Introducción a las técnicas básicas de resolución de problemas de la Geometría Computacional. Análisis de la Envoltura Convexa como un problema tipo, a través del cual presentaremos los elementos fundamentales que se deben tener en cuenta para la solución eficiente de un problema.

1. Geometría Computacional:
Introducción
Maikel Arcia
Miguel Sancho

2. Ejemplo 1 Proximidad
¿Cuál es el teléfono más cercana?
Diagrama Voronoi
Geometría Computacional

3. ¿Qué es la Geometría Computacional?
 Proporciona criterios para detectar y organizar estructuras
de datos geométricos, así como para facilitar su
visualización en pantalla.
 Desarrolla herramientas computacionales para el análisis
de problemas geométricos.
 Propone estrategias para implementar algoritmos que
faciliten la resolución efectiva de estos problemas
computacionalmente.
Geometría ComputacionalGeometría Computacional

4. ¿Qué es la Geometría Computacional?
 Campo de la teoría de algoritmos
 Las entradas son colecciones de objetos geométricos
 Normalmente, objetos del plano:
puntos, líneas, segmentos, polígonos, redes, etc.
 Las salidas son estructuras de datos geométricos
 Las colecciones de objetos geométricos pasan a ser
estructuras de datos.
 Las metodologías clásicas de resolución de problemas se
transforman en algoritmos eficientes.
Geometría ComputacionalGeometría Computacional

5. Creación de imágenes de escenas por computadora.
 Intersección de primitivas geométricas (líneas, polígonos,
poliedros, etc.)
 Determinar las primitivas que están en una región
 Ocultar y remover superficies– determinar las partes
visibles de una escena 3D a partir de un punto de vista
mientras se ocultan las otras.
 Creación realista tomando una cantidad de luz y
computando la sombra.
 Tratar objetos en movimiento y detectar colisiones.
Geometría Computacional
Aplicaciones a Gráficos por Computadoras

6. Ejemplo 1 Proximidad
 Entrada: Conjunto de
localizaciones (sitios).
 Salida: Una subdivisión en
celdas. Cada celda contiene los
puntos más cercanos al sitio.
 Aplicación: preguntas de
proximidad.
Diagrama Voronoi
Geometría Computacional

7. ¿Cómo un robot encuentra el camino más cercano evitando todos
obstáculos?
Robot
Ejemplo 2 Planeación de camino
Geometría Computacional

8. Geometría Computacional
Ejemplo 2 Planeación de camino
Encontrar el camino más corto en
un grafo ( grafo de visibilidad).
Se resuelve con algoritmos no
geométricos
Ex. Algoritmo de Dijkstra.
Algoritmos geométricos pueden
dar una solución más eficiente.

9. Geometría Computacional
Ejemplo 2 Planeación de camino
Encontrar el camino más corto en
un grafo ( grafo de visibilidad).
Se resuelve con algoritmos no
geométricos
Ex. Algoritmo de Dijkstra.
Algoritmos geométricos pueden
dar una solución más eficiente.

10.  Determinar intersecciones entre capas.
Geometría Computacional
Ejemplo 3 Solapamientos de Mapa

11.  Determinar intersecciones entre colecciones de objetos.
Geometría Computacional
Ejemplo 3 Intersección de Objetos

12. Área de estudio sistemático de algoritmos para objetos
geométricos, búsqueda de algoritmos exactos
asintóticamente rápidos.
Dos claves para el éxito de lograr buenos algoritmos:
Adecuada comprensión del problema geométrico.
Correcta aplicación de técnicas algorítmicas y
estructuras de datos.
Geometría Computacional

13.  Determinar intersecciones entre colecciones de objetos.
Geometría Computacional
Ejemplo 3 Intersección de Objetos

14.  Dividir dominios complejos en colecciones de objetos
simples.
Geometría Computacional
Ejemplo 3 Triangulación

15.  Dividir dominios complejos en colecciones de objetos
simples.
Geometría Computacional
Ejemplo 3 Triangulación

16.  Problemas de optimización
 Ej.: menor circulo que contiene un conjunto de
puntos.
Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Ejemplo 4 Prog. Lineal en 2D y 3D

17.  Problemas de optimización
 Ej.: menor circulo que contiene un conjunto de
puntos.
Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Ejemplo 4 Prog. Lineal en 2D y 3D

18.  Algoritmos y estructuras de dados para
responder consultas geométricas. Ej:
 Todos los objetos que interceptan una región
 Rectángulo, Polígono, Círculo.
 Par de puntos más próximos
 Vecino más próximo
 Camino más corto
Geometría ComputacionalGeometría Computacional
Ejemplo 5 Búsqueda Geométrica

19. G
F
D
B
C
E
A
{A,E}
{G}
{B,C,D}
{F}
Ejemplo 5 Búsqueda Geométrica

20. ¿Origen de la Geometría Computacional?
 Antigua Grecia y Egipto. El 1er algoritmo de G.C. nace
cuando una serie de pasos correctos, no ambiguos y con un
final resuelven un problema geométrico. Precursor: Euclides
de Alejandría.
 Las grandes capacidades de computo a nivel de memoria y
de potencia de cálculo, son aprovechadas por muchas
disciplinas a partir de la segunda mitad del siglo XX.
Geometría ComputacionalGeometría Computacional

21. ¿Origen de la Geometría Computacional?
 Surgió del campo de los algoritmos discretos
 Énfasis en problemas de matemática discreta (conjuntos
de objetos, grafos).
 La componente geométrica puede ofrecer soluciones más
eficientes.
 Origen del término
 (?) Libro “Perceptron” de Marvin Minsky
 Usado para denotar algoritmos de modelación de sólidos.
Geometría ComputacionalGeometría Computacional

22. Objetivos
Objetivo:
Construcción y análisis de algoritmos y estructuras
de datos para solucionar problemas Geométricos.
 Estudiar Estructuras de Datos y algoritmos tipos.
 Dominar las técnicas de diseño de algoritmo básicas para la
Geometría Computacional.
Dominar criterios de optimalidad y calidad, tales como la
complejidad, robustez, corrección, ect.
Nos proponemos:
Geometría Computacional

23. Propiedades de un algoritmo
 Finitud.
 Terminación.
 Corrección.
 Eficiencia.
 No-degeneración.
 Robustez.
Geometría Computacional

24.  Casos Degenerados.
 Propiedades especiales de las entrada de datos
geométricos.
 Ej.: 3-vertices colineales, 4-vertices sobre un circular.
 Si necesariamente se incrementa el tiempo por la
degeneración.
 Se asumen Posición General, Perturbación…
 Robustez
 En la situación de la implementación actual
 Ej.) Aritmética de punto flotante
Degeneración y Robustez
Geometría Computacional

25. Limitaciones de la Geometría Computacional
 Datos discretos
 Aproximaciones de fenómenos continuos
 Funciones que aproximan funciones continuas.(ej. imágenes)
 Objetos geométricos “planos”
 Aproximaciones geométricas “curvas”
 Dimensionalidades
 Normalmente, 2D en ocasiones 3D.
 Problemas n-dimensionales poco abordados.
Geometría Computacional

26. Técnicas de diseño de algoritmos usadas
 Técnicas convencionales :
 Divide y vencerás.
 Programación dinámica.
 Algoritmos aleatorios
 Glotón
 Técnicas propias de algoritmos geométricos:
 Barrido del Plano
 Algoritmos Aleatorias Incrementales.
 Transformaciones duales.
 Cascada Fraccionaria.
Geometría Computacional

27.  Muchas soluciones “óptimas” son inadecuadas
implementaciones prácticas ...
 Muy complicadas
 No sensibles a casos degenerados
 Problemas de precisión
 Complejidad inaceptable para problemas pequeños
 Poca obtención de soluciones prácticas
 Algoritmos simples
 Frecuentemente aleatorizados.
 Tratamiento integral de casos degenerados.
Geometría Computacional
Tendencias actuales

28. Pasos generales para la solución
 Adecuada comprensión geométrica.
 Solucionar el problema de manera simplificada. (sin
casos degenerados).Ej:
 Sin 3 puntos colineales.
 Sin 2 puntos con la misma coordenada x, etc.
 Se asume Posición general.
 Extender a todos los casos:
 Tratar de integrar al algoritmo los casos degenerados.
 Revisar la corrección y robustez.
 Revisar si mantiene la misma complejidad.
Geometría Computacional

29. Y como la multitud de leyes sirve muy a menudo de disculpa a los
vicios, siendo un Estado mucho mejor regido cuando hay pocas, pero
muy estrictamente observadas, así también, en lugar del gran número
de preceptos que encierra la lógica, creí que me bastarían los cuatro
siguientes, supuesto que tomase una firme y constante resolución de
no dejar de observarlos una vez siquiera:
Fue el primero, no admitir como verdadera cosa alguna, como no
supiese con evidencia que lo es; es decir, evitar cuidadosamente la
precipitación y la prevención, y no comprender en mis juicios nada
más que lo que se presentase tan clara y distintamente a mí
espíritu, que no hubiese ninguna ocasión de ponerlo en duda.
El segundo, dividir cada una de las dificultades, que examinare, en
cuantas partes fuere posible y en cuantas requiriese su mejor solución.
El tercero, conducir ordenadamente mis pensamientos, empezando
por los objetos más simples y más fáciles de conocer, para ir
ascendiendo poco a poco, gradualmente, hasta el conocimiento de los
más compuestos, e incluso suponiendo un orden entre los que no se
preceden naturalmente.
Y el último, hacer en todo unos recuentos tan integrales y unas
revisiones tan generales, que llegase a estar seguro de no omitir nada.
Discurso del método
Geometría Computacional
31 de marzo, 1596- 11 de febrero 1650
Réne Descartes

30. Y como la multitud de leyes sirve muy a menudo de disculpa a los
vicios, siendo un Estado mucho mejor regido cuando hay pocas, pero
muy estrictamente observadas, así también, en lugar del gran número
de preceptos que encierra la lógica, creí que me bastarían los cuatro
siguientes, supuesto que tomase una firme y constante resolución de
no dejar de observarlos una vez siquiera:
Fue el primero, no admitir como verdadera cosa alguna, como no
supiese con evidencia que lo es; es decir, evitar cuidadosamente la
precipitación y la prevención, y no comprender en mis juicios nada
más que lo que se presentase tan clara y distintamente a mí
espíritu, que no hubiese ninguna ocasión de ponerlo en duda.
El segundo, dividir cada una de las dificultades, que examinare, en
cuantas partes fuere posible y en cuantas requiriese su mejor
solución.
El tercero, conducir ordenadamente mis pensamientos, empezando
por los objetos más simples y más fáciles de conocer, para ir
ascendiendo poco a poco, gradualmente, hasta el conocimiento de los
más compuestos, e incluso suponiendo un orden entre los que no se
preceden naturalmente.
Y el último, hacer en todo unos recuentos tan integrales y unas
revisiones tan generales, que llegase a estar seguro de no omitir
nada.
Discurso del método
Geometría Computacional
31 de marzo, 1596- 11 de febrero 1650
Réne Descartes

31. Gráficos por Computadoras
Modelación de Sólidos
Diseño Asistido por Computadoras
Robótica
Procesamiento de Imágenes
Sistemas de Información Geográfica
Geometría Computacional
Dominio de aplicaciones

32. Cómo el robot percibe, comprende y actúa
sobre el ambiente
Geometría Computacional
Aplicaciones en Robótica
 Planificación de movimiento
 Comprensión de ambiente
 Orientación de partes
 Optimización de movimientos

33. Almacenamiento de datos geográficos(contornos de países,
alturas de montañas, cursos de ríos, población, calles,
líneas eléctricas, etc.)
Geometría Computacional
Aplicaciones sobre GIS
 Grandes volúmenes de datos– se requiere de algoritmos
 Representación de los datos geográficos(ej., visualización
en el display de mapas de calles según posición del carro).
 Interpolación de una muestras de puntos cercanos
 Solapamientos múltiple de mapas.

34. Diseño de productos por computadoras
Geometría Computacional
Aplicaciones en CAD/CAM
 Intersección, unión, y descomposición de objetos.
 Pruebas sobre especificación de productos
 Pruebas de diseño y funcionalidad
 Diseño por ensamblaje– modelación y simulación de
ensamblaje

35. Doblar y desdoblar en Geometría
Computacional
 1D: Enlazados
 2D: Papel
 3D: Poliedro
 Preservar longitud de aristas
 No se pueden cruzar las aristas
 Preservar distancias
 No se puede cruzar a si mismo
 Corte de superficies mientras
se combinan y conectan
Geometría Computacional
M. Sancho UCI, La Habana, Cuba, Marzo de 2009

36. Doblado de
Proteinas
Geometría Computacional

37. Doblado de Proteinas
Geometría Computacional

38. Geometría Computacional:
Introducción