Ecuaciones exponenciales y logaritmicas

1. Ecuacionesexponenciales
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que
la incógnita aparece en el exponente.
Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:
1.
2.
3. Las propie dades de las potencias.
a0 = 1
a1 = a
am · a n = am +n
am : a n = am - n
(am )n = am · n
an · b n = (a · b) n
an : b n = (a : b) n

2. Resolución de sistemas de ecuaciones
exponenciales
Caso 1
Igualar los exponentes si los dos miembros tienen potencias con la
misma base.
Igualamos exponentes y resolvemos el sistema.
Caso 2
Realizar un cambio de variable.
En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias del
producto o el cociente, para quitar las sumas o restas de los
exponentes.

3. Posteriormente realizamos el cambio de variable:
Resolvemos el sistema.
Deshacemos el cambio de variable
logaritmos
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual
se debe elevar la base para obtener el número.
Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.
1.

4. 2.
3.
4.
Propiedadeslogarítmicas
El logaritmo se define como:
De la definición de logaritmo podemos deducir:
No existe el logaritmo de un número negativo.
No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.

5. El logaritmo en base a de a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos
1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo
del divisor:
3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de
la base:
Ejemplo

6. 4.El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el
índice de la raíz:
Ejemplo
5. Cambio de base:
Ejemplo
Ecuaciónlogarítmica
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece
afectada por un logaritmo
Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:

7. 1 Las propiedades de los logaritmos.
1
2
3
4
5
6
7
2 Inyectividad del logaritmo:
3 Definición de logaritmo:

8. 4 Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos
logaritmos nulos o negativos.
Ejemplos
1.
En el primer miembro aplicamos del logaritmo de un producto y en segundo la
propiedad del logaritmo de una potencia.
Teniendo en cuenta la efectividad de los logaritmos tenemos:
Resolvemos la ecuación y comprobamos que no obtenemos un logaritmo nulo o
negativo.
Sistema de ecuaciones logarítmicas
Para resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas actuaremos de modo similar a
como lo hicimos con las ecuaciones logarítmicas, es decir basándonos en la
definición y las propiedades de los logaritmos y teniendo en cuenta que la función
logarítmica es efectiva.

9. Veamos dos casos de resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas.
Caso 1
En la segunda ecuación aplicamos la propiedad del cociente de un logaritmo, en el
primer miembro y en segundo tenemos en cuenta que el logaritmo decimal de 10 es
1.
Resolvemos el sistema por sustitución y al final comprobamos las soluciones, un
solo par de soluciones es válida.
Caso 2
Algunos sistemas se pueden resolver directamente por el método de reducción.