Como desarrollar problemas de funciones y conjuntos

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ESAP NARIÑO
CETAP PASTO
GUÍA DE TRABAJO N°1
MATEMÁTICA 1
LÓGICA Y CONJUNTOS
NOVIEMBRE 5 2021
1. LÓGICA PROPOSICIONAL
CONCEPTO
Todos aspiramos a poder razonar y argumentar sin error y con corrección. Desde la antigüedad el
hombre aspira a poseer un mecanismo que le permita comprender lo que se le dice, averiguar si lo
que se le dice es correcto y, sobre todo, averiguar si el cómo se transmite permitan confiar en la
coherencia de lo que se le comunica.
Lógica es una palabra que tiene como raíz el vocablo griego “logos” cuyo significado es “palabra”,
“idea” o “razón”. Por tanto, podemos definir Lógica como la ciencia que se plantea estudiar formas
de razonamiento válidas. Según la Academia de la Lengua “Lógica” es la disciplina que estudia la
estructura, fundamento y uso de las expresiones del conocimiento humano. También la definen
como “el estudio de los métodos y principios del razonamiento humano en todas sus posibles
formas”.
La lógica estudia la forma de razonar, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina
si un argumento es válido o no. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas,
computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase
puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo, la lógica permite saber el significado correcto.
En las matemáticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticos que puedan ser
aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica
en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo;
para ir de compras se tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha
actividad. Si una persona desea limpiar su casa, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no
puede trapear sin antes no barre, o debe asear la parte baja de la casa si antes no aseo la parte alta
porque se ensuciaría lo que ya tiene aseado, según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.
PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDAD
Las proposiciones se representan simbólicamente mediante el uso de letras minúsculas del alfabeto
tales como p, q, r, s, ..., x, y, z, las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicionales, de
esta forma, el lenguaje proposicional se hace más simple y exacto que el lenguaje natural. Los
siguientes ejemplos ilustran cómo se pueden simbolizar las proposiciones:
 p: Hoy es viernes.
 q: Estudio administración pública.
 r: Cali es llamada la capital del la salsa

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 s: 2 no es un número primo.
 x: 5 + 2 = 9.
Es decir, se puede establecer una relación biunívoca entre el lenguaje natural y el lenguaje formal.
Estas proposiciones generalmente se llaman frases. En el lenguaje cotidiano se encuentran
expresiones como, por ejemplo:
 p=Los limones son verdes y tienen pepas=q
 ¿El deportivo Pasto clasifico=p o no clasifico?=- q
 En el país no hay empleo.= - q
 Si estudio lógica matemática entonces seré un destacado administrador publico.
 6 es un número par si y sólo si se puede dividir por 2.
Estas expresiones se denominan oraciones y para su formación se utilizaron las letras y, o, no, si
entonces, sí y sólo si, que sirvieron para unir o enlazar los enunciados.
EJEMPLOS
p: Las rosas son rojas.
q: Las rosas tienen espinas.
p ∧ q: Las rosas son rojas y tienen espinas.
r: ¿El deportivo pasto clasifico?
-s: ¿ El deportivo pasto no clasifico?
r v -s: ¿ El deportivo pasto clasifico o no clasifico
t: En el país hay empleo.
- t: En el país no hay empleo.
x: Estudio lógica matemática
y: Seré un destacado administrador público
x → y: Si estudio lógica matemática entonces seré un destacado administrador público.
u: 6 es un número par.
v: 6 es divisible por 2.
u ↔ v: 6 es un número par si y sólo si es divisible por 2.
En lógica se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones: simples y o compuestas,
veamos:
Proposiciones simples: Se denominan proposiciones simples aquellas oraciones que no utilizan
conectivos lógicos. Estos son algunos ejemplos:
p: El sol es un fenómeno natural.
q: La luna es un satélite de la tierra.
r: 4 es un número impar.
s: -1 es el inverso de 1.

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El valor de verdad de una proposición simple puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no los dos
valores al mismo tiempo, pues dejaría de ser proposición.
Proposiciones Compuestas. Las proposiciones compuestas son aquellas que se obtienen
combinando dos o más proposiciones simples mediante términos de enlace. Estos son algunos
ejemplos de proposiciones compuestas:
p: Está lloviendo.
q: El sol brilla.
p ∧ q: Está lloviendo y el sol brilla, conjunción
x: ¿Quieres wiski?
y: ¿Quieres té?
x v y: ¿quieres wiski o té? disyunción
s: sol.
r: Hace calor.
s → r: Si hace sol entonces hace calor.condicional
p: Un triángulo es equilátero.
q: Un triángulo tiene sus tres lados iguales.
p ↔q: Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene sus tres lados iguales. bicondicional
La veracidad o falsedad de una proposición compuesta, depende del valor de verdad de cada una de
las proposiciones simples que la conforman y de la forma como estén combinadas; para establecer
este valor.
Conectivos Lógicos. Como ya se dijo en la sección anterior, los símbolos que sirven para enlazar
dos o más proposiciones simples, se llaman conectivos lógicos, estos son: la negación, la
conjunción, la disyunción, el condicional y el bicondicional.
Denotamos los enunciados simples por letras mayúsculas p, q, r , s . . . Para construir enunciados
compuestos introducimos símbolos para las conectivas o nexos de unión:
CONECTOR LÓGICO OPERACIÓN ESQUEMA SIGNIFICADO
- Negación no. p - p
∧ Conjunción p y q p ∧ q
V Disyunción p o r p V q
→ Condicional Si p, entonces p p→q
↔ Bicondicional p si, y solo si q p↔q
Denotaremos con letras minúsculas p, q, r, s a las variables de enunciado que designan
enunciados simples arbitrarios. Estas variables nos permitirán describir las propiedades que poseen
los enunciados y las conectivas. Como todo enunciado es verdadero o falso, una variable de
enunciado tomará uno u otro de entre estos dos valores de verdad: V (verdadero) o F (falso).

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LA NEGACIÓN (~, -)
Sea p una proposición simple. Se define la negación de p mediante la proposición compuesta no p
simbolizada por: ~ p. Ver los siguientes ejemplos.
p: 3 es un número entero primo.
~ p: 3 no es un número entero primo, también se puede leer. Es falso que 3 es un número entero
primo.
q: El auto fantástico es negro.
~ q: El auto fantástico no es negro, o, es falso que el auto fantástico es negro.
Tablas de verdad para la negación
Para definir con precisión el significado de los símbolos que representan las distintas conectivas,
debemos conocer con precisión el significado de dichas conectivas. Consideremos una a una todas
las conectivas:
Negación
Sea p un enunciado, denotaremos por -p a su negación. Si p toma el valor
verdadero (falso respuesta.) entonces -p tomará el valor falso (verdadera
respuesta.) siendo irrelevante el significado de p. Esto se puede describir
mediante la tabla de verdad.
p -p
V F
F V
Negación ( - ). La forma enunciativa -p permite simbolizar un enunciado
del tipo:
no p;
no es cierto que
p;
es falso que p.
Ejemplos de negación. COMPLEMENTARIOS
1) Canela no quiere salir de su escondite.=- r r= Canela quiere salir de su escondite
2) Con Pepe no iremos al cine hoy.= - p P= Con Pepe iremos al cine hoy
3) No creo que lo que afirmas sea cierto.= - q q= creo que lo que afirmas sea cierto
4) El abogado nunca creyó en la acusación= -p
5) El árbol tampoco dará frutos el próximo año= - r…
6) El juez no aceptó la acusación= - q
7) El trasmilenio no llegó en el horario pautado = - r
8) El testigo quiso declarar en contra del abusador =r -r= El testigo no quiso declarar en contra
del abusador
9) Ella no ha asistido a clases hoy ni ayer= -t t=.
10) Ella tampoco había traído pasteles= -s s= Ella había traído pasteles.

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11) En el paseo muchos niños no quisieron jugar por el frío.
12) En ninguna ocasión he sentido desgano al verte.
13) Es mejor que no lo intentes.
14) Nunca intervengas en este asunto
15) Esa tarde no había personas en la calle.
LA CONJUNCIÓN. ∧
Sean p ∧ q dos proposiciones simples. La proposición compuesta p y q simbolizada por p ∧ q, se
denomina la conjunción de p y q.
EJEMPLOS.
La proposición compuesta r ∧ s: 8 es número par y entero positivo, está formada por:
r: 8 es un número par.
r∧s: 8 es número par y entero positivo
s: entero positivo.
p ∧ q: Termino de escribir mi articulo y luego jugaré soccer
p: Termino de escribir mi articulo.
p∧q: Termino de escribir mi articulo y luego jugaré soccer
q: jugaré soccer.
Para establecer el valor de verdad de la conjunción, surgen las siguientes posibilidades:
1. Que p y q sean verdaderas.
2. Que p sea verdadera y q sea falsa.
3. Que p sea falsa y q verdadera.
4. Que p y q sean falsas.
A continuación, se analizan estas posibilidades para el ejemplo 1, el análisis del ejemplo 2 se deja
como ejercicio.
Primero. r: Verdadera. 8 es un número par.
s: Verdadera. 8 es un entero positivo.
r ∧ s: Verdadera (V) 8 es un número par y es un entero positivo
Segundo. r: Verdadera. 8 es un número par.
-s: Falsa. 8 no es un entero positivo.
r ∧ -s: Falsa (F). 8 es un número par y no es un entero positivo
Tercero. -r: Falsa. 8 no es un número par.
s: Verdadera. 8 es un entero positivo.
r ∧ s: Falsa (F). 8 no es un número par.y es un entero positivo
Cuarto. -r: Falsa. 8 no es un número par.

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-s: Falsa. 8 no es un entero positivo.
r ∧ s: Falsa (F).
Tablas de verdad para la conjunción
Conjunción
Sean p y q dos enunciados, denotamos por p ∧ q a la conjunción
de ambos. Su tabla de verdad depende de los valores de verdad
que toman p y q.
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Conjunción (∧). La forma enunciativa p ∧ q, simboliza
enunciados de la forma:
p y q;
p pero q;
p no obstante q;
p sin embargo q.
Ejemplos de conjunción: complementarios
1) Me desperté=q no me aliste tan pronto pude=-p . Me desperté y no me aliste tan pronto
pude=q y- p= F
Había tenido un día terrible=q los jefes no fueron la causa.=-p p y- q= F
2) No Está lloviendo=-s además no está haciendo frio=-r -s y -r= NOEstá lloviendo y además NO
está haciendo frio=F
3) Carlos=q alba fueron a cenar juntos =p q y p=. Carlos y Alba fueron a cenar juntos V
4) Luis estudia licenciatura=p, no informática= -q p y –q=. Luis estudia licenciatura y, no
informática = F
5) Los ingenieros diseñaron = p e instalaron un puente en el área=q p ∧q
6) Se dijo= q y se especulo muchas cosas que estaban fuera de la realidad=p q ∧ p=V
7) Brindaron= r y celebraron el grado de administrador=s =V.
8) Es bueno aprender=q e imitar las buenas acciones=p.
9) Tus palabras=p tus acciones no siempre concuerdan= -q p y –q= Tus palabras y tus acciones
no siempre concuerdan= F
10) Ese niño no lee= -p no escribe a la perfección=-q –p y –q= Ese niño no lee y no escribe a la
perfección.= F
11) Todos los alumnos deben convivir=r integrarse a la dinámica del grupo=s r y s= Todos los
alumnos deben convivir e integrarse a la dinámica del grupo= V
LA DISYUNCIÓN. V
Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición p o q, simbolizada, p v q. se llama disyunción
de p y q.
Ejemplos.
1. r v -s: Juan estudia administración o Paula no estudia derecho=-s.
r: Juan estudia administración. y
svr: r v –s= Juan estudia administración o Paola no estudia derecho = V

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-s: Paola no estudia derecho.
2. x v y: Quieres hervido o cerveza.
x: Quieres hervido.
v: O
y: Quieres cerveza.
3. p v q: Alexandra vive en Bogotá o en Buga.
p: Alexandra vive en Bogotá.
v: O
q: Alexandra vive en Buga.
Tablas de verdad para la disyunción
Disyunción
Sean p y q dos enunciados. En castellano tenemos dos usos
distintos para la disyunción “o”, elegimos “p o q o ambos” para
nuestra disyunción que denotamos por p v q. Su tabla de verdad
será:
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
Disyunción (∨). La forma enunciativa p ∨ q simboliza enunciados
de la forma:
p o q;
al menos p o q.
Ejemplos de disyunción: complementarios
1) No sé si ir a la playa=- r no a la montaña este verano=-s - r o -s=. No sé si ir a la playa o no a la
montaña este verano = F
2) Compremos cinco=p o seis kilos de carne para que podamos comer todos=q . p ∨ q=V
3) Ya no sé si es la mujer que yo conocí=-p o alguien me la cambió=q -p ∨ q= V
4) ¿Aceite de oliva o de girasol?
5) A veces mi madre no recuerda si tiene dos o tres hermanos.
6) Rosas u hortensias estarán bien para una mujer como ella.
7) ¿Estudias o al menos trabajas?
8) Mi perro favorito es el que tiene huevos de codorniz o el que tiene frutos rojos
9) Con cuatro u ocho huevos podrás hacer un excelente desayuno casero.
10) Estaremos en lo de Paula o en lo de Andrés, de todos modos, son lugares muy cercanos.
11) Ven a mi fiesta=r o no iré a la tuya=-s= V r v -s= V
12) Puedes ir a la lavandería de esta cuadra, o caminar varias más para conseguir una más barata
13) Pido al señor fiscal o al señor Juez que tomen nota de este asunto.
14) Todavía dudo entre comprar un auto nuevo o un usado con pocos kilómetros.
15) Uno u otro terminará por revelar el secreto.

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CONDICIONAL →
Se dice que una proposición compuesta es condicional, si está formada por dos proposiciones simples
enlazadas por la expresión, si..entonces..
Si p y q representan dos proposiciones, la expresión .si p entonces q. se simboliza así:
p → q y se lee p implica q.
La proposición precedida por la expresión,sí., se llama antecedente o hipótesis y la proposición
precedida por la expresión entonces, se llama consecuente o conclusión de la implicación. En la
expresión p → q, el antecedente es p y el consecuente es q.
Los siguientes ejemplos ilustran los anteriores enunciados:
 Si un entero es múltiplo de 6 entonces es divisible por 2.=q p → q
 Si Apruebo el semestre entonces estudio=q . p → q
 Si El algoritmo está bien enunciado entonces el programa corre=q . p → q
 Si dos rectas nunca se cortan entonces necesariamente son paralelas=q p → q.
Cuando una proposición condicional se escribe en una de las anteriores formas, probablemente, en el
lenguaje común habrá alguna que no se interprete como se desea, pero como la lógica no permite
ambigüedades, éstas se deben escribir según la definición dada en la sección.
Tablas de verdad para el condicional
Condicional
Sean p y q dos enunciados. Denotaremos por p→q para
representar el enunciado “p implica q” o “si p entonces q”. Ahora el
castellano no nos ayudará a construir una tabla de verdad.
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
En lenguaje matemático p → q quiere decir que, si p es
verdadero, necesariamente q es verdadero o lo que es igual que es
imposible que q sea un enunciado falso y p sea verdadero. No
obstante, la dificultad está en asignar el valor de verdad V en el
caso en el que p toma el valor F. Nótese que en matemáticas este
tipo de enunciados no nos dicen nada a partir de la falsedad de p.
Condicional (→). La forma enunciativa p → q simboliza
enunciados de la forma:
sí p entonces q;
p implica q;
p solo si q;
p suficiente para q;
q necesario para p;
q cuandoquiera que p;
q siempre que p;
no p a menos que q.
Ejemplos de condicional complementarios
1) no como mucho=- p, no engordo= -q ´-p -q= Si no como mucho entonces no engordo
2) Si García Lorca fue un poeta entonces, Gauss fue un matemático=q p → q
3) Si gano las elecciones entonces, bajaré los impuestos=q p → q

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4) Si estudio mucho entonces, me canso=q p → q
5) SiTú no´ eres administrador entonces yo no soy el gerente=-q -p → -q= V
6) Si tienes tiempo entonces llámame=q p → q
7) ahorro suficiente dinero, podre irme de vacaciones a Europa
8) Si tengo tiempo, entonces almorzamos juntos.
9) Si te duermes, entonces te caerás.
10) Si el agua hierbe, entonces te quemas.
11) Si no tienes calor entonces no nos desvestimos.=-q- p → -q
12) SI te duele entonces no toma pastillas= -q . p → -q =F
13) Si tienes sed, entonces tome jugo.
14) Si no entienden la oración= -P, entonces ordénela=Q. -p → q=V
15) Si hubiéramos terminado más temprano, habríamos ido a cenar.
EL BICONDICIONAL ↔
Se denomina bicondicional a la proposición formada por dos proposiciones simples conectadas por la
expresión, sí y sólo sí.
Simbólicamente si p y q son proposiciones simples, la doble implicación p ↔ q constituye un
bicondicional, donde p recibe el nombre de primer miembro y q segundo miembro.
El bicondicional está formado por las implicaciones p ↔q y q ↔p, las cuales deben tener el mismo
valor de verdad para formar una equivalencia entre p y q; en consecuencia, se dice que la proposición
p es equivalente a la proposición q y se acostumbra a escribir p ↔q.
Ejemplos. Dadas las proposiciones:
p: Un triángulo es rectángulo. p ↔q:
q: Un triángulo tiene un ángulo recto
El bicondicional p ↔ q se puede traducir de las siguientes formas:
 Un triángulo es rectángulo sí y sólo sí tiene un ángulo recto. p ↔q
 Un triángulo tiene un ángulo recto sí y sólo sí es un triángulo rectángulo q ↔p
 Si un triángulo es rectángulo entonces tiene un ángulo recto y si un triángulo tiene un ángulo recto
entonces es un triángulo rectángulo.
 Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo sea rectángulo es que tenga un
ángulo recto.
 Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo tenga un ángulo recto es que sea
un triángulo rectángulo.
 Un triángulo rectángulo es equivalente a un triángulo con un ángulo recto.

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Tablas de verdad para el bicondicional
Bicondicional
Sean p y q dos enunciados. Denotamos el enunciado “p si y
sólo si q” o “p equivale a q” por p↔q.
p q p↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
Bicondicional (↔). p ↔ q denota enunciados de la forma: p si y sólo si q;
p necesario y suficiente para
q
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1
Escribir las proposiciones respectiva para cada uno de las oraciones planteadas como su
representación variable proposicional si es p,q
1. Escribir las proposiciones simples de negación y verdad y simbolizar por p.
 Creo que lo que dices sea cierto
 El juez aceptó el pedido
 Ella ha asistido a clases hoy ni ayer
 En ocasión he sentido desgano al verte
 Esa tarde había personas en la calle
2. Escribir las proposiciones conjuntivas para los casos siguientes y simbolizar por p y q.
 Está lloviendo además está haciendo frio
 Los ingenieros diseñaron instalaron un puente en el área
 Es bueno aprender imitar las buenas acciones
 Todos los alumnos deben convivir integrarse a la dinámica del grupo
 Saldrás en televisión al aire y no dirás un discurso frente a miles de personas
3. Escribir las proposiciones disyuntivas para los casos siguientes y simbolizar por p o q.
 Ya no sé si es el hombre que yo conocí alguien me lo cambió
 Todavía dudo entre comprar un auto nuevo un usado con pocos kilómetros
 Mi perro favorito es el que tiene codorniz el que tiene piña
 No Puedes ir a la lavandería de esta cuadra caminar varias más para conseguir una más
barata
 Pido al señor fiscal al señor Juez que tomen en cuenta este asunto

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4. Escribir las proposiciones condicionales para los casos siguientes y simbolizar por p q.
SI ENTONCES
 Gano las elecciones bajaré los impuestos
 Tienes tiempo llámame
 No Te duermes te caerás
 Te duele ponte hielo
 Hubiéramos terminado más temprano no habríamos ido a un cine
5. Escribir las proposiciones Bicondiconales para los casos siguientes y simbolizar por p q.
SI Y SOLO SI
 esa casa es habitada por una familia ella tiene jardin
 Toda multiplicación cumple con la propiedad conmutativa esta tiene un elemento neutro.
 Una razón es una división una fracción es una división
 De las nubes brota la lluvia este proceso es producto del ciclo del agua
 El sistema solar NO lo componen 9 planetas todos los planetas tienen satélites

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2. CONJUNTOS
CONCEPTO
El concepto de conjunto es el más primitivo y fundamental de la estructura matemática que, no
estrictamente lo definen como: una lista, colección o clase de objetos bien definidos considerados
como una sola unidad, en donde los objetos que pertenecen al conjunto se llama elemento de él. Se
llama conjuntos a:
 Un listado de alumnos del primer semestre Esap Nariño.
 Una familia.
 Los alumnos de una institución educativa.
 Los libros de una biblioteca.
 El sistema solar.
A los conjuntos es costumbre designarlos con letras mayúsculas, mientras que para los elementos se
utiliza letras minúsculas encerrado entre llaves { }. Además, si se toma una parte de elementos de un
conjunto se lo llama subconjunto, o sea un conjunto que está incluido en otro; que también se
designará con letras mayúsculas. Así:
 El conjunto de las letras vocales se puede escribir como. A = { a, o, u, e, i }
 El conjunto múltiplos de 3 comprendidos entre 1 y 20. B = {3, 6, 9, 12, 18}
En general los conjuntos se dividen en dos.
 Conjuntos finitos.
 Conjuntos infinitos.
CONJUNTOS FINITOS
Un conjunto es finito contable tiene elementos fácilmente contables, dando como resultado un número
positivo. Se puede considerar como conjuntos, a los:
 Días de un mes.
 Alumnos de la Esap Nariño. Cetap Peñol
 Libros de la biblioteca de la Esap Nariño.
 Candidatos a ser presidentes de Colombia.
 Niños de un jardín.
CONJUNTOS INFINITOS
Un conjunto es infinito o no contable cuando, NO se puede contar u obtener su valor con exactitud:
Pueden ser considerados como conjuntos infinitos a:

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 Peces de un lago.
 Arboles de una montaña.
 Estrellas del universo.
 Niños del mundo.
 Habitantes de X departamento .
Cuando un conjunto es bastante grande, pero se puede contar o llegar a obtener un resultado lo más
cercano posible al valor verdadero, se lo denomina conjunto infinito contable, así:
 Las casas de la ciudad de Bogotá.
 El ganado vacuno de un departamento.
 Estudiantes universitarios de Colombia.
 Estudiantes del grado once de la Ciudad de Pasto.
Los conjuntos se pueden especificar de dos maneras:
POR EXTENSION
Consiste en escribir todos los elementos, separados por comas y encerrarlos en llaves:
A = {a, o, u, e, i}
B = {3, 6, 9 12, 18}
C = {Alejandra, Marcela, Daniela, Jimena, David}
POR COMPRENSION
Consiste en dar una propiedad común a todos los elementos del conjunto y encerrarlos en llaves; esta
propiedad debe ser muy precisa; la deben cumplir todos los elementos del conjunto y solamente los
elementos del conjunto.
A = {Las vocales del abededario}
B = {los múltiplos de 3<=18}
B = {Los números dígitos}
C = {compañeros de grupo de trabajo}
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Al igual que en aritmética se puede realizar las cuatro operaciones que son suma, resta, multiplicación
y división; mediante los conjuntos se puede realizar algunas operaciones que son utilizadas para
determinar las correspondientes probabilidades, ellas son:
 Unión.
 Intersección.

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 Diferencia.
 Diferencia simétrica.
 Complemento.
UNIÓN
Si se tiene dos o más conjuntos, la unión o reunión de éstos será otro conjunto que está conformado
por los elementos de éstos o uno de ellos, matemáticamente se puede expresar, figura es 1.
A∪B=C={ x : x ∈ A o x∈B }
A∪B
FIGURA 1 unión de conjuntos
Sea A, el conjunto formado por los libros de física del grado diez y sea B el conjunto de libros de física
del grado once. La unión de estos será otro conjunto equivalente a sumar los del grado diez y once.
La unión puede se puede dar entre dos o más conjuntos.
A = {libros de física del grado diez}
B = {libros de física del grado once}
A∪B = C = {Libros de física para secundaria}
Si se toma un informe para secundaria está conformada por diferentes asignaturas que constituyen
los elementos; éstas a su vez se agrupan por áreas y la unión de éstas conforma el informe.
INTERSECCIÓN
La intersección de dos o más conjuntos, es el conjunto que está conformado por los elementos
comunes que pertenecen a cada uno de los conjuntos, matemáticamente la representación para dos
conjuntos es:
A∩B = C = { x : x ∈A y x ∈ B }
Si se cumple que A∩B=φ, se dice que los conjuntos son disyuntos, o sea que no existe intersección,
y se puede representar gráficamente, ver Figura 2

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A ∩ B
FIGURA 2. Intersección de conjuntos
EJEMPLO. Un curso está constituido por U=21 estudiantes y conforman dos equipos; al de Básquet
(B) pertenecen 10 y 14 al de voleibol (V): entonces el conjunto de estudiantes que juegan basket y
voleibol será (C), ver Figura 3.
U=21
B∩V = (B∪V) - U V ∩ B
B∩V = (10 + 14) - 21
B∩V = 24 - 21 = 3 = C
FIGURA 3. Intersección de conjuntos
DIFERENCIA O COMPLEMENTO RELATIVO
Si se tiene dos conjuntos, sean A y B se llama diferencia o complemento relativo de A con respecto a
B; al conjunto de elementos que pertenece a A y no a B, que matemáticamente se escribe:
A – B = C = { x : x ∈ A ∧ x ∉ B }
Si se escribe en proceso inverso se tendrá:
B – A = D = { x : x ∈ B ∧ x ∉ A }
Dando como resultado los conjuntos C y D que son dos conjuntos diferentes, al menos que los dos
sean vacíos. Su representación gráfica está en la Figura 4
C = 3
11V 7 B

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FIGURA 4. Diferencia de conjuntos
EJEMPLO. Si se considera el caso anterior, que consta de un grupo de U=21 estudiantes en donde
el grupo B=10 juegan básquet y el grupo V=14 juegan voleibol; se puede hallar:
U - V, No juegan voleibol, pero sí básquet.
U - B, No juegan básquet, pero sí voleibol.
Reemplazando sus valores numéricos, se tiene: V ∩ B
U – V = 21 – 14 = 7 Juegan únicamente básquet
U – B = 21 – 10 = 11 Juegan únicamente Voleibol
V + B – U = Juegan básquet y Voleibol 14+10-21=3
DIFERENCIA SIMÉTRICA
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es la unión de los elementos de A y B; sin tener en
cuenta los elementos que pertenecen a la intersección, matemáticamente se expresa:
A ∆ B = C = (x : x ∉ A∧x ∈ B) o (x : x ∈ A∧x ∉ B)
A ∆ B = C=(A-B)∪ (B - A)
A ∆ B = C = (A∪B) - (A∩B)
Su representación gráfica se presenta en la Figura 5.
A-B=c B-A=D
A-B B-A
A B
3
U-B=11 U-V=7

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FIGURA .5 diferencia simétrica
Sean los conjuntos: A = {1, 3, 6, 9, 12} y B = {5, 9, 12, 15, 20}. Se puede hallar:
A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A)
A - B = (1, 3, 6)=F
B - A = (5, 15, 20)=Z
A ∆ B=(1,3,6) ∪ (5,15,20)={1,3,5,6,15,20}=Y
F U Z = {1,3,5,6,15,20}=Y
Graficando se tiene la Figura 6
FIGURA 6 Diferencia simétrica
La diferencia simétrica consiste en la unión de dos conjuntos menos la intersección; este concepto es
utilizado en el desarrollo de las probabilidades.
COMPLEMENTACIÓN
Esta operación se efectúa sobre cada una de las partes del universo. Siendo A cualquier parte del
universo U, su complemento se denota de diferentes maneras, así: Ac CA A'. El conjunto
complementario de un conjunto A. es el conjunto de todos los individuos que pertenecen al universo y
no pertenecen al conjunto A. Simbólicamente se puede escribir:
Ac = CA = A' = { x / x ∈ U ∧ x ∉ A }
Como se puede observar en el ejemplo siguiente el conjunto universal está representado por la letra
U y el subconjunto con la letra A
U = {1,3,5,7,9,11}
A = {1,3,5,7} por lo tanto
Ac ={9,11} que son los elementos que le hacen falta al conjunto A para ser igual al conjunto U
1,3,6
5,15,20
A-B B-A

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EJERCICIOS COMPLEMENTARIO 2
. 1.Dados los siguientes conjuntos, debe realizar las operaciones respectivas de conjuntos estudiadas
anteriormente. así:
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
Q = {2, 3, 4, 6, 8};
R = {1, 2, 3, 9, 11, 12}.
Calcular:
a. P – Q= D= (1,5,7)
b. P - (Q - R)=T=P={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}-(4,6,8)=T=P-T=(1,2,3,5,7)=Y
c.P∆Q=(1,5,7) P ∆Q = (P - Q) ∪ (Q - P)=Z=(1,5,7)U(8)=R=(1,5,7,8)=W
d.Q∆R=Y=(4,6,8) Q ∆ R = (Q - R) ∪ (R - Q)=Y=(4,6,8)U(1,9,11,12)=S=D=(1,4,6,8,9,11,12)
e.P∆R=B=(4,5,6,7) P ∆ R = (P - R) ∪ (R - P)= B=(4,5,6,7)U(9,11,12)=S=T=(4,5,6,7,9,11,12)
2. Dados los conjuntos:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} UNIVERSO;
A = {0, 1, 2, 4, 5};
B = {2, 4, 6, 8};
C = {0, 1, 3, 5, 6};
D = { 2 }.
Calcular:
a. A'=(3,6,7,8,9)
b. B'=(0,1,3,5,7,9)
c. A∪B=R=(0,1,2,4,5,6,8)
d. A-B=T=(0,1,5)
e. B – A=Y=(6,8)
f. A – C=D=(2,4)
g. A'- C'=U=(3,6,7,8,9)-(2,4,7,8,9)=T=(3,6)
h. A∩D=S=(2)
i. (A∩C) – N=U=(0,1,5)- N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}=(o) DISYUNTIVO
j. N – A=T=(3,6,7,8,9)
3. Sean los conjuntos A = {a, b, c, d} B = {c, d, e, f, g} y C = {b, d, e, g} Determine:
a. A − B = E = (a, b)
A – B = E (

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b. B − A = C = (e, f, g)
c. C − B=D=(b)
d. (A ∪ C) − B = T = (a, b, d, c, e, g) − B = {c, d, e, f, g}=Y=(a,b)
e. A − (B ∩ C) = A = {a, b, c, d}- D=(d,e,g)=A-D=Y=(a,b,c)
4. Si A = { 1, 2, 4, 5 } y B = { 3, 5 } .Determine el conjunto B - A =Z=(3)
5. Si A = { a, b, c, d, e } , B = { b, c, e } y C = { a, e }, entonces.
a. Cuál es el conjunto: ( A ∩ B ) - C= D= (b,c,e)-(a,e)=C=D-C=A(b,c)
6. Escribir las proposiciones condicionales para los casos siguientes y simbolizar por p y q.
Y encuentre el valor de verdad según la tabla.
 Gano las elecciones, bajaré los impuestos
Gano las elecciones = P
Bajaré los impuestos = Q
P Q
Sí gano las elecciones entonces bajaré los impuestos
VV = V
 Tienes tiempo, llámame
Tienes tiempo= P
Llamame= Q
P Q
Sí tienes tiempo entonces llamame
VV = V
 Te duermes, te caerás.
Te duermes= P
Te caerás= Q
P Q
Sí te duernes entonces caeras
VV = V
 Te duele, ponte hielo.
Te duele= P
Ponte hielo= Q
P Q
Sí te duele entonces ponte hielo
VV = V

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 Hubiéramos terminado más temprano, habríamos ido a un cine.
Hubiéramos terminado más temprano= P
Habríamos ido a un cine= Q
P Q
Sí hubiéramos terminado más temprano entonces habríamos ido a un cine
VV = V
7. Escribir las proposiciones Bicondiconales para los casos siguientes y simbolizar por p y
q.
 En una casa hay jardín esa casa es habitada por una familia.
En una casa hay jardín = P
Esa casa es habitada por una familia = Q
P Q
si En una casa hay jardín solo sí esa casa es habitada por una familia.
VV = V
 Toda multiplicación cumple con la propiedad conmutativa esta tiene un elemento neutro.
Toda multiplicación cumple con la propiedad conmutativa = P
Esta tiene un elemento neutro= Q
P Q
si Toda multiplicación cumple con la propiedad conmutativa solo sí esta tiene un elemento
neutro.
VV = V
 Una razón es una división una fracción es una división.
Una razón es una división = P
una fracción es una división.= Q
P Q
si Una razón es una división una fracción en una división solo sí una fracción es una división
VV = V
 De las nubes brota la lluvia este proceso es producto ciclo del agua.
De las nubes brota la lluvia= P
Este proceso es producto es ciclo del agua = Q
P Q
si De las nubes brota la lluvia solo sí una fracción es una división
VV = V
 El sistema solar lo componen 9 planetas no todos tienen satélites.
El sistema solar lo componen 9 planetas = P
No todos tienen satélites = -Q
P -Q

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El sistema solar lo componen 9 planetas si y solo sí no todos tienen satélites
VF = F