Curso de Álgebra Semana 5 Ecuaciones Logarítmicas y exponenciales.

1. Ecuaciones logarítmicas y
exponenciales
Ejercicios

2. Leyes de exponentes
10
a )0( a
n
n
a
a
1

)0( a
  nnn
baab 
n
nn
b
a
b
a






nmnm
aaa 

mnnm
aa )(
nm
n
m
a
a
a 


3. Radicales
nn
aa
1

  )0(  aaaaa n nn
n
  n
mm
nn m
aaa 
nnn
baab 
n
n
n
b
a
b
a

mnm n
aa 
)0( b

4. Ecuaciones exponenciales
Ecuación exponencial es aquella en donde la incógnita se encuentra
como exponente.
Ejemplo: 82 x
Para resolver una ecuación exponencial (determinar el (los) valor(es)
de la incógnita para los cuales la igualdad se cumple) se hace uso de
las leyes de exponentes o bien de las propiedades de logaritmos.
Veamos cómo resolver la ecuación del ejemplo usando leyes de
exponentes:
3
22
82
3



x
x
x Factorizamos el 8 y lo expresamos con
exponente y como las bases son iguales
podemos igualar los exponentes, de esta forma
determinamos el valor de “x” que hace que la
igualdad se verifique.

5. Ejemplos
4
44
4
1
4
256
1
4
4
4





x
x
x
x
Resolver:
2
11
11
55
5
1
5
2.05
11
1
1









x
x
x
x
x
x
5
1
5
1
15
14
41
22
)2(2
42
41
221
21













x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
3
8
83
353
533
33
33
333
533
532
532










x
x
x
x
x
xx
xx

6. Logaritmos
El logaritmo de un número es igual al exponente al que tiene que estar
elevada la base del logaritmo para obtener dicho número.
abcaLog c
b 
aeba b
ln
El logaritmo base “b” de “a” es igual a “c”
El logaritmo natural de “a” es igual a “b”
Existe dos tipos de logaritmos:
Logaritmo vulgar (base 10, decimal o común)
Logaritmo natural (neperiano):

7. Propiedades de logaritmos
xnx b
n
b log)(log 
yx
y
x
bbb logloglog 
yxxy bbb loglog)(log 
b
x
xb
log
log
log 
Cuando en el argumento del logaritmo se tienen dos
cantidades multiplicándose entre sí:
Cuando en el argumento del logaritmo se tienen dos
cantidades dividiéndose entre sí:
Cuando en el argumento del logaritmo se una cantidad
elevada a un exponente:
Cambio de base: De base “b” a base 10
Nota: Estas mismas propiedades aplican para logaritmos naturales.

8. De las propiedades anteriores podemos deducir
las siguientes:
ENa
EN
b
b
b
b
b
/)(log
/0log
01log
1log





9. Ecuaciones logarítmicas
Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita
se encuentra dentro del argumento del logaritmo o bien como
base del logaritmo.
Ejemplo: 24log x  265log3 x
Para resolver las ecuaciones logarítmicas tenemos que hacer uso
de la definición de logaritmos así como de sus propiedades.
Resolviendo los ejemplos:
 
965
365
265log
2
3



x
x
x
3
5
15
155
695




x
x
x
x
2
4
4
24log
2




x
x
x
x

10. Ejercicios de Tarea