0153 b01 p04_d_estructuras_hiperestaticas
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Estructuras Hiperestaticas
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- 2. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 2 ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. Resolución de vigas hiperestáticas por compatibilidad................................................. 3 1.1. Viga empotrada-apoyada con carga uniforme ........................................................... 4 1.2. Viga biempotrada con carga uniforme ....................................................................... 7 1.3. Viga continua de dos tramos iguales con carga uniforme ........................................ 10 1.4. Viga continua de dos vanos diferentes con carga uniforme ..................................... 12 2. Esfuerzos isostáticos y esfuerzos hiperestáticos......................................................... 17 3. Conceptos de cálculo matricial ...................................................................................... 19 3.1. Definición de rigidez ................................................................................................ 19 3.2. Rigidez a esfuerzo axil............................................................................................. 20 3.3. Rigidez a momento flector ....................................................................................... 23
- 3. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 3 1. Resolución de vigas hiperestáticas por compatibilidad En las estructuras isostáticas las ecuaciones de equilibrio nos permiten calcular las reacciones y los esfuerzos. Ocurre, por ejemplo, en el caso de una viga con un apoyo fijo y un apoyo deslizante. Figura 1.1 Viga apoyada-deslizante Si las cargas son únicamente verticales también es el caso de una viga biapoyada, ya que las fuerzas horizontales no intervienen, es decir, las dos vigas de la figura son equivalentes. Figura 1.2 Equivalencia de viga apoyada deslizante y viga biapoyada sin cargas horizontales En las estructuras hiperestáticas las ecuaciones de equilibrio no son suficientes y hay que analizar la deformabilidad de las barras. En el caso de las vigas con carga vertical, esto ocurre en cuanto tenemos algo más que una simple viga apoyada, es decir, en vigas de un tramo con uno o dos empotramientos y en vigas continuas. Para analizarlas, haremos que los giros en los empotramientos sean nulos y los giros en los apoyos continuos sean iguales en las dos barras que acometen al nudo. Figura 1.3 Giros conocidos
- 4. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 4 1.1. Viga empotrada-apoyada con carga uniforme La viga empotrada-apoyada es hiperestática, no bastan las ecuaciones de equilibrio. Necesitamos conocer la reacción vertical en ambos apoyos y el momento en el empotramiento, es decir, tenemos 3 incógnitas y el equilibrio sólo nos ofrece 2 ecuaciones: SFz=0 y SM=0 (el equilibrio de fuerzas horizontales no interviene). Figura 1.4 Cargas y reacciones La tercera pista nos la da la deformación: El giro en el empotramiento es nulo: 0=Aϕ Figura 1.5 Giro nulo en el empotramiento Aplicamos el principio de superposición de esfuerzos, de modo que tenemos por un lado la viga como isostática y por otro lado la viga sometida únicamente al empotramiento. Figura 1.6 Superposición de cargas La deformación de la viga real será igual a la superposición de la deformación de cada una de las dos vigas ficticias. En particular, nos interesa que el giro de la barra en el empotramiento – que sabemos que tiene que ser nulo por definición de empotramiento- será igual a la suma del giro en el ambas vigas ficticias. 2,1,0 AAA ϕϕϕ +== Figura 1.7 Superposición de giros
- 5. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 5 El giro en el apoyo A de la viga con carga permanente es: y A IE Lq ··24 · 3 1, −=ϕ El giro en el apoyo A de la viga con momento en dicho apoyo es: y A A IE LM ··3 · 2, =ϕ Superponemos ambos e igualamos a cero. y A y AAA IE LM IE Lq ··3 · ··24 · 0 3 2,1, +−=+== ϕϕϕ Despejando M podemos conocer el momento flector en el extremo izquierdo. 8 ²·Lq M A = Una vez conocido MA, la viga inicial es equivalente a esta otra, cuya resolución es inmediata con las ecuaciones de equilibrio. Figura 1.8 Viga isostática equivalente Ejemplo Tenemos una viga IPE 300 de 7,00 m empotrada en un extremo en un muro de hormigón y apoyada en el extremo contrario en un muro de fábrica, con una carga uniforme de 30 kN/m. ¿Cuál es la reacción en cada extremo?
- 6. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 6 Solución El momento de inercia de un IPE 300 es 8356 cm4 =83560000 mm4 El giro en el apoyo A de la viga con carga permanente es: 024434,0 8356000021000024 ³700030 ··24 · 3 1, −= ×× × −=−= y A IE Lq ϕ El giro en el apoyo A de la viga con momento en dicho apoyo es: 10330,1 83560002100003 7000 · ··3 · 2, −×= ×× == EMM IE LM AA y A Aϕ Superponemos ambos e igualamos a cero. 10330,1·024434,00 2,1, −+−=+== EM AAAA ϕϕϕ Despejando M podemos conocer el momento flector en el extremo izquierdo. kNmNmm E M A ·05,183·183046536 10330,1 024434,0 == − = Podemos comprobar que coincide –salvando redondeos- con el valor que nos habría ofrecido la fórmula obtenida para el momento en el empotramiento: mkNmmN Lq M A 75.183183750000 8 ²700030 8 ²· == × == Una vez obtenido MA, el problema se reduce al de una viga isostática equivalente al problema inicial. Para calcular RB, anulamos momentos respecto al extremo izquierdo kNRRM BB 74,78005,300,73078,1830 =⇒=××−×+⇒=∑ Por equilibrio de fuerzas verticales podemos obtener RA kNRRRRFz AABA 26,13100,73074,780 =⇒×=+=+⇒=∑ Es interesante observar que la reacción vertical en el empotramiento es sensiblemente mayor que la reacción vertical en el apoyo simple.
- 7. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 7 1.2. Viga biempotrada con carga uniforme La viga empotrada es hiperestática, no bastan las ecuaciones de equilibrio. Necesitamos conocer la reacción vertical y el empotramiento en ambos apoyos, es decir, tenemos 4 incógnitas y el equilibrio nos da sólo 2 ecuaciones: SFz=0 y SM=0 (el equilibrio de fuerzas horizontales no interviene). Figura 1.9 Cargas y reacciones Para completar el análisis necesitamos las condiciones de compatibilidad de deformaciones. Sabemos que el giro en el empotramiento es nulo. 0=Aϕ y 0=Bϕ Figura 1.10 Condición de momento nulo en los empotramientos Aplicamos el principio de superposición de esfuerzos, de modo que tenemos: 1. La viga con la carga repartida pero sin momentos en los extremos 2. La viga con el momento en el extremo izquierdo 3. La viga con el momento en el extremo derecho Figura 1.11 Superposición de cargas La deformación de la viga real será igual a la superposición de la deformación de cada una de las dos vigas ficticias. En particular, nos interesa que el giro de la barra en el empotramiento – que sabemos que tiene que ser nulo por definición de empotramiento- será igual a la suma del giro en el ambas vigas ficticias. 2,1,0 AAA ϕϕϕ +== Figura 1.12 Superposición de giros
- 8. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 8 El giro en el extremo A de la viga con carga permanente es: y A IE Lq ··24 · 3 1, −=ϕ El giro en el extremo A de la viga con momento en dicho extremo es: y A A IE LM ··3 · 2, =ϕ El giro en el extremo A de la viga con momento en el extremo B es: y B A IE LM ··6 · 3, −=ϕ Superponemos e igualamos a cero. y B y A y AAAA IE LM IE LM IE Lq ··6 · ··3 · ··24 · 0 3 3,2,1, −+−=++== ϕϕϕϕ Obviamente, no es suficiente, tenemos dos incógnitas. La manera más genérica de resolverlo sería anular el giro en el extremo derecho, que sería: y B y A y BBBB IE LM IE LM IE Lq ··3 · ··6 · ··24 · 0 3 3,2,1, +−=++== ϕϕϕϕ De este modo, tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. No obstante, en este caso particular tenemos un atajo: la viga es simétrica y los momentos serán iguales (aunque de sentido contrario): MB=-MA Por lo tanto, la condición de giro nulo en el extremo izquierdo se puede poner: y A y A y AAAA IE LM IE LM IE Lq ··6 · ··3 · ··24 · 0 3 3,2,1, ++−=++== ϕϕϕϕ Simplificando: 0 28 · · ··3 2 = ++− A A y M M Lq IE L Despejando MA 12 · 2 Lq M A =
- 9. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 9 Por lo tanto 12 · 2 Lq M B −= Es decir, MA tiene sentido antihorario y MB tiene sentido horario. Una vez conocidos los momentos en los extremos, la viga inicial es equivalente a esta otra, cuya resolución es inmediata con las ecuaciones de equilibrio. Figura 1.13 Viga isostática equivente Ejemplo Tenemos una viga IPE 300 de 7 m empotrada en ambos extremos en un muro de hormigón, con una carga uniforme de 30 kN/m. ¿Cuál es la flecha en el punto central? Solución El momento de inercia de un IPE 300 es 8356 cm ⁴. El momento en los extremos es: mkNmmN Lq M A 50,122122500000 12 ²700030 12 ²· == × == Una vez obtenido MA, el problema se reduce al de una viga isostática equivalente al problema inicial. Calculamos la flecha para cada una de las acciones y superponemos. La flecha debida a la carga es de 53.45 mm hacia abajo.La flecha debida a cada uno de los momentos –por simetría es igual para ambos- es ascendente y de valor 21,38 mm. En total: 53,45-21,38-21,38=10,69 mm hacia abajo.
- 10. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 10 1.3. Viga continua de dos tramos iguales con carga uniforme Si la luz es igual en ambos tramos, por simetría resulta que el giro en el apoyo central es nulo, por lo que cada una de las vigas se comportará como una viga apoyada empotrada. Figura 1.14 Vigas apoyadas-empotradas equivalentes Por analogía con la viga apoyada-empotrada, el momento flector en el apoyo vale 8 ²·Lq M = Figura 1.15 Descomposición de la viga en dos tramos A partir de ahí, cada tramo se trata como una viga isostática con la carga lineal y un momento en un extremo.
- 11. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 11 Ejemplo Una viga de madera de sección constante está apoyada en tres muros de fábrica, con luces de 4,00 m en cada tramo. Si la carga lineal es de 15 kN/m ¿Cuánto vale la reacción vertical en el apoyo central? Solución En primer lugar calculamos el momento flector en el apoyo: mkN Lq M 30 8 ²415 8 ²· = × == A partir de ahí, cada tramo de la viga es asimilable a una viga isostática sobre la que actúa la carga lineal y el momento antes calculado. Equilibramos momentos del tramo izquierdo respecto al apoyo central: 030 2 00,4 00,41500,4 2 ··· =+××−×=+− AA RM L LqLR Por lo tanto: RA=22,50 kN Por simetría: RC=22,50 kN Y por equilibrio de fuerzas verticales RB=q·L+q·L-RA-RC=15×4,00+15×4,00-22,5-22,5=75 kN. Si ambas vigas fuesen biapoyadas, habríamos obtenido RA=RC=30 kN y RB=60 kN. Concluimos entonces que la carga del apoyo central se incrementa por los efectos hiperestáticos de la continuidad y, consecuentemente, la carga de los apoyos extremos disminuye.
- 12. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 12 1.4. Viga continua de dos vanos diferentes con carga uniforme La viga continua es hiperestática, no bastan las ecuaciones de equilibrio. Necesitamos conocer la reacción vertical en los 3 apoyos, es decir, tenemos 3 incógnitas y el equilibrio sólo 2 ecuaciones: SFz=0 y SM=0 (el equilibrio de fuerzas horizontales no interviene). Figura 1.16 Reacciones verticales La condición que nos falta la obtenemos de la compatibilidad de deformaciones. La viga es continua, por lo que el giro a ambos lados del apoyo central debe ser igual dBiB ,, ϕϕ = Figura 1.17 Compatibilidad de giros Aplicamos el principio de superposición de esfuerzos, de modo que tenemos por un lado la viga como isostática y por otro lado la viga sometida únicamente al empotramiento. Figura 1.18 Descomposición La deformación de la viga real será igual a la superposición de la deformación de cada una de las dos vigas ficticias. Por lo tanto, el giro de en cada viga es igual a la suma del giro debido a la carga más el giro debido al momento en B. 2,,1,,, iBiBiB ϕϕϕ += 2,,1,,, dBdBiB d ϕϕϕ += El giro tiene que igual en ambos tramos dBiB ,, ϕϕ = Por lo tanto 2,,1,,2,,1,, dBdBiBiB ϕϕϕϕ +=+
- 13. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 13 Calculamos primero el giro de apoyo B por la izquierda: Por la carga permanente. y i iB IE Lq ··24 · 3 1,, =ϕ Por el momento: y iB iB IE LM ··3 · 2,, −=ϕ Calculamos ahora el giro del apoyo B por la derecha: Por la carga permanente: y d dB IE Lq ··24 · 3 1,, −=ϕ Por el momento: y dB dB IE LM ··3 · 2,, =ϕ Superponemos ambos estados e igualamos los momentos a derecha e izquierda. 2,,1,,2,,1,, dBdBiBiB ϕϕϕϕ +=+ y dB y d y iB y i IE LM IE Lq IE LM IE Lq ··3 · ··24 · ··3 · ··24 · 33 +−=− Despejando M podemos conocer el momento flector en el extremo izquierdo: dB d iB i LM Lq LM Lq · 8 · · 8 · 33 +−=− iBdB di LMLM LqLq ·· 8 · 8 · 33 +=+ ( )33 · 8 )( diidB LL q LLM +=+ ( ) )( · 8 33 id di B LL LLq M + + = Nota: como momento flector, MB toma signo negativo, ya que la cara superior está traccionada y la cara inferior está comprimida.
- 14. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 14 Ejemplo Tenemos una viga IPE 200 de 8,00 m apoyada en tres muros separados 5,00 m y 3,00 m entre sí y con una carga uniforme de 20 kN/m ¿Cuál es el momento flector sobre el apoyo central? Solución Igualamos los giros a ambos lados del apoyo central. 2,,1,,,,2,,1,, dBdBdBiBiBiB ϕϕϕϕϕϕ +===+ Para simplificar los cálculos y visualizar mejor los giros, aprovecharemos que al ser la viga del mismo material y sección, el producto E·Iy es constante y por lo tanto, al efectuar las operaciones, desaparece, de modo que da igual el valor que tomemos. Supondremos que E·Iy=1. Además, operaremos en m y kN, con lo que los números resultan mucho más legibles.
- 15. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 15 Calculamos primero el giro de apoyo B por la izquierda: Por la carga permanente: 17,104 24 ³00,520 ··24 · 3 1,, = × == y i iB IE Lq ϕ Por el momento: B B y iB iB M M IE LM 3 5 3 00,5 ··3 · 2,, −= × −=−=ϕ Calculamos ahora el giro del apoyo B por la derecha: Por la carga permanente: 5,22 24 ³00,320 ··24 · 3 1,, −= × −=−= y d dB IE Lq ϕ Por el momento: B B y dB dB M M IE LM = × == 3 00,3 ··3 · 2,,ϕ Superponemos ambos estados e igualamos los momentos a derecha e izquierda. dBiB ,, ϕϕ = 2,,1,,2,,1,, dBdBiBiB ϕϕϕϕ +=+ BB MM +−=− 5,22 3 5 17,104
- 16. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 16 Despejando MB podemos conocer el momento en el extremo apoyo central. mkNMM BB 50,47 8 3 67,12667,1265,227,104 3 8 =×=⇒=+= El signo del momento considerado como momento flector es negativo: -47,50 m·kN. Podemos resumir el proceso en una hoja de cálculo. El resultado obtenido con NM3D difiere muy ligeramente porque el programa considera la deformación por cortante, que por su escasa incidencia se obvia en cálculos manuales. Vídeo 1.1 Viga continua con dos vanos diferentes
- 17. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 17 2. Esfuerzos isostáticos y esfuerzos hiperestáticos Se llaman esfuerzos isostáticos a los correspondientes a las barras supuestas biapoyadas y esfuerzos hiperestáticos a los obtenidos a mayores con las condiciones de compatibilidad. Vídeo 2.1 Superposición de esfuerzos Por ejemplo, en una viga continua de dos vanos, los cortantes y flectores isostáticos serán: Figura 2.1 Esfuerzos isostáticos en una viga continua
- 18. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 18 Los esfuerzos hiperestáticos son los originados por el momento flector en el apoyo. Figura 2.2 Esfuerzos hiperestáticos en una viga continua La dirección de las reacciones evidencia que el efecto hiperestático aumenta la reacción en el apoyo central y la disminuye en los apoyos extremos, como ya sabíamos. Cuando hay momentos en los extremos (por ejemplo, por la presencia de voladizos) y en vigas de más de dos vanos, como regla pnemotécnica es útil pensar que el valor de las reacciones hiperestáticas de cada vano es el cociente entre la diferencia de momentos en los extremos del vano y la luz del propio vano R=(Mizda-Mdcha)/L y –este es el punto que suele provocar mayores dificultades- este valor se suma en el extremo cuyo momento es más negativo, es decir, más alto en la gráfica, y se le resta al otro extremo. Vídeo 2.2 Esfuerzos isostáticos e hiperestáticos
- 19. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 19 3. Conceptos de cálculo matricial El análisis de estructuras hiperestáticas se basa en la compatibilidad de deformaciones entre los elementos. Estudiar la compatibilidad de un par de nudos es sencillo, pero según se incrementa el grado de hiperestaticidad se incrementan igualmente las ecuaciones de compatibilidad, lo que las hace inabordables manualmente. En cierto modo, las bases teóricas del cálculo matricial estaban sentadas en el siglo XIX, pero en la práctica no era posible aplicarlas, por lo a principios del siglo XX aparecieron métodos, como los iterativos de Cross y Kani, que permitían el cálculo manual y que se usaron durante décadas. A mediados del siglo XX aparecieron los ordenadores y paralelamente se desarrollaron los métodos del cálculo matricial, pero no fue hasta los ochenta que empezaron a entrar los ordenadores en los estudios. El cálculo matricial consiste en plantear todas las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad de manera sistemática, en forma de matrices. De este modo, el cálculo de la estructura consiste en resolver una ecuación matricial cuya analogía con la ley de Hooke es evidente: [F]=[K]×[d], Donde [F] es la matriz de cargas aplicadas en los nudos [K] es la matriz de rigidez, que contiene las rigideces de todos los elementos de la estructura [d] es la matriz de desplazamientos y giros en los nudos. Nuevo Metal 3D y Cypecad calculan aplicando el método matricial en tres dimensiones. En Nuevo Metal 3D es modelo de cálculo es directamente visible, los nudos y barras de la estructura son los que vemos. En Cypecad introducimos elementos estructurales –vigas, pilares, forjados, etc.- y el programa crea el modelo, que además añade matices propios de las estructuras de pisos, como la rigidez de los forjados en su plano. 3.1. Definición de rigidez La rigidez de un cuerpo es la capacidad de oponerse a las deformaciones causadas por los esfuerzos. δ F K = Donde K es la rigidez. F es la fuerza aplicada. d es la deformación producida por la fuerza aplicada.
- 20. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 20 En otras palabras, la rigidez de un cuerpo es la fuerza que hemos de aplicar para conseguir un desplazamiento unidad. En resistencia de materiales consideramos la resistencia de las barras a los diferentes esfuerzos internos: rigidez a axil, rigidez a flexión, rigidez a cortante y rigidez a torsión. 3.2. Rigidez a esfuerzo axil La rigidez a esfuerzo axil es la relación entre el esfuerzo axil de una barra y el alargamiento producido por dicho esfuerzo. L N K ∆ = Su unidad debería ser N/m, pero en cualquier elemento constructivo el valor sería enorme, de modo que es más manejable usar N/mm o, mejor aún, kN/mm. Dicho de otra manera, es el axil que hemos de aplicar a la barra para conseguir un alargamiento unidad. Por ejemplo, una rigidez de 1800 kN/mm significa que para conseguir un alargamiento de 1 mm necesitamos una fuerza de 1800 kN. Por definición de tensión bajo esfuerzo axil: AN A N ·σσ =⇒= Por definición de alargamiento unitario LL L L ·εε =∆⇒ ∆ = Por lo tanto L A K · · ε σ = El cociente s/e es el módulo de elasticidad longitudinal E, de modo que L AE K · = Se adjunta en el campus una hoja de cálculo que facilita la obtencion de las deformaciones y la rigidez por esfuezo axil.
- 21. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 21 Ejemplo ¿Cuál es el acortamiento de un soporte de acero HEB 320 de 3 m de altura sometido a los esfuerzos axiles siguientes? Carga permanente: NG=1200 kN Sobrecarga de uso: NQ=500 kN Viento: NV=200 kN Solución El área de un perfil HEB 320 es 16135 mm². Calculamos la rigidez a esfuerzo axil. mm kN mm N L AE K 11291129450 3000 16135210000· == × == El alargamiento de cada barra se obtiene a partir de la definición de rigidez a esfuerzo axil: K N L L N K =∆⇒ ∆ = Tenemos un acortamiento de 1,063+0,443+0,177=1,683 mm Carga permanente: mm K N L 063,1 1129 1200 ===∆ Sobrecarga de uso: mm K N L 443,0 1129 500 ===∆ Viento: mm K N L 177,0 1129 200 ===∆ Podríamos haber calculado la tensión en cada hipótesis, luego el acortamiento (o alargamiento negativo) unitario a partir de la tensión y finalmente calcular el acortamiento total a partir del acortamiento unitario, pero el concepto de rigidez nos permite sistematizar la operación, algo fundamental si pensamos que las estructuras de edificación suelen tener muchas barras y muchas hipótesis.
- 22. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 22 Ejemplo En un soporte HEB 120 de 4,00 m de altura medimos un acortamiento de 1 mm ¿A qué esfuerzo axil [kN] está sometido? Solución El área de un HEB 120 es 3400 mm². La rigidez del soporte es mm kN mm N L AE K 50,178178500 4000 3400210000· == × == Por lo tanto, un acortamiento de 1 mm supone un esfuerzo de 178,50 kN.
- 23. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 23 3.3. Rigidez a momento flector La rigidez a esfuerzo axil es la relación entre el momento flector aplicado en un extremo de una barra y el giro producido. θ M K = Para una barra de sección constante articulada en el extremo opuesto al de aplicación del momento es: L IE K ··3 = Para una barra de sección constante empotrada en el extremo opuesto al de aplicación del momento es: L IE K ··4 = Estos coeficientes son los que se introducen posteriormente en la matriz de rigidez de la estructura, de modo que la deformación de cada barra depende de su rigidez. Vemos que la barra empotrada es más rígida. La rigidez es proporcional al módulo de elasticidad del material y al momento de inercia de la sección, es decir, al cubo del canto . Esto implica que aumentar un 25% el canto supone duplicar la rigidez. La rigidez es inversamente proporcional a la longitud de la barra. Esto explica, por ejemplo, por qué los soportes cortos reciben esfuerzos enormes en relación a los de longitud normal, causa frecuente de fallos en caso de sismo. Ejemplo Tenemos una viga 30×30 de hormigón armado de 5.00 m de luz, empotrada en un muro de hormigón (al que supondremos rigidez infinita) y apoyada en la coronación de un muro de fábrica, con un voladizo tras este apoyo de 1.50 m. Sobre el extremo del vuelo tenemos una carga de 10 kN. ¿Qué giro produce esta carga sobre el apoyo de la viga? Asumimos un comportamiento elástico del hormigón con E=27 MN/mm².
- 24. zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat zigurat t zigurat zigurat zigurat zigur zigurat zigurat zi Estructuras hiperestáticas © Zigurat Consultoría de Formación Técnica S.L. No se permite un uso comercial. No se permite copiar, distribuir, exhibir, ejecutar el trabajo y realizar otros trabajos derivados del mismo con propósitos comerciales. Siempre se debe reconocer y citar al autor original, previa autorización escrita. (Rev.0) 24 Solución El momento de inercia de la sección es 67500E4 mm4 . El axil de 10 kN a 1.50 m del apoyo equivale a un flector de 15 mkN y una fuerza vertical de 10 kN sobre el propio apoyo. La fuerza vertical sobre el apoyo no supone giro de este, por lo que podemos obtener dicho giro simplemente calculando el giro que produce el momento. Para ello, usamos el concepto de rigidez a momento flector. Si θ M K = Entonces nos basta calcular K para obtener directamente el giro: K M =θ La rigidez K del soporte de sección constante empotrado en el extremo opuesto al de aplicaicón del momento es: rad mkN rad mmN E EE L IE K 14580614580 5000 4675003274··4 == ×× == Por lo tanto, el giro de la sección será: º0589.0001088.0 14580 15 ==== rad K M θ Podemos comprobarlo en NM3D. Para evitar la influencia del peso propio (que con esta carga puntual tan baja es importante) introducimos la carga en otra hipótesis de carga, por ejemplo, en sobrecarga de uso. El valor puede diferir ligeramente por el efecto de la deformación por cortante y por el redondeo del valor del módulo de elasticidad.