escoja el número mayor. La
una carrera y que ganará el coche que elección del niño indica cuántas casillas
vaya más rápido. debe avanzar su ficha; el otro número
Hacer que los niños den un empujón a indica la cantidad de casillas que debe
sus coches a lo largo de la pista. Los avanzar la nuestra. Después de cada
coches que se salgan por el otro turno, comentar las posiciones de las
extremo o por los lados de la pista fichas diciendo, por ejemplo: <Pues sí,
quedan descalificados. Si un coche se éste es el que tiene más. Tu ficha
detiene sobre una línea de separación todavía va por delante>, o <No, ése no
entre casillas, se colocará en la casilla es más. Mira, mi ficha ya está pillando a
en la que descanse la mayor parte del la tuya>. Sí el niño tiene dificultades,
coche. pueden usarse bloques o una lista de
Cuando los dos jugadores han números para ilustrar la comparación.
empujado sus coches, preguntar a uno
de ellos: <Tu coche se ha ido al 5 y el d) Resumen
de Jane se ha ido al 3. ¿Qué es más, 5 ó Generar de palabra la serie numérica
3? ¿Quién gana?>. sólo es un primer paso hacia el dominio
Variar el orden en que se mencionan los de un complejo de técnicas importantes
números para que el mayor se encuentre que los adultos emplean de manera
unas veces al principio y otra al final. Si rutinaria y automática. Cuando llegan a
117

19. la escuela los niños suelen ser capaces
de generar la parte memorística de la
serie numérica y un poco de la parte
basada en la aplicación de reglas,
además de poder enumerar y separar
conjuntos de objetos, emplear la regla
del valor cardinal para resumir una
enumeración e incluso emplear
relaciones de orden numérico (números
anterior y posterior a otro dado) para
determinar la mayor de dos cantidades.
Algunos niños, sobre todo los
deficientes mentales, pueden necesitar
una educación de apoyo para dominar
estas técnicas informales básicas.
Durante los primeros años de escuela
los niños resuelven el problema de las
decenas y amplían su capacidad de
contar de palabra hasta 100 y más. A
medida que se van familiarizando con la
serie numérica, aprenden a contar por
intervalos (por ejemplo por parejas) y a
contar regresivamente. La enseñanza
especial o de apoyo debe asegurar que
se llegue al dominio de cada
componente sucesivo de la jerarquía de
técnicas para contar. La enseñanza
deberá ser concreta, intensa e
interesante.
118

20. Figura 6.1 Ejemplos de errores de
numeración.
Errores de secuencia* Errores de partición*
Errores de coordinación
1 2 3 5 6 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
6
Dejarse una Asignar dos etiquetas a un
Contar dos veces el mismo
etiqueta mismo objeto
objeto 1 2 3 4 5 6
Etiqueta extra al principio
1 2 3 4 5 6
Pasarse
1 2 3 5 4
1 2 3 4
Etiquetas en desorden 1 2 3 4
1 2 3 9 4
Saltarse un elemento
Insertar una etiqueta Saltarse una etiqueta
1 2 3 9 4 1 2 3 5 1 2 3 4
1 2 3 4 5
Sustituir una Dejarse una etiqueta 5
etiqueta Saltarse una etiqueta
┼ Saltarse un elemento
┼
Saltarse un ┼
elemento** Contar dos veces un Asignar dos etiquetas a un
1 2 8 5 7
mismo objeto mismo objeto
Secuencia incorrecta
1 2 34 5 6 7 1 2 34 56 7
* Indica la acción de señalar. Frenesí*** Frenesí
**Indica una combinación de errores de secuencia y
1 2 3 4 5 6 7
partición.
***Indica una combinación de errores de partición
Pasar de largo**
y coordinación.
119

21. Figura 6.2 Enseñanza de la regla de la
cuenta cardinal
Etapa -A Paso 1
Maestro: “Tenemos cinco círculos (enseña cinco círculos y una tarjeta con el número 5);
Cuéntalos para ver cuántos hay”.
5
Etapa –A Paso 2
5
Niño: “1, 2, 3, 4, 5”
Maestro: “Mira te he dado cinco círculos (señala la tarjeta con el número) y, cuando los
has contado, el último número que has dicho era 5. El número de círculos que hay es
siempre lo mismo que el último número que dices cuando cuentas”.
Etapa B- Paso 1
Maestro: “Tenemos cuatro cuadros, cuéntalos para ver cuántos hay”.
4
Etapa B- Paso 2
4
Niño: “1, 2, -“
Maestro: “¿Cuál será l último número que dirás cuándo acabes de contar?” (El maestro
corrige y continúa según crea necesario).
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