El documento trata sobre vectores y sistemas de coordenadas cartesianas en 3 dimensiones. Explica conceptos como vectores unitarios, representación analítica de vectores mediante coordenadas cartesianas, y cálculo de vectores resultantes. Resuelve varios problemas aplicando estos conceptos como hallar la magnitud y dirección de vectores dados sus componentes o determinar vectores unitarios.

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Mag. Sandoval Silva Miguel Ángel

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❑ ¿ Qué es un vector unitario?
❑ ¿Cuál es el vector unitario en el eje z?
❑ ¿Cuántas componentes tiene un vector en el espacio?
❑ ¿Cómo expresar la dirección de un vector en el plano?
¿Y, en el espacio?
❑ ¿Qué son los cosenos directores?

4. VECTOR UNITARIO
• Es un vector cuyo módulo es 1.
• Vector unitario de un vector cualquiera
• Todos los vectores paralelos tienen el mismo vector unitario.

5. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ESPACIALES
Cada punto del espacio puede nombrarse mediante sus coordenadas (x, y, z), que son las
distancias ortogonales a los tres planos principales.

6. VECTOR EN 3 DIMENSIONES (3D)
Magnitud o Módulo
Ԧ
𝐴 = Ax Ƹ
𝑖 + Ay Ƹ
𝑗 + Az ෠
𝑘
Vector:

7. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR EN EL ESPACIO
Para representar analíticamente un vector, necesitamos sus coordenadas cartesianas (x ; y ; z)
y los vectores unitarios Ƹ
𝑖 ; Ƹ
𝑗 y ෠
𝑘
Ԧ
𝑎 = 40 Ƹ
𝑖 + 30 Ƹ
𝑗 + 20 ෠
𝑘

8. COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR
Para definir un vector en el espacio, es decir representar su dirección, tenemos que hacer uso
de lo que denominamos COSENOS DIRECTORES.

9. VECTORES UNITARIOS EN UN SCC
⊥ ⊥ ⊥
i j , j k , k i
i = j = k = 1
• Ƹ
𝑖 : Vector unitario en el eje x
• Ƹ
𝑗 : Vector unitario en el eje y
• ෠
𝑘 : Vector unitario en el eje z

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11. PROBLEMA 01
Tres vectores Ԧ
𝐴 , 𝐵 y Ԧ
𝐶 se encuentran en
la siguiente figura espacial. Determine el
módulo de la suma de vectores
x
y
z
1
2
1
3
A
C
B
SOLUCIÓN:
x
y
z
1
2
1
3
A
C
B
1
Descomponiendo cada vector tenemos:
Hallamos la resultante en cada eje:
RX = 1+1-1 = 1
RY = 3-1 = 2
RZ = 1+1 = 2
Aplicando el Teorema de Pitágoras:
R2 = 12 + 22 + 22
R = 3

12. PROBLEMA 02
SOLUCIÓN:
Hallar el vector resultante del conjunto de
vectores mostrados en el cubo de 2 m de
lado.
Hallamos las coordenadas cartesianas de
cada vértice del cubo de 2 m de arista.
Recuerde que el vector se define restando las
coordenadas final e inicial
Ԧ
𝐴 = (0;0;0) – (0;2;0) = (0;-2;0)
𝐵 = (2;2;2) – (0;0;0) = (2;-2;2)
Ԧ
𝐶 = (0;2;2) – (2;0;2) = (-2;2;0)
𝐷 = (0;0;2) – (2;0;2) = (-2;0;0)
𝐸 = (2;0;0) – (0;0;2) = (2;-0;-2)
𝑅 = Ԧ
𝐴 +𝐵 + Ԧ
𝐶+ 𝐷 + 𝐸 𝑅 = (0;2;0)

13. PROBLEMA 03
Las coordenadas de A y B son: A(1: 0; -3)m y
B(-2; 2; 3) m
Una banda elástica de hule está unida a los puntos A y B como se muestra en la figura.
Determine su longitud y sus cosenos directores.
Los cosenos directores son:
SOLUCIÓN:

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SOLUCIÓN:
Ubicando las coordenadas y
agregando dos vectores unitarios.
Por definición de vector unitario:
PROBLEMA 04
Hallar el vector Ԧ
𝐹, si Ԧ
𝐹= 𝑇 + 𝑃 sabiendo
además que : T = 50 N y P = 52 N
P
T
12
3
4
Y
Z
X

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16. Exprese la fuerza F que se muestra en
la figura como un vector cartesiano.
SOLUCIÓN:
Los ángulos de 60° y 45° que definen la
dirección de F no son ángulos directores
coordenados.
PROBLEMA 05

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PROBLEMAS EN EQUIPO
01. Exprese la fuerza F mostrada
en la figura como un vector
cartesiano.
02. Determine la magnitud y los ángulos
directores coordenados de la fuerza
resultante.

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04. La torre de antena se sostiene mediante
tres cables. Si las fuerzas de estos cables
que actúan sobre la antena son FB = 520
N, FC = 680 N y FD = 560 N, determine la
magnitud y los ángulos directores
coordenados de la fuerza resultante que
actúa en A.

19. 5. En cada uno de los casos descomponga cada fuerza en sus componentes x, y,
z y determine la magnitud de cada componente.

22. SOLUCIÓN:
Restando coordenadas:
Hallar el módulo de la resultante del
siguiente conjunto de vectores.
PROBLEMA 01

23. Hallar en el paralelepípedo
mostrado, si
SOLUCIÓN:
Ubicando coordenadas de A y B
y
PROBLEMA 02

24. Expresión vectorial de
En la condición

25. PROBLEMA 03
Hallar el vector 𝑃 si su módulo es 6 u
SOLUCIÓN:
Si: 𝑃/𝑀𝑁
𝑀𝑁 = -4Ԧ
𝑖 -2Ԧ
𝑗 + 2𝑘
𝑀𝑁 =2(-2𝑖 -Ԧ
𝑗 + 𝑘)
𝑃
𝑃
=
𝑀𝑁
𝑀𝑁
… (1)
𝑀𝑁 = 2 22 + 12 + 12
𝑀𝑁 = 2 6
En (1) :
𝑃
𝑃
=
𝑀𝑁
𝑀𝑁
𝑃 = P
𝑀𝑁
𝑀𝑁
𝑃 =
6
2 6
.2(-2;-1;1)
𝑃 =(-2;-1;1)

26. PROBLEMA 04
Hallar los vectores unitarios de los
vectores 𝑃 y 𝑄. Si A,B y C son puntos
medios de los lados del triángulo
mostrado en la figura.
SOLUCIÓN:
a) Cálculo del vector unitario de 𝑃
𝑃
2𝑃
N(0;5;0)
M(5;0;0)
X
Y
Z
A
B
Observamos que: /𝑀𝑁 = 2𝐴𝐵
2𝑃 = (0;5;0) – (5;0;0)
2𝑃 = (-5;5;0)
𝑃 =
5
2
(-1;1;0)
Hallando su módulo:
𝑀𝑁 =
5
2
(−1)2 + 12 + 02
𝑀𝑁 =
5
2
2
Luego: ො
µP =
𝑃
𝑃
ො
µP =
5
2
(−1;1;0)
5
2
2
ො
µP =
2(−1;1;0)
2

27. 𝑄
5
X
Y
Z
−5𝐾
2.5Ԧ
𝑖
2.5𝑗
5
5
b) Cálculo del vector unitario de 𝑄
𝑄 = 2.5Ԧ
𝑖 + 2.5Ԧ
𝑗 − 5𝑘
𝑄 =
5
2
(Ԧ
𝑖 + 𝑗 − 2𝑘)
Hallando su módulo:
Q =
5
2
(1)2 + 12 + 22
Q =
5
2
6
ො
µP =
𝑄
𝑄
Luego:
ො
µQ =
5
2
(1;1;−2)
5
2
6
ො
µQ =
6(−1;1;0)
6

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GRACIAS