Funciones y graficas

Funciones y GraficasFunciones y Graficas

Relaciones de correspondenciaRelaciones de correspondencia
X F(x)
a
b
c
1
2
3
X F(x)
a
b
c
1
2
3
En las Figuras 1 y 2 se muestran relaciones de correspondencia entre los
conjuntos X y F(x), en donde a los elementos a, b y c de X le corresponden
elementos del conjunto F(x). Puede observarse que no es necesario que a cada
elemento de X le corresponda un único elemento de F(x) (Figura 1), como tampoco
a todos los elementos de X le tiene que corresponder algún elemento de F(x)
(Figura 2)
Figura 1 Figura 2

Relaciones de correspondencia …Relaciones de correspondencia …
xx F(x)F(x)
-2-2 -4-4
00 00
11 22
xx F(x)F(x)
11 11
22 44
33 99
xx F(x)F(x)
11 33
22 77
33 1717
Después de observar las tablas anteriores trata de encontrar
la regla de correspondencia que relaciona las columnas en cada
Tabla.

yx2y2x y?
xx F(x)F(x)
-2-2 -4-4
00 00
11 22
xx F(x)F(x)
11 11
22 44
33 99
xx F(x)F(x)
11 33
22 77
33 1717
Relaciones de correspondencia …Relaciones de correspondencia …

Relaciones de correspondencia…Relaciones de correspondencia…
0.5 1 1.5 2
x
-1
-0.5
0.5
1
y
-2 -1 1 2
x
1
2
3
4
y
y
x
yx2
La Figura 1 muestra la expresión que resulta de extraerle la raíz cuadrada a un
número real positivo o cero. La Figura 2 representa el resultado de elevar al cuadrado
Cualquier número real.
¿Te fijaste en cuantos la recta vertical anaranjada corta a la grafica de la Figura 1?
¿En cuantos corta a la grafica de la Figura 2?
¿Podrías concluir algo?
Figura 1 Figura 2

FunciónFunción
A continuación se te presentan ejemplos deA continuación se te presentan ejemplos de
relaciones de correspondencia que sonrelaciones de correspondencia que son
funciones y otros que no lo son, observa bienfunciones y otros que no lo son, observa bien
las características de los ejemplos, semejanzaslas características de los ejemplos, semejanzas
y diferencias y trata de expresar con tusy diferencias y trata de expresar con tus
propias palabras qué es lo que hace que unapropias palabras qué es lo que hace que una
correspondencia sea una función:correspondencia sea una función:

Función …Función …
X F(x)
a
b
c
1
2
3
X F(x)
a
b
c
1
2
3
X F(x)
a
b
c
1
2
3
si es funciónsi es función si es funciónsi es función
no es funciónno es función
X F(x)
a
b
c
1
2
3
no es funciónno es función

X F(x)
a
b
c
1
2
3
si es funciónsi es función
Una vez analizados los ejemplos anteriores ¿podrías identificar cuáles de las tablas
siguientes representan funciones?
XX F(x)F(x)
-2-2
00
11
XX F(x)F(x)
11
22
33 99
XX F(x)F(x)
11 33
22 77
33 1717

0.5 1 1.5 2
x
-1
-0.5
0.5
1
y
-2 -1 1 2
x
1
2
3
4
y
y
x
yx2
¿ Y de estas gráficas habrá alguna que no sea función?
Sí es funciónSí es funciónNo es funciónNo es función
{(-2, 4), (0, -1), (1, 3), (2, 5) } { (-1, 0), (2, 6), (4, 9), (-1, -1) }
No es funciónNo es funciónSí es funciónSí es función
Para finalizar te presentamos ejemplos de conjuntos de pares
ordenados, uno de los cuales es función y el otro no.

Ahora el momento importanteAhora el momento importante
ha llegado, te toca a tiha llegado, te toca a ti
decirnos qué es una función.decirnos qué es una función.

Definición de funciónDefinición de función
UnaUna funciónfunción ff es una regla dees una regla de
correspondencia que asigna a cada elementocorrespondencia que asigna a cada elemento xx
de un conjuntode un conjunto X,X, exactamente un únicoexactamente un único
elemento,elemento, f(x),f(x), de otro conjuntode otro conjunto F(x)F(x)..
x f
f (x)

Ejemplos de funcionesEjemplos de funciones
 Función linealFunción lineal ( y = m x+b )( y = m x+b )
Otros ejemplosOtros ejemplos
x F (x)
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2
x
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y
0 2
1 3
2 4
3 5
4 6
5 7
y = x + 2
y = 2x – 2
y = -3x +2

Ejemplos de funciones …Ejemplos de funciones …
 Función cuadráticaFunción cuadrática (y = a(y = a x2
+b x+c))
Otros ejemplos:Otros ejemplos:
-2 -1 1 2
x
1
2
3
4
y
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
x F (x)
y = x2
y = x2
– 2 x + 1
y = - 3 x2
+2 x + 3

 Función polinomialesFunción polinomiales
y = x3
-4 -2 2 4
x
-2
-1
1
2
y
-4 -2 2 4
x
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
y
y = x3
+x2
y=3x3
+2x2
−10 x+1
y=x4
−7x3
−x

-4 -2 2 4 6 8 10
x
-4
-2
2
4
y
 Función definidas por partesFunción definidas por partes
y = x2
y = Cos[x]
y = x
x Si − 4≤ x<−2
x2
Si −2≤ x< 0
cos ( x ) Si x ≥0
¿
f ( x )=¿ { ¿ { ¿ ¿¿
¿
− x Si x <0
x Si x >0
¿
f ( x )=∣x∣= ¿ {¿ ¿ ¿
¿
− x Si −2≤ x<0
x3
Si 0≤ x<2
x−2 Si x≥ 2
¿
f ( x )=¿ {¿ { ¿ ¿ ¿
¿

Tipos de funcionesTipos de funciones
 TrigonométricasTrigonométricas
2 4 6 8 10
x
-1
-0.5
0.5
1
y ySin x
2 4 6 8 10
x
-1
-0.5
0.5
1
y yCos x
1 2 3 4 5 6
x
-40
-20
20
40
y yTan x
1 2 3 4 5 6
x
-40
-20
20
40
y yCot x
2 4 6 8 10
x
-20
-10
10
20
y yCsc x
2 4 6 8 10
x
-15
-10
-5
5
10
15
y ySec x

Tipos de funciones …Tipos de funciones …
 Trigonométricas recíprocasTrigonométricas recíprocas
-1 -0.5 0.5 1
x
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
y
-1 -0.5 0.5 1
x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y
-1 -0.5 0.5 1
x
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
y
Sin1
xCos1
xTan1
x

-3 -2 -1 1 2 3
x
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
y
-3 -2 -1 1 2 3
x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y
-3 -2 -1 1 2 3
x
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
y
 Trigonométricas recíprocasTrigonométricas recíprocas
Cot1
x
Sec1
x
Csc1
x

 Funciones hiperbólicasFunciones hiperbólicas
-3 -2 -1 1 2 3
x
-10
-5
5
10
y
-3 -2 -1 1 2 3
x
2
4
6
8
10
y
-3 -2 -1 1 2 3
x
-1
-0.5
0.5
1
y
-3 -2 -1 1 2 3
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
-3 -2 -1 1 2 3
x
-30
-20
-10
10
20
30
y
Sinh[x] Cosh[x] Tanh[x]
Csch[x] Sech[x] Coth[x]
-3 -2 -1 1 2 3
x
-6
-4
-2
2
4
y

 Funciones hiperbólicas reciprocasFunciones hiperbólicas reciprocas
Sinh-1
[x] Cosh-1
[x]
Sech-1
[x]Csch-1
[x]
-3 -2 -1 1 2 3
x
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
y
1.5 2 2.5 3
x
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
y
-1 -0.5 0.5 1
x
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
y
Tanh-1
[x]
-3 -2 -1 1 2 3
x
-6
-4
-2
2
4
y
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
2
4
6
8
10
12
y
-1 -0.5 0.5 1
x
-6
-4
-2
2
4
6
8
y
Coth-1
[x]

 Funciones exponencialesFunciones exponenciales
-2 -1 1 2
x
1
2
3
4
5
6
7
y
y=e
x
3 0.0497871
2 0.135335
1 0.367879
0 1.
1 2.71828
2 7.38906
3 20.0855
x F(x)
f (x)=e2x+1
f (x)=ex2

0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
-10
-8
-6
-4
-2
y
 Funciones logarítmicasFunciones logarítmicas
y=ln(x)
x F(x)
f (x)=ln(2x−1)
f (x)=log(x+1)
0 
1 0.
2 0.693147
3 1.09861
4 1.38629
5 1.60944
6 1.79176
7 1.94591
8 2.07944
9 2.19722
10 2.30259

SECCIONES CÓNICASSECCIONES CÓNICAS

RECTA.RECTA.
y=m x
52.50-2.5-5
5
2.5
0
-2.5
-5
x
y
x
y
SECCIONES CÓNICAS …SECCIONES CÓNICAS …

CIRCUNFERENCIA.CIRCUNFERENCIA.
x
2
+y
2
=r
2
-1 -0.5 0.5 1
x
-1
-0.5
0.5
1
y

PARÁBOLA.PARÁBOLA.
x
2
=±4 pyy
2
=±4 px
52.50-2.5-5
25
20
15
10
5
0
x
y
x
y
54.543.532.521.510.50
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
x
y
x
y

ELIPSE.ELIPSE.
x
2
b2
+
y
2
a2
=1
x
2
a2
+
y
2
b2
=1
-1 -0.5 0.5 1
x
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
y
-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6
x
-1
-0.5
0.5
1
y

HIPÉRBOLA.HIPÉRBOLA.
y
2
a2
−
x
2
b2
=1
x
2
a2
−
y
2
b2
=1
-2 -1 1 2
x
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
y
-2 -1 1 2
x
-2
-1
1
2
y

Funciones de uso prácticoFunciones de uso práctico
Las funciones se utilizan en todas las ramasLas funciones se utilizan en todas las ramas
de la ingeniería para describir elde la ingeniería para describir el
comportamiento de una variable con respecto acomportamiento de una variable con respecto a
otra. Entre algunas de las aplicacionesotra. Entre algunas de las aplicaciones
podemos mencionar los circuitos eléctricos,podemos mencionar los circuitos eléctricos,
mecánica de fluidos, transferencia de calor ymecánica de fluidos, transferencia de calor y
electrónica.electrónica.

Funciones de uso prácticoFunciones de uso práctico
 Área de un circulo en función del radioÁrea de un circulo en función del radio
Volumen de una esferaVolumen de una esfera
A= f (r)=πr
2r
Área
V = f (r )=
4
3
πr3
0 0.
1 3.14159
2 12.5664
3 28.2743
4 50.2655
5 78.5398
6 113.097
7 153.938
8 201.062
9 254.469
10 314.159
x A

Funciones de uso práctico …Funciones de uso práctico …
 Velocidad (Graficar V vs d y V vs t )Velocidad (Graficar V vs d y V vs t )
V = f (d )=
d
t
V = f (t)=
d
t

Transformaciones de funcionesTransformaciones de funciones
Desplazamiento vertical de gráficasDesplazamiento vertical de gráficas
EcuaciónEcuación Como obtener gráficaComo obtener gráfica GráficaGráfica
y = f(x) + cy = f(x) + c
(c > 0)(c > 0)
Desplace la gráfica deDesplace la gráfica de
y=f(x) hacia arribay=f(x) hacia arriba cc
unidadesunidades
y = f(x) - cy = f(x) - c
(c < 0)(c < 0)
Desplace la gráfica deDesplace la gráfica de
y=f(x) hacia abajoy=f(x) hacia abajo cc
unidadesunidades
-2 -1 1 2
x
1
2
3
4
5
6
y
-2 -1 1 2
x
-2
-1
1
2
3
4
y
f(x)+c
f(x)
f(x) - c
f(x)

EjemplosEjemplos
Trace las siguientes gráficasTrace las siguientes gráficas
Desplazamiento vertical de gráficas …Desplazamiento vertical de gráficas …
a) f (x)=x3
−9x
b)h(x)=x3
−9x−20
c) f (x)=x
3
−9x+10

EjemplosEjemplos
Desplazamiento vertical de gráficas …Desplazamiento vertical de gráficas …
a) f (x)=x2
b)h(x)=(x−3)2
c) f (x)=(x+4)
2

-2 -1 1 2
x
-1
-0.5
0.5
1
y
-2 -1 1 2
x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
y
y = f(x)
y = - f(x)
y = f(x)y = -f(x)

EjemplosEjemplos
Gráficas reflejadas…Gráficas reflejadas…
a) f (x)=√x h(x)=−√x
b) f (x)=x3
h(x)=−x3

-3 -2 -1 1 2 3
x
-2
-1
1
2
y
Alargamiento y encogimiento vertical de las gráficasAlargamiento y encogimiento vertical de las gráficas
y = a f(x)y = a f(x)
(a > 1)(a > 1)
Encoja la gráfica deEncoja la gráfica de
y=f(x)y=f(x) horizontalmentehorizontalmente
por un factor igual apor un factor igual a 1/a1/a
y = a f(x)y = a f(x)
(0 < a < 1)(0 < a < 1)
Alargue la gráfica deAlargue la gráfica de
y=f(x)y=f(x) horizontalmentehorizontalmente
por un factor igual apor un factor igual a 1/a1/a
y = a f(x)
f(x)
-3 -2 -1 1 2 3
x
-1
-0.5
0.5
1
y
y = a f(x)
f(x)

EjemplosEjemplos
Alargamiento y encogimiento vertical de las gráficasAlargamiento y encogimiento vertical de las gráficas ……
a) f (x)=
1
2
x2
h( x)=2x2
b) f (x )=cos(x) h(x)=
1
3
cos(x)

-6 -4 -2 2 4 6
x
-1
-0.5
0.5
1
y
-3 -2 -1 1 2 3
x
-1
-0.5
0.5
1
y
Alargamiento y encogimiento horizontal de las gráficasAlargamiento y encogimiento horizontal de las gráficas
y = f( a x)y = f( a x)
(a > 1)(a > 1)
Alargue la gráfica deAlargue la gráfica de
y=f(x)y=f(x) verticalmente porverticalmente por
un factor igual aun factor igual a aa
y = f( a x)y = f( a x)
(0 < a < 1)(0 < a < 1)
Reduce la gráfica deReduce la gráfica de
y=f(x)y=f(x) verticalmente porverticalmente por
un factor igual aun factor igual a aa
y = f ( ax )
f(x)
y = a f(x)
f(x)

EjemplosEjemplos
Alargamiento y encogimiento horizontal de las gráficasAlargamiento y encogimiento horizontal de las gráficas ……
a) f (x)=sin(x) h(x)=sin(2x)
b) f (x)=cos(x) h(x)=cos(0.5x)

-3 -2 -1 1 2 3
x
-1
-0.5
0.5
1
y
-3 -2 -1 1 2 3
x
-1
-0.5
0.5
1
y
Funciones pares e imparesFunciones pares e impares
DefiniciónDefinición Como obtener gráficaComo obtener gráfica GráficaGráfica
ff eses parpar sisi f(-x) = f (x)f(-x) = f (x)
para todas laspara todas las xx en suen su
dominiodominio
La gráfica deLa gráfica de ff eses
simétrica respecto alsimétrica respecto al
ejeeje yy
ff eses imparimpar sisi
f(-x) = - f (x)f(-x) = - f (x) para todaspara todas
laslas xx en su dominioen su dominio
La gráfica deLa gráfica de ff eses
simétrica respecto alsimétrica respecto al
origenorigen
y = f (-x) f(x)
y = f(-x)
f(x)

EjemplosEjemplos
Funciones pares e impares …Funciones pares e impares …
a) f (x)=x5
+x
b) f (x)=2x−x2
c) f (x)=1−x
4

Valores extremos de funcionesValores extremos de funciones
cuadráticascuadráticas
La función cuadráticaLa función cuadrática f(x)=axf(x)=ax22
+bx+c+bx+c puedepuede
expresarse en laexpresarse en la forma estándarforma estándar
completando el cuadrado. La gráfica decompletando el cuadrado. La gráfica de ff es unaes una
parábola de vérticeparábola de vértice (h,k);(h,k); la parábola abre hacia arribala parábola abre hacia arriba
sisi a>0a>0 o hacia abajo sio hacia abajo si a<0.a<0.
f (x)=a(x−h)
5
+k

Valores extremos de funciones cuadráticas …Valores extremos de funciones cuadráticas …
SiSi a>0a>0, entonces el, entonces el valorvalor
mínimomínimo dede ff ocurre enocurre en x=hx=h yy
su valor es desu valor es de f(h)=kf(h)=k
SiSi a>0a>0, entonces el, entonces el valorvalor
máximomáximo dede ff ocurre enocurre en x=hx=h
y su valor es dey su valor es de f(h)=kf(h)=k
1 2 3 4
x
1
2
3
4
5
y
1 2 3 4
x
-1
1
2
3
4
5
y
.
.
(h, k)
(h, k)
mínimo
máximo

EjemplosEjemplos
1.1. Considere la siguiente función cuadrática:Considere la siguiente función cuadrática:
a) Exprese la función en su forma estándara) Exprese la función en su forma estándar
b) Trace la gráfica deb) Trace la gráfica de f.f.
c) Determine el valor mínimo dec) Determine el valor mínimo de f.f.
2.2. Dada la funciónDada la función
a) Exprese la función en su forma estándara) Exprese la función en su forma estándar
b) Trace la gráfica deb) Trace la gráfica de f.f.
c) Determine el valor máximo dec) Determine el valor máximo de f.f.
f (x)=5x
2
−30 x+49
f (x)=−x
2
+x+2

Valor máximo y mínimo de unaValor máximo y mínimo de una
función cuadráticafunción cuadrática
El valor máximo o mínimo de una funciónEl valor máximo o mínimo de una función
cuadráticacuadrática f(x)=axf(x)=ax22
+bx+c+bx+c ocurre enocurre en
SiSi a > 0a > 0, entonces el, entonces el valor mínimovalor mínimo eses
SiSi a < 0a < 0, entonces el, entonces el valor máximovalor máximo eses
f
(−
b
2a )
x=−
b
2a
f
(−
b
2a )

EjemplosEjemplos
Determine el valor máximo o mínimo de cadaDetermine el valor máximo o mínimo de cada
una de las siguientes funciones:una de las siguientes funciones:
a) f (x)=x2
+4x
b)g(x)=−2x2
+4x−5

EjemplosEjemplos
1.1.Entre todos los pares de números cuya suma es 100, determinarEntre todos los pares de números cuya suma es 100, determinar
el par cuyo producto es el más grande posible.el par cuyo producto es el más grande posible.
2.2.Un granjero desea proteger un campo rectangular con una cercaUn granjero desea proteger un campo rectangular con una cerca
y dividirlo en dos campos rectangulares mas pequeños mediantey dividirlo en dos campos rectangulares mas pequeños mediante
una cerca paralela a uno de los costados del campo. Tieneuna cerca paralela a uno de los costados del campo. Tiene
disponibles 3,000 yardas de cerca. _Determine las dimensionesdisponibles 3,000 yardas de cerca. _Determine las dimensiones
del campo, de tal manera que el área protegida sea máxima.del campo, de tal manera que el área protegida sea máxima.
x x x
y

Combinación de funcionesCombinación de funciones
Algebra de funcionesAlgebra de funciones
Supongamos queSupongamos que ff yy gg son funciones con dominiosson funciones con dominios AA yy B.B.
Entonces las funcionesEntonces las funciones ff ++ g, fg, f -- g, f gg, f g yy f / gf / g sese
definen como sigue:definen como sigue:
(f+g)(x)= f(x) + g(x)(f+g)(x)= f(x) + g(x) DominioDominio AA ∩∩ BB
(f - g)(x)= f(x) - g(x)(f - g)(x)= f(x) - g(x) DominioDominio AA ∩∩ BB
(fg)(x)= f(x)g(x)(fg)(x)= f(x)g(x) DominioDominio AA ∩∩ BB
(f / g)(x)= f(x) / g(x)(f / g)(x)= f(x) / g(x) DominioDominio {x{x εε AA∩∩B | g(x)B | g(x)≠≠ 0}0}

EjemploEjemplo
SiSi
Determine:Determine:
a)a) f+gf+g
b)b) f – gf – g
c)c) f gf g
d)d) f / gf / g
f (x)=x
2
+4x y g(x)=√x
Combinación de funciones …Combinación de funciones …

Composición de FuncionesComposición de Funciones
Dadas dos funcionesDadas dos funciones ff yy g,g, lala funciónfunción
compuestacompuesta ffoogg (también conocida como(también conocida como
composicióncomposición dede ff yy gg)) está definido por:está definido por:
( f ∘g)(x)= f (g (x))
x
g
g (x)
f
f (g (x))
Entrada Salida

EjemploEjemplo
SeaSea
Determine:Determine:
a)a) f o g, g o ff o g, g o f y sus dominios.y sus dominios.
b)b) CalculeCalcule (f o g)(5)(f o g)(5) yy (g o f)(7)(g o f)(7)
f (x)=x
2
y g( x)=x−3
Composición de Funciones …Composición de Funciones …
-3 -2 -1 1 2 3
-6
-4
-2
2
4
6
8
-5 -2.5 2.5 5 7.5 10
10
20
30
40
50
60
70
f o gf o g
g o fg o f
ff
gg

Funciones uno a uno y sus inversasFunciones uno a uno y sus inversas
Una función con dominioUna función con dominio AA se conocese conoce
comocomo uno a unouno a uno si no hay dos elementos desi no hay dos elementos de AA
que tengan la misma imagen, esto es:que tengan la misma imagen, esto es:
f (x1 )≠ f (x2) siempre que x1≠x2
f es uno a uno f es no es uno a uno
a
b
c
1
2
3
a
b
c
1
2
3
A AB B

Definición de función inversaDefinición de función inversa
SeaSea ff una función uno a uno con dominiouna función uno a uno con dominio AA yy
rangorango B.B. Entonces, suEntonces, su función inversafunción inversa ff-1-1
tienetiene
dominiodominio BB y rangoy rango AA y está definida por:y está definida por:
para cualquierpara cualquier yy enen B.B.
f
−1
(y)=x ⇔ f ( x)=y
f
x f (x)
A B
f -1

Propiedades de las funciones inversasPropiedades de las funciones inversas
SeaSea ff una función uno a uno con dominiouna función uno a uno con dominio AA y rangoy rango B.B.
La función inversaLa función inversa ff -1-1
satisface las siguientessatisface las siguientes
propiedades de cancelación.propiedades de cancelación.
ff -1-1
( f( x ) )= x( f( x ) )= x Para cualquierPara cualquier xx enen AA
f (ff (f -1-1
( x ) )= x( x ) )= x Para cualquierPara cualquier xx enen BB
Recíprocamente, cualquier funciónRecíprocamente, cualquier función ff -1-1
que satisfagaque satisfaga
estas ecuaciones es la inversa deestas ecuaciones es la inversa de f.f.

-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
EjemploEjemplo
Determina siDetermina si sonson
inversasinversas
f (x)=x3
f (x)=x
3
y g(x)=
3
√x
Funciones inversas…Funciones inversas…
f
−1
(x)=
3
√x

Cómo determinar la función inversaCómo determinar la función inversa
de una función de uno a unode una función de uno a uno
1.1. EscribaEscriba y = f(x)y = f(x)
2.2. Resuelva esta ecuación paraResuelva esta ecuación para xx en términos deen términos de
yy (si es posible)(si es posible)
3.3. IntercambieIntercambie xx yy y.y. La ecuación resultante esLa ecuación resultante es
y= fy= f -1-1
(x).(x).

Funciones y graficas

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Funciones y graficas

Similar a Funciones y graficas (20)

Más de Raul Lozada

Más de Raul Lozada (20)

Funciones y graficas