Unidad6 determinantes_algebra superior_rosa_depena

Determinantes
UNIDAD 6
Prof. Rosa De Peña

1
Algebra Superior Rosa De Peña & Tulio Mateo
Determinantes
Unidad 6
Índice
6.1 Definición y notación de determinante…………………………………………………..2
6.2 Cálculo de un determinante de segundo orden……………………………………… ..2
6.3 Regla de Sarrus para calcular el valor de un determinante de tercer orden……….3
6.4 Propiedades de los determinantes……………………………………………………….3
6.5 Menor complementario……………………………………………………………………4
6.6 Cofactor o Adjunto………………………………………………………………………….4
6.7 Desarrollo de determinantes por los elementos de una línea………………….……5
6.8 Método para calcular un determinante de orden n  3…………………………........ 6
6.9 Método pivotal o de Chío para calcular determinantes de cualquier orden…………6
6.10 Multiplicación de determinantes. Determinante del producto de matrices………….9
6.11 Matriz de los cofactores…………………………………………………………………10
6.12 Matriz adjunta……………………………………………………………………………10
6.13 Matriz inversa de una matriz cuadrada………………………………………………10
6.14 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales usando la regla de Cramer.. ..13
6.15 Ejemplos………………………………………………………………………………..…16
Practica Propuesta No.1. Unidad 6…………………………………………………………..17
Practica Propuesta No. 2. Unidad 6………………………………………………………….21
Cuestionario Unidad 6…………………………………………………………………………26
Bibliografía Consultada ………………………….……………………………………………27

2
Determinantes
Unidad 6
6.1 Determinantes
Un determinante asociado a una matriz cuadrada de orden "n" en donde "n" es cualquier número
entero y positivo, se representa con un arreglo cuadrado de 2 n elementos, dispuestos en "n"
columnas y "n" filas colocados entre barras verticales. Su valor viene dado por la suma algebraica
de todos los posibles productos distintos, cada uno con"n" factores, que pueden formarse al tomar
un elemento, y solamente uno, de cada columna y de cada fila. Estos productos van precedidos de
los signos más o menos según que presenten un número par o impar de inversiones. El producto
formado con los elementos de la diagonal principal no tiene inversiones y está precedido por el
signo más, llamándosele término principal.
6.2 Calculo de un determinante de segundo orden: 1 2 2 1
2 2
1 1 a b a b
a b
a b
A   
Calculo de un determinante de tercer orden:
1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1
3 3 3
2 2 2
1 1 1
a b c a b c a b c a b c a b c a b c
a b c
a b c
a b c
B       
Cada término del desarrollo es el producto de tres literales escritos en orden alfabético, diciendo
que se trata de su orden natural. Los términos difieren unos de otros solamente en el orden de los
subíndices 1,2,3 los cuales pueden permutarse en 3! 6 formas diferentes. Los subíndices del
primer término del desarrollo son 1,2,3 , ordenados según su magnitud, este orden se llama el orden
normal. Cuando un subíndice mayor precede a uno menor, se dice que definen una inversión. El
primer término 1 2 3 a b c , formado con los elementos de la diagonal principal, no tiene inversiones.

3
Determinantes
Unidad 6
6.3 Regla de Sarrus para calcular el valor de un Determinante de Tercer Orden
Un modo sencillo de determinar el valor de un determinante de tercer orden es aplicando la Regla de
Sarrus. La regla consiste en repetir debajo de la última fila, las dos primeras filas del determinante o en
repetir al lado de la última columna, las dos primeras columnas del determinante. Luego se procede a
trazar tres diagonales de derecha a izquierda y tres de izquierda a derecha que incluyan siempre tres
elementos. Los productos de los elementos que están en las diagonales trazadas de izquierda a derecha
se escriben con su propio signo y los productos de los elementos que están en las diagonales trazadas de
derecha a izquierda con el signo cambiado; produciendo la suma algebraica de dichos productos el valor
del determinante.
6.4 Propiedades de los Determinantes
I. Si todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz cuadrada 퐴 son nulos, el determinante
A  0 Esto es así debido a que, como cada término del desarrollo de un determinante contiene un
elemento de esta fila (o columna), entonces todos los términos de la suma serán nulos.
II. Si en un determinante se intercambian las filas por las columnas, el valor del determinante no se
altera.
T A  A
A partir de esta propiedad se concluye que cualquier teorema sobre los determinantes que sea válido
para sus filas es también válido para sus columnas
III. Si dos filas (o columnas) de un determinante se intercambian, el valor del determinante cambia de
signo pero conserva su valor absoluto. O sea que si B se obtiene de 퐴 permutando dos cualesquiera de
sus líneas, entonces B   A
IV. Si en un determinante hay dos filas o dos columnas iguales su valor es cero.
V. Si cada elemento de una fila (o columna) de un determinante se multiplica por un mismo escalar "k"
, entonces el nuevo determinante tiene un valor igual a "k" veces el del determinante original.
 
2 2
1 1
1 2 2 1 1 2 2 1
2 2
1 1
a b
a b
ka b ka b k a b a b k
ka b
ka b
    
De esta propiedad se deduce que si todos los elementos de una fila (o columna) tienen un factor común
"k" entonces "k" es un factor del determinante. Este factor común "k" puede eliminarse de cada
elemento de la fila y colocarse como multiplicador frente al determinante resultante.

4
Determinantes
Unidad 6
VI. Si en un determinante los elementos de una fila (o columna), son iguales a los de otra fila (o
columna) multiplicados por un mismo número, su valor es igual a cero.
 
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3 3 3
2 2 2
1 1 1
a a b
a a b
a a b
k
ka a b
ka a b
ka a b
    0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 2 3  k a a b  a b a  a a b a a b  b a a  b a a  k 
VII. Si cada elemento de una fila (o columna) de un determinante es igual a la suma de varios
términos, el determinante puede escribirse como la suma de tantos determinantes como términos
tengan los elementos de la fila(o columna) de que se trate.
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3 3 3 3 3
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
k b c
k b c
k b c
m b c
m b c
m b c
a b c
a b c
a b c
a m k b c
a m k b c
a m k b c
  
 
 
 
Ver ejemplo con la diagonal principal   1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a  m  k b c  a b c m b c  k b c
VIII. Si cada elemento de una fila (o columna) de un determinante se multiplica por el mismo número
"k" y el resultado se suma al elemento correspondiente de otra fila (o columna) el valor del
determinante no se altera.
6.5 Menor Complementario
Se llama menor complementario de un elemento de un determinante, al determinante de orden inmediato
inferior que se obtiene al suprimir la fila y la columna a que pertenece dicho elemento.
Ejemplos: Dado:
0 2 3
1 1 1
3 0 2



A  Hallar: a) 11 M b) 23 M c) 32 M
a) 11 M =
2 3
1 1


b) 23 M =
0 2
3 0
c) 32 M =
1 1
3 2


6.6 Cofactor o Adjunto
Se llama cofactor de un elemento de un determinante al menor complementario de ese elemento,
precedido por el signo más o el signo menos, según que la suma de los números de la fila y la columna a
que pertenece el elemento sea par o impar, respectivamente.

5
Determinantes
Unidad 6
Ejemplos
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
A  a) 11 M =
32 33
22 23
a a
a a
b) 21 M =
32 33
12 13
a a
a a
Cofactores:   
11 11
2 1
11  1 M  M  
  
21 21
2 1
21  1 M  M  
6.7 Desarrollo de un Determinante por los Elementos de una Línea
El valor de cualquier determinante de orden"n" es igual a la suma de "n" productos cada uno de los
cuales se forma multiplicando cada elemento de una cualquiera de las filas (o columnas) por sus
cofactores correspondientes. Entonces en este caso se dice que el determinante se ha desarrollado con
respecto a los elementos de esta fila o columna.
    11 11 12 12 13 13 A a  a  a  11 11 12 12 13 13 a M a M  a M
Ejemplos
1) Calcular el siguiente determinante con respecto a los elementos de:
2 0 3
1 3 5
3 2 4
 
A 
a) La tercera fila
       
1 3
3 2
3 1
1 5
3 4
0
3 5
1 4
2 1 31 33 A       
A   210 12 0   39  2 17
b) La segunda columna.
      
1 5
3 4
0
2 3
3 4
3 1
2 3
1 5
2 1 1 2 2 2 
 
 
 
    A
A   2 3 10 3 9  8 17

6
Determinantes
Unidad 6
6.8 Método para Calcular un Determinante de Cualquier Orden, transformándole
de manera que aparezcan tantos ceros como sea posible en una fila (o columna)
1) Se elige como base una fila (o columna).
2) Se multiplica cada elemento de la fila base (o columna) por un número tal que al sumar el resultado
con el elemento correspondiente de otra fila (o columna), se obtenga por lo menos un elemento
igual a cero.
3) Se repite el paso dos 2 tantas veces como sea necesario hasta obtener un determinante equivalente
en el que todos los elementos de una misma fila (o columna), con excepción de uno, sean ceros.
4) Se desarrolla el determinante obtenido en el paso tres 3 con respecto a la fila (o columna) que tiene
todos sus elementos iguales a cero, con excepción de uno de ellos, obteniendo así un solo
determinante del orden inmediato inferior.
5) Se repite el proceso anterior con el determinante obtenido en el paso cuarto 4 .
6) Se continúa este procedimiento hasta obtener un determinante de orden tres 3 ó dos 2 , que se
calculan como ya hemos indicado.
6.9 Método Pivotal o de Chío para Calcular Determinantes
Consiste en transformar un determinante de orden "n" en otro equivalente anulando todos los elementos
de una fila o columna cualquiera menos uno, en cuyo caso el valor del determinante es el producto del
elemento no nulo por su cofactor. Este es un determinante de orden "n 1" , que se transforma por el
mismo método hasta llegar a n 1 cuyo valor coincide con el único elemento del determinante.
Desarrollaremos el método para un determinante de cuarto 4to. orden. Consideremos el determinante y
elijamos como elemento pivotal el " " 4 C que supondremos igual a uno(1) (si " " 4 C es diferente de uno)

7
Determinantes
Unidad 6
y por supuesto distinto de cero, dividimos la tercera (3ra.) fila por " " 4 C Dividiendo la primera (1ra.),
segunda (2da.) , y tercera (3ra.) columna por , , , 1 2 3 C C C respectivamente, se tiene:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
d d d d
c c c c
b b b b
a a a a
A 
4
3
3
2
2
1
1
4
3
3
2
2
1
1
4
3
3
2
2
1
1
1 2 3
1 1 1 1
d
c
d
c
d
c
d
b
c
b
c
b
c
b
a
c
a
c
a
c
a
 c c c
Restando la cuarta columna a las restantes, se obtiene:
A
4 4
3
3
4
2
2
4
1
1
4 4
3
3
4
2
2
4
1
1
4 4
3
3
4
2
2
4
1
1
1 2 3
0 0 0 1
d d
c
d
d
c
d
d
c
d
b b
c
b
b
c
b
b
c
b
a a
c
a
a
c
a
a
c
a
c c c
  
  
  

Desarrollando este determinante por la tercera fila resulta:
  
4
3
3
4
2
2
4
1
1
4
3
3
4
2
2
4
1
1
4
3
3
4
2
2
4
1
1
1 2 3
3 4 1
d
c
d
d
c
d
d
c
d
b
c
b
b
c
b
b
c
b
a
c
a
a
c
a
a
c
a
A c c c
  
  
  
  
Introduciendo el factor en el determinante se obtiene finalmente:
 
1 1 4 2 4 3 3 4
1 1 4 2 2 4 3 3 4
1 1 4 2 2 4 3 3 4
2
1
d c d d c d d c d
b c b b c b b c b
a c a a c a a c a
A
  
  
  
 
Se resuelve este determinante de tercer orden usando este mismo procedimiento o empleando la Regla
de Sarrus.

8
Determinantes
Unidad 6
Ejemplo:
Calcular A , empleando el Método Pivotal o de Felice Chiò(matemático italiano).
5 1 3 1
3 1 2 2
2 4 6 7
1 3 3 7
A  Elegir el 32 a como elemento pivotal.
      
2
1
2
3
1
3
5
1 1 1 1
2
7
4 3
3
2
2
7
2
3
3
3
1
3 2 2
5 1 3 1
3 1 2 2
2 4 6 7
1 3 3 7
A
          
2 1 1
10 2 1
8 3 1
1
2 1 1 1
0 1 0 0
10 4 2 1
8 3 3 1
2
1
2
1
1
3
2
0 1 0 0
2
1
4 1
3
10
2
1
2
3
3
3
8
3 2 2
1
2
1
1
2
3
1 1
3
5
0 1 0 0
4
2
7
4 4 3 4
3
2
3
2
7
3
2
3
3 3
3
1
3 2 2 3 2

  
 
 

  
 


  
 

  
  
  
  A
 

  


 


 
  
2 1
10 2
1
2 1
10 1
3
1 1
2 1
A 8
A   82 1 310  2110  4  24  36  6 (6)  6
A  6

9
Determinantes
Unidad 6
6.10 Multiplicación de Determinantes. Determinante del Producto de Matrices
Dadas 





1 2
3 5
A 





7 3
2 0
B
A) Resuelva A B 
A  6  5 11 B  6  0  6
A B  11 6 66
A B  66
B) Pruebe AB  A B
       
        





 



    
  
 










12 6
41 15
1 2 2 7 1 0 2 3
3 2 5 5 3 0 5 3
7 3
2 0
1 2
3 5
AB
41 6 12 15 246 180 66
12 6
41 15
        


AB 
AB  66
Como A B  66 y AB  66
Entonces: A B  AB

10
Determinantes
Unidad 6
6.11 Matriz de los Cofactores
Sea:   ij A  a
una matriz cuadrada de orden "n" y " " ij  el cofactor o adjunto (menor complementario con su signo)
del elemento " " ij a , entonces se llamará Matriz de Cofactores a la matriz formada por los cofactores o
adjuntos de cada uno de sus elementos.





21 22
11 12
a a
a a
A ;
Matrices de los cofactores de 




21 22
11 12
 
 
A
6.12 Matriz Adjunta
Sea A una matriz cuadrada de orden "n" , entonces se llamará Matriz Adjunta de A
a la traspuesta de la matriz de los cofactores.
6.13 Inversa de una Matriz Cuadrada A
La inversa de A se obtiene al multiplicar la matriz adjunta de A por el inverso del valor del
determinante de A . De ahí se concluye que la condición necesaria y suficiente para que una matriz
cuadrada A posea inversa es que sea regular, esto es que el determinante sea distinto de cero ( A  0) .
La inversa de una matriz regular de orden "n" es única.
Determine la matriz inversa de A, siendo











1 4 3
1 3 4
1 2 3
A
Pasos a seguir para calcular la inversa.
Primero: Hallamos el determinante de A. Si A  0, entonces la matriz posee inversa.
Si el A  0 , la matriz considerada no posee inversa.
Determinante de A=
1 4 3
1 3 4
1 2 3
=
1 4
1 3
3
1 3
1 4
2
4 3
3 4
1  

11
Determinantes
Unidad 6
DetA  9 16  2(3  4)  3(4  3)  7  2(1)  3(1)  7  2  3  2
DetA  2
Segundo: Encontramos la matriz de los cofactores de A
Matriz de cofactores de











31 32 33
21 22 23
11 12 13
  
  
  
A
  
9 16 7
4 3
3 4
1 1 1
11           
(3 4) 1
1 3
1 4
1 1 2
12        
  
4 3 1
1 4
1 3
1 1 3
13          
(6 12) 6
4 3
2 3
1 2 1
21        
  
3 3 0
1 3
1 3
1 2 2
22          
(4 2) 2
1 4
1 2
1 2 3
23         
  
8 9 1
3 4
2 3
1 3 1
31           
(4 3) 1
1 4
1 3
1 3 2
32         
  
3 2 1
1 3
1 2
1 3 3
33       
Matriz de cofactores de











31 32 33
21 22 23
11 12 13
  
  
  
A










 



1 1 1
6 0 2
7 1 1

12
Determinantes
Unidad 6
Tercero: Formamos la matriz de los adjuntos












 

1 2 1
1 0 1
7 6 1
AdjA
Cuarto: Multiplicamos el recíproco del determinante por la matriz de los adjuntos. La matriz
encontrada corresponde a la matriz inversa de A.
















 















 





 
2
1
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
3
2
7
1 2 1
1 0 1
7 6 1
2
1 1 A
Matriz inversa de A es :
















 


 
2
1
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
3
2
7
1 A
Comprobar que : AA  I 1










 
1 4 3
1 3 4
1 2 3
1 AA
















 


2
1
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
3
2
7
=
 1 AA
                 
                 
                  









        
         
         

2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
7
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
7
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
7
1 4 3 1 3 4 0 3 1 1 4 3
1 3 4 1 3 3 0 4 1 1 3 4
1 2 3 1 3 2 0 3 1 1 2 3
=  1 AA










      
      
      
2
3
2
1
2
3
2
7
2
3
2
1
2
3
2
7
2
3
2
1
2
3
2
7
2 3 0 3 2
2 3 0 4 2
1 3 0 3 1
=










0 0 1
0 1 0
1 0 0

13
Determinantes
Unidad 6
6.14 Regla de Cramer.
Resolución de Sistemas de Igual Número de Ecuaciones que de Incógnitas, con Determinante No
Nulo.
1) 11 1 12 2 13 3 1 a x  a x  a x  k
21 1 22 2 23 3 2 a x  a x  a x  k
31 1 32 2 33 3 3 a x  a x  a x  k
El sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas
Determinante del sistema.
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
D 
Si se desarrolla D por los elementos de la primera columna, tenemos:
11 1 21 2 31 3 D  a A  a A  a A
Considerando a 1 2 3 A ,A , A cofactores respectivos de 11 21 31 a , a , a
1 1 2 2 3 3
3 32 33
2 22 23
1 12 13
' k A k A k A
k a a
k a a
k a a
D    
1) Multiplicando cada ecuación por el cofactor correspondiente a su primer elemento, tenemos:
3.1) 1 11 1 1 12 2 1 13 3 1 1 A a x  A a x  A a x  A k
3.2) 2 21 1 2 22 2 2 23 3 2 2 A a x  A a x  A a x  A k
3.3) 3 31 1 3 32 2 3 33 3 3 3 A a x  A a x  A a x  A k
Sumando miembro a miembro las igualdades 3.1, 3.2, 3.3:
(  1 11 1 A a x  2 21 1 A a x )  3 31 1 A a x (  1 12 2 A a x  2 22 2 A a x )  3 32 2 A a x (  1 13 3 A a x  2 23 3 A a x ) 3 33 3 A a x =
1 1 2 2 3 3 A K  A K  A K
(  1 11 A a  2 21 A a  3 31 1 A a )x (  1 12 A a  2 22 A a  3 32 2 A a )x (  1 13 A a  2 23 A a 3 33 3 A a )x =
1 1 2 2 3 3 A K  A K  A K
Como (  1 12 A a  2 22 A a )  3 32 A a (  1 13 A a  2 23 A a ) 3 33 A a = 0

14
Determinantes
Unidad 6
La suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) multiplicados por los
cofactores de otra línea siempre es igual a cero.
Entonces, nos queda que:
(  1 11 A a  2 21 A a 3 31 1 A a )x = 1 1 2 2 3 3 A K  A K  A K
De donde:
D
D
A a A a A a
A k A K A K
x
'
1 11 2 21 3 31
1 1 2 2 3 3
1 
 
 

Bajo la hipótesis de que el determinante del sistema es diferente de cero, el sistema admite una y
solamente una solución, la cual viene dada por el cociente entre el determinante de la matriz que se
obtiene de la matriz D del sistema, reemplazando la columna correspondiente a la incógnita que se
investiga por la columna de los términos conocidos i k dividido entre el determinante del sistema.
Ejemplos
A) Resuelva el sistema usando la Regla de Cramer, si es posible.
3x  2y  4z  11
 5x  8y  2z  5
6x  3y  z  3
3(8 6) 2(5 12) 4( 15 48)
6 3
5 8
4
6 1
5 2
2
3 1
8 2
3
6 3 1
5 8 2
3 2 4
      
 








 

D 
D  6 14 132  112  0
1
112
112
112
3 3
5 8
4
3 1
5 2
2
3 1
8 2
11
3 3 1
5 8 2
11 2 4
 




 

 






 
 
 

D
x
2
112
224
112
6 3
5 5
4
6 1
5 2
11
3 1
5 2
3
6 3 1
5 5 2
3 11 4






 




 


 
 
 

D
y

15
Determinantes
Unidad 6
3
112
336
112
6 3
5 8
11
6 3
5 5
2
3 3
8 5
3
6 3 3
5 8 5
3 2 11





 


 


 


  


D
z
El conjunto solución es: (x, y, z) = ( -1, 2 ,3 )
B) Determine X en cada caso:
1)
1 2 3
0 1 2
4 3 6
3 4
2

x
Desarrollando los dos determinantes:
1 2
0 1
6
1 3
0 2
3
2 3
1 2
4x  6  4  
4x  6  4(3  4)  3(0  2)  6(0 1)
4x  6  4(1)  3(2)  6(1)  4  6  6  4
4x  6  4  2 Por lo que :
2
1
x 
2) 0
1 2
1 1
2 1

 

 
x
x
x
Desarrollando el determinante: 0
1 2
1
1
1
1 1
2
2
1

 






x
x x
x
x
 2 2 1 12  0 2 x x    x    x   2 2 2 2 0 3 x  x  x    x  
0  1 0 3 2 x  x   x x    Igualando cada factor a cero: x  0
1 0 2 x    x   1  x 1  x  1

16
Determinantes
Unidad 6
6.15 Ejemplos.
Determine X en cada caso:
a)
1 2 3
0 1 2
4 3 6
3 4
2

x
Desarrollando los dos determinantes:
1 2
0 1
6
1 3
0 2
3
2 3
1 2
4x  6  4  
4x  6  4(3  4)  3(0  2)  6(0 1)
4x  6  4(1)  3(2)  6(1)  4  6  6  4
4x  6  4  2 Por lo que :
2
1
x 
b) 0
1 2
1 1
2 1

 

 
x
x
x
Desarrollando el determinante: 0
1 2
1
1
1
1 1
2
2
1

 






x
x x
x
x
 2 2 1 12  0 2 x x    x    x   2 2 2 2 0 3 x  x  x    x  
0  1 0 3 2 x  x   x x    Igualando cada factor a cero: x  0
1 0 2 x    x   1  x 1  x  1

17
Determinantes
Unidad 6
AUTONOMA DE SANTO DOMINGO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230
PRACTICA PROPUESTA No. 1 . UNIDAD 6
Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares
Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________
Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________
I. Evaluar el determinante:
5 7 2 0
3 2 2 4
4 3 6 5
1 5 4 3



A 
a) Mediante la primera columna.
b) A partir de la tercera fila.
c) Usando como pivote el elemento aij = a42 = 1.
II. Use las propiedades de los determinantes al evaluar:
1)
3 2 7 0
0 0 1 4
0 1 3 1
2 0 5 1
A  2)
12 6 5
2 1 0
4 2 3
 
B 
3)
8 0 9 1
6 0 5 4
2 0 3 1
4 0 1 2


C  4 )
2 3 4
2 1 0
5 0 0

D 

18
Determinantes
Unidad 6
III.
a) Resolver cada sistema A.X  B mediante la Regla de Cramer.
b)b.1) Identificar en el sistema A.X  B, la matriz “A” de los coeficientes de las incógnitas.
b.2) Determinar la matriz de los cofactores de A: “ ij  ” que corresponde a la matriz de los
coeficientes de las incógnitas.
b.3) Halle la inversa 1 A de la matriz de los coeficientes de las incógnitas usando determinante.
b.4) En el sistema de la forma: A.X  B encuentre la solución “X” efectuando: X A .B 1 
1) 2) 3)
3 1
2 0
2 2 7
   
  
  
x y z
x y z
x y z
8 2 5 11
3 2 3 5
2 6
  
  
  
x y z
x y z
x y z
5
3 6 3
2 4
6
 
 
  
   
x w
z w
x z w
x y z w
IV. Resolver las ecuaciones dadas. Determine X en cada caso
1) 2) 3)
2 7 1
1 0 5
2 3 4
3 3
2 1 2



x 
0
6 0 8
3 1 5
6 5 3
 
x
0
0 1
4 5 1
2 1




x
x
4) 5)
0
1 4
1 5
4 5


x
x
x
0 1
5 2
4 1 1
1 2 2
1 3 1
2 2 1


  
  
  
x
x
x
x
x
6) 7) 8)
1 2 3
0 1 2
4 5 6
4 2
5 1

x 
0
5 6 9
2 1 7
1 2
 
x
0
1 2 2
1 3 1
2 2 1

  
  
  
x
x
x

19
Algebra Superior
Rosa De Peña & Tulio Mateo
Determinantes
Unidad 6
V. Cada alumno debe realizar los sistemas de ecuaciones indicados
mediante:
A) Cramer
B) Inversa. Usar determinantes al hallar la inversa: 푿=푨−ퟏ푩
1) 2) 3) 3푥−4푦+ 푧 =42푥+푦−5푧=8 푥+2푦+3푧 =14 4푥+푦−5푧=10 푥−2푦+푧=15푥−푦−4푧=3 4푥+푦−5푧=10 푥−2푦+푧=15푥−푦−4푧=11
4) 5) 6)
2푥+4푦+6푧=184푥+5푦+6푧=243푥+푦−2푧=4 2푥+4푦+6푧=184푥+5푦+6푧=242푥+7푦+12푧=30 3푥+6푦−6푧=92푥−5푦+4푧=6−푥+16푦−14푧=−3
7) 8) 9)
푥+푦−푧=74푥−푦+5푧=46푥+푦+3푧=20 푥−2푦+3푧=114푥+푦−푧=42푥−푦+3푧=10 푥+푦−푧=74푥−푦+5푧=42푥+2푦−3푧=0
10) 11) 12)
4푥−2푦+ 푧 =63푥−푦+5푧=45푥−3푦−3푧 =5 3푥+2푦+ 푧 =42푥+푦−3푧=−3 푥+푦+4푧 =9 4푥−푦+4 푧 =22푥+3푦+5푧=27푥−2푦+6푧 =5
13)
푥+푦− 푧 =02푥+3푦+2푧=1−4푥+푦+2푧 =2

20
Determinantes
Unidad 6
VI. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales mediante el uso de la inversa.
Usar excel
x  y  5z 1
2x  4y  z  3
4x  2y  7z  3
[
푥
푦
푧
] = [
1 −1 −5
2 4 1
4 2 −7
]
−1
[
1
3
3
] El conjunto solución es: [
푥
푦
푧
] =?

21
Algebra Superior
Determinantes
Unidad 6
AUTONOMA DE SANTO DOMINGO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230
PRACTICA PROPUESTA No. 2. UNIDAD 6 Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares
Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________
Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________
Encierre en un círculo la expresión que haga cierto lo que se plantea en cada caso.
1. Resolver un sistema de ecuaciones lineales que posea igual número de ecuaciones que incógnitas, con determinante no nulo se realiza mediante:
a) Regla de cramer b) Regla de sarrus c) Menor complementario. d) Cofactor o adjunto.
2. La regla utilizada al resolver un determinante que permite repetir debajo de la última fila, las dos primeras filas del determinante es: a) Metodo pivotal. b) Regla de cramer. c) Regla de sarrus. d) Ningunas de las anteriores.
3. A la traspuesta de la matriz de los cofactores se llama matriz :
a) De los cofactores. b) Adjunta. c) Inversa d) Ningunas de las anteriores.
4. A la matriz formada por los adjuntos de cada uno de sus elementos se le llamara:
a) Matriz de los cofactores. b) Matriz adjunta.
c) Multiplicación de determinantes d) Ningunas de las anteriores.
5. ¿Cuál es la solución del sistema dado utilizando la regla de cramer 3x + 2y - 4z = -11
-5x - 8y + 2z = -5
6x + 3y - z = -3
a) (x, y, z) = (-1,2,3) b) (x, y, z) = (1,-2,3) c) (x, y, z) = (3, 4, 2) d) (x, y, z) = (4 , 2, 1)
6. La regla utilizada al resolver un determinante que permite repetir al lado de la última columna, las dos primeras columnas del determinante es:
a) Regla de sarrus b) Método pivotal. c) Regla de cramer. d) Ningunas de las anteriores.
7. El elemento de orden inmediato inferior que se obtiene al suprimir la fila y la columna a que pertenece un elemento es: a)Cofactor o adjunto b) Opuesto c) Menor complementario d) Inverso
8. Cuando al calcular un determinante se transforma en otro equivalente haciendo en una fila un elemento uno y los restantes cero nos referimos a:
a) Sarrus b) Método Pivotal c) Cramer d) ay b son correctas

22
Algebra Superior
Determinantes
Unidad 6
9. Un arreglo cuadrado de elementos dispuestos en filas y columnas entre rectas verticales se denomina: a) Matriz b) Pivote c) Cofactor d) Determinante
10. Método sencillo para evaluar determinante de orden tres es :
a) Cramer b) Pivotal c) Sarrus d) Ninguna anterior
11. Si un determinante posee una fila cero su valor es:
a) Positivo b) Cero c) Negativo d) Ninguna de las anteriores
12. Si un determinante posee una columna cero su valor es:
a)Positivo b) Cero c) Negativo d) Ninguna de las anteriores
13. Si en un determinante se intercambian filas por columnas su valor :
a)Se altera b) No se altera c) Es nulo d) Ninguna de las anteriores
14. Si en un determinante se intercambian filas entre si su valor es:
a)Imaginario b) Irracional c) Es nulo d) Ninguna de las anteriores
15. Si en un determinante se intercambian columnas entre si su valor es:
16. Si un determinante posee dos columnas iguales su valor es:
17. Si un determinante posee dos filas iguales su valor es:
18. ¿Cuál es el menor complementario de 푎22 en la matriz [ 723057136]
a) | 7316| b) | 7307| c) | 2336| d) | 7213|
19. ¿Cuál es el menor complementario de 푎23 de la matriz [ 723057136]
푎) | 7316| b) | 7307| c) | 2336| d) | 7213|

23
Algebra Superior
Determinantes
Unidad 6
20. ¿Cuál es el menor complementario de 푎32 de la matriz [ 723057136]
푎)| 7316| b) | 7307| c) | 7205| d) | 7213|
21. Un determinante se forma de una matriz donde: a)Todos sus elementos son pares b) Sus elementos son cuadrados de números
c) Número de filas es igual al de columnas d) a y b son correctas
22. Podemos decir que todos los determinantes surgen de una matriz que posee traza puesto que son matrices: a) Escalares b) Nulas c) Rectangulares d) Cuadradas
23. Cuando realizamos Intercambio de líneas, producto de un escalar por una línea de un determinante y/o adición de líneas nos referimos a: a) Propiedades de los determinantes b) Operaciones en determinantes c) Característica de un determinante d) Equivalencia
24. Al multiplicar un determinante por otro obtenemos: a) Un determinante b) Una determinante nulo c) Un escalar d) El rango del determinante
25. Es un arreglo cuadrado de elementos distribuidos en filas y columnas entre barras verticales: a) Igualdad en determinantes b) Traspuesta c) Notación d) Un determinante
26. Una matriz cuadrada A tal que 퐴푡=퐴 nos genera un determinante: a) Traspuesto b) Unidad c) Escalar d) Simétrico
27. El producto de dos determinantes de orden 2x3 y 3x3 produce un determinante de orden: a) 2x3 b) 3x2 c) No es posible d) 3x3
28. El producto de dos determinantes de orden 3x3 y 2x3 producen un determinante de orden: a) 2x3 b) No es posible c) 3x2 d) 3x3
29. El producto de dos determinante de orden 3 producen : a) 3x1 b) Un escalar c) 3x3 d) No es posible
30. El producto de dos determinante de orden 3 con una incógnita producen : a) Una ecuación b) No es posible c) 3x3 d) a y c son verdaderas
31. Para que dos determinantes den la misma evaluación deben ser: a) Rectangulares b) De igual dimensión c) De cualquier dimensión d) Ninguna Anterior
32. ¿Cuándo un determinante es cuadrado?
a) Si el número de filas difiere al número de columnas
b) Siempre
c) Si el resultado de cualquier operación matricial es igual a 4
d) Si el número de columnas difiere del número de filas

24
Algebra Superior
Determinantes
Unidad 6
33. Siendo 퐴=[ 423156] 퐵=[ 123024] entonces /A/ +/B/ =?
a) [ 300132] b) 푁표 푒푠 푝표푠푖푏푙푒 푐) [ 5461710] d) Ninguna Anterior
34. ¿Cuál de las siguientes matrices tienen un determinante igual a uno?
1) [ 723057136] 2) [ 123057136] 3) [ 123017016] 4) [ 123015001]
a) 2 b) 4 c) 1 d) Ninguna Anterior
35. ¿Cuál de las siguientes matrices tienen un determinante igual a cinco?
1) [ 123015005] 2) [ 123057136] 3) [ 123017001] 4) [ 123001017]
a) 2 b) 4 c) 1 d) Ninguna Anterior
36. Para calcular un determinante de tercer orden se puede usar :
a) Cramer b) Una fila c) Pivote d) a-b-c son correctas
37. Para calcular un determinante de tercer orden se puede usar :
a) Cramer b) Una columna c) Pivote d) a-b-c son correctas
38. El determinante de la matriz [ 2486]
a) 20 b) 44 c) -20 d) Ninguna anterior
39. La evaluación de la operación 2|퐴| siendo la matriz A= [ 2486]
a) 88 b) -40 c) 40 d) Ninguna anterior
40. El determinante de la matriz [ 246123−451] es:
a) 12 b) -12 c) 84 d) 8
41. Cuando se transforma toda una línea en un determinante de orden n en otra equivalente anulando todos los elementos menos uno que es la unidad estamos aplicando el método:
a) Sarrus b) Pivotal c) Cramer d) Ninguna anterior

25
Algebra Superior
Determinantes
Unidad 6
42. Cuando se transforma toda una fila en un determinante de orden n en otra equivalente anulando todos los elementos menos uno que es la unidad estamos aplicando el método:
a) Pivotal b) Sarrus c) Cramer d) Ninguna anterior
43. Cuando se transforma toda una columna en un determinante de orden n en otra equivalente anulando todos los elementos menos uno que es la unidad estamos aplicando el método:
a) Cramer b) Sarrus c) Pivotal d) Ninguna anterior
44. El método que permite resolver un sistema de solución única que posee igual número de ecuaciones que de incógnitas con determinante del sistema no nulo se identifica como Método:
a) De Cramer b) Pivotal c) Sarrus d) Ninguna anterior
45. El determinante de la matriz [ 532167−34−1] es:
a) -186 b) 188 c) 186 d) 761
46. Sea la matriz dada A, la inversa de A se obtiene mediante:
a) 1|퐴| Matriz adjunta de A b) 1|퐴| Matriz cofactores de A c) 1|퐴| d) Ninguna anterior
47. Para que se utiliza la regla de Cramer? a)Resolución de sistemas de igual número de ecuaciones que de incógnitas con determinante no nulo b) Resolución de sistemas de mayor número de ecuaciones que de incógnitas c) Resolución de sistemas de igual número de ecuaciones que de incógnitas d) Ninguna anterior
48. El determinante de la matriz [ 123134143] es:
a) -2 b) 2 c) 6 d) 4

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Algebra Superior
Determinantes
Unidad 6
Cuestionario No. 6
Después de leer cada pregunta planteada, indique correctamente la respuesta que corresponde a cada una.
1. Qué es un determinante?
2. Para qué se utiliza la regla de Sarrus?
3. Enumere dos propiedades que se verifiquen en los determinantes.
4. Cómo se forma el menor complementario?
5. A que se le llama adjunto o cofactor?
6. Cómo se realiza el desarrollo de un determinante mediante una línea?
7. Indique qué es el método Pivotal y para qué se utiliza?
8. Indique cómo se forma la Matriz de los cofactores.
9. Defina Matriz inversa respecto a una matriz dada.
10. Ponga algún ejemplo sobre la aplicación o uso de los determinantes.
Bibliografía Consultada
Poole, David (2006). Algebra Lineal. Una introducción moderna. (Segunda edicion). Mexico: Thomson Learning Iberoamerica.
Grossman, Stanley I. (1996). Algebra Lineal. (Quinta edición). México: MacGraw-Hill Interamericana.

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Algebra Superior
Determinantes
Unidad 6
Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (1999). Algebra y Trigonometria.(Segunda edición actualizada). Colombia: McGraw-Hill. Interamericana S. A. Féliz Lebreault, Rubén. (2007). Algebra y Análisis Matricial. (Primera edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD. Serie Multitexto. Millar, Charles-Heeren; CERN-Homsby,John. (2006). Matemática. ( Décima edición). México: Pearson.
Smith, Stanley A.; Charles, Randall I.; Dossey,John A. ; Keedy, Mervin L.; Bittinger, Marvin L. (1998). Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. (Primera edición). México: Pearson. Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (2008). Precálculo con avances de Cálculo. (Cuarta edición). México: McGraw-Hill. Interamericana Editores S. A. Báez Veras, José Justo; De Peña Olivares, Rosa Cristina.(2010). Manual de Prácticas. (Décima edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD. Notas de Cátedra de: Mateo, Tulio; De Peña, Rosa. (2007). Curso de Algebra Superior. Navarro Peña, Tomás Darío. (2008).Apuntes de Algebra Superior.
Direcciones electrónicas
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/determinantes_api/index.htm
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Cramer_d3/inicio.htm
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Determinantes_de_orden_3/index.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)
http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Sarrus
http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer

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