El documento presenta un problema de optimización para determinar las dimensiones de un cilindro cerrado que tenga una capacidad de 975 cm3 utilizando la menor cantidad de material posible. Se tabula la relación entre el radio, la altura, el área lateral, el área de la base y el área total. Luego, se deriva la función del área total con respecto al radio y se iguala a cero para encontrar el radio óptimo de 5.4 cm y una altura de 10.64 cm.
Aplicación de La Derivada
Problemas de Optimización
• Los problemas de optimización de funciones son una de las aplicaciones más inmediatas e interesantes del cálculo de derivadas. El problema es determinar los extremos relativos (máximos o mínimos) de una función.
• Se aplican en diferentes contextos, permitiendo resolver problemas de optimización geométricos y económicos entre otros.
Criterio de la segunda derivada
• Este criterio establece que:
• A) Si en X=a existe un valor critico de Y=F(X),y si la segunda derivada (F”(a)<0),>0), entonces Y=F(X), tiene un Mínimo en X=a.
• C) Si F”(a)=0, No se puede derivar nada
Para resolver los problemas de optimización se hacen las siguientes recomendaciones:
• 1. Leer y comprender el problema, así como identificar qué es lo que se quiere maximizar y minimizar.
• 2. Hacer un diagrama del problema y establecer una función objetivo que modele la situación a maximizar o minimizar.
• 3. Buscar en lo posible una función auxiliar que permita establecer la función en términos de una sola variable.
• Ejemplo:
• Un granjero desea cercar un terreno rectangular junto a un rio, el terreno ha de tener 180000 m² para proporcionar suficiente pasto. ¿Qué dimensión debe tener el terreno para que requiera la menor cantidad de cerca posible teniendo en cuenta que no hay que cercar el lado del río?
Paso 1: identificar lo que se va a maximizar o minimizar;
Minimizar la cantidad de cerca…
Aplicación de La Derivada
Problemas de Optimización
• Los problemas de optimización de funciones son una de las aplicaciones más inmediatas e interesantes del cálculo de derivadas. El problema es determinar los extremos relativos (máximos o mínimos) de una función.
• Se aplican en diferentes contextos, permitiendo resolver problemas de optimización geométricos y económicos entre otros.
Criterio de la segunda derivada
• Este criterio establece que:
• A) Si en X=a existe un valor critico de Y=F(X),y si la segunda derivada (F”(a)<0),>0), entonces Y=F(X), tiene un Mínimo en X=a.
• C) Si F”(a)=0, No se puede derivar nada
Para resolver los problemas de optimización se hacen las siguientes recomendaciones:
• 1. Leer y comprender el problema, así como identificar qué es lo que se quiere maximizar y minimizar.
• 2. Hacer un diagrama del problema y establecer una función objetivo que modele la situación a maximizar o minimizar.
• 3. Buscar en lo posible una función auxiliar que permita establecer la función en términos de una sola variable.
• Ejemplo:
• Un granjero desea cercar un terreno rectangular junto a un rio, el terreno ha de tener 180000 m² para proporcionar suficiente pasto. ¿Qué dimensión debe tener el terreno para que requiera la menor cantidad de cerca posible teniendo en cuenta que no hay que cercar el lado del río?
Paso 1: identificar lo que se va a maximizar o minimizar;
Minimizar la cantidad de cerca…
1. Matemáticas
Aplicación de la derivada
Alumno (a) : Elena Fabela Romero
1 A Procesos Industriales
2. Problema de razonamiento
Se necesita fabricar un recipiente cilíndrico cerrado en ambos extremos.
¿Cuáles deberían ser las dimensiones del cilindro para que tenga una
capacidad de 975 cm3 y se utilice el mínimo de material posible?
4. Tabulación en la que se observa el punto
crítico de interés (máximo o mínimo).
Volumen = 975 cm3
Radio Altura Área lateral Área de la base Área total
x h = 975/πr2 2πrh 2πr2 2πr2 + 2πr2h
1 310.352139 1950 6.283185307 1956.283185
2 77.58803476 975 25.13274123 1000.132741
3 34.483571 650 56.54866776 706.5486678
4 19.39700869 487.5 100.5309649 588.0309649
5 12.41408556 390 157.0796327 547.0796327
6 8.620892751 325 226.1946711 551.1946711
7 6.333717123 278.571429 307.8760801 586.4475086
8 4.849252172 243.75 402.1238597 645.8738597
9 3.831507889 216.666667 508.9380099 725.6046765
10 3.10352139 195 628.3185307 823.3185307
11 2.564893711 177.272727 760.2654222 937.5381494
12 2.155223188 162.5 904.7786842 1067.278684
13 1.83640319 150 1061.858317 1211.858317
14 1.583429281 139.285714 1231.50432 1370.790034
15 1.37934284 130 1413.716694 1543.716694
16 1.212313043 121.875 1608.495439 1730.370439
5. Gráfica
Área total
2500
2000
Mínimo material
posible
1500
Área total
1000
500
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6. Función que se va a derivar
ALT 2 rh 2 r2
975
ALT 2 x 2 x2
x2
ALT 2 rh r2
975
ALT 2 x 2 x2
x2
975
ALT 2 x2
x
975
y 2 x2
x
7. Resolución de la derivada
dy ( x )( 0 ) ( 975 )(1) 4 x
dx x2
dy 975
4 x
dx x2
8. Igualamos a cero
975
4 x 0
x 2
975
4 x
x 2
4 x( x 2) 975
4 x3 975
975
x3
4
975
x 3 5 .4
4
9. Solución del problema
Las dimensiones del cilindro deben ser las siguientes:
Área
Radio Altura Área de la base Área total
lateral
h= 975/πr2
x 2πrh 2πr2 2πrh + 2πr2
5.4 10.64307747 361.111111 183.2176836 544.3287947