Este documento describe estrategias didácticas para ayudar a niños preescolares a desarrollar su comprensión del concepto de número. No se trata de enseñar directamente el concepto, sino de diseñar situaciones que permitan a los niños pasar de un nivel de comprensión a otro. Las actividades involucran la comparación de conjuntos equivalentes y no equivalentes utilizando correspondencia y numeración hablada. El objetivo es ayudar a los niños a superar las limitaciones de su nivel actual de desarrollo conceptual.

1. LECTURA: (equivalentes, no equivalentes y utilizando
*CONCEPTO DE NÚMERO tanto la correspondencia como la numeración
ASPECTO DIDÁCTICO* hablada) y situaciones relacionadas con la
correspondencia dinámica (intercambio) así
PRESENTACIÓN como las referentes a la transitividad de la
Partiendo de la idea de que los niños de equivalencia numérica.
preescolar están en un nivel de su
construcción del concepto de número, es CONCEPTO DE NÚMERO
conveniente determinar en qué nivel o estadio
se encuentran para diseñar estrategias Aspecto didáctico
didácticas que le ayuden a desarrollar sus
posibilidades y a superar sus limitaciones. La orientación general del trabajo con el
De acuerdo con Lerner no se trata de número es la misma que la
“enseñarle” (en sentido estricto) el concepto correspondiente a la clasificación y la
de número al niño, sino de diseñar situaciones seriación: no se trata de “enseñarle” al
que le permitan pasar de un nivel a otro, niño el número, sabemos que todos los
tomando en cuenta las características del niños del jardín están en algún momento
estadio por el que atraviesa. de su construcción espontánea de la
Para el diseño de tales situaciones Lerner noción de número, las características del
propone tornar en cuenta elementos; el tipo estadio por el que están atravesando
de materiales, la consigna y las actividades. implican ciertas posibilidades de manejo
Los materiales son de dos tipos, aquellos de esta noción y también ciertas
que son complementarios cualitativamente limitaciones. Será necesario por lo tanto
(p. ej. tazas y platos) y aquellos que son en primer término que determinemos en
homogéneos cualitativamente (p. ej. dos qué estadio está cada niño y planteemos
conjuntos de botones). Los conjuntos deben luego las situaciones adecuadas para
tener por lo menos 6 ó 7 elementos. ayudarlo desarrollar sus posibilidades y
La consigna se encuentra en estrecha -en los momento de transición de un
relación con los materiales. Por ejemplo, para estadio a otro- a superar su limitaciones.
los materiales que son complementarios Sabemos que éstas no se superan por
cualitativamente, una consigna sería “pon una transmisión: verbal: si un niño nos dice
taza a cada plato”. Para los materiales que que “hay más en la fila más larga”, nada
son homogéneos cualitativamente; “haz con ganaremos con contestarle “Pero ¿cómo
tus botones una fila que tenga igualito de no te das cuenta de que hay igual? Yo no
botones que la mía, ni más ni menos”. puse ninguno más”.
Las actividades que propone Lerner se Mucho más útil será para él que
clasifican en situaciones que tienen que ver registremos sus propias afirmaciones y le
con la comparación de conjuntos hagamos reflexionar sobre sus
contradicciones (en el caso de que las
haya) o sobre las que existen entre sus
*
Delia Lerner. “Concepto de número. Aspecto opiniones y las de otros niños a lo largo
didáctico”. En: Clasificación, seriación y concepto de cada situación. En algunos casos, de
de número. Consejo Venezolano del niño, las contradicciones saldrá la luz: los niños
Venezuela, 1977 (División de primera y segunda que se centraban en una sola variable
infancia) empezarán a considerar alternativamente
las dos, los niños que se centraban en las
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2. dos, pero alternativamente, empezarán a Con el primer tipo de material las
coordinarlas, es decir a considerarlas consignas será en general del tipo:
simultáneamente. ¿alcanzan los… para los...? es decir, por
Pero en otros casos los niños no harán ej., “¿Alcanzan los cuadernos para los
consciente la contradicción por más niños?” Con el segundo tipo de material
énfasis que pongamos en enseñarla. Le este tipo de consigna no puede utilizarse,
propondremos entonces otro tipo de ya que los elementos son homogéneos.
ejercicios o, simplemente, cambiaremos Diremos entonces: “haz con tus botones
de tema por un tiempo hasta que su una fila que tenga igualito de botones que
construcción espontánea le permita la mía, ni más ni menos”, o bien “estos
comprender los problemas que le caramelos son de Pablo y ésos de Pedro
planteamos. ¿Los dos van a comer lo mismo o alguien
va a comer más?”
Los materiales: Lo fundamental al dar la consigna es
tener en cuenta que ésta se refiere a la
Trabajaremos en primer término con cantidad de elementos. Las consignas del
materiales complementarios tipo “dale un vaso a cada niño” o “pon un
cualitativamente, por ej., tazas y platos, cinturón en cada pantalón” son
pantalones y cinturones, perros y casillas, aconsejables exclusivamente en la
niños y chaquetas, niños y vasos, niños y primera etapa, cuando hemos
cuadernos, etc. comprobado que los niños no establecen
En segundo término utilizaremos pares aún espontáneamente la correspondencia
de conjuntos formados por material para determinar la equivalencia. En este
homogéneo cualitativamente, por caso, puede ayudar a los, niños a lograr la
ejemplo: correspondencia. Pero, a partir del
• dos conjuntos de caramelos (unos momento en que el niño establece
de menta, otros de café) espontáneamente la correspondencia, no
• dos conjuntos de botones (unos tiene sentido darle ese tipo de consigna: el
redondos, otros cuadrados) niño probablemente nos hará caso y le
• dos conjuntos de patitos, o pondrá un cinturón a cada pantalón, pero
cualquier otro elemento de se quedará sin saber para que lo está
plástico (unos de un color y otros haciendo, se le estará indicando la
de otro color) solución de un problema, sin decirle cuál
• dos conjuntos de monedas, etc. es el problema. Si centramos en cambio la
Cada uno de los conjuntos debe tener consigna en la averiguación de la
por lo menos 6 o 7 elementos, pues si son equivalencia o no equivalencia numérica
menos, el problema puede resolverse de dos conjuntos, el niño descubrirá la
perceptivamente, sin apelar a la correspondencia como método para
correspondencia. establecer dicha equivalencia.
Comprenderá entonces el sentido de su
actividad y encontrará por sí mismo la
La consigna: manera de resolver el problema que se le
ha planteado.
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3. Tipo de actividades número de elementos muy
Las actividades que propondremos diferente, por ej.: una pila de
pueden clasificarse de la siguiente bloques lógicos finos y otra de
manera: gruesos, una pila de hojas de papel
A. Comparación de conjuntos y una pila de libros de cuentos. Se
(equivalentes no equivalentes), pedirá a los niños que, antes de
partiendo del establecimiento de establecer la correspondencia,
la correspondencia óptica y sin estimen dónde habrá más o si hay
utilizar la numeración hablada. igualito y justifiquen su previsión.
B. Comparación de conjuntos Luego se establecerá la
utilizando tanto la correspondencia y se pedirá que
correspondencia como la comparen su previsión con el
numeración hablada. resultado real. Esto ayudará a los
C. Situaciones de correspondencia niños a diferenciar la apariencia
dinámica (intercambio). perceptiva del número de
D. Situaciones referentes a la elementos.
transitividad de la equivalencia b) Proponer uno solo de los
numérica. conjuntos y pedir que se construya
E. Clasificación de conjuntos. otro equivalente. Este tipo de
F. Seriación de conjuntos. ejercicios corresponde al estilo de
las experiencias de Piaget citadas
Haremos finalmente algunas en el “Aspecto Psicológico”. En
reflexiones sobre la representación de la este caso se debe disponer de más
correspondencia. elementos de los que se piensa
A. Comparación de conjuntos utilizar: por ej.: si trabajamos con
(equivalentes o no equivalentes), caramelos, tendremos unos 15
partiendo del establecimiento de la caramelos de menta y 15 de café.
correspondencia óptica, sin utilizar la Haremos una hilera de 7
numeración hablada. caramelos de menta y pediremos
al niño que haga con los de café
El problema puede plantearse de tres una fila que tenga igualito de
maneras diferentes: caramelos que la nuestra. Es
a) El maestro propone los dos importante que tanto nosotros
conjuntos. como el niño dispongamos de más
b) El maestro propone uno de los caramelos que los necesarios para
conjuntos y pide a los niños que hacer la hilera, por varios motivos.
formen el otro. 1. Porque podremos ver si el niño
c) El maestro solicita a los niños que coloca muchos más caramelos en
formen los dos conjuntos: lugar de colocar siete.
a) Dar dos conjuntos y preguntar: 2. Porque puede ocurrir que efectuar
“¿alcanzan los.... para los...?” la correspondencia con siete
Proponer situaciones en que los elementos sea demasiado fácil
conjuntos resulten equivalentes y para el niño y nos veamos
otras en que no lo sean. precisados a utilizar más.
En algunos casos se presentarán 3. Porque, en el curso de las
conjuntos que parezcan tener un transformaciones, posteriores, el
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4. niño puede proponer agregar y que los espectadores empiecen a
elementos en una u otra hilera gritar “Juan va más rápido, puso
para restablecer la igualdad. une más”. Algunos opinarán que
c) Pedir al niño que forme dos pusieron igualito, otros que no. La
conjuntos equivalente o no única manera de zanjar (arreglar)
equivalentes. En este caso el la discusión será comprobarlo a
maestro no forma efectivamente través de una nueva
los conjuntos, sino que correspondencia (por ej.,
simplemente alude a los apareando los elementos ya
elementos con los que el niño colocados). Es decir que de aquí
puede formarlos. Por ej.: “vas a puede resultar un doble ejercido
formar un conjunto de pinceles y de correspondencia a través de
de hojas de papel, quiero que haya una sola situación, además de qué
igualito de pinceles y de hojas”. permite descubrir una manera
Los niños irán entonces al área de diferente de establecer la
arte, buscarán los elementos correspondencia: controlar el
necesarios y construirán los ritmo de los movimientos en lugar
conjuntos. Por supuesto, esta de enfrentar los elementos o de
situación tiene muchas respuestas colocarlos uno sobre otro.
“correctas”, ya que los dos
conjuntos a formar por el niño Conducción de las actividades
pueden tener 3 elementos, 10 o
15. El primer niño lo hará 1. Establecimiento de la
espontáneamente utilizando la correspondencia
cantidad de elementos que quiera,
se podrá luego pedir a otro niño En los tres tipos de situaciones citadas
que trate de que los dos conjuntos hasta ahora, el primer paso para los niños
sigan teniendo el mismo número, será encontrar la manera de determinar la
pero que en cada uno haya más (o equivalencia de las pares de conjuntos en
menos) elementos. El interés de cuestión. Es muy probable que los niños
esto es que plantea el problema de intenten en principio contar los
agregar o sacar el mismo número elementos; como sabemos que el saber
de elementos de los dos conjuntos. contar no implica el manejo del número y
Otra derivación interesante de este que la operación en la que se fundamenta
tipo de ejercicio es pedir a dos la noción de número es la
niños diferentes que construyan correspondencia, intentaremos en primer
dos conjuntos equivalentes (uno lugar que los niños encuentren otra
cada uno) en forma simultánea. La manera de establecer la equivalencia,
forma que encuentran los niños en diremos por ej. “pero contar es muy fácil,
general de resolver esto es ponerse eso ya sabemos hacerlo, tratemos de
de acuerdo en el ritmo con que inventar otra manera de resolver este
van poniendo cada elemento, ya problema”. En el caso (poco probable) de
que, si uno lo hace más rápido que que los niños no encuentren otra manera,
el otro los conjuntos no resultarán se continuará trabajando la situación de la
equivalentes. Es frecuente que los manera en que lo sugeriremos luego, en
niños no logren controlar el ritmo las situaciones que incluyen la
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5. numeración hablada. (Es decir que en sola de las hileras, dejando la otra como
ningún caso nos conformaremos con que testigo en la disposición original. Solo se
el niño cuente los elementos del conjunto modifican las dos hileras al mismo
propuesto, por ej., 7 y vaya luego a buscar tiempo cuando se quiere mostrar al niño
7 elementos para formar el otro conjunto, una discrepancia muy evidente entre sus
sino que, cuando el niño utilice la afirmaciones y la realidad. Por ejemplo, sí
numeración, intentaremos poner en el niño ha puesto 4 elementos en su hilera
conflicto los datos que él extrae del y dice que tiene igualito que en la otra
“contar” con los que extrae de los indicios hilera, en la cual hay 7 elementos, pueden
figurales). juntarse los 4 elementos y separarse los 7
Los niños de la primera etapa no serán (o apilarse los dos conjuntos) y
capaces aún—como hemos visto—de preguntarle si le parece que realmente hay
establecer la correspondencia, sino que igualito. En cada una de las situaciones
llenarán en general el espacio ocupado, planteadas se efectuarán dos o tres
sin colocar un elemento debajo de cada transformaciones sucesivas, haciendo
uno de los propuestos. después siempre las mismas preguntas. Es
En este caso, se puede sugerir al niño la muy difícil decir en teoría cuáles son las
solución, dándole una consigna referida transformaciones que deben elegirse en
más directamente al apareamiento: “Dale cada caso, pues esto depende
una chaqueta a cada niño” o “¿éste con enormemente de las respuestas de cada
cuál va?” (Señalando el primer elemento niño. La idea general que guía la
del conjunto modelo) “¿y éste?”. Otra elección de las transformaciones y de las
posibilidad es reducir el número de preguntas a hacer es que el rol del
elementos considerado, dejando, por maestro en este caso es hacer que el niño
ejemplo sólo el 4 y volver a darle la tome conciencia de las contradicciones
consigna. Si el niño está cerca de la que implican algunas de sus afirmaciones.
segunda etapa, logrará por alguno de Por ejemplo; si uno ha alargado una de
estos medios establecer la las hileras y el niño dice que hay más en
correspondencia. Si está al principio de la la más larga, tal vez la transformación
primera etapa, seguramente no lo logrará siguiente podría ser volver a alargar, pero
a pesar de todo. De todos modos, le esta vez la hilera que ha quedado antes
preguntaremos si hay igualito de... que más corta. Si el niño persiste en decir que
de..., si él está seguro de que hay igualito hay más elementos en la más larga, se le
y por qué le parece que es así. Si el niño hace notar que antes él había dicho que
está seguro había más elementos en la otra. Puede
de que hay igualito (aunque esto no ocurrir que el niño se dé cuenta de que es
coincida con la realidad) se plantea el muy raro que hay en un caso más en una
problema siguiente. hilera y en el otro caso más en la otra y
que proponga entonces volver a la
2. Transformaciones correspondencia óptica, pero también
puede ocurrir que el niño no se
Se puede alargar una de las hileras, desconcierte en absoluto y que le parezca
juntar sus elementos, apilarlos totalmente normal esa situación que es
disponerlos en forma de figura cerrada para nosotros tan extraña. Haremos
(triángulo, círculo, etc.), formar con ellos entonces otra transformación, por ejemplo
un montón, etc. Se modifica cada vez una juntaremos los elementos de una de las
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6. hileras. Puede ocurrir que el mismo niño Podemos entonces contestarle: “un niño
nos diga ahora que “hay más en la hilera me dijo el otro día que había más aquí,
más apretada”. Le diremos entonces “pero porque esta hilera es más larga”. Esta es
antes me dijiste que había más en la más una contra-sugestión “negativa”: la
larga, ahora me dices que hay más en la primera respuesta del niño puede
más apretada, ¿cómo es esto?” De nuevo habernos llevado a pensar que ya
el niño podrá captar o no el conflicto. conserva el número. Nuestra contra-
Puede decirse en términos generales que sugestión lo lleva para atrás, lo que
la mayor conciencia con respecto al queremos saber es si su conservación
conflicto producido por afirmaciones resiste o no a las propuestas en contrario.
contradictorias corresponde a un avance Puede ocurrir que el niño nos conteste:
mayor dentro de la segunda etapa, ya que “uy, es verdad, me equivoqué” o bien que
es la superación de ese conflicto, por se ría y diga “¿que tiene que ver que se
coordinación de las variables en juego, la más larga? no agregaste ni sacaste nada”;
que llevará a la conservación. En el primer caso deduciremos que está
Pero para superar la contradicción, hay cerca de la conservación pero que ésta
que ser consciente de que se está aún no se ha consolidado, en el segundo
incurriendo en una contradicción. Los concluiremos que su conservación del
niños de principio de la primera etapa no número está ya construida dado que
son en absoluto conscientes de ella. puede resistir a las sugestiones en
El trabajo en pequeños grupos contrario.
colaborará también a que surjan estas
contradicciones: si un mismo niño no se 3. Después de cada transformación
contradice, es posible que diferentes
niños tengan opiniones diferentes, --y en el caso de que el niño afirme que
algunos dirán que hay más en la más no hay igualito-- se pregunta “¿Qué
larga, otros dirán que hay más en la más habría que hacer para que haya igualito?”
densa. Dejémoslos discutir. La respuesta a esta pregunta nos orientará
Otra manera de generar el conflicto es también sobre la etapa por la que está
que el maestro mismo haga contra-- atravesando el niño ya que, como hemos
sugestiones, que pueden ser positivas o visto, los niños de la primera etapa suelen
negativas. Por ejemplo, un niño dice “hay proponer que se agreguen o se saquen
más en las que están apiladas, porque elementos para restablecer la longitud
llega más alto”. El maestro contesta: inicial, en tanto que los niños de la
“¿sabes que un niño me dijo el otro día segunda etapa proponen volver a ponerlos
que había más en las que no están como antes, es decir cuando estaban en
apiladas, porque forman una hilera correspondencia óptica. En este último
mucho más larga?”. Esta es una contra- caso se puede retomar lo dicho por el
sugestión “positiva” porque está dirigida niño y preguntarle: “¿quiere decir que
a que el niño, que estaba centrado en una cuando están así hay igualito y cuando
sola variable (el alto de la pila) llegue a están así (se repite la transformación
tomar en cuenta la otra variable en juego realizada) hay más en ésta?”. Puede ser
(la longitud de la hilera). Ahora bien, que el niño responda tranquilamente que
supongamos que, ante una transformación sí, que en una disposición hay igualito y
cualquiera el niño nos dice “hay igualito en la otra hay más; también puede ocurrir
porque lo único que hiciste es juntarlas”. que el niño empiece a dudar y no sepa
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7. qué contestamos, o bien que nos diga que que saque el primer elemento. Se le
antes se había equivocado y que en pregunta si hay igualito y qué habría que
realidad hay igualito en los dos casos. La hacer para que hubiera igualito. En este
segunda y la tercera respuestas citadas caso, todos los niños, partir de la segunda
nos revelan que el niño esta avanzando etapa, contestan que no hay igualito,
dentro de la segunda etapa. La tercera, si porque se ha sacado uno de la hilera.
bien puede ser una respuesta de Cuando sugieren volver a poner ese
transición, no debe hacernos pensar que el elemento se les pide que lo coloquen al
niño ha llegado a la conservación, pues final, es decir que la configuración
bien podría ocurrir que cuando hagamos quedará así:
la transformación siguiente el niño vuelva
a decimos que hay más en una que en, las 00 0 0 0 0 0
dos hileras. X X X X X XX
Variantes de las situaciones Luego se vuelve, a preguntar si hay
de tipo A (comparación de conjuntos) igualito. Puede hacerse lo mismo con el
segundo y el tercer elemento:
En algunos casos se puede introducir
un paso suplementario: 0 00 0 0 0 0
Una vez que el niño ha efectuado la XX X X X X X
correspondencia, se le pide que guarde su
colección en una caja (cerrada y opaca) y
la otra colección en otra caja de las La intención de estos ejercicios es que los
mismas características. Hecho esto, se le niños del segundo estadio tomen
pregunta si en las dos cajas hay, por conciencia de que una transformación
ejemplo, igualito de caramelos o si en espacial que provoca que haya más
alguna hay más. El objetivo de esto es elementos de un lado, implica
tener un elemento más de discusión: en la necesariamente que se sacaron elementos
segunda etapa es muy probable que los de otro sector de la hilera.
niños afirmen la equivalencia cuando los Una variante de esto sería que los
elementos están guardados en las cajas, la elementos sean sacados del centro de la
niegue luego, cuando se espacien o junten hilera y colocados sucesivamente en los
los elementos puestos, en extremos, es decir que, si partimos de la
correspondencia. Se le hará notar correspondencia óptica, sacaremos por
entonces la contradicción entre ambas ejemplo, el segundo elemento de una de
afirmaciones. las hileras y lo colocaremos antes del
Experiencias en las que las primero, luego sacaremos el penúltimo
transformaciones son descompuestas en elemento y lo colocaremos después del
pasos: estas situaciones incluyen un último. Dibujamos a continuación las
aprendizaje del significado de las configuraciones sucesivas que
transformaciones, ya que será el mismo tendríamos. La importancia de estas
niño quien las realizará y ya no en forma situaciones es la siguiente: cuando
global, sino a través de pasos bien realizábamos las transformaciones
definidos. Por ejemplo, una vez características de las situaciones
dispuestos los elementos en anteriores, lo evidente para el niño
correspondencia óptica, se pide al niño
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8. parecía ser que “la hilera era más larga” conciencia de la disminución de la
o que “los elementos están más juntos”. densidad. Por lo tanto, cuando vuelva a
colocar el elemento en el extremo de la
Correspondencia óptica: hilera, obteniendo como resultado una
longitud mayor, será más probable que
comprenda que esa longitud mayor está
0 0 0 0 0 0 0 en relación con la disminución de la
XX X X X X X densidad que él mismo acaba de provocar
y, por lo tanto, coordine –al menos en
esta situación-- las dos variables en juego,
0 0 0 0 0 0 0 lo cual le permitirá afirmar la
X X X X X X X conservación. Será de gran interés volver
a hacer --después de varios de estos
ejercicios-- los anteriores, en los que las
El niño se centraba en una de las transformaciones no están
variables y además no tenía en cuenta las descompuestas, para ver si se ha
transformaciones mismas, sino los producido algún progreso en las
resultados que éstas producían en las respuestas que los niños encuentran.
configuraciones. Las situaciones que
acabamos de describir constituyen un B. Comparación de conjuntos utilizando
esfuerzo, por una parte, para lograr que el tanto la correspondencia como la
niño se centre en las transformaciones y numeración hablada
no en los resultados (puesto que se le a. Partiendo de dos conjuntos
hace participar de la realización de la equivalentes:
transformación) y por otra parte, para
lograr que él descomponga las 1. Al igual que en los ejercicios
transformaciones en una acción directa y anteriores, se comienza
una acción inversa. Cuando los niños del disponiendo 7 fichas (caramelos,
segundo estadio dicen que “hay más en la botones, etc.). Se pide al niño que
más larga”, están considerando la acción haga debajo otra hilera con las
de alargar como irreversible: por una suyas, de modo que haya igualito
parte no se dan cuenta de que esa acción de fichas.
de alargar puede ser anulada por una 2. Se efectúa una transformación. La
acción de volver a juntar y, por otro lado, que suele ser muy fructífera en
no ven que, al alargarse la hilera, su este caso es la que consiste en
densidad disminuye, ya que los intervalos desplazar la hilera de abajo, de tal
entre los elementos son mayores. En las modo que la primera ficha siga
situaciones que acabamos de describir los coincidiendo con la primera de la
niños empiezan por disminuir la otra, las siguientes estén
densidad, ya que lo primero que se les ligeramente corridas, la penúltima
pide es que saquen un elemento. de abajo coincidirá con la
Cuando, una vez sacado, se les pregunta penúltima de arriba y la última de
si hay igualito, los niños dirán sin duda abajo sobresaldrá:
que hay más en la otra hilera porque, al
sacar el elemento, quedó un lugar vacío. 0 0 0 0 0 0 0
Es decir que “empezarán” por tomar X X X X X X X
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9. 2. Se pregunta si en las dos
Se pregunta entonces “¿Y ahora, hileras hay igualito o en
hay más alguna hay más.
rojos o más blancos?” 3. Se pide al niño que cuente las
“¿Por qué?” rojas (o sea la hilera de siete
3. Si el niño dice que hay más abajo, elementos).
se pregunta cuántos más. 4. Se le pide que adivine, sin
4. Se plantea: “¿cuántas fichas hay contar, cuántas fichas blancas
en la hilera de arriba?” “¿Cómo hay.
podrías hacer para saberlo?” 5. Se juntan las fichas blancas
“Cuéntalas”. (ocho), de tal modo que
5. Se tapa la fila de abajo y se “sobre” una ficha roja en cada
solicita al niño que adivine extremo de la hilera. Se vuelve
cuántas hay abajo. a preguntar entonces si hay
6. En caso de haber contradicción igualito o si en alguna de las
entre la previsión numérica y la hileras hay más.
afirmación con respecto a la 6. En el caso de que el niño
cantidad, se hace notar esa conteste que hay más rojas, se
contradicción. Por ejemplo, puede le recuerda que antes (al
ocurrir que el niño haya dicho que contar dijo que había más
hay más en la de abajo “porque el blancas.
último no tiene compañero” y que, 7. Se pide nuevamente que
sin embargo, habiendo contado los cuente uno de los conjuntos y
siete elementos de la hilera de prevea cuántos elementos hay
arriba prevea que en la de abajo el otro.
también hay siete. Se le dirá 8. Finalmente, se le pide que
entonces: “Pero antes me dijiste cuente cuidadosamente ambos
que había más abajo. Ahora dices conjuntos y se le pregunta si
que en los dos hay siete ¿Cómo es hay igualito o no.
esto?”
7. Se le pide que cuente los Este tipo de ejercicios puede realizarse
elementos de abajo (para estar aprovechando cualquier desigualdad que
seguro de que efectivamente hay los niños hayan encontrado al poner en
siete, por ejemplo). correspondencia dos conjuntos.
8. Se le pide qué recuerde cuántos
había arriba y cuántos abajo y se C. Situaciones de correspondencia
vuelve a preguntar si hay igualito dinámica (intercambio) empleando o no
o si en alguna parte hay más. la numeración hablada.
b. Partiendo de dos conjuntos no La particularidad de estas situaciones
equivalentes: es que, antes de disponer los elementos en
1. El maestro alinea ocho fichas una configuración determinada, se realiza
blancas y luego pone en un intercambio uno a uno de elementos:
correspondencia óptica con
ellas siete fichas rojas. a) “Trueque”. Este puede realizarse
con cualquier material que los
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10. niños tengan por costumbre quiera. Terminado el intercambio
intercambiar. Daremos un se continúa de la misma manera
ejemplo: se trabaja con dos que en los ejercicios de trueque.
conjuntos de diez a doce figuritas. c) Estos dos tipos de ejercicios (a y
La maestra plantea que tiene b) pueden realizarse también
algunas figuritas de mariposas utilizando la numeración hablada.
repetidas y que quiere cambiarlas La diferencia con la formulación
por figuritas de “el Chavo” para anterior será entonces que el niño
poder completar su álbum. contará las figuritas del maestro y
Muestra las figuritas repetidas preverá cuántas figuritas suyas
(por ejemplo siete) y le dice al tendrá que ir a buscar para
niño: “¿Por cuál puedes intercambiarlas o bien --en los
cambiarme éstas?” hasta ejercicios de venta-- contará
intercambiar todas, de modo que cuántos bolívares tiene y preverá
del lado de la maestra quede un cuántos juguetes podrá comprar.
montoncito con siete figuritas de Una vez efectuada la previsión en
“el Chavo” y del lado del niño el función del número, se realizará
montoncito con siete figuritas de efectivamente el intercambio y la
mariposa. Luego pregunta: “¿Hay experiencia continuará de la
igualito de figuritas en los dos misma manera que las anteriores,
montoncitos, o en algunos hay pero utilizando el número para
más?” Algunos niños dirán que no contraponerlo a las afirmaciones
lo saben. Se les pedirá entonces que estén basadas en la apariencia
que piensen cómo pueden hacer perceptiva. Por ejemplo, puede
para saberlo (sin contar). En el ocurrir que el niño haya contado
caso de que los niños digan que siete bolívares y previsto en
hay igualito se les pide que nos lo consecuencia que podrá comprar
demuestren. Los niños siete juguetes. Sin embargo,
establecerán entonces la cuando se le deforma la
correspondencia óptica (en los dos configuración, el niño puede decir
casos). Efectuaremos luego que hay más monedas porque la
transformaciones siguiendo el fila de los juguetes es más corta.
modelo de los ejercidos anteriores. Uno podrá plantearle entonces:
b) “Venta”. La situación es similar a “pero ¿cuántas monedas me dijiste
la anterior, sólo que en este caso que había?” y “¿cuántos
uno de los conjuntos está juguetes?” y “¿Cuántos
constituido por monedas de un juguetes?”. “Entonces “¿cómo es
bolívar y el otro por un conjunto esto?, ¿hay siete y siete pero hay
de elementos cualesquiera que más monedas?, explícame”. Puede
sean comprables con monedas de ocurrir que el niño siga afirmando
un bolívar (chocolate, juguetitos, lo mismo que antes, pero también
cachitos, tarjetas). Se dice que se puede ocurrir que empiece a ver la
va a jugar al vendedor, se le dan al contradicción.
niño las monedas de un bolívar y
se le pide que vaya eligiendo, (y
pagando) los juguetitos que
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11. D. Situaciones referentes a la la configuración:
transitividad de la equivalencia numérica.
Material: 1. Se desarrolla de la misma
tres conjuntos de quince manera que en el punto a.
elementos 2. Se efectúa una transformación
cada uno, por ejemplo: (se juntan o espacian los
un conjunto de fichas elementos, se apilan, etc.)
un conjunto de ladrillitos sobre la hilera hecha por el
un conjunto de botones niño y se pregunta si sigue
habiendo igualito o si ahora
a) La transitividad en base a la hay más en alguna de las
correspondencia óptica: hileras.
3. Se desarrolla de la misma
1. Se comparan en primer manera que el punto 2 del
término dos de esos conjuntos, ejercicio a.
por ejemplo: 4. Se efectúa una transformación
• el maestro hace una sobre la hilera de ladrillitos y
hilera con nueve fichas se pregunta si hay igualito de
y pide al niño que fichas que de ladrillos.
coloque igualito de 5. Se colocan los ladrillitos en
caramelos que de una caja y los caramelos en
fichas otra (o bien se hace un
• una vez establecida la montoncito con cada uno de
correspondencia, se esos conjuntos) y se pregunta
pregunta al niño si está si hay o no el mismo número
seguro de que hay de ladrillos y de caramelos.
igualito o si necesita Hacemos notar que, tanto en el
alguna ficha más. ejercicio a como en el b, el
2. Se amontonan los caramelos último punto se refiere al
puestos por niño, se los coloca establecimiento de la
lejos, sobre una mesa y pide equivalencia entre dos
que ahora haga con los conjuntos que no han sido
ladrillitos una hilera donde efectivamente comparados a
haya igualito de ladrillos que través de la correspondencia
de fichas. Una vez establecida término a término: el niño ha
la correspondencia, se le comparado el conjunto de las
pregunta si está seguro de hay fichas con el de los caramelos
igualito y el conjunto de las fichas con
3. Se le pregunta si él cree que el de los ladrillo y de ahí
hay igualito de ladrillitos que deducirá (sin hacerla
de caramelos o si hay más realmente) una comparación
ladrillos o más caramelos. entre los caramelos y los
ladrillitos.
b) La transitividad después de
realizadas transformaciones sobre Si llamamos A al conjunto de
fichas, B al de los caramelos
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12. y C al de los ladrillitos, mismo número de elementos que los
diremos que el niño ha anteriores. El aula empezará seguramente
establecido, por a “llenarse” con conjuntos de cuatro
correspondencia, que A = B y formándolos hasta que comprendan:
que A = C. De la 1. Que podrían seguir
combinación de estas dos indefinidamente formando
comparaciones deducirá que B conjuntos de cuatro elementos, lo
= C. cual constituirá una aproximación
Una variante de estos ejercicios sería intuitiva al hecho del que el
hacer comparar por correspondencia A y número cuatro puede ser
B, luego B y C y finalmente preguntar, representado por infinitos
sin comparación efectiva, si A es o no conjuntos de cuatro elementos.
igual a C. Es muy probable que los niños 2. Que, lo que uno le interesa es la
del segundo estadio respondan mejor a la propiedad numérica de los
situación a. que a la situación b., ya que conjuntos, no importa es decir,
en la situación b. no lograrán siquiera pueden abstraerse las propiedades
afirmar la igualdad se acaben los libros cualitativas de los conjuntos de los
del aula, los niños crean que cuando una elementos.
de las hileras está transformada, pero será
válido de todos modos plantearles el Al principio los niños formarán
problema y dejarlos discutir y, en caso de seguramente conjuntos con materiales
que algunos similares a los utilizados por la maestra
afirmen la equivalencia numérica y otros para el primer conjunto. Si éste estaba
no, permitirles verificar a través del formando por libros, es posible que,
establecimiento de la correspondencia. cuando se acaben los libros del aula, los
Los primeros ejercicios de este tipo se niños crean que no se puede seguir
harán con conjuntos de muchos elementos formando conjuntos. Si ocurre esto, la
(ocho elementos o más) para que los maestra preguntará si están seguros de
niños se vean obligados a utilizar la que no se puede seguir, “¿En que se
correspondencia término a término al parecen estos conjuntos?” “¿Les parece
formarlos. Luego se trabajara con que se puede formar algún otro que tenga
conjuntos de pocos elementos: dos, tres, 4 elementos?”. En caso de que a ningún
etc. niño se le ocurra (lo que no es probable)
El trabajo con conjuntos de pocos la maestra formará, por ejemplo un
elementos puede comenzarse con una conjunto de 4 gises y preguntará si ese
actividad colectiva, en la que la maestra conjunto se parece a los anteriores.
forme un conjunto de, por ejemplo, cuatro Seguramente los niños comprenderán
elementos, pida a un niño que forme otro entonces que no es necesario que sean
que tenga el mismo número de elementos libros, puesto que lo que ahora importa es
(es decir que se “parezca” al conjunto que se parezcan en el número. Empezarán
formado en el número de elementos). entonces a formar conjuntos con
Luego se pedirá a otro niño que forme elementos diversos del aula.
otro conjunto que se parezca a los dos ya Hasta este momento, los conjuntos
formados en lo mismo y finalmente, se serán de todos modos homogéneos, es
pedirá a todos los niños que formen todos decir que cada conjunto estará formado
los conjuntos posibles que tengan el por elementos pertenecientes a la misma
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13. clase. Si no surge espontáneamente, la los elementos que se parecen”. Los niños
maestra puede formar un conjunto formarán así en un sitio la familia de los
constituido, por ejemplo, por una silla, un conjuntos de 4 elementos, en otro sitio la
niño, un lápiz y un libro y preguntar si familia de los conjuntos de 3 elementos,
ella puede formar ese conjunto y decir etc. Se preguntará si en cada familia
que se parece a los anteriores. En el caso podría colocarse algún conjunto más. Los
de que algún niño lo haya hecho niños darán (verbalmente) ejemplos de
espontáneamente, se analizará también la otros conjuntos que podrían incluirse en
situación. Los niños verán entonces que, cada familia, hasta que esté claro que,
cuando se trata de formar conjuntos que como dijo un niño, “todo el mundo”
se parezcan entre sí, lo único necesario podría organizarse en conjuntos de 2, 3 o
que los conjuntos tengan 4 elementos. 5 elementos.
c) Transformar conjuntos
Se podrá plantear el problema siguiente: pertenecientes a una familia en
“¿Cómo vamos a llamar a este conjunto?” conjuntos pertenecientes a otra
Se verá entonces que una posibilidad es familia:
decir que es un conjunto de 4 cosas y otra Esta situación puede plantearse a partir
posibilidad es decir que se trata de un de la anterior, o bien puede empezarse
conjunto constituido por “una silla, un pidiendo a los niños que formen una
lápiz, un niño y un libro”. Es decir que en familia de conjuntos de 3 elementos, otra
este caso sólo se puede definir al conjunto familia de conjuntos de 5 elementos, otra
por extensión (nombrando todos y cada familia de 4, etc. (por ejemplo, que
uno de los elementos que lo componen) queden formadas las “familias de
ya que, como los elementos no se parecen conjuntos” de 2, 3, 4 y 5 elementos.
entre sí, no se puede encontrar una Se elegirá entonces a un niño que
definición por comprensión. Este funcionará como “operador”. Recordemos
problema no se nos había presentado que en la tesis sobre clasificación hemos
antes, mientras clasificábamos a los utilizado ya la noción de operador, en las
elementos en base a propiedades situaciones de reunión y disociación de
cualitativas comunes, se nos presenta sólo conjuntos. El operador es el que introduce
cuando clasificamos los conjuntos en base una modificación sobre un conjunto dado.
a la propiedad numérica. En este caso la modificación que
Este tipo de ejercicio puede repetirse introducirá será agregar un elemento en
con uno o dos números más, o sea uno de los conjuntos de una familia
formando conjuntos equivalentes de 3 o 5 determinada. Por ejemplo, se le pedirá:
elementos, hasta que estemos seguros de “vas a agregar un elemento en uno de los
que los niños han comprendido los dos conjuntos de la familia de 3 elementos”.
aspectos a los que acabamos de aludir. El niño lo hará y luego se preguntará:
b) Formar “familias” (o clases) de “¿Qué ocurrió con este conjunto?”
conjuntos: “¿Sigue perteneciendo a esa familia?”
La maestra formará varios conjuntos de Los niños verán que ese conjunto ya no se
3 elementos, varios de 5 elementos, parece en la propiedad numérica a los
varios de 2, varios de 4, cuidando de que otros de la misma familia. “¿Qué haremos
los conjuntos que tienen el mismo entonces con él?” Sin duda los niños
cardinal no queden cerca unos de otros. propondrán pasarlo a la familia a la que
Se pedirá a los niños que “pongan juntos debe pertenecer ahora, es decir a la
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14. familia de los conjuntos de 4 elementos. que los niños entiendan que se trata, cada
Se repetirá esa situación partiendo de las vez, de formar un conjunto equivalente al
distintas familias de conjuntos formadas y anterior y agregar luego un elemento, es
se verá que, en todos los casos, al actuar decir que cada conjunto tendrá un
el operador “agregar un elemento”, el elemento más que el anterior. Se señalará
conjunto sobre el cual actuó pasa a luego el primer conjunto de la serie, se
pertenecer a otra familia. preguntará cuántos elementos tiene y se
Luego se hará lo mismo con el pedirá a los niños que prevean cuántos
operador “sacar un elemento” finalmente elementos tiene el siguiente, que
se aplicarán sucesivamente los operadores comprueben si su previsión es acertada y
“agregar 1” y “sacar 1”, de la siguiente prevean cuántos elementos tiene el
manera: supongamos que los niño siguiente, y así sucesivamente hasta
agregan un elemento en uno de los terminar la serie. Luego se hará lo mismo,
conjuntos de la familia “2”. Ese conjunto pero empezando por el último conjunto
pasará a pertenecer a la familia “3”. Se de la serie y pidiendo que prevean
pedirá entonces al niño que representa al cuántos elementos tiene el anterior. Si
operador “sacar 1” que saque un elemento esto ocasiona dificultades, se puede
de uno de los conjuntos de la familia “3”. construir otra serie, empezando esta vez
Se verá entonces que ese conjunto pasa a por ejemplo por un conjunto de 7
pertenecer a la familia “2”. El objetivo elementos, formando otro conjunto
perseguido es que los niños comprendan equivalente y sacándole un elemento y así
que el operador “sacar 1” tiene un efecto sucesivamente, hasta llegar a formar el
exactamente contrario al del operando conjunto de un elemento.
“agregar 1”. Se hará esto varias veces,
partiendo cada vez de una familia de
conjuntos diferente, empezando a veces
por el operador “agregar 1” y otras veces
por el operador “sacar 1”. Se reproducirá
todo el trabajo realizado con estos
operadores, pero utilizando “agregar dos
elementos” y “sacar dos elementos”.
F. Seriación de conjuntos. Será entonces sobre ésta serie que se
a) Formar conjuntos agregando un preguntará --después de enumerar un
elemento cada vez: conjunto dado-- cuántos elementos
tendrán el siguiente y el anterior. Esto se
La maestra comenzará formando un hará primero en forma ordenada, luego
conjunto de dos elementos, luego formará salteando conjuntos.
al lado un conjunto equivalente y le b) Ordenar conjuntos, en forma
pedirá a un niño que agregue un creciente y decreciente:
elemento, luego formará con conjunto Se presentará un conjunto de 6
equivalente al anterior y le pedirá a un elementos, otro de 4, otro de 7, otro de 1,
niño que agregue un elemento, luego etc. (de modo que representen todos los
pedirá a los niños que continúen haciendo números del 1 al 7), en forma
lo mismo. Mostramos el resultado de esto desordenada. Se pedirá a los niños que los
en el dibujo siguiente: Es importante ordenen desde el que tiene menos
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15. elementos hasta el que tiene más bien dejan de lado los elementos
elementos. Realizado el ordenamiento, se “repelidos” y ordenan uno solo de los que
harán preguntas del siguiente tipo: “¿Qué tienen el mismo tamaño, o bien forman
habría que hacer para que éste (el de 1 con los niños del mismo tamaño una
elemento) tenga igualito de elementos que hilera perpendicular a la serie.
éste (el de 2)?” Y así - sucesivamente, Ambas soluciones son válidas para el
señalando (primero en forma ordenada y ordenamiento de familias de conjuntos: o
luego salteando conjuntos) cada conjunto bien se elige un solo conjunto de cada
de la serie y el siguiente. Luego se “familia”, y entonces se lo está
deshará la serie de conjuntos y se les considerando como representante de su
pedirá que vuelvan a ordenarlos, pero esta clase y se ordenan esos representantes, o
vez de mayor a menor. Se efectuará bien se forman las familias de conjuntos y
entonces el mismo trabajo que antes: se ordenan las familias mismas. Es
“¿Qué habría que hacer para que éste (el indudable que, por analogía con la
de 7 elementos) tuviera igualito que éste situación de seriación por tamaño, los
(el de 6)?”, también primero en forma niños podrán aplicar una de las dos
ordenada y luego salteando conjuntos. soluciones a la seriación numérica.
Luego se preguntará que habría que hacer
para transformar a cada conjunto en
siguiente, y en el anterior.
c) Ordenar familias de conjuntos en
forma creciente y decreciente:
Se presentarán a los niños varios
conjuntos de 2 elementos, varios
conjuntos de 3, etc. (hasta 6 ó 7), en
forma desordenada, y se les pedirá que
ordenen de tal modo que cada conjunto
tenga un elemento más que el anterior:
(Gráfico siguiente).
Es probable que los niños hagan varias
series, poniendo en cada una un conjunto
de dos elementos, un conjunto de 3, etc.
Se les pedirá que queremos que haga una
sola serie con todos los conjuntos.
Seguramente se desconcertarán y dirán
que eso no se puede hacer. Se insistirá en
que encuentren una manera de hacerlo.
En caso de ser necesario, puede
realizarse una situación de seriación por
tamaño con los mismos niños:
encontraremos niños que tienen el mismo
tamaño “¿Qué’ hacemos con ellos?”
Como ya hemos visto en la tesis sobre
seriación, los niños dan dos soluciones: o
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16. Queremos hacer notar que hemos sala podía constituir un conjunto, puesto
omitido—voluntariamente-- la que su color de cabello era diferente al de
consideración del “conjunto vacío” y del las demás y que podía haber ocurrido que
“conjunto unitario”. Ambas nociones son hubiera en la clase otro niño pelirrojo y
muy difíciles para los niños en edad de en ese caso ellos no hubieran dudado en
preescolar. La primera, porque el constituir un conjunto de pelirrojos, etc.
conjunto vacío es, por definición, el Pero el objetivo de esta explicación era
conjunto que no tiene elementos. El niño exclusivamente que Laura no se sintiera
llega a la noción de conjunto a través de mal. La maestra sabía (y era difícil
la clasificación de elementos concretos y dudarlo a juzgar por lo ocurrido) que los
pensar en un conjunto sin elementos niños no podían entender muy bien lo que
resultará de un nivel de abstracción ella decía.
incomprensible para él. Está comprobado De cualquier manera, este problema
que los niños sólo compren de esta noción surgirá cuando efectúen los ejercicios en
hacia los 11-12 años. El caso del conjunto que interviene el operador “sacar”: si los
unitario es menos grave, pero presenta niños le han sacado un elemento a un
también sus dificultades: la noción de conjunto de 3 o 4, seguramente se lo
conjunto resulta, como dijimos recién, de sacarán también al conjunto de 2 y les
la clasificación. Esta consiste, quedará un elemento. Lo más probable es
básicamente, en la agrupación de que ellos no se cuestionen si ese elemento
elementos. Es por lo tanto muy difícil es un elemento o un conjunto. También se
para el niño pensar que va a “agrupar” un le ocurrirá a alguien sacarle un elemento
solo elemento. Piaget ha mostrado que los al conjunto de un elemento y entonces no
niños pequeños tienen, aun en los quedará ningún elemento. Dirán entonces
comienzos del periodo operatorio-- “¡Pero no queda nada!”. Dejémoslo así.
concreto, una gran resistencia a utilizar La educación no se termina en el nivel
los criterios de clasificación que los preescolar. En el futuro tendrán tiempo de
conducirán a formar un conjunto unitario. reflexionar sobre el conjunto vacío, sobre
Contaremos al respecto una experiencia el conjunto unitario, sobre el conjunto
personal: los niños de un grupo unitario y también sobre muchas otras
preparatorio estaban realizando una cosas.
actividad de clasificación espontánea, en
la que el universo considerado eran ellos La representación de la correspondencia
mismos. Eligieron entre otros, como
criterio clasificatorio el color del cabello. En los libritos de Matemática para uso de
Los niños de cabello oscuro comenzaron los niños preescolares, las tareas
a agruparse, los rubios también. La representativas de la correspondencia
maestra vio que una niñita (Laura) suelen ser presentadas de la siguiente
caminaba des orientada por el salón. manera:
Laura era pelirroja y no había en el grupo
ningún otro niño pelirrojo. La maestra
preguntó a todos los niños “¿Y qué
hacernos con Laura?” Un decidido coro
infantil le contestó: “¿Que se vaya?” La
maestra tuvo que dar entonces una
sensata explicación diciendo que Laura
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17. “Une con una flecha cada tacita con su situación de transición, con objetos que
platico” no pueden moverse. Supongamos, por
ejemplo, que acabamos de establecer una
correspondencia efectiva, utilizando las
chaquetas de los niños y el perchero (fijo
en la pared). Hemos preguntado si
alcanzan los ganchos del perchero para
colgar las chaquetas de los niños. Ellos
habrán colgado cada chaqueta en un
gancho y encontrado; por ejemplo, que
sobran algunos ganchos. La maestra
preguntará entonces “¿Y qué pasaría si
fueran los niños del otro preparatorio los
que estuvieran en este salón?”
Si analizamos en función de lo que ya “¿Alcanzarían los ganchos?”
hemos dicho esta forma de plantear el “¿Sobrarían?” Los niños preguntarán
problema, podemos observar que: cómo pueden hacer para saberlo, ya que
1) La consigna no se refiere al las chaquetas de los otros niños no están
número de elementos, de modo allí. La maestra dibujará entonces en el
que el niño no sabrá que pizarrón las chaquetas (sería mejor que el
es lo que está haciendo cuando, pizarrón no estuviera muy cerca del
obedeciendo la consigna, traza las perchero). “¿Bueno, y ahora, como
flechas. podemos hacer?” Los niños verán que no
2) Como el trazado de la flecha ya pueden mover ni los ganchos del perchero
está sugerido en el dibujo, y como ni las chaquetas dibujadas en el pizarrón.
los elementos están dispuestos ya Entonces intentarán inventar alguna
uno frente a otro, el niño no tendrá manera de poner en correspondencia
siquiera el esfuerzo de decidir chaquetas y ganchos.
cómo apareará los elementos, es Entonces intentarán inventar alguna
decir que su trabajo se limitará manera de poner en correspondencia
pura y simplemente a copiar un chaquetas y ganchos. Algunos
dibujo, a trazar una flecha. propondrán dibujar un ganchito en cada
No presentaremos entonces el trabajo chaqueta. Otros propondrán atar un trozo
representativo de esta manera, sino que, de pabilo en cada gancho y llevarlo hasta
en primer lugar, trataremos --como lo cada chaqueta, fijándolo con una chinche,
hemos hecho en el caso de la otro dirán qué un niño señalará cada
clasificación-- de que el niño comprenda chaqueta mientras otro señala cada
la novedad del problema que se le gancho, otros pensarán que se puede
plantea: como los elementos están poner un número en cada chaqueta y
dibujados en una hoja de papel, no escribir el mismo número al lado del
pueden moverse para enfrentarlos y gancho correspondiente. Todas estas
establecer así la correspondencia óptica. soluciones se llevarán a la práctica. Una
Habrá que encontrar entonces una manera niña propuso una vez fijar los ojos en un
diferente de establecerla. gancho y hacer girar su cabeza hasta que
sus ojos se posaran en una chaqueta, y así
En primer término, presentaremos una sucesivamente. La maestra le dijo que lo
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18. hiciera y salió del aula. Luego volvió y - Pedir a los niños que dibujen dos
preguntó: “Bueno, ¿qué hiciste? Yo no conjuntos que tengan el mismo
veo nada”. Los niños dijeron entonces número de elementos.
que era mejor hacerlo de una manera que - Dibujar muchos conjuntos (de
se conservara, para que pudieran enterarse elemento diferentes) equivalentes
los que no lo hubieran visto. La a uno dado. La tarjeta puede
importancia de esto es justamente el valor presentarse así:
de la representación: no desaparece
cuando se pasa a otra tarea, sino que
permanece a la disposición de los que
necesitan ó quieran “leerla”.
--Establecimiento de correspondencia
entre dos conjuntos dibujados:
- Formar familias de conjuntos,
Se dibujan en el pizarrón dos conjuntos,
dados varios conjuntos
de 10 a 12 elementos cada uno, para que
equivalentes y no equivalentes.
el problema no pueda resolverse por
Los niños podrán utilizar aquí la
simple percepción, lo cual haría difícil la
forma de representación que
correspondencia. Por otra parte, el dibujo
emplean para la clasificación.
debe estar hecho de modo que los
Ejemplo de tarjeta:
elementos no estén puestos ya
espacialmente en correspondencia: como
sobre la hoja de papel no podemos
transformar la disposición espacial, será
necesario proponerla ya transformada, por
ejemplo:
-Ordenar conjuntos de tal modo que
cada uno tenga un elemento más (o un
elemento menos) que el anterior.
- Dado un conjunto (dibujado en
una tarjeta) pedir al niño que
dibuje otro que tenga el mismo
número de elementos (o que tenga
un elemento más o un elemento
menos).
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19. Conclusiones
UNO DOS TRES CUATRO
Deseamos recordar, a modo de
síntesis, que los aspectos
fundamentales a tener en cuenta Cuando, en situaciones como ésta, el
cuando se planifica una situación niño dice “cuatro”, esto no significa
didáctica referida al número, sea ésta necesariamente que comprende que
concreta o representativa son los “cuatro” es el cardinal del conjunto
siguientes: constituido por el 4° y todos los
Nunca debemos conformarnos con precedentes, sino que “cuatro” puede ser
situaciones que plantean los simplemente para él un nombre
conjuntos en disposiciones adjudicado a ese cuarto elemento: por lo
espaciales privilegiadas, ya que el tanto lo importante es que el niño cuente
reconocimiento del número o la en situaciones en las que el número
equivalencia numérica en una obtenido será puesto en comparación (o
disposición determinada no en contradicción) con las conclusiones
garantiza de ningún modo que el que extrae de las deformaciones de la
número se conserve al variar dicha configuración, tal como hemos propuesto
disposición. Será por lo tanto en el punto B.
necesario efectuar siempre
transformaciones sobre las Dado que uno de los factores
configuraciones presentadas. importantes que lleva a la conservación
No debe enfatizarse en absoluto el del número es la coordinación de las
aprendizaje “en vacío” de la diversas variables en juego, será
numeración hablada ya que, como fundamental tratar del que el niño tome
hemos visto, el hecho de “saber conciencia de las contradicciones en que
contar” no garantiza de ningún incurre al centrarse en forma alternativa
modo manejo del número. Puede (y no coordinada) en cada una de esas
alentarse, en cambio, la variables, tal como hemos propuesto en
utilización del esquema de contar los ejercicios de tipo A.
colecciones reales de objetos, ya
que el contar objetos es una forma
del esquema más general de poner
en correspondencia. Pero, para
que este esquema sea operativo no
debe utilizarse aisladamente, sino
en situaciones en las que esté en
juego la equivalencia numérica de
dos conjuntos. Utilizado aislada
mente, el esquema de contar
puede ser simplemente colocarle
una etiqueta verbal a cada objeto:
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