Este documento presenta información sobre diferentes temas de cálculo como formas indeterminadas, integrales impropias e integración numérica. Se define lo que son las formas indeterminadas y cómo usar la regla de L'Hôpital para evaluar límites problemáticos. También se explican los diferentes tipos de integrales impropias, incluyendo aquellas con límites de integración infinitos o discontinuidades infinitas, y cómo determinar su convergencia. Finalmente, se menciona el uso de métodos numéricos como la regla de los trapecios y

1. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SANTO DOMINGO
UASD
Asignatura: Calculo
Maestra Rosa Cristina De Peña Olivares

2. 3
 Formas indeterminadas.
 Integrales impropias.
 Integración Numérica
2013

3. Volver al índice
4
 Definición.
 Reconocer los límites que producen formas indeterminadas.
 Ejemplo.
 Emplear la regla de L’ Hôpital para evaluar un limite.
 Teorema.
 Ejemplos.
2013

4. Volver al índice
Form. indeterminadas

Reconocer los límites que producen formas indeterminadas:
Las formas indeterminadas no garantizan que exista un límite ni
indican cual es el limite, si es que existe.
2013
4

5. Volver al índice
Form. indeterminadas
Reconocer los límites que producen formas indeterminadas:
1) Evaluar el limite:

2) Técnica algebraica:

2013
5

6. Volver al índice
Form. indeterminadas
Para hallar el límite, se emplea un teorema llamado regla de
L’ Hôpital. Este teorema dice que bajo ciertas condiciones el
límite de un cociente f(x)/f(g) se encuentra mediante el limite del
cociente de las derivadas.
2013
6

7. Volver al índice
Form. indeterminadas

2013
7

8. Volver al índice
Form. indeterminadas
8
2013

9. Volver al índice Ejemplos
Emplear la regla de L’ Hôpital para evaluar un limite:
1) Evaluar el limite:

2) Aplicar regla de L’ Hôpital.

f’(x)=2
g’(x)=5
2013
9

10. Volver al índice Ejemplos
Forma indeterminada 0/0:
1) Evaluar el límite.
2) Aplicar regla de L’ Hôpital.

2
2013
10

11. Volver al índice Ejemplos
1) Evaluar el límite.

2) Aplicar regla de L’ Hôpital.

2013
11

12. Volver al índice Ejemplos
3) Aplicar regla de L’ Hôpital.
1) Evaluar el límite.


2) Aplicar logaritmo natural.
2013
12

13. Volver al índice Ejemplos

1) Evaluar el límite
2 ) Aplicar regla de L’ Hôpital.

2013
13

14. Volver al índice Ejemplos
1)Evaluar el límite.
2) Aplicar regla de L’ Hôpital.


2013
14

15. Volver al índice
 Definición.
15
 Integrar impropia con límite de integración infinitos.
 Ejemplos.
 Integrales impropias con discontinuidades infinitas.
 Ejemplos.
2013

16. Volver al índice
Integrales impropias

2013
16

17. Volver al índice
Integrales impropias

a
b
f ( x ) dx
f ( x)dx
lim
a
b
a
f ( x)dx
}
}
En caso 1 y 2 si el
limite existe; la
integral es converge,
de otro modo es
diverge
En caso 3, la integral
de la izquierda
diverge si cualquiera
de las integrales de
la derecha es
diverge.
2013
17

18. Volver al índice
Integrales impropias
 Integral impropia divergente.
18
 Integral impropia convergente.
 Límites de integración superior e inferior infinitos.
2013

19. Volver al índice Ejemplos
Integral impropia divergente:
b
1
2013
19

20. Volver al índice Ejemplos
Integral impropia convergente:
0
a
2013
20

21. Ejemplo:
Límites de integración
superior e inferior infinitos:
Volver al índice Ejemplos
I)
0
1
dx
2
1 x
lim tan
1
a
I
1
dx
2
1 x
0
x
0
a
lim tan 1 0
a
tan
1
a
II
1
dx
2
1 x
1
dx
2
0 1 x
II)
0
1
dx
2
1 x
1
De I y II
lim tan x
b
2
1
lim
dx
2
a 1
a
x
0
2
2
2
Converge.
tan
1
b
0
lim
b
b
0
1
dx
2
1 x
lim tan 1 b tan 1 0
b
0
2
6/11/13
21

22. Volver al índice
Integrales impropias
El segundo tipo básico de integral impropia es aquel que tiene
una discontinuidad Infinita en o entre los límites de
integración.
2013
22

23. 
}
}
En caso 1 y 2 si el
limite existe, la
integral es converge,
de no ser así es
diverge
En caso 3, la integral
de la izquierda
diverge si cualquiera
de las integrales de
la derecha es
diverge.
2013
23

24. Volver al índice
Integrales impropias
 Una integral impropia con una discontinuidad infinita.
24
 Una integral impropia divergente.
 Caso de discontinuidad infinita.
2013

25. Volver al índice Ejemplos
Una integral impropia con una discontinuidad infinita:
3
lim
1
a
0
2
3
2
0
2
3
3
a
2
2
3
3
1
2
3
0
2
3
Convergente.
2
2013
25

26. ‹#›
Grupo 5
6/11/13

27. Volver al índice Ejemplos
Integral impropia con discontinuidad infinita:
I
dx
1 3
x
II
dx
1 3
x
8
0
I
0
1
1
3
x dx
8
0
dx
3
x
lim
b
b
0
1
x dx
3
lim
b
b 0 2
3
0
2
1
3
2
3
3
2
3
1
2
lim
b
1
0
2
3
3
x
2
2
3
b
3
lim
b 0
2
3
2
1
3
.lim b
2 b 0
2
3
2013
27

28. Volver al índice Ejemplos
I
8
1
dx
3
x
II
8
0
0
1
1
3
x dx
II
dx
3
x
0
lim
a
3
lim
8
a 0 2
2
3
3
8
2
I y II
8
0
8
a
dx
3
x
1
3
3
lim
x
a 0
2
x dx
3
a
2
2
3
3
lim
a 0
2
3
0
2
3
2
6
6
0
2
3
8
a
3
.lim a
2 b 0
2
3
6
9
. Convergente
2
2013
28

29. Volver al índice
Integrales impropias
Se utiliza para aproximar integrales definidas cuando
la función que se integra no posee una antiderivada que
corresponda a función elemental.
Mediante:
 La regla de los Trapecios
 Método de Simpson
2013
29

30. Volver al índice
Integrales impropias

2013
30

31. Volver al índice
Integrales impropias

2013
31

32. x
-1
1
2013
32

33. x
-1
1
2013
33

34. 
2013
34

35. 
2013
35