El documento presenta información sobre derivadas, incluyendo la ecuación de la recta tangente, cómo calcular la pendiente, diferentes tipos de derivadas como derivadas de orden superior, y aplicaciones de derivadas como encontrar extremos relativos. También cubre integrales definidas y el teorema fundamental del cálculo.

1. DERIVADAS
1
Anival Torre
ANIVAL TORRE

2. Recta tangente y derivada
2
 Ecuación de la recta tangente
 ¿Cómo encuentro la pendiente?
 Derivada de orden superior
 Formato de derivadas
 Aplicación de la derivada
 Aplicación de la 1º derivada
 Aplicación de la 2º derivada
 Uso de la derivada
ANIVAL TORRE

3. Integrales
3
 Integrales definidos
 Teorema fundamental del cálculo
 Descomposición de fracciones parciales
 Integrales definidas
ANIVAL TORRE

4. Recta tangente y derivada
4
La tangente es la •Recta secante: cualquier
recta que toca o corta y recta que pasa por dos
en un solo punto a la
gráfica de la función. puntos de una recta.
Recta normal: es
Por un punto la perpendicular
de la curva a la recta
pasan infinitas tangente
secantes.
a x h x
Para definir la pendiente de
la recta tangente
Pendiente de la
(pendiente de la gráfica) en recta tg: derivada de
el punto se emplea el la función
concepto de límite.
ANIVAL TORRE

5. 5
y b
m Pendiente: inclinación de una recta tg
x a
LT y mx b
La pendiente se
halla al derivar la m f x y
función.
El límite de la pendiente de una recta secante se
define como la pendiente de una recta tangente
ANIVAL TORRE

6. y 6
Nos sirve para
hallar la
constante : b
a b x
ANIVAL TORRE

7. Ecuación de la recta tangente
7
Aquí cambia la pendiente de la derivada.
f x m
i m 0 LT A Creciente
ii m 0 LT O Decrecient e
iii m 0 LT llano H
ANIVAL TORRE

8. Tipos de limites
8
Limite vertical
x a deno min ador 0
Limite horizontal
lim
y b f x
x
Limite oblicuo y mx c
lim f x lim
m b f x mx
x x x
ANIVAL TORRE

9. 9
lim f x f a ejm :
M T
x a x a
3 2
lim f x f a x 3x
(x a) 0 x a 3
f x x
x a h
lim f x h f x
x h a f x
lim f a h f a
h 0 h
3 3
h 0 h f x x f p p
lim f a h f a 3
f a f x h x h
h 0 h
3
lim f x h f x lim x 3 x
f x
h 0 h h 0 h
df x 2 2
f x lim x 2 x h x x
dx
lim f x h f x h 0 h
f x
h 0 h 2 2 2 2
x x x 3x
ANIVAL TORRE

10. Formato de derivadas
10
n n 1 1
1) x n x 14 ) arcsen x
2
1 x
2) sen x c os x
1
15 ) arc cos x
2
3) cox sen x 1 x
2 1
4) tg x sec x 16 ) arctg x 2
1 x
2
5) ctg x c sc x 1
17 ) arcctg x 2
6 ) sec x sec x . tg x 1 x
1
7 ) c sc x c sc x . ctg x 18 ) arc sec
2
x x 1
1 1
8) x 19 ) arc c sc x
2 x 2
x x 1
x x
9) a a . ln a 1
20 ) ln x
x x
x
10 ) e e
21 ) f g f g
11 ) # 0
22 ) f .g f g fg
12 ) x 1
x f f g fg
13 ) x 23 ) 2
x g g
ANIVAL TORRE

11. Derivadas
11
Tiene que ser lineal.
1 sen ln x f f
lim con hospital
g g
2 3 4
2 5
1 7
ln arcsen 2 n3 x 10 x 10
10 x 10 x 1
3 4 6
ANIVAL TORRE

12. 12
5 ln 1 0
arcsen ln x
ln 0
2 5
3 arcsen ln x b
log b
1
1 1 1 4 b
x
n
5x
5 5
1 ln x x 2 x n
1
ln x ln x
n
ANIVAL TORRE

13. Ejercicio:
13
x
ln x
arcsen x
x
ln x
arcsen x
x arcsen x x arcsen x 1
2
arcsen x x
arcsen x x
2
2 x 1 x 1
2
arcsen x x
ANIVAL TORRE

14. Como encuentro la pendiente?
14
La encontramos derivando la función.
LT y mx b
m f x y
2
y x 1 3
y 2 x 1 x 1
ANIVAL TORRE

15. 15
Ejemplo: en el pto de abscisa se esta evaluando la
pendiente, porque por ahí pasa pendiente.
2
y x 1 3
v 1, 3
y 2 x 1
m 6
LT y 6x b
6 12 b
b 6 LT y 6x 6
y mx 6 x, y
ANIVAL TORRE

16. 16
Hallar y : Hallar y :
x y 3 2
e yx x y x y x 3
x y
e yx x y x
3
y
2
x 3
x y
e yx 1 3 2
y x y x 0
x y
e . x y y xy 1 3 3
x y
y x y x 2 y. y 1
e .1 y y xy 1
2 3
x y x y 3y y x y 2 yy 1
e e .y y xy 1
2 3
x y x y y 3y x 2y 1 y
y e x 1 e y
3
1 e
x y
y 1 y
y y 2
e
x y
x 3y x 2y
ANIVAL TORRE

17. Ejercicio:
17
1 1
n i ) arctg .
ln x ln x 1
2
x
ii ) a a . ln
Pasos:
1)Variable
2)Logaritmo a ambos lados
3)Desarrollo
4)Derivarlas (ln y)
5)y’ /y
ANIVAL TORRE

18. 9 5
2 arctg x18
2
sen x tg x 1 3 x
z
3 3
7 cos x 1. x 1 2
sol :
9 5
a .b .c .d
z
7e f
1
ln z ln a ln b 9 ln c 5 ln d ln 7 ln e ln f
2
z a b 9c 5d e 1 f
z a b c d e 2 f
1 2
2 2
9 5 2 3 2
cos x sec x 1 2x 2 x 1 x sen x 1 1 3 x 1 3x
a b c d e 2 f
z z
ANIVAL TORRE

19. Derivada de orden superior
19
4 3
1) x 4x
2) x
4
4x
3
12 x
2 sen cos .
4 2 3
3) x 5x 5 ''' 4x 10 x
12 x
2
10 24
sen 2 x cos 2 x
3 3 3 3 3
4 ) sen 2 x x sen 2 x x
2 10 x 10 x
2 cos 2 x
2
3x
2
4 sen 2 x 6x
x e 10 ! e
8 cos 2 x 6
Propiedad: n e N
FACTORIAL
n n
x n!
ANIVAL TORRE

20. n
Propiedad 1 n n 1
: 1 n! x h
x h 20
15
Ejemplos: a) x
1
15 ! x
16
19
1 20
b) 19 ! x
x
19
1 20
c) 19 ! x 3
x 3
n n n
1 2 1 2
d)
x 2 x 1 x 3 x 1
n n 1 n n 1
1 n! x 3 2 1 n! x 1
n n 1 n 1
1 n! x 3 2 x 1
n n
x 7 x 19 26 26
e) 1
x 19 x 19 x 9
ANIVAL TORRE n n 1
26 1 n! x 19

21. f x 0
En este
21
intervalo la
func. es -
f x f x
(+) (-)
En este
intervalo la
función es + f x
La derivada f x
existe, porque
por este pto
pasa una f x 0
ANIVAL TORRE recta tg

22. Extremos relativo son los
ptos. donde la función
alcanza un máximo o un22
mínimo
c g
a b d e f h i En los
extremos y
esquinas y
esquinas
En los extremos y pasan
picos no existe la infinitas tg.
derivada
ANIVAL TORRE

23. PC. ={a, b, c, d, e, f, g, h, i}
23
Extremo= {a, i}
Esquina={d} {h} Max. Absoluto
Max={b, f, h} {b, f} Max. Relativo Ext. Relativo
Min={c, e, g}
{c} Min. Absoluto
{e ,g} Min. Relativo
Intervalos de crecimiento: Intervalos de decrecimiento:
<b, c>
<a, b>
<d, e>
<e, f>
<f, g>
<c,d>
<h, i>
<g,h>
ANIVAL TORRE

24. Ejm:
3
f x x 3x 9x 2 24
2
f x 3x 6x 9
intervalo Signo (f ’) crecimiento
f 0 0
2
3x 6x 9 0 , 1 + C
Max. (-1, 7)
x 3 1, 3 - D
Min. (3, -25)
+ C
x 1 3,
f x x 3 x 1 0
P .C . 3, 1
+ - +
-1 3
ANIVAL TORRE

25. Pasos a tener en cuenta en la tabla
25
 A la función fraccionaria aplicar el caso general.
 Trabajar por intervalo dando cualquier valor.
 En la gráfica se empieza colocando los signos por
la derecha, pero si la función es negativa se
empezara con el signo negativo.
 Se repite el signo cuando el exponente tiene
multiplicidad par.
ANIVAL TORRE

26. Uso de la derivada
26
 Se utiliza para maximizar y minimizar funciones.
 otro de los fines consiste en trazar la grafica en las
funciones.
ANIVAL TORRE

27. Aplicación de la derivada
27
Optimizar func.
Grafica func. 1) Aplicación de la primera derivada.
2) Asíntotas.
3) Aplicación de la segunda derivada.
4) Intersecciones con los ejes.
a) Intervalo de crecimiento(+ crece; - decrec.)
1) Aplic. 1 Derv. Ptos. Críticos
b) Signo () el que toma la derivada
f x 0
c) Crecimiento
f x d) Extremos relativos. (ptos. Donde la func.
alcanza max y min)
ANIVAL TORRE

28. lim
Asíntota horizontal y b f x
x
Asíntota vertical 28
x a deno min ador 0
2) Asíntota Asíntotas oblicua
y mx b
lim lim f x
b f x mx c
x x x
Posibles
Ptos de concavidad
3) Aplic. 2 deriv. puntos de
inflexión Signo (f ´´ )
f x 0 Concavidad (concavo - convexo)
f x Ptos. De inflexion.
4) ptos. De intersección
X=0, y=0
ANIVAL TORRE

29. Ejercicios: aplicación de la 1 derivada
29
3
x 2 Intv. Cerc. signo Crecmt.
f x 2
x 1
, 1
3x
2
x 1
2
2 x 1 x
3
2 + C
Sol : f x 1, 1
4
x 1 - D 1, 2
2 3
2,
x 1 3x x 1 2x 4 + C
f x 4
x 1
+ C
3 2
x 3x 4
f x 4
x 1 Extm. relativo
2
f x
x 1 x
x 1
4x
3
4
> Max. (-1,-3/4)
> M
> i
2
x 1 x 2
f x 3 n
x 1
.
P .C . 1, 2 , 1 (
ANIVAL TORRE
1

30. Asíntotas
30
b) A . Vertical :
a ) A ..Horizontal x a 1
c ) A . Oblicua :
lim
y b y mx c
x m
lim x
3
2
2
x x x 1
3
lim x 2 m 1
lim
2 c f x mx
x x 1 x
3
2 lim x 2
lim 3x x x 1
2
x
y 3 2
lim
x 2 x 1 x 2 x x
2
1
x x 1
lim 6x x
3
2 x
3
2x
x 2
hóspital : x 1
2
x 2 A .O . : y x 2
ANIVAL TORRE

31. Aplicación de la 2 derivada
31
2 3 2 2
x 2 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 3 x 1
f x 6
x 1
2
x 1 x 2 x 2 2 x 1 x 1 3x 1 x 2
f x 6
x 1
x 2 3x x 1 3x 1 x 2
f x 4
x 1
x 2 6
f x 4
0 P .P .I . 2 ,1
x 1
ANIVAL TORRE

32. 32 +
- -
1 2
Interv. Conc. Signo ( f ´´) concavidad Ptos. Infelx.
- -
- -
+ (2,6)
+
ANIVAL TORRE

33. 6
33
4
3 Grafico: unir inf.
2
-2 -1 1 3
2 2
-3/4 C
O
-2
N
C
A
V
o
ANIVAL TORRE

34. Secciones Próximas
15
34
12
Tiene 11
seccione
10 s
7
6 Esas
secciones son
: extremos,
intersecciones
4
con el eje “x”
y al grafica.
3 5 6 7 9 10 12 Trigo
-6 Espárrago
ANIVAL TORRE

35. En la grafica anterior se muestra el nivel de ingreso por la exportación de
espárrago y trigo (tonelada, millones de dólares).
Exprese matemáticamente ambos modelos:
35
x 4 ,0 x 3 Ej.
(9, 10) (10,15)
13 x 53
,3 x 5
2 2
M=5/1=5
16 x 76 , 5 x 6
t x Y= 5x+b
10 , 6 x 9
10= 5(9)+b
5x 35 , 9 x 10 10 = 45+b
3 -35 = b
x 30 , 10 x 12 Y= 5x-35
2
ANIVAL TORRE

36. 36
Gracias
ANIVAL TORRE